1.3 空间向量及其运算的坐标表示讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦空间向量及其运算的坐标表示核心知识点，先构建空间直角坐标系（含原点、坐标轴、坐标向量等概念），明确点与向量的坐标定义，再系统梳理向量运算（加、减、数乘、数量积）及平行、垂直的坐标条件，结合模长、夹角、两点间距离公式，形成从几何直观到代数运算的学习支架。 资料以“概念-运算-应用”为主线，通过正方体、正四棱锥等实例题型，培养学生空间观念与几何直观（数学眼光），例题与跟踪训练结合，强化运算能力与推理意识（数学思维），坐标表示解决几何问题提升数学语言表达能力。课中辅助教师分层教学，课后练习题助力学生查漏补缺，深化应用意识。

1.3 空间向量及其运算的坐标表示 知识点一、空间直角坐标系 1.空间直角坐标系及相关概念 (1)空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底，以O为原点，分别以i，j，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz. (2)相关概念：O叫做原点，i，j，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分． 2.右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 3.点的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底{i，j，k}下与向量对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． 4.向量的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)． 知识点二、空间向量运算的坐标表示 1.空间向量运算的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 2.空间向量平行、垂直的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有 （1）平行：当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)； （2）垂直：a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0. 3.向量的模、夹角 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有 （1）模长：，. （2）夹角公式：. 4.两点间距离公式 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点， . 题型一：确定空间中点（或向量）的坐标和空间点的对称问题 例1.在棱长为1的正方体中，分别是的中点，点在棱上，且，为的中点，试建立适当的坐标系. （1）写出点的坐标. （2）求的坐标. 例2.在空间直角坐标系中，已知点. （1）求点关于轴对称的点的坐标； （2）求点关于平面对称的点的坐标； （3）求点关于点对称的点的坐标. 跟踪训练： 1.画一个正方体，若以为坐标原点，以棱所在的直线分别为轴、轴、轴，取正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系，则 ①顶点的坐标分别为  . ②棱中点的坐标为  . ③正方形对角线的交点的坐标为  . 2.已知正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为10，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标. 3.(1)点在平面内的射影的坐标是  . (2)点关于坐标平面及轴的对称点的坐标分别是 . （3）已知点关于坐标平面的对称点为，点关于坐标平面的对称点为，点关于轴的对称点为，则点的坐标为 . 题型二：空间中向量运算的坐标表示 例1.(1)已知为坐标原点，三点的坐标分别是.求点的坐标，使. （2）已知.若，且与垂直，求. 跟踪训练： 1.已知，，设点在平面上的射影分别为，则向量的坐标为 . 2.已知，，则 ， ， . 3.已知，则 A. B. C. D. 题型三：空间中向量平行、垂直坐标表示的应用 例1.如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点. 求证：(1)平面； (2)平面. 跟踪训练： 1.已知空间三点，若直线上的一点满足，则点的坐标为 . 2.已知，分别求满足下列条件的实数的值： (1)；(2). 3.已知向量. 求证：（1）；（2）. 题型四：利用向量的坐标运算解决夹角、距离问题 例1.如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)中，，棱，为的中点. （1）求的长； （2）求与所成角的余弦值. 跟踪训练： 1.已知. 求（1）；（2）；（3）；（4）；（5）. 2.如图，长为1的正方体中，分别为的中点，在棱上，且，为的中点. （1）求证：； （2）求的长； （3）求与所成角的余弦值. 3.如图已知直三棱柱，在底面中，.棱，分别是的中点. （1）求的值； （2）求的值. 1.在空间直角坐标系中，点P(1,3，－5)关于平面xOy对称的点的坐标是(　　) A．(－1,3，－5) B．(－1，－3,5) C．(1，－3,5) D．(1,3,5) 2.在空间直角坐标系中，点P(－1，－2，－3)到平面yOz的距离是(　　) A．1 B．2 C．3 D. 3.点P(1,1,1)关于xOy平面的对称点P1的坐标为 ；点P关于z轴的对称点P2的坐标为 ． 4.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若D(0,0,0)，A(4,0,0)，B(4,2,0)，A1(4,0,3)，则向量的坐标为 ． 5.已知向量a＝(0，－1,1)，b＝(4,1,0)，|λa＋b|＝，且λ>0，则λ等于(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 6.已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是(　　) A. B. C. D.1 7.在空间直角坐标系中，A(－1,2,3)，B(2,1，m)，若|AB|＝，则m的值为 ． 8.已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则向量与的夹角为 ． 1.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则点B1的坐标是(　　) A．(1,0,0) B．(1,0,1) C．(1,1,0) D．(1,1,1) 2.在空间直角坐标系中，P(2,3,4)，Q(－2，－3，－4)两点的位置关系是(　　) A．关于x轴对称 B．关于坐标原点对称 C．关于yOz平面对称 D．以上都不对 3.已知a＝(1，－2,1)，a－b＝(－1,2，－1)，则b等于(　　) A．(－2,0，－2) B．(－2,4，－2) C． (2，－4,2) D．(2,1，－3) 4.已知向量a＝(2,3)，b＝(k，1)，若a＋2b与a－b平行，则k的值是(　　) A．－6 B．14 C. D． 5.如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，B1E＝A1B1，则等于(　　) A.(0，，-1) B.(0，，1) C.(，0，1) D.(，0，-1) 6.在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为（ ） A. B. C. D. 7.已知向量a＝(1,2,3)，b＝(－2，－4，－6)，|c|＝，若(a＋b)·c＝7，则a与c的夹角为(　　) A．150° B．120° C．60° D．30° 8.已知空间直角坐标系中三点A，B，M，点A与点B关于点M对称，且已知A点的坐标为(3,2,1)，M点的坐标为(4,3,1)，则B点的坐标为 . 9.如图，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为2，则图中的点M关于y轴的对称点的坐标为 . 10.已知是坐标原点，且三点的坐标分别是，则适合条件的点的坐标为 . 11.已知，若三向量共面，则实数等于 . 12.若a＝(x，2,2)，b＝(2，－3,5)的夹角为钝角，则实数x的取值范围是 . 13.已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则＝ . 14.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB＝，BC＝1，PA＝2，E为PD的中点． (1)求AC与PB所成角的余弦值； (2)在侧面PAB内找一点N，使NE⊥平面PAC，求N点的坐标． 15.如图所示，过正方形ABCD的中心O作OP⊥平面ABCD，已知正方形的边长为2，OP＝2，连接AP，BP，CP，DP，M，N分别是AB，BC的中点，以O为原点，为单位正交基底建立空间直角坐标系．若E，F分别为PA，PB的中点，求点A，B，C，D，E，F的坐标． 16.在正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC和平面A1B1C1为正三角形，所有的棱长都是2，M是BC边的中点，则在棱CC1上是否存在点N，使得异面直线AB1和MN所成的角等于45°？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3 空间向量及其运算的坐标表示 知识点一、空间直角坐标系 1.空间直角坐标系及相关概念 (1)空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底，以O为原点，分别以i，j，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz. (2)相关概念：O叫做原点，i，j，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分． 2.右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 3.点的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底{i，j，k}下与向量对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． 4.向量的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)． 知识点二、空间向量运算的坐标表示 1.空间向量运算的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 2.空间向量平行、垂直的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有 （1）平行：当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)； （2）垂直：a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0. 3.向量的模、夹角 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有 （1）模长：，. （2）夹角公式：. 4.两点间距离公式 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点， . 题型一：确定空间中点（或向量）的坐标和空间点的对称问题 例1.在棱长为1的正方体中，分别是的中点，点在棱上，且，为的中点，试建立适当的坐标系. （1）写出点的坐标. （2）求的坐标. 解：可建立如图所示的空间直角坐标系(答案不唯一). （1）因为为的中点，所以点的坐标为. 设点在轴、轴上的射影分别为点， 则，所以点的坐标为.因为点在轴上，， 所以，所以点的坐标为.过点作于点.因为为的中点， 所以，所以，故点的坐标为. （2），. 例2.在空间直角坐标系中，已知点. （1）求点关于轴对称的点的坐标； （2）求点关于平面对称的点的坐标； （3）求点关于点对称的点的坐标. 解：(1)由于点关于轴对称，它在轴的分量不变，在轴，轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为. （2）由点关于平面对称，它在轴，轴的分量不变，在轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为. （3）设对称点为，则点为线段的中点，由中点坐标公式，可得,,,所以的坐标为. 跟踪训练： 1.画一个正方体，若以为坐标原点，以棱所在的直线分别为轴、轴、轴，取正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系，则 ①顶点的坐标分别为  . ②棱中点的坐标为  . ③正方形对角线的交点的坐标为  . 解：图略.答案①②③ 2.已知正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为10，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标. 解：正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为10，正四棱锥的高为. 以正四棱锥的底面中心为原点，平行于所在的直线分别为轴、轴，垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则正四棱锥各顶点的坐标分别为 . 3.(1)点在平面内的射影的坐标是  . (2)点关于坐标平面及轴的对称点的坐标分别是 . （3）已知点关于坐标平面的对称点为，点关于坐标平面的对称点为，点关于轴的对称点为，则点的坐标为 . 解：(1)点在平面内的射影的坐标是. （2）所以点关于坐标平面的对称点的坐标为；点关于轴的对称点的坐标为. 故答案为：(1)(2). （3）点关于坐标平面的对称点为，点关于坐标平面的对称点的坐标为，点关于轴的对称点是. 题型二：空间中向量运算的坐标表示 例1.(1)已知为坐标原点，三点的坐标分别是.求点的坐标，使. 解：（1），，. 设点的坐标为，则， ， ，则点的坐标为. （2）已知.若，且与垂直，求. 解：，且，则， 化简，得. 则，解得.因此，. 跟踪训练： 1.已知，，设点在平面上的射影分别为，则向量的坐标为 . 解：点，在平面上的射影分别为, 向量的坐标为.故答案为：. 2.已知，，则 ， ， . 解：，，，， .故答案为：，，. 3.已知，则 A. B. C. D. 解：由，得 .故选：B. 题型三：空间中向量平行、垂直坐标表示的应用 例1.如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点. 求证：(1)平面； (2)平面. 证明：(1)如图，建立空间直角坐标系， 设，连接，则的坐标分别为. . 又点的坐标分别是，. .又与不共线，. 又平面，平面，平面. （2）由(1)知. ，，，. 同理，.又，且平面，平面，平面. 跟踪训练： 1.已知空间三点，若直线上的一点满足，则点的坐标为 . 解：设，则. 因为，所以，即.① 又点在直线上，所以()，即 联立①②，解得，即.故答案为：. 2.已知，分别求满足下列条件的实数的值： (1)；(2). 解：. （1）若，则，解得. （2）若，则，解得. 3.已知向量. 求证：（1）；（2）. 证明：（1）因为， 所以，所以. （2）因为， 方法1：所以，所以. 方法2：所以，所以. 题型四：利用向量的坐标运算解决夹角、距离问题 例1.如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)中，，棱，为的中点. （1）求的长； （2）求与所成角的余弦值. 解：如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系. （1）依题意得，， ， 线段的长为. （2）依题意得， ， . 又， . 又异面直线所成角为锐角或直角，故与所成角的余弦值为. 跟踪训练： 1.已知. 求（1）；（2）；（3）；（4）；（5）. 解：； ； ； ；， . 2.如图，长为1的正方体中，分别为的中点，在棱上，且，为的中点. （1）求证：； （2）求的长； （3）求与所成角的余弦值. 证明：（1）如图，建立空间直角坐标系，为坐标原点， 则，. ，. ， ，即. 解：（2）：，， .的长为. （3），. 又，， ，即异面直线与所成角的余弦值为. 3.如图已知直三棱柱，在底面中，.棱，分别是的中点. （1）求的值； （2）求的值. 解：如图，以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系. （1）依题意知，，所以，所以. （2）依题意知，，所以， 所以，， 所以. 1.在空间直角坐标系中，点P(1,3，－5)关于平面xOy对称的点的坐标是(　　) A．(－1,3，－5) B．(－1，－3,5) C．(1，－3,5) D．(1,3,5) 解：由对称的性质可得：点P(1,3，－5)关于平面xOy对称的点的坐标是(1,3,5). 故选：D. 2.在空间直角坐标系中，点P(－1，－2，－3)到平面yOz的距离是(　　) A．1 B．2 C．3 D. 解：点P(－1，－2，－3)到平面yOz的距离是|-1|.故选：A. 3.点P(1,1,1)关于xOy平面的对称点P1的坐标为 ；点P关于z轴的对称点P2的坐标为 ． 解：点P(1,1,1)关于xOy平面的对称点P1的坐标为(1,1，－1)，点P关于z轴的对称点P2的坐标为(－1，－1,1)．故答案为：(1,1，－1)　(－1，－1,1). 4.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若D(0,0,0)，A(4,0,0)，B(4,2,0)，A1(4,0,3)，则向量的坐标为 ． 解：=(－4,2,3)．故答案为：(－4,2,3) . 5.已知向量a＝(0，－1,1)，b＝(4,1,0)，|λa＋b|＝，且λ>0，则λ等于(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解：λa＋b＝λ(0，－1,1)＋(4,1,0)＝(4,1－λ，λ)，由已知得|λa＋b|＝，且λ>0，解得λ＝3.故选：B. 6.已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是(　　) A. B. C. D.1 解：依题意得(ka＋b)·(2a－b)＝0，所以2k|a|2－ka·b＋2a·b－|b|2＝0， 而|a|2＝2，|b|2＝5，a·b＝－1，所以4k＋k－2－5＝0，解得k＝.故选：A. 7.在空间直角坐标系中，A(－1,2,3)，B(2,1，m)，若|AB|＝，则m的值为 ． 解：，所以(3－m)2＝100,3－m＝±10. 所以m＝－7或13.故答案为：－7或13. 8.已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则向量与的夹角为 ． 解：∵＝(0,3,3)，＝(－1,1,0)，∴，， ＝0×(－1)＋3×1＋3×0＝3，∴. 又∵〈〉∈[0，π]，∴〈〉＝.故答案为：. 1.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则点B1的坐标是(　　) A．(1,0,0) B．(1,0,1) C．(1,1,0) D．(1,1,1) 解：点B1到三个坐标平面的距离都为1，易知其坐标为(1,1,1).故选：D. 2.在空间直角坐标系中，P(2,3,4)，Q(－2，－3，－4)两点的位置关系是(　　) A．关于x轴对称 B．关于坐标原点对称 C．关于yOz平面对称 D．以上都不对 解：当三个坐标均相反时，两点关于原点对称．故选：B. 3.已知a＝(1，－2,1)，a－b＝(－1,2，－1)，则b等于(　　) A．(－2,0，－2) B．(－2,4，－2) C． (2，－4,2) D．(2,1，－3) 解：b＝a－(－1,2，－1)＝(1，－2,1)－(－1,2，－1)＝(2，－4,2)．故选：C. 4.已知向量a＝(2,3)，b＝(k，1)，若a＋2b与a－b平行，则k的值是(　　) A．－6 B．14 C. D． 解：由题意得a＋2b＝(2＋2k，5)，且a－b＝(2－k，2)，又因为a＋2b和a－b平行，则2(2＋2k)－5(2－k)＝0，解得k＝.故选：D. 5.如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，B1E＝A1B1，则等于(　　) A.(0，，-1) B.(0，，1) C.(，0，1) D.(，0，-1) 解：＝＋＝(0，，1) . 故选：B. 6.在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为（ ） A. B. C. D. 解：如图，以为原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系. 设正方体的棱长为2，则，，，， 所以，. 设直线与所成的角为，则.因为，所以. 故选：A. 7.已知向量a＝(1,2,3)，b＝(－2，－4，－6)，|c|＝，若(a＋b)·c＝7，则a与c的夹角为(　　) A．150° B．120° C．60° D．30° 解：a＋b＝(－1，－2，－3)＝－a，故(a＋b)·c＝－a·c＝7，得a·c＝－7， 而|a|＝，所以cos〈a，c〉＝，所以〈a，c〉＝120°.故选：B. 8.已知空间直角坐标系中三点A，B，M，点A与点B关于点M对称，且已知A点的坐标为(3,2,1)，M点的坐标为(4,3,1)，则B点的坐标为 . 解：设B点的坐标为(x，y，z)，则有＝4，＝3，＝1，解得x＝5，y＝4，z＝1，故B点的坐标为(5,4,1)．故答案为：(5,4,1). 9.如图，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为2，则图中的点M关于y轴的对称点的坐标为 . 解：因为D(2，－2,0)，C′(0，－2,2)，所以线段DC′的中点M的坐标为(1，－2,1)， 所以点M关于y轴的对称点的坐标为(－1，－2，－1)．故答案为：(－1，－2，－1). 10.已知是坐标原点，且三点的坐标分别是，则适合条件的点的坐标为 . 解：方法1：因为，所以， ，所以点的坐标为. 方法2间接法：设，则. 因为，所以，解得， 则点的坐标为.故答案为：. 11.已知，若三向量共面，则实数等于 . 解：若三向量共面，则存在实数，使得. 因为， 所以，即，解得. 故答案为：. 12.若a＝(x，2,2)，b＝(2，－3,5)的夹角为钝角，则实数x的取值范围是 . 解：由题意，得a·b＝2x－2×3＋2×5＝2x＋4，设a，b的夹角为θ， 因为θ为钝角，所以cos θ＝<0. 又|a|>0，|b|>0，所以a·b<0，即2x＋4<0，所以x<－2. 又a，b不会反向，所以实数x的取值范围是(－∞，－2)．故答案为：(－∞，－2)． 13.已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则＝ . 解：因为，所以＝0，即1×3＋5×1＋(－2)×z＝0，所以z＝4. 因为BP⊥平面ABC，所以，，即. 解得x＝，y＝，于是. 故答案为：. 14.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB＝，BC＝1，PA＝2，E为PD的中点． (1)求AC与PB所成角的余弦值； (2)在侧面PAB内找一点N，使NE⊥平面PAC，求N点的坐标． 解：(1)由题意，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0,0,0)，B(，0,0)，C(，1,0)，D(0,1,0)，P(0,0,2)，E(0,,1)， 从而＝(，1,0)，＝(，0，－2)． 设与的夹角为θ，则cos θ＝. ∴AC与PB所成角的余弦值为. (2)由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为(x，0，z)，则， 由NE⊥平面PAC可得， ，即,解得：. 即N点的坐标为(，0,1)时，NE⊥平面PAC. 15.如图所示，过正方形ABCD的中心O作OP⊥平面ABCD，已知正方形的边长为2，OP＝2，连接AP，BP，CP，DP，M，N分别是AB，BC的中点，以O为原点，为单位正交基底建立空间直角坐标系．若E，F分别为PA，PB的中点，求点A，B，C，D，E，F的坐标． 解：由题意知，点B的坐标为(1,1,0)． 由点A与点B关于x轴对称，得A(1，－1,0)， 由点C与点B关于y轴对称，得C(－1,1,0)， 由点D与点C关于x轴对称，得D(－1，－1,0)． 又P(0,0,2)，E为AP的中点，F为PB的中点， 所以由中点坐标公式可得E(，1)，F(，1). 16.在正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC和平面A1B1C1为正三角形，所有的棱长都是2，M是BC边的中点，则在棱CC1上是否存在点N，使得异面直线AB1和MN所成的角等于45°？ 解：以A点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz. 由题意知A(0,0,0)，C(0,2,0)，B(，1,0)，B1(，1,2)，M(，,0). 又点N在CC1上，可设N(0,2，m)(0≤m≤2)，则＝(，1,2)，＝(，,m)， 所以＝2，＝，·＝2m－1. 如果异面直线AB1和MN所成的角等于45°，那么向量和的夹角等于45°或135°. 又cos 〈，〉＝，解得：m＝，这与0≤m≤2矛盾． 所以在CC1上不存在点N，使得异面直线AB1和MN所成的角等于45°. 1 学科网（北京）股份有限公司 $