第十三章三角形单元综合训练2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 以三角形核心概念为统领，通过分层题型系统整合边、角、线性质及变换应用，渗透几何直观与推理能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念与计数|2题（2、24）|三角形定义分类/图形计数法|从概念识别到复杂图形分解| |边性质应用|4题（5、6、12、19）|三边关系不等式/周长奇偶分析|由基本关系到动态范围计算| |角性质应用|7题（3、7、8、10、15、17、18）|内角和/外角定理/角平分线模型|从静态计算到动态折叠平移| |线性质应用|3题（4、13、14）|中线性质/等面积法|从线段关系到面积转化| |作图与证明|3题（21、22、23）|高的作图规范/内角和证明思路|从操作技能到逻辑推理|

第十三章三角形单元综合训练 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，在直角三角形中，，，，，点P是线段上的一动点，则线段的最小值（   ） A． B．5 C．4 D．无法确定 2．图中三角形的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．如图，把纸片沿折叠，当点A落在四边形的外部时，则与和之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找规律，你发现的规律是（    ） A． B． C． D． 4．若是的中线，已知比的周长大，则与的差为    （    ） A． B． C． D． 5．下列长度的三条线段能组成三角形的是（   ） A．3，4，9 B．3，4，8 C．3，4，7 D．3，4，6 6．下列几组数中，不能作为三角形的三边长的是（    ） A．6，6，6 B．1，5，5 C．3，4，5 D．2，4，6 7．在中，，的平分线交于点O，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点D，与的外角平分线相交于点E，则下列结论正确的是（    ） ①；②；③；④． A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④ 8．如图：，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．如图，在中，边上的高是（     ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 10．如图，在中，于点，平分交于点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 11．数学课上，同学们用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 12．如图，将长为的铁丝折成三段，已知第一段长为，第二段长为．若这三条线段恰好能围成一个三角形，则的值可以是（   ） A．3 B．6 C．7 D．8 二、填空题 13．如图，是的中线，是的中线．若，则的长为________． 14．如图，在中，是的中线，则的长为______． 15．如图，若，则的度数为___________． 16．如图，在三角形中，，是锐角，将三角形沿着射线方向平移得到三角形（平移后点，，的对应点分别是，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在3倍关系，则________． 17．《周礼》中记载：“半矩谓之宣，一宣有半谓之欘……”意思：直角的一半的角叫作宣，一宣半的角叫作欘（1宣矩，1欘宣，1矩）．图①为中国古代的一种强弩，图②为这种强弩的部分组件的示意图．若矩，欘，则_____． 18．如图是，，三岛的平面图，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏东方向．那么从岛看，两岛的视角的度数为______． 三、解答题 19．在中，，且该三角形的周长是偶数，求该三角形的第三边长的长． 20．已知a，b，c为的三边，化简：． 21．如图，在中，是钝角，完成下列画图，并用适当的符号在图中表示． (1)边上的高； (2)边上的高． 22．如图，一艘轮船按箭头所示方向行驶，处有一座灯塔． (1)当轮船从点行驶到点时，的度数是多少？ (2)轮船行驶到哪一点时距离灯塔最近？为什么？ (3)根据这一情境，你还能提出哪些问题？ 23．通过学习知道：由观察、实验、归纳、类比、猜想得到的结论还需要通过证明来确认它的正确性，实验的方法能给我们证明提供思路． 例如：在证明“三角形的内角和是”的结论时，如图，有两种实验方法．小明受实验方法1的启发，形成了证明该结论的思路，写出了已知，求证，并进行了证明，如下： 已知：，，是的三个内角． 求证：． 证明：延长，过点作． ∴，． ∵． ∴． 请你参考小明同学解决问题的方法1的思路，写出实验方法2的证明过程． 24．如图，图中共有多少个三角形？请写出这些三角形，并指出所有以E为顶点的三角形． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第十三章三角形单元综合训练》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D B B D D D C D D 题号 11 12 答案 C B 1．A 【分析】本题主要考查了垂线段最短．根据题意，当时，的长度最短，由等面积法求高的方法列式求解即可． 【详解】解：由垂线段最短可知，当时，的长度最短， ∴在直角三角形中，由面积公式得：， 解得， 故选：A． 2．D 【分析】本题考查了三角形的概念，涉及三角形的个数问题，熟练掌握相关知识是解题的关键． 根据三角形的定义作答即可． 【详解】解：图中三角形有：，共有个， 故选：D． 3．B 【分析】本题考查了三角形的内角和定理以及外角的性质，翻折变换，解题的关键是得出折叠前后不变的角．根据折叠的性质可得，再由三角形内角和定理以及外角的性质，即可求解． 【详解】解：结论：，理由如下： 如图，补全折叠前的图形， ∵是沿折叠得到， ∴， 又∵，， ∴， ∴． ∴； 故选B． 4．B 【分析】本题主要考查了三角形的中线定理，根据中线定理得出，再根据周长定义即可求得结果． 【详解】解：如下图： ∵是的中线， ∴ ∵比的周长大 ∴． 故选∶B． 5．D 【分析】根据两边之和大于第三边判断即可． 本题考查了三角形三边关系定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：∵，与两边之和大于第三边不一致， ∴A不符合题意； ∵，与两边之和大于第三边不一致，构不成三角形， ∴B不符合题意； ∵,与两边之和大于第三边不一致，构不成三角形， ∴C不符合题意； ∵，与两边之和大于第三边一致，构成三角形， ∴D符合题意； 故选：D． 6．D 【分析】根据三角形的三边关系判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴6，6，5能作为三角形的三边长； B、∵， ∴1，5，5能作为三角形的三边长； C、∵， ∴3，4，5能作为三角形的三边长； D、∵， ∴2，4，6不能作为三角形的三边长； 故选：D． 【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边是解题的关键． 7．D 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的性质等知识点，熟练掌握角平分线的定义和三角形的外角性质是解题的关键． 由角平分线的定义可得，再由三角形的内角和定理可得，即可判定①；由角平分线的定义可得，结合三角形外角的性质可判定②；由三角形外角的性质可得，再利用角平分线的定义及三角形的内角和定理可判定③；利用三角形外角的性质可得即可判定④． 【详解】解：∵，的平分线交于点O， ∴，， ∴ ， ∴，故①正确， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，故②正确． ∵，，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴，故③错误； ∵， ∴， ∵， ∴．故④正确． 综上正确的有：①②④． 故选：D． 8．C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键，根据可得，再利用平角的定义可求得，最后再利用三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：，， ， ， 又， ． 故选：C． 9．D 【分析】三角形的高是从三角形的一个顶点到对边作垂线，顶点到垂足之间的线段，根据定义判断即可． 【详解】解：由三角形的高的定义可知，边上的高是线段． 10．D 【分析】根据垂直，可得，进而可求，，再根据角平分线，可得，最后根据三角形内角和，计算即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 平分， ， ． 11．C 【分析】本题考查了平行线的性质的运用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 利用平行线的性质和各角之间的关系即可求解． 【详解】解：如图，标注三角形的三个顶点A、、． ． 图案是由一张等宽的纸条折成的， ， 又纸条的长边平行， ， ． 故选：C． 12．B 【分析】本题考查三角形的三边关系，掌握知识点是解题的关键． 逐项求出第三段长，再根据三角形的三边关系判断，即可解答． 【详解】解：A．当时，第三段长为，由，得 3，4，7不能组成三角形，故该选项错误； B． 当时，第三段长为，由，得 4，4，6能组成三角形，故该选项正确； C． 当时，第三段长为，由，得 3，4，7不能组成三角形，故该选项错误； D． 当时，第三段长为，由，得 2，4，8不能组成三角形，故该选项错误； 故选B． 13．2 【分析】本题主要考查三角形中线的性质，由是的中线可得是的中点，得；由是的中线得． 【详解】解：∵是的中线， ∴是的中点， ∴， ∵, ∴； 又是的中线， ∴． 故答案为：2． 14． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，由等腰三角形的性质，得到是边上的高，再由勾股定理即可求出的长，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，是的中线， ∴，， 在中，由勾股定理得， 故答案为： ． 15． 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和定理可得，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 16．或或 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形的外角性质，平移的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解，且当点在线段上，或当点在外时，过点作，然后进行分类讨论且作图，运用数形结合思路，结合平行线的性质进行列式计算，即可作答． 【详解】解：依题得：， 当点在线段上，过点作，如下图 ①当 ，， ∵； 又， ∴， ②当时， 则 ， ∴； 当点在外时，过点作，如下图： ①当 ， ，， ∵ 又， ∴ 即 ②当 由图可知，， 此情况不成立； 综上，或或， 故答案为：或或， 17． 【分析】本题考查古代角度单位换算与三角形内角和定理，掌握古代角单位与现代角度的换算方法，以及三角形内角和的应用是解题的关键． 先根据题目给出的古代角的定义，将“矩”“宣”“欘”换算为现代角度，再利用三角形内角和为计算的度数． 【详解】解：宣矩，1欘宣，1矩，矩，欘， ，， ． 故答案为：． 18． 【分析】设交于点，根据已知可得，根据平行线的性质可得，再根据三角形的外角的性质，即可求解． 【详解】解：如图，设交于点， 依题意， ∴ ∴ 19． 【分析】题考查了三角形的三边关系，同时能够结合周长是偶数这一条件，得到第三边的值是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即， 又∵，周长为偶数， ∴为奇数， 即长为． 20．2b 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，结合绝对值的意义，化简计算即可，正确的运算是解题的关键． 【详解】的三边长分别是， ，， ． 21．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了与三角形有关的线段，熟练掌握三角形高的定义是解题关键． （1）过点B作，交延长线于点E，线段即为的边上的高； （1）过点A作于点D，线段即为的边上的高； 【详解】（1）解：如图，即为边上的高． ； （2）解：如图，即为边上的高． 22．(1) (2)当轮船行驶到点C的正南方时距离灯塔最近，因为垂线段最短 (3)当轮船行驶到距离灯塔最近的位置时，的度数是多少？（答案不唯一） 【分析】（1）根据三角形外角的性质计算即可； （2）根据垂线段最短作答即可； （3）再提出一个问题即可． 【详解】（1）解： ， ∴当轮船从点行驶到点时，的度数是． （2）略 （3）略 23．见解析 【分析】本题考查了平行线的性质以及平角的定义，三角形内角和定理的证明；过点A作直线，利用平行线的性质，可得出，结合平角等于，即可证出． 【详解】证明：如图所示， 过点A作直线， ∴，(两直线平行，内错角相等)． ∵(平角的定义)， ∴． 24．图中共有7个三角形，分别为；以E为顶点的三角形有． 【分析】本题考查三角形的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据三角形的定义，即可解答． 【详解】解：由图，可知 图中共有7个三角形，分别为；以E为顶点的三角形有． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $