第03讲 空间向量及其坐标表示讲义-2026年新高二暑假数学人教A版选择性必修第一册

第03讲空间向量及其坐标表示 知识讲解 知识点1空间直角坐标系 1.空间直角坐标系 (1)在空间选定一点O和一个单位正交基底{瓦，j,,以0为原点，分别以i,,的方向为正 方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们 就建立了一个空间直角坐标系Oxz (2)相关概念： O叫做原点，i,j,都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为0xy平 面、Oz平面、O2x平面，它们把空间分成八个部分. 画空间直角坐标系0xz时，一般使x0y=135°（或45），∠02=90° 2.空间向量的坐标表示 (1)空间点的坐标 在空间直角坐标系Oz中，i,,k为坐标向量，对空间任意一点4，对应一个向 量OA,且点A的位置由向量OA唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的 有序实数组xw,使OA=xi+yj+z.在单位正交基底{花，j,下与向量 OA对应的有序实数组c,y,2),叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作 A(x,y,z),其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，2叫做点A的竖坐标. (2)空间向量的坐标 向量的坐标：在空间直角坐标系Oxvz中，给定向量a,作OA=α，由空间向量基本定理存在 唯一的有序实数组x,,使a=xi+yj+zk.有序实数组xy)叫做a在空间直角坐标系 Oxz中的坐标，可简记作a=(x,y,z). 知识点2空间向量的运算及坐标的关系 设向量a=(a,a,a),b=(,b,b,元∈R,那么 向量运算 坐标表示 加法 a+b=(a,+b,a2+b2,a3+b) 减法 a-b=(a-h,a42-b2,43-b) 数乘 a=(2a,a2,a） 数量积 a.b=ab +ab,+ab; [a,=b 共线 alWb台a=b台 a2=b2,(2eR,b≠ a;=Abs 垂直 a1b台a-b=0台a,b+ab2+a,b,= 向量长度 同=aa=G+G+a 向量夹角公 cos(a,B)= ab ab +abz +ab 式 vai+a+a+ 知识点5向量的坐标及两点间的距离公式 在空间直角坐标系中，设(：，片，)，(：2,2,22) 1)PE=(x2-,2-y,2-3): (2)PB=PE=Vx-x}+(-y}+(-}; (3)若00,0,0)，P(x,y,z)则10P=Vx2+y2+z 题型训练 题型一 坐标表示 1. 已知点B(6-106=(-2,-5,3) 则点A坐标为() A.0,-6,3) B.(5,4,-3) c.（16,-3) D.(2,5,-3) 2.已知正方体 ABCD-ABC D 的棱长为2，E,F分别为 BB,DC的中点，如图所示建立 空间直角坐标系写出向盘乎，F,4亚的坐标 ZA D B E D B 3.如图所示，在正方体 BCD-4BCD中，M是AD的中点，AB=1,则向量GM 的坐标 为 ZA A Ai-. 3 题型二加、减、数乘的坐标运算 4已知向量：a=(-3,25),6=0,5-,则a-2万=（) A（4-34) B.（5,-8,7) c.（5,-8,3) D.（1,-36) 5.在空间直角坐标系中，已知点 A(0,1,2),B(1,-2,-1),AP=2AB ,则点P的坐标是() A.(2,-6,-6) B.(2,-5,-4) c.(2,-7,-8) D.(3,-8-7) 题型三平行的坐标运算 6已知a=L,-2,4),则下列向量中与a平行的是() A.(1,1) B.（-2,4,-8) c.(2,-3,5) D.（2,-35) 7已知a=0,-2,3),6=(2,m,川，若a/6,则m+n=一 题型四数量积、垂直的坐标运算 8已知a=(-13).6=(42,,且a1万，则x=（) 10 A.2 B.3 D.3 9己知向量a=(23,5),万=(31-4)，c=0-2),则(a-b}为 4 题型五模的坐标运算 10己知向量，万满足ā-6=15，且5=(0,23)，则向量°在向量6上的投影向量的模为 () √13 A.13 B.-13 C.13 D.3 1.t设x,yeRa=01,1),6=1y2),c=(c42),且a1c,6/e,则2a+() A,2v B.0 C.3 D.3V2 12.已知点4,2，-小B(21,0),0为坐标原点，且O1.05=0,则=（) 4.v3 B.v5 C.v6 D.i 13.已知回=36=L22a-6=2,则ba-— 14已知a为单位向量万=(00)，若-2网-l,则a在6上的投影向量为】 题型六夹角的坐标运算 15.若向量a=1,元，2)，b=(2,-1,2),且a与6的夹角的余弦值为9，则1=（) A.2 B.-2 2 C.-2或55 D.2或55 16,已知空间向量=(L-2)与5=（化-1,2）夹角为钝角，则实数x的取值范围为 5 17.已知空间三点 (4,04)B(22,4),C(-3,23),设a=,五=8c a求问风： (2)求a与b的夹角 7 第03讲 空间向量及其坐标表示 知识点1 空间直角坐标系 1．空间直角坐标系 （1）在空间选定一点O和一个单位正交基底,以O为原点,分别以的方向为正方向,以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴,这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz. （2）相关概念： O叫做原点,都叫做坐标向量,通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面,它们把空间分成八个部分． 画空间直角坐标系Oxyz时,一般使(或45°),. 2．空间向量的坐标表示 （1）空间点的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中,为坐标向量,对空间任意一点A,对应一个向量,且点A的位置由向量唯一确定,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使.在单位正交基底下与向量对应的有序实数组(x,y,z),叫做点A在空间直角坐标系中的坐标,记作,其中x叫做点A的横坐标,y叫做点A的纵坐标,z叫做点A的竖坐标． （2）空间向量的坐标 向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中,给定向量,作,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使.有序实数组(x,y,z)叫做在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,可简记作． 知识点2 空间向量的运算及坐标的关系 设向量,那么 向量运算 坐标表示 加法 减法 数乘 数量积 共线 垂直 向量长度 向量夹角公式 知识点5 向量的坐标及两点间的距离公式 在空间直角坐标系中,设． （1）； （2）； （3）若则 题型一 坐标表示 1. 已知点，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则， 所以，解得， 所以点坐标为.故选：B. 2. 已知正方体的棱长为2，E，F分别为棱，的中点，如图所示建立空间直角坐标系.写出向量，，的坐标.    【答案】答案见解析 【详解】根据题意可得， 又E，F分别为棱，的中点，可得， 利用向量坐标运算法则可得，即； ，即； ，即； 所以可得，，. 3. 如图所示，在正方体中，是的中点，，则向量的坐标为 . 【答案】 【详解】因为在正方体中，是的中点，， 根据题中所建的空间直角坐标系，可得，，所以. 故答案为： 题型二 加、减、数乘的坐标运算 4. 已知向量：，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，， 所以，故选：B 5. 在空间直角坐标系中，已知点，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，因为，所以，得， 所以，故B正确.故选：B. 题型三 平行的坐标运算 6. 已知，则下列向量中与平行的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，因为，所以A不正确； 对于B，因为，所以B正确； 对于C，因为，所以C不正确； 对于D，因为，所以D不正确．故选：B． 7. 已知，，若，则 ． 【答案】 【详解】因为，且， 所以，即，所以，解得， 所以.故答案为： 题型四 数量积、垂直的坐标运算 8. 已知，，且，则（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【详解】因为，，且，所以， 解得. 故选：D 9. 已知向量，，，则为 ． 【答案】 【详解】由向量，，， 所以， 故答案为： 题型五 模的坐标运算 10. 已知向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量的模为（    ） A．3 B．3 C． D． 【答案】D 【详解】因为，满足，且，所以， 向量在向量上的投影向量为，则其模长为． 故选：D． 11. 设，，且，则（    ） A． B．0 C．3 D． 【答案】D 【详解】由， 由，. 所以. 故选：D 12. 已知点，为坐标原点，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 又，即， 所以， 所以， 故选：D. 13. 已知，则 ． 【答案】 【详解】由， 有． 故答案为： 14. 已知为单位向量.，若，则在上的投影向量为 . 【答案】 【详解】， 由题可得： ，可得， 则在上的投影向量为. 故答案为：. 题型六 夹角的坐标运算 15. 若向量，且与的夹角的余弦值为，则（    ） A．2 B． C．或 D．2或 【答案】C 【详解】由题意，向量， 得，解得或， 故选：C 16. 已知空间向量与夹角为钝角，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】因为空间向量与夹角为钝角， 所以，得到，即， 由，得到，此时与共线反向，夹角为，不合题意， 所以实数的取值范围为， 故答案为：. 17. 已知空间三点，，，设，. (1)求，; (2)求与的夹角. 【答案】(1)；. (2) 【详解】（1）由题意，，， 所以，； （2）由（1）可知， 又，所以，即与的夹角为. 学科网（北京）股份有限公司 $