精品解析：河南省郑州市中原区第一中学2021-2022学年八年级上期开学考试数学试卷

2021-2022学年河南省郑州市中原区桐柏一中八年级（上）开学数学试卷 一、选择题（3分×10＝30分） 1. 下列实数是无理数的是（ ） A. B. （π﹣1）0 C. 2 D. 3.14 2. 下列各组数分别是一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（ ） A. 6，7，8 B. 7，15，16 C. 13，5，12 D. 10，15，20 3. 下列计算正确的是( ) A. B. C. D. 4. 下列说法中，正确的是（ ） A. 9的算术平方根是 B. 25的平方根是5 C. 的立方根是 D. 1的立方根是 5. 下列说法：①实数和数轴上的点是一一对应的；②无理数是开方开不尽的数；③立方根等于它本身的数有2个；④16的平方根是，用式子表示是；其中正确的是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 6. 如图，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，分别以AB、BC、AC为直径作半圆，面积分别记S1，S2，S3，若S1＝4，S2＝9，则S3的值为( ) A. 13 B. 5 C. 11 D. 3 7. 等式成立的条件是（ ） A. 且 B. C. D. 8. “赵爽炫图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽炫图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为,较短直角边长为，若(a+b)2=21，大正方形的面积为13，则小正方形的边长为( ) A. B. 2 C. D. 9. 如图，有一个矩形纸片ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F处，已知CE＝3，AB＝8，则BF的长为（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 10. 如图，，过点作且，得；再过点，作，且，得；又过点作且，得依此法继续作下去，得（　　） A. B. C. D. 二、填空题（3分×5＝15分） 11. 代数式的最大值为 __． 12. 的小数部分是，则等于__． 13. 如图，在中，，点A，B在数轴上对应的数分别为1，2．以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴的负半轴于点D，则与点D对应的数是_____．     14. 如图，长方体盒子的长为5，宽为4，高为3．在顶点B处有一滴蜂蜜，一只蚂蚁在顶点A处，要沿着长方体盒子的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是_____． 15. 在中，，，高，则的长为__． 三、解答题（共55分） 16. 按要求解题： （1）把下列二次根式化为最简二次根式： ①； ②． （2）解方程： 17. 已知实数，，，，且，互为倒数，的绝对值为，的算术平方根是8，求． 18. 如图所示，在四边形ABCD中，已知：AB：BC：CD：DA=2：2：3：1，且∠B=90°，求∠DAB的度数． 19. 实数a、b在数轴上的位置如图所示，请化简：. 20. 如图，铁路上，两点相距，，为两村庄，于，于，已知，，现在要在铁路上建一个土特产品收购站，使得，两村到站的距离相等． （1）站应建在站多少处？ （2）求两村与土特产品收购站围成的三角形的面积． 21. 按要求解题 （1）若，求的立方根； （2）若，求的值． 22. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC=6cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒． （1）求BC边的长； （2）当△ABP为直角三角形时，求t的值； （3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2021-2022学年河南省郑州市中原区桐柏一中八年级（上）开学数学试卷 一、选择题（3分×10＝30分） 1. 下列实数是无理数的是（ ） A. B. （π﹣1）0 C. 2 D. 3.14 【答案】A 【解析】 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：（π﹣1）0＝1， （π﹣1）0，2，3.14是有理数， 是无理数， 故选：A． 【点睛】此题考查了无理数的定义，解题的关键是掌握无理数的定义． 2. 下列各组数分别是一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（ ） A. 6，7，8 B. 7，15，16 C. 13，5，12 D. 10，15，20 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，故此选项错误； B、，不能构成直角三角形，故此选项错误； C、，能构成直角三角形，故此选项正确； D、，不能构成直角三角形，故此选项错误． 3. 下列计算正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用二次根式的性质对各选项进行判断即可． 【详解】解：A、原计算错误，该选项不符合题意； B、原计算错误，该选项不符合题意； C、原计算错误，该选项不符合题意； D、正确，该选项不符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，掌握和是解题的关键． 4. 下列说法中，正确的是（ ） A. 9的算术平方根是 B. 25的平方根是5 C. 的立方根是 D. 1的立方根是 【答案】C 【解析】 【详解】解：9的算术平方根是3，A不符合题意； 25的平方根是，B不符合题意； 的立方根是，C符合题意； 1的立方根是1，D不符合题意． 5. 下列说法：①实数和数轴上的点是一一对应的；②无理数是开方开不尽的数；③立方根等于它本身的数有2个；④16的平方根是，用式子表示是；其中正确的是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【详解】解：实数和数轴上的点是一一对应的， 说法①正确，符合题意； 无理数是无限不循环小数，其中开方开不尽的数只是其中一部分， 说法②错误，不符合题意； 立方根等于它本身的数有和0，共3个， 说法③错误，不符合题意； 的平方根是，用式子表示是， 说法④错误，不符合题意． 6. 如图，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，分别以AB、BC、AC为直径作半圆，面积分别记S1，S2，S3，若S1＝4，S2＝9，则S3的值为( ) A. 13 B. 5 C. 11 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】由扇形的面积公式可知S1＝•π•AC2，S2＝•π•BC2，S3＝•π•AB2，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2+BC2＝AB2，即S1+S2＝S3； 【详解】解：∵S1＝•π•AC2，S2＝•π•BC2，S3＝•π•AB2， 在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2+BC2＝AB2，即S1+S2＝S3； ∵S1＝4，S2＝9， ∴S3＝13． 故选A． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，难度适中，解题关键是对勾股定理的熟练掌握及灵活运用，记住S1+S2＝S3. 7. 等式成立的条件是（ ） A. 且 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件进行分析即可． 【分析】解：要使等式成立， 则，， 解得，， 则． 8. “赵爽炫图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽炫图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为,较短直角边长为，若(a+b)2=21，大正方形的面积为13，则小正方形的边长为( ) A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】观察图形可知，小正方形的面积=大正方形的面积-4个直角三角形的面积，利用已知（a+b）2=21，大正方形的面积为13，可以得出直角三角形的面积，进而求出小正方形的面积，即可得出小正方形的边长． 解：∵(a+b)2=21， ∴a2+2ab+b2=21， ∵大正方形的面积为13， 2ab=21−13=8， ∴小正方形的面积为13−8=5. ∴小正方形的边长为. 故选C. 9. 如图，有一个矩形纸片ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F处，已知CE＝3，AB＝8，则BF的长为（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形的性质得到CD＝AB＝8，根据勾股定理求出CF，根据勾股定理列方程计算即可． 【详解】∵四边形ABCD是矩形， ∴CD＝AB＝8， ∴DE＝CD﹣CE＝5， 由折叠的性质可知，EF＝DE＝5，AF＝CD＝BC， 在Rt△ECF中，CF＝ ＝4， 由勾股定理得，AF2＝AB2+BF2，即（BF+4）2＝82+BF2， 解得，BF＝6， 故选B． 【点睛】本题考查的是翻转变换的性质，翻转变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 10. 如图，，过点作且，得；再过点，作，且，得；又过点作且，得依此法继续作下去，得（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理分别求出每个直角三角形斜边长，根据结果得出规律，即可得出答案． 【详解】解：由勾股定理得： ， ， ， ， 依此类推可得： ， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理，注意：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，解此题的关键是能根据求出的结果得出规律． 二、填空题（3分×5＝15分） 11. 代数式的最大值为 __． 【答案】2 【解析】 【详解】解：， 当时，代数式有最大值，最大值为2． 12. 的小数部分是，则等于__． 【答案】 【解析】 【详解】， ， ， ， 的小数部分． 13. 如图，在中，，点A，B在数轴上对应的数分别为1，2．以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴的负半轴于点D，则与点D对应的数是_____．     【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理，利用勾股定理求出的长，进而得到的长，利用两点间的距离公式进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 由作图可知：， ∴与点D对应的数是； 故答案为：． 14. 如图，长方体盒子的长为5，宽为4，高为3．在顶点B处有一滴蜂蜜，一只蚂蚁在顶点A处，要沿着长方体盒子的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是_____． 【答案】． 【解析】 【分析】分三种情况，分别画出平面图、再利用勾股定理解答即可． 【详解】解：①如图1，把我们所看到的前面和右面组成一个平面， 则这个长方形的长和宽分别是9和3， 则所走的最短线段AB＝＝3； ②如图2，把我们看到的前面与底面组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽分别是23和10， 所以走的最短线段AB＝＝4； ③如图3，把我们所看到的左面和底面组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽分别是15和18， 所以走的最短线段AB＝＝； 三种情况比较而言，第三种情况最短． 故填：． 【点睛】本题主要考查了最短距离、勾股定理、立体图形展开图等知识点，根据题意分情况画出平面图是解答本题的关键． 15. 在中，，，高，则的长为__． 【答案】11或21 【解析】 【分析】分高在外或高在内，两种情形，分别利用勾股定理求出和的长，再利用线段的和差关系可得答案． 【详解】解：如图，当高在外时， 在中，由勾股定理得，， 在中，由勾股定理得，， ， 同理，当高在内时， ， ∴的长为11或21． 三、解答题（共55分） 16. 按要求解题： （1）把下列二次根式化为最简二次根式： ①； ②． （2）解方程： 【答案】（1）①；② （2）或 【解析】 【小问1详解】 解：①； ②； 【小问2详解】 解：， ， ， 即或， 解得或． 17. 已知实数，，，，且，互为倒数，的绝对值为，的算术平方根是8，求． 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意求得，，，的值，再进行计算求解． 【详解】解：由题意得，，，， ∴， ． 18. 如图所示，在四边形ABCD中，已知：AB：BC：CD：DA=2：2：3：1，且∠B=90°，求∠DAB的度数． 【答案】135°． 【解析】 【分析】连接AC，设DA=k，则AB=2k，BC=2k，CD=3k．由∠B=90°，AB：BC=2：2，得到∠BAC=45°，在△DAC中利用勾股定理的逆定理可∠DAC=90°，从而求出∠DAB的度数． 【详解】解：连接AC．设DA=k，则AB=2k，BC=2k，CD=3k． ∵∠B=90°，AB：BC=2：2， ∴∠BAC=45°，=， ∵， ∴∠DAC=90°， ∴∠DAB=∠BAC+∠DAC=135°． 19. 实数a、b在数轴上的位置如图所示，请化简：. 【答案】a+b 【解析】 【分析】直接利用数轴进而得出各式的符号，进而化简得出答案. 【详解】由数轴可得：a+b＞0，a﹣b＜0，a＜0 原式＝a+b﹣(b﹣a)﹣a+b ＝a+b. 【点睛】此题考查数轴，二次根式的性质与化简，解题关键在于结合数轴进行解答. 20. 如图，铁路上，两点相距，，为两村庄，于，于，已知，，现在要在铁路上建一个土特产品收购站，使得，两村到站的距离相等． （1）站应建在站多少处？ （2）求两村与土特产品收购站围成的三角形的面积． 【答案】（1） （2）平方千米 【解析】 【分析】（1）由题意可知，根据勾股定理得到，设，求出x的值即可； （2）证明，得到，，可知即，根据勾股定理求出，根据三角形面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：，两村到站的距离相等． ， 于，于， ， ，， ， 设，则， ，， ， 解得：， ； 【小问2详解】 解：，，， ∴， ，， ∵， ， ， ， 两村与土特产品收购站围成的三角形的面积为：平方千米． 21. 按要求解题 （1）若，求的立方根； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用算术平方根的非负性求出x、y的值，再计算的立方根即可； （2）利用立方根的性质求出x的值，进而代入计算即可． 【小问1详解】 解：根据题意可得， 解得， ∴， ∵； 的立方根为； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， 解得， ∴ ． 22. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC=6cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒． （1）求BC边的长； （2）当△ABP为直角三角形时，求t的值； （3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值． 【答案】（1）8cm；（2）4或；（3）5或8或． 【解析】 【分析】（1）直接根据勾股定理求出BC的长度； （2）当△ABP为直角三角形时，分两种情况：①当∠APB为直角时，②当∠BAP为直角时，分别求出此时的t值即可； （3）当△ABP为等腰三角形时，分三种情况：①当AB＝BP时；②当AB＝AP时；③当BP＝AP时，分别求出BP的长度，继而可求得t值． 【详解】解：（1）在Rt△ABC中，BC2＝AB2−AC2＝102−62＝64， ∴BC＝8（cm）； （2）由题意知BP＝2tcm， ①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP＝BC＝8cm，即t＝4； ②当∠BAP为直角时，BP＝2tcm，CP＝（2t−8）cm，AC＝6cm， 在Rt△ACP中，AP2＝62＋（2t−8）2， 在Rt△BAP中，AB2＋AP2＝BP2， 即：102＋[62＋（2t−8）2]＝（2t）2， 解得：t＝， 故当△ABP为直角三角形时，t＝4或t＝； （3）①当AB＝BP时，t＝5； ②当AB＝AP时，BP＝2BC＝16cm，t＝8； ③当BP＝AP时，AP＝BP＝2tcm，CP＝|2t−8|cm，AC＝6cm， 在Rt△ACP中，AP2＝AC2＋CP2， 所以（2t）2＝62＋（2t−8）2， 解得：t＝， 综上所述：当△ABP为等腰三角形时，t＝5或t＝8或t＝． 【点睛】本题考查了勾股定理以及等腰三角形的知识，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分情况讨论，注意不要漏解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $