第二章 一元二次方程 重难点训练--2026-2027学年北师大版数学九年级数学上册

**基本信息** 以“概念辨析-解法突破-性质应用”为主线，系统覆盖一元二次方程全题型，提炼换元法等核心技巧，培养运算能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解法类|6题型（直接开平方法等）|整体思想、配方步骤、因式分解技巧|从基础解法到复杂方程转化，构建解法体系| |性质应用|4题型（判别式等）|根与系数关系推导、实际问题建模|从根的判断到实际应用，形成“概念-性质-应用”逻辑链|

暑季研思・九年级上册数学暑期培优专项讲义 第二章 一元二次方程 题型1 判断是否是一元二次方程的解 题型2 直接开平方法 题型3 配方法 题型4 公式法 题型5 根据判别式判断一元二次方程根的情况 题型6 因式分解法 题型7 换元法 题型8 解分式方程 题型9 一元二次方程的根与系数的关系 题型10 一元二次方程的应用 【判断是否是一元二次方程的解】 1．嘉嘉在解关于x的一元二次方程时，不小心将一次项系数写成了，解出其中一个根是，现有以下两种说法： 甲：原方程必定有一个根是； 乙：当时，原方程有两个不相等的实数根． 则下列判断正确的是（   ） A．甲对，乙错 B．甲错，乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错 2．在一元二次方程的研究中小明发现，小红发现，而小刚听完他们的发现后直接说出了方程的两个解，则这个方程的根为__________． 3．已知代数式的值如下表，则关于的一元二次方程的根为(   ) A． B． C．或 D．或 【直接开平方法】 4．在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单． 例如，在计算时就可以将看成一个整体，式子转化为：． 请借助整体思想完成： (1)计算． (2)，求的值． 5．若方程是关于的一元二次方程，则的值是（     ） A． B． C． D． 6．解方程： 【配方法】 7．解方程： 8．用适当的方法解一元二次方程： (1) (2) 9．解下列一元二次方程： (1)； (2)． 【】 10．解方程： (1)（公式法）； (2)． 11．解方程： (1)； (2)； 12．已知关于的方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程的两个实数根都是整数，求正整数的值． 【根据判别式判断一元二次方程根的情况】 13．关于的方程，则方程根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个实数根 D．无法确定 14．已知关于x的方程． (1)试讨论该方程的根的情况并说明理由； (2)无论m为何值，该方程都有一个固定的实数根，试求出这个根． 15．定义新运算：☆，例如：☆，则关于的方程☆（k是任意实数）的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．只有一个实数根 D．有两个不相等的实数根 【因式分解法】 16．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)已知是方程的一个解，求m的值． 17．解方程：． 18．已知方程 (1)若方程有实数根，求的取值范围； (2)若方程的一个根为，求的值． 【换元法】 19．若，则的值为（     ） A．2 B． C． D． 20．已知一元二次方程（）的两根分别为、，则一元二次方程（）的两根分别为________． 21．阅读材料： 解方程：． 我们可以将视为一个整体，然后设， 则，原方程化为，解得：，． 当时，，则，解得； 当时，，则，解得， 原方程的解为，，，． 根据上面的解答过程，解决下面的问题： 解方程：． 【解分式方程】 22．某公司计划生产1200件新产品，现有甲、乙两家厂都具备加工能力．已知甲厂单独加工完成这批新产品比乙厂单独加工完成这批新产品少用10天；甲厂每天加工数量比乙厂每天加工数量多10件．求： (1)甲、乙两厂每天分别加工多少件产品？ (2)如果公司要求甲乙两家工厂合作完成这批新产品的加工任务，那么至少需要多少天？（不满1天的，以1天时间计算） 23．解方程：． 24．方程的解为________． 【一元二次方程的根与系数的关系】 25．已知互不相等的实数a，b满足，，则的值为 _____． 26．若方程的两个根分别是，则的值为________． 27．已知，，，则______． 【一元二次方程的应用】 28．商场某种商品平均每天可销售件，每件盈利元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查，每件商品每降价元，商场平均每天可多销售件． (1)当每件盈利元时，每天可销售多少件？ (2)每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到元？ (3)商场日盈利能否达到元？ 29．恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了万元，求这两个月的平均增长率．假设这两个月的平均增长率为x，则列出的方程为（     ） A． B． C． D． 30．如图，某农场要建一个面积为140平方米的矩形仓库，仓库的一边靠墙（墙长18米），另三边用木板材料围成，为了方便进出，在与墙垂直的一边上要开一扇2米宽的门，已知围建仓库的现有木板材料总长为32米，那么这个仓库的两边长分别为多少米？ / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $暑季研思・九年级上册数学暑期培优专项讲义 第二章 一元二次方程 题型1 判断是否是一元二次方程的解 题型2 直接开平方法 题型3 配方法 题型4 公式法 题型5 根据判别式判断一元二次方程根的情况 题型6 因式分解法 题型7 换元法 题型8 解分式方程 题型9 一元二次方程的根与系数的关系 题型10 一元二次方程的应用 【判断是否是一元二次方程的解】 1．嘉嘉在解关于x的一元二次方程时，不小心将一次项系数写成了，解出其中一个根是，现有以下两种说法： 甲：原方程必定有一个根是； 乙：当时，原方程有两个不相等的实数根． 则下列判断正确的是（   ） A．甲对，乙错 B．甲错，乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错 【答案】C 【分析】先根据写错的方程的根得到a与b的关系，再进行验证甲、乙说法的正确性，分别用到一元二次方程根的定义和根的判别式的性质． 【详解】解：由题意可知，写错一次项系数后的方程为， ∵该方程一个根为， ∴将代入得， 解得， 甲：∵原方程为， ∴将代入原方程得， 解得， ∴是原方程的根，甲说法正确； 乙：由题意得，， 代入得， ， 当时，，即， ∴原方程有两个不相等的实数根，乙说法正确． ∴甲、乙都对． 2．在一元二次方程的研究中小明发现，小红发现，而小刚听完他们的发现后直接说出了方程的两个解，则这个方程的根为__________． 【答案】 【详解】解：依题意，当时，代入方程左边得：，已知，即左边右边，所以是方程的一个解． 当时，代入方程左边得：，已知，即左边右边，所以是方程的一个解． 所以这个方程的根为，． 3．已知代数式的值如下表，则关于的一元二次方程的根为(   ) A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查的解一元二次方程，从表格中直接读取代数式的值为时对应的值，即为方程的根． 【详解】解：当时，代数式的值为；当时，代数式的值也为， 方程的根为或． 故选：C． 【直接开平方法】 4．在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单． 例如，在计算时就可以将看成一个整体，式子转化为：． 请借助整体思想完成： (1)计算． (2)，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将原式变形为，再将看成一个整体，利用平方差公式和完全平方公式计算即可； （2）把看成一个整体，利用平方差公式计算，最后解方程即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：， ， ． 令， ， ． 又，即， ， ． 5．若方程是关于的一元二次方程，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】一元二次方程需要同时满足两个条件：未知数的最高次数为，且二次项系数不为，据此列等式和不等式即可求解． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，且， 解得，， 解得，， 综上所述：． 6．解方程： 【答案】， 【分析】利用直接开平方法得出两个一元一次方程，解一元一次方程即可得出答案． 【详解】解： ∴， 则或， 解得：，． 【配方法】 7．解方程： 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 解得． 8．用适当的方法解一元二次方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 因式分解： ； （2）解： 配方法： ． 9．解下列一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 移项得 配方得 即 开方得或 解得； （2） 移项得 变形得 提取公因式得 化简得 即或 解得． 【】 10．解方程： (1)（公式法）； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：方程化成一般形式为， ∴方程中的， ∴方程根的判别式为，有两个不相等的实数根， ∴， ∴方程的解为，． （2）解：， ， ， ， 或， 或， 即，． 11．解方程： (1)； (2)； 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， 移项得：， 分解因式得：， 解得：，； （2）解：， 原方程可变为：， ， ∴， 解得：，． 12．已知关于的方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程的两个实数根都是整数，求正整数的值． 【答案】(1)证明：，，， ， ∴方程总有两个实数根． (2)或或 【分析】（1）先计算判别式的值，然后根据平方的非负性判断方程总有两个实数根； （2）利用公式法求出，，再根据方程的两个实数根都是整数，即可求出正整数的值． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得：， ∴， ∴，， ∵方程的两个实数根都是整数， ∴为整数， 为正整数， ∴为4的正约数， 或或． 【根据判别式判断一元二次方程根的情况】 13．关于的方程，则方程根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】计算方程的根的判别式，根据判别式的符号判断根的情况，利用判别式 时方程有实数根的性质解题. 【详解】解：对于一元二次方程 ，其中 ，，， ∴ ； ∴方程有两个实数根. 14．已知关于x的方程． (1)试讨论该方程的根的情况并说明理由； (2)无论m为何值，该方程都有一个固定的实数根，试求出这个根． 【答案】(1)时，方程有一个实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当且时，方程有两个不相等的实数根 (2)这个根为3 【分析】（1）分及，结合判别式的值即可判断． （2）由无论m为何值，该方程都有一个固定的实数根，又，推出，且即可解决问题． 【详解】（1）解：当时，方程为，解得， 当时 ∵ ， 若，，则方程有两个相等的实数根； 若且，，则方程有两个不相等的实数根， 综上，当时，方程有一个实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当且时，方程有两个不相等的实数根； （2）解：∵无论m为何值，该方程都有一个固定的实数根， 又∵， ∴，且 解得， ∴无论m为何值，该方程都有一个固定的实数根，这个根为3． 15．定义新运算：☆，例如：☆，则关于的方程☆（k是任意实数）的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．只有一个实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 【详解】解：由题意，可知☆， 整理得． ， 关于的方程☆（是任意实数）有两个不相等的实数根． 【因式分解法】 16．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)已知是方程的一个解，求m的值． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】（1）根据根的判别式求解即可； （2）将代入，求解关于的一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 即， 解得：； （2）解：将代入得， 即， ∴， ∴或， 解得：． ∵均满足， ∴m的值是或． 17．解方程：． 【答案】， 【详解】解：， ， ， ， ， 或， ，． 18．已知方程 (1)若方程有实数根，求的取值范围； (2)若方程的一个根为，求的值． 【答案】(1) (2)0或 【分析】（1）根据方程根的判别式大于或等于0列出不等式，解不等式即可； （2）将代入方程可得一个关于的一元二次方程，解方程，结合（1）的取值范围即可得． 【详解】（1）解：∵方程有实数根， ∴方程根的判别式， 解得． （2）解：∵方程的一个根为， ∴，即， 解得或，均符合题意， 即的值为0或． 【换元法】 19．若，则的值为（     ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】将看作一个整体，设为x，利用平方差公式展开得，合并常数项整理得，直接开平方求出即可． 【详解】解：设， 则原方程为， ． 20．已知一元二次方程（）的两根分别为、，则一元二次方程（）的两根分别为________． 【答案】，/， 【分析】利用换元思路，将所求方程整理为与原方程形式相同的一元二次方程，根据原方程的根得到对应关系式，即可求解． 【详解】解：将所求方程移项变形得 ， ∵一元二次方程的两根分别为，， ∴可得或， 解得，， ∴一元二次方程的两根分别为，． 21．阅读材料： 解方程：． 我们可以将视为一个整体，然后设， 则，原方程化为，解得：，． 当时，，则，解得； 当时，，则，解得， 原方程的解为，，，． 根据上面的解答过程，解决下面的问题： 解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查一元二次方程的解法，平方根的性质，掌握换元法是解题关键． 通过换元法将四次方程转化为一元二次方程，求解后代回，根据平方根性质进行取舍即可得到原方程的实数解． 【详解】解：令，则原方程化为：， 解得，， 当时，，则该方程无实数解； 当时，，解得，． 综上，该方程的解为：，． 【解分式方程】 22．某公司计划生产1200件新产品，现有甲、乙两家厂都具备加工能力．已知甲厂单独加工完成这批新产品比乙厂单独加工完成这批新产品少用10天；甲厂每天加工数量比乙厂每天加工数量多10件．求： (1)甲、乙两厂每天分别加工多少件产品？ (2)如果公司要求甲乙两家工厂合作完成这批新产品的加工任务，那么至少需要多少天？（不满1天的，以1天时间计算） 【答案】(1) 甲厂每天加工40件产品，乙厂每天加工30件产品 (2) 至少需要18天 【分析】（1）以两厂单独加工的时间差为等量关系列分式方程求解； （2）先计算合作工作效率，再结合总工作量求工作时间，按要求取整． 【详解】（1）解：设乙厂每天加工件产品，则甲厂每天加工件产品 由题意得： 两边同乘，得 化简得 整理得 解得， ∵每天加工数量为正数 ∴不符合题意，舍去 经检验，是原方程的解，且符合题意 ∴ 答：甲厂每天加工40件产品，乙厂每天加工30件产品． （2）解：甲乙合作每天加工数量为（件） 所需时间为（天） ∵不满1天按1天计算， ∴ 至少需要18天 答：至少需要18天． 23．解方程：． 【答案】 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得或， 检验，当时，，则是增根，舍去； 当时，，满足方程， ∴原方程的解为． 24．方程的解为________． 【答案】 【分析】把分式方程转化为一元二次方程进行求解，需要对根进行检验． 【详解】， ， ， ， ， ， 解得：， 检验：当时，，是增根，舍去， 当时，，是原分式方程的根， 方程的解为． 【一元二次方程的根与系数的关系】 25．已知互不相等的实数a，b满足，，则的值为 _____． 【答案】2021 【详解】解：设a、b是方程的两根，且， ∴，ab＝， ∴，， ＝， ＝2021． 26．若方程的两个根分别是，则的值为________． 【答案】 【分析】一元二次方程的两个根为，，则，．根据一元二次方程根与系数的关系即可求得答案． 【详解】解：∵方程的两个根分别为，， ∴，， ∴． 27．已知，，，则______． 【答案】 【分析】和是一元二次方程的两个不相等实根，利用根与系数的关系即可求得的值． 【详解】解： 由题意得 ，，且， 可知，是一元二次方程 的两个不相等的实数根， 根据根与系数的关系，得 ． 【一元二次方程的应用】 28．商场某种商品平均每天可销售件，每件盈利元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查，每件商品每降价元，商场平均每天可多销售件． (1)当每件盈利元时，每天可销售多少件？ (2)每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到元？ (3)商场日盈利能否达到元？ 【答案】(1)当每件盈利元时，每天可销售件 (2)每件商品降价元时，商场日盈利可达到元 (3)商场日盈利不能达到元 【分析】（1）根据“某种商品平均每天可销售件，每件盈利元，每件商品每降价元，商场平均每天可多销售件”，计算出每件盈利元时，每件商品降价的钱数，从而计算出商场每天可多销售的数量，从而计算出每天销售的数量； （2）设每件商品降价元时，商场日盈利可达到元，则商场每天多销售件，根据“某种商品平均每天可销售件，每件盈利元，每件商品每降价元，商场平均每天可多销售件”，列出关于的一元二次方程，解之即可； （3）设每件商品降价元时，商场日盈利可达到元，则商场每天多销售件，根据“某种商品平均每天可销售件，每件盈利元，每件商品每降价元，商场平均每天可多销售件”，列出关于的一元二次方程，结合判别式公式，判断该方程根的情况，即可得到答案． 【详解】（1）解：当每件盈利元时，每件商品降价：（元）， 商场每天可多销售：（件）， 每天销售：（件）， 答：当每件盈利元时，每天可销售件， （2）解：设每件商品降价元时，商场日盈利可达到元， 则商场每天多销售件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 为减少库存，应舍去， 答：每件商品降价元时，商场日盈利可达到元； （3）解：设每件商品降价元时，商场日盈利可达到元，则商场每天多销售件， 根据题意得：， 整理得：， ， 该方程无实数根， 即商场日盈利不能达到元， 答：商场日盈利不能达到元． 29．恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了万元，求这两个月的平均增长率．假设这两个月的平均增长率为x，则列出的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出十月份的销售额，再根据连续两个月的平均增长率为x，结合十二月份的最终销售额列出方程即可． 【详解】解：∵九月份销售额为200万元，十月份销售额下降了， ∴十月份的销售额为万元， ∵十一、十二月份的平均增长率为，销售额从十月份开始连续增长两次，最终十二月份销售额为万元， ∴可得方程 ． 30．如图，某农场要建一个面积为140平方米的矩形仓库，仓库的一边靠墙（墙长18米），另三边用木板材料围成，为了方便进出，在与墙垂直的一边上要开一扇2米宽的门，已知围建仓库的现有木板材料总长为32米，那么这个仓库的两边长分别为多少米？ 【答案】这个仓库的长和宽分别为14米、10米． 【分析】 首先设这个仓库的长为x米，则宽表示为，再根据面积为140平方米的仓库可得，再解一元二次方程即可． 【详解】解：设这个仓库的长为x米， 由题意得：， 解得：，， ∵这堵墙的长为18米， ∴不合题意舍去， ∴， 宽为：（米）． 答：这个仓库的长和宽分别为14米、10米． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $