3.1　不等式的性质 第一课时 同步练习 -2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修 第一册

**基本信息** 分层梯度清晰，从概念理解到实际应用，强化数学思维与推理能力，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|不等关系表示与基本性质|第1题辨析符号语言，第2题结合爆破情境，落实数学眼光| |中档|比较大小方法与简单应用|第3题作差法，第8题绝对值不等式，培养运算推理能力| |提升|综合推理与实际问题建模|第16题宿舍分配问题，第15题购物策略分析，体现数学语言与模型意识|

3.1　不等式的性质 第一课时　不等关系与不等式 1.下列说法正确的是（　　） A.某人月收入x不高于2 000元可表示为“x＜2 000” B.小明的身高为x，小华的身高为y，则小明比小华矮可表示为“x＞y” C.变量x不小于a可表示为“x≥a” D.变量y不超过a可表示为“y≥a” 2.在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5 cm，人跑开的速度为每秒 4 m，为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到100 m以外的安全区，导火索的长度x（cm）应满足的不等式为（　　） A.4×≥100　　 B.4×≤100 C.4×＞100　 D.4×＜100 3.若y1＝2x2－2x＋1，y2＝x2－4x－1，则y1与y2的大小关系是（　　） A.y1＞y2　 B.y1＝y2 C.y1＜y2　 D.不能确定 4.已知a＞0，b＞0，M＝＋，N＝，则（　　） A.M ＞N　 B.M＝N C.M＜N　 D.不能确定 5.将一根长5 m的绳子截成两段，已知其中一段的长度为x m，若两段绳子长度之差不小于1 m，则x所满足的不等关系为（　　） A.　 B.2x－5≥1或5－2x≥1 C.　 D. 6.（多选）若a＝2x2－8x＋11，b＝x2－6x＋9，c＝1－，则（　　） A.b＞a　 B.a＞c C.ac＞bc　 D.b＞c 7.某次数学智力测验，共有20道题，答对一题得5分，答错一题得－2分，不答得零分.某同学有一道题未答，设这个学生至少答对x题，成绩才能不低于80分，列出其中的不等关系：　　　　.（不用化简） 8.某商品包装上标有重量500±1克，若用x表示商品的重量，则可用含绝对值的不等式表示该商品的重量的不等式为　　　　. 9.若x∈R，则与的大小关系为　　　　. 10.已知a，b∈R，x＝a3－b，y＝a2b－a，试比较x与y的大小. 11.已知0＜a1＜1，0＜a2＜1，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是（　　） A.M＜N　 B.M ＞N C.M＝N　 D.无法确定 12.若a＜0，b＜0，则p＝＋与q＝a＋b的大小关系为（　　） A.p＜q　 B.p≤q C.p＞q　 D.p≥q 13.如图所示的两种广告牌，其中图①是由两个等腰直角三角形构成的，图②是一个矩形，从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种关系用含字母a，b的不等式表示出来为　　　　. 14.（1）已知a≥1，试比较M＝－和N＝－的大小； （2）已知a＞0，b＞0，试比较＋与＋的大小. 15.（多选）两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定.张阿姨和李阿姨是邻居，经常结伴去买菜.张阿姨喜欢用第一种方式买猪肉，李阿姨喜欢用第二种方式买猪肉，已知两次买猪肉的单价分别为每斤X元和Y元（X≠Y），则下列选项正确的是（　　） A.张阿姨两次买猪肉的平均单价为每斤元 B.李阿姨两次买猪肉的平均单价为每斤元 C.张阿姨的购买方式更实惠 D.李阿姨的购买方式更实惠 16.有学生若干人，住若干宿舍，如果每间住4人，那么还余19人，如果每间住6人，那么只有一间不满但不空，求宿舍间数和学生人数. 第一课时　不等关系与不等式 1.C　对于A，x应满足x≤2 000，故A错误；对于B，x，y应满足x＜y，故B错误；C正确；对于D，y与a的关系可表示为“y≤a”，故D错误. 2.C　导火索燃烧的时间为秒，人在此时间内跑的路程为4× m.由题意可得4×＞100. 3.A　y1－y2＝x2＋2x＋2＝（x＋1）2＋1＞0，故y1＞y2. 4.A　易知M＞0，N＞0，因为M2－N2＝（＋）2－（）2＝2＞0，所以M＞N. 5.D　由题意，可知另一段绳子的长度为（5－x）m.因为两段绳子的长度之差不小于1 m，所以即 6.BD　因为a＝2x2－8x＋11，b＝x2－6x＋9，所以a－b＝（x－1）2＋1＞0，故a＞b，又b＝（x－3）2≥0，c＝1－＜0，所以ac－bc＝c（a－b）＜0，即ac＜bc.故A、C错，B、D正确，故选B、D. 7.5x－2（19－x）≥80，1≤x≤19，x∈N＋ 解析：这个学生至少答对x题，成绩才能不低于80分，即5x－2（19－x）≥80，1≤x≤19，x∈N＋. 8.｜x－500｜≤1　解析：∵某商品包装上标有重量500±1克，若用x表示商品的重量，则－1≤x－500≤1，∴｜x－500｜≤1. 9.≤　解析：∵－＝＝≤0.∴≤. 10.解：因为x－y＝a3－b－a2b＋a＝a2（a－b）＋a－b＝（a－b）（a2＋1）， 所以当a＞b时，x－y＞0，所以x＞y； 当a＝b时，x－y＝0，所以x＝y； 当a＜b时，x－y＜0，所以x＜y. 11.B　∵0＜a1＜1，0＜a2＜1，∴－1＜a1－1＜0，－1＜a2－1＜0，∴M－N＝a1a2－（a1＋a2－1）＝a1a2－a1－a2＋1＝a1（a2－1）－（a2－1）＝（a1－1）（a2－1）＞0，∴M ＞N，故选B. 12.B　根据题意，得p－q＝＋－a－b＝＋＝（b2－a2）·＝＝.因为a＜0，b＜0，所以a＋b＜0，ab＞0.若a＝b，则p－q＝0，此时p＝q；若a≠b，则p－q＜0，此时p＜q.综上所述，p≤q. 13.（a2＋b2）＞ab　解析：由题图可知，题图①广告牌的面积S1＝（a2＋b2），题图②广告牌的面积S2＝ab，观察题图得S1＞S2，即（a2＋b2）＞ab. 14.解：（1）因为a≥1， 所以M＝－＞0，N＝－＞0. 所以＝＝. 因为＋＞＋＞0， 所以＜1，所以M＜N. （2）法一（作差法）　（＋）－（＋）＝（－）＋（－）＝＋＝＝. ∵a＞0，b＞0，∴＋＞0，＞0，（－）2≥0， ∴≥0，∴＋≥＋. 法二（作商法）　＝ ＝＝ ＝＝1＋≥1. ∵a＞0，b＞0，∴＋＞0，＋＞0， ∴＋≥＋. 15.ABD　设用第一种方式买猪肉时，每次购买这种物品的数量为a（a＞0），用第二种方式买猪肉时，每次购买这种物品所花的钱数为b（b＞0）.对于A项，张阿姨两次买猪肉的平均单价为每斤为＝，故A项正确；对于B项，李阿姨两次买猪肉的平均单价为每斤＝＝，故B项正确；对于C项，因为－＝＝，且X＞0，Y＞0，X≠Y，所以有－＞0，所以＞，故C项错误；对于D项，由C解析知，＞，故D项正确，故选A、B、D. 16.解：设宿舍有x间，则学生有（4x＋19）人，依题意，得解得＜x＜.∵x∈N＋， ∴x＝10，11或12，学生人数分别为59，63，67.故宿舍间数和学生人数分别为10间59人，11间63人或12间67人. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $