第二章 一元二次方程 章末检测 2026-2027学年 北师大版九年级上册数学

**基本信息** 初中数学一元二次方程单元卷，覆盖定义、解法、应用等核心知识，结合冬奥会销售、牧场围栏等真实情境及阿尔·花拉子密数学文化，适配同步教学，培养运算能力、模型意识与创新思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|解法选择、定义判断、近似解估算|基础巩固，梯度合理| |填空题|6/24|方程构造、矩形面积应用、新定义“倍根方程”|能力提升，渗透创新| |解答题|8/66|配方法/因式分解解方程、冬奥会销售问题、牧场围栏几何应用、阿尔·花拉子密配方法历史|综合应用，情境真实，文化传承|

第二章 一元二次方程 章末检测 一、单选题（每题3分，共30分） 1．解一元二次方程最适宜的方法是（　　） A．直接开平方 B．公式法 C．因式分解法 D．配方法 2．下列关于 的方程：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ .其中一元二次方程有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．根据下列表格的对应值：可得方程x2+5x﹣3＝0一个解x的范围是（　　） x 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 x2+5x﹣3 -3.00 -1.69 -0.25 1.31 3.00 A．0＜x＜0.25 B．0.25＜x＜0.50 C．0.50＜x＜0.75 D．0.75＜x＜1 4．用配方法解方程 x2 + 6x -1 = 0 时，配方结果正确的是（　　） A．(x - 3)2 = 10 B．(x - 3)2 = 8 C．(x + 3)2 = 8 D．(x + 3)2 = 10 5．如图是小明在解方程 x2-2x-1= 0时的过程，他在解答过程中开始出错的步骤是（　　） A．第①步 B．第②步 C．第③步 D．第④步 6．若 是某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程可以是（　　） A．3x2+2x﹣1＝0 B．2x2+4x﹣1＝0 C．﹣x2﹣2x+3＝0 D．3x2﹣2x﹣1＝0 7．将关于 的一元二次方程 变形为 ，就可以将 表示为关于 的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如 …，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知： ，且 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 8．在正数范围内有一种运算“*”，其规则为 ，根据这个规则，方程 的解是 （　　） A． B． C． D． 9．若关于x的方程有两个实数根x1、x2，则的最小值为（　　） A．-2 B． C． D． 10．某小区原有一块长为30米，宽为20米的矩形康乐健身区域，现计划在这一场地四周（场内）筑一条宽度相等的健走步道，其步道面积为214平方米，设这条步道的宽度为x米，可以列出方程是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（每题4分，共24分） 11．写出一个二次项系数为1，且有一个根为2的一元二次方程：　 　. 12．我国南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除捷法》中记载了这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．”其大意为：一个矩形的面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各多少步？设矩形的宽为x步，根据题意，可列方程为　 　． 13．（初中数学浙教版八下精彩练第二章质量评估卷）若关于 的一元二次方程 通过配方法可以化成 的形式，则 的值可以是　 　.(写出一个符合要求的 值). 14．对于两个不相等的实数a、b，我们规定：符号Max{a，b}表示a、b中的较大数，如：Max{﹣2，﹣4}=﹣2.按照这个规定，方程Max{x，﹣x}= 的解为　 　. 15．三角形两边的长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣9x+18＝0的根，则该三角形的周长为 　 　. 16．已知关于x的一元二次方程 有两个实数根 ， ，若 ， 满足 ，则m的值为　 　 三、解答题（共8题，共66分） 17．用适当方法解下列一元二次方程： （1）x2﹣6x＝1； （2）x2﹣4＝3（x﹣2）． 18．当m为何值时，关于x的方程 为一元二次方程，并求这个一元二次方程的解． 19． （1）根据要求，解答下列问题： ①方程 的解为　 　； ②方程 的解为　 　； ③方程 的解为　 　； （2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想： ①方程 的解为　 　. ②关于x的方程　 　的解为x1＝1，x2＝n； （3）请用配方法解方程 ，以验证猜想结论的正确性. 20．已知m，n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，是否存在实数a使﹣（m+n）（7m2﹣14m+a）（3n2﹣6n﹣7）的值等于8？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由. 21．我们定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． （1）请说明方程是倍根方程； （2）若是倍根方程，则，具有怎样的关系？ （3）若一元二次方程是倍根方程，则，，的等量关系是　 　（直接写出结果） 22．阅读资料：阅读材料，完成任务：材料 阿尔·花拉子密(约 780～约 850)，著名数学家、天文学家、地理学家，是代数与算术的整理者，被誉为“代数之父”。 他用以下方法求得一元二次方程 x2＋2x－35＝0 的解： 将边长为 x 的正方形和边长为 1 的正方形，外加两个长方形，长为 x，宽为 1，拼合在一起的面积是 x2＋2×x×1＋1×1，而由 x2＋2x－35＝0 变形得 x2＋2x＋1＝35＋1（如图所示），即右边边长为 x＋1 的正方形面积为 36。 所以(x＋1)2＝36，则 x＝5. 任务：请回答下列问题 （1）上述求解过程中所用的方法是（　　） A．直接开平方法 B．公式法 C．配方法 D．因式分解法 （2）所用的数学思想方法是（　　） A．分类讨论思想 B．数形结合思想 C．转化思想 D．公理化思想 （3）运用上述方法构造出符合方程 x2＋8x－9＝0 的一个正根的正方形 23．北京冬奥会吉祥物冰墩墩一开售，就深受大家的喜欢．某商店销售冰墩墩周边，每件冰墩墩周边进价60元，在销售过程中发现，当销售价为100元时，每天可售出30件，为庆祝冬奥会圆满落幕，该商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量增加利润，经市场调查发现，如果每件冰墩墩周边降价1元，平均可多售出3件. （1）若每件冰墩墩周边降价5元，商家平均每天能盈利多少元？ （2）每件冰墩墩周边降价多少元时，能让利于顾客并且让商家平均每天能盈利1800元？ 24．某牧场准备利用现成的一堵“7”字形的墙面(粗线A-B-C表示墙面)建饲养场，已知AB⊥BC，AB=3米，BC=15米，现计划用总长为38米的篱笆围建一个“日”字形的饲养场BDEF ，并在每个区域开一个宽2米的门，如图(细线表示篱笆，饲养场中间用篱笆GH隔开)，点F可能在线段BC上，也可能在线段BC的延长线上． （1）如图1，当点F在线段BC上时， ①设EF的长为x米，则DE= ▲ 米；(用含 x的代数式表示) ②若围成的饲养场BDEF的面积为132平方米，求饲养场的宽EF的长； （2）如图2，当点F在线段BC延长线上，所围成的饲养场BDEF的面积能否为156平方米？如果能达到，求出EF的长；如果不能，请说明理由． 答案解析部分 1．【答案】C 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【解析】【解答】解：在一元二次方程的等号两边都有因式（x-1）， ∴最适宜用因式分解法解此方程，即提取公因式（x-1）. 故答案为：C. 【分析】观察方程可得含有公因式(x-1)，据此判断. 2．【答案】A 【知识点】一元二次方程的定义及相关的量 【解析】【解答】解：①当a=0且b≠0时，此方程是一元一次方程； ② 此方程是一元二次方程； ③ 此方程是分式方程； ④ 此方程是一元三次方程； ⑤ 即-12x+12=0是一元一次方程； ⑥，此方程是是一元一次方程； 其中一元二次方程有②. 故答案为：A. 【分析】一元二次方程满足的条件：1、含有一个未知数；2、含未知数项的最高次数是2次；3、是整式方程；再对各选项逐一判断可得答案. 3．【答案】C 【知识点】估算一元二次方程的近似解 【解析】【解答】解：由表格可知，当x＝0.5时，x2+5x﹣3＝﹣0.25＜0，当x＝0.75时，x2+5x﹣3＝1.31＞0， ∴方程x2+5x﹣3＝0一个解x的范围是0.50＜x＜0.75， 故答案为：C. 【分析】由于方程x2+5x﹣3＝0的解即是函数y=x2+5x﹣3与x轴交点的横坐标，由表格可知，当x＝0.5时，x2+5x﹣3＝﹣0.25＜0，当x＝0.75时，x2+5x﹣3＝1.31＞0，据此即可判断. 4．【答案】D 【知识点】配方法解一元二次方程 【解析】【解答】解： x2+6x-1=0， ∴x2+6x=1， ∴x2+6x+9=1+9， ∴（x+3）2=10. 故答案为：D. 【分析】首先将方程的未知数的项放在方程的左边，常数项放方程的右边，再根据等式的性质，方程两边都加上一次项系数一半的平方9，然后左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项，即可得出答案. 5．【答案】C 【知识点】配方法解一元二次方程 【解析】【解答】解：x2-2x-1=0， ∴x2-4x-2=0， ∴x2-4x=2， ∴x2-4x+4=2+4， ∴（x-2）2=6， ∴x=2±， ∴他在解答过程中开始出错的步骤是第③步. 故答案为：C. 【分析】根据等式的性质，方程两边都乘以2，将二次项系数化为1，再将方程的未知数的项放在方程的左边，常数项放方程的右边，然后再根据等式的性质，方程两边都加上一次项系数一半的平方4，然后左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项，即可得出答案. 6．【答案】D 【知识点】公式法解一元二次方程 【解析】【解答】解：∵一元二次方程的求根公式为 ，而 是某个一元二次方程的根， ∴ ， ， ， ∴该一元二次方程为3x2﹣2x﹣1＝0， 故答案为：D． 【分析】先求出 ， ， ，再计算求解即可。 7．【答案】D 【知识点】公式法解一元二次方程；定义新运算 【解析】【解答】解：∵x2﹣x﹣1＝0， ∴x＝ ，且x2＝x+1， ∴x3+1＝x•x2+1 ＝x（x+1）+1 ＝x2+x+1 ＝（x+1）+x+1 ＝2x+2， ∵x＞0， ∴ ， 故答案为：D． 【分析】先求出x＝ ，且x2＝x+1，再计算求解即可。 8．【答案】B 【知识点】因式分解法解一元二次方程；定义新运算 【解析】【解答】根据规则，方程x※（x+1）=5变形为 ， ∴ ， ∴ ， ∴ （不符合）， ． 故答案为：B． 9．【答案】D 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 【解析】【解答】解：∵方程x2+2mx+m2+3m−2=0的两个实根为x1，x2， ∴x1+x2=-2m，x22+2mx2+m2+3m−2=0，即x22=-2mx2-m2-3m+2， x1 (x2+x1)+x22 =-2mx1-2mx2-m2-3m+2 =-2m(x1+x2)-m2-3m+2 =4m2-m2-3m+2 =3m2-3m+2 =3(m-)2+， ∵3≥0， ∴m=时，x1 (x2+x1)+x22的最小值为． 故答案为：D． 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系及一元二次方程的根可得x1+x2=-2m，x22+2mx2+m2+3m−2=0，即x22=-2mx2-m2-3m+2，再将x1 (x2+x1)+x22变形为3(m-)2+，最后利用二次函数的性质求解即可。 10．【答案】C 【知识点】一元二次方程的应用-几何问题 【解析】【解答】解：设这条步道的宽度为x米，则健走步道内的健身区长为（30-2x）米，宽米，面积为米，根据题意得， 故答案为：C． 【分析】设这条步道的宽度为x米，则健走步道内的健身区长为（30-2x）米，宽米，面积为米，再利用矩形的面积公式可得。 11．【答案】x2-3x+2=0（答案不唯一） 【知识点】一元二次方程的定义及相关的量 【解析】【解答】解：∵一个二次项系数为1，且有一个根为2的一元二次方程， ∴x2-3x+5=4-3×2+5=3 ∴这个方程可以是x2-3x+2=0. 故答案为：x2-3x+2=0. 【分析】利用已知可以写一个关于x的二次三项式或关于x的二次二项式，将x=2代入可求出其值，即可得到一个二次项系数为1，且有一个根为2的一元二次方程. 12．【答案】x（x+12）＝864 【知识点】一元二次方程的应用-几何问题 【解析】【解答】解：∵矩形的宽为x步，且宽比长少12步， ∴矩形的长为（x+12）步． 依题意，得：x（x+12）＝864. 故答案为：x（x+12）＝864. 【分析】由题意可得矩形的长为(x+12)步，然后根据面积=长×宽=864就可列出方程. 13．【答案】8(只要满足k≤9) 【知识点】配方法解一元二次方程 【解析】【解答】方程 变形得 ， 配方得 ，即 ， ∴ ，即只要满足 . 故答案为：8(只要满足k≤9) 【分析】先把方程配方得出 ，再根据偶次方的非负性得出，写出一个小于等于9的数即可. 14．【答案】﹣1或1+ 【知识点】公式法解一元二次方程；定义新运算 【解析】【解答】当x＞0时， 此时Max{x，−x}＝x， ∴x＝ ， 解得：x＝1＋ ，x＝1− （舍去） 当x＜0时， 此时Max{x，−x}＝−x， ∴−x＝ ∴x＝−1， 故答案为：−1或1＋ 【分析】由题意可知，应分两种情况：①当x＞0时，根据新定义可得x＝ ，解方程求出符合条件的x的值即可；②当x＜0时，根据新定义可得−x＝ ，解方程求出符合条件的x的值即可. 15．【答案】15 【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系 【解析】【解答】解：∵x2﹣9x+18＝0， ∴（x﹣3）（x﹣6）＝0， ∴x﹣3＝0或x﹣6＝0， 解得x1＝3，x2＝6， 当x＝3时，3+3＝6，不符合构成三角形条件，舍去； 当x＝6时，3、6、6符合构成三角形三边长度的条件，此时周长为3+6+6＝15， 故答案为：15. 【分析】先求出方程的解为x1＝3，x2＝6，分两种情况：第三边长为3或6，根据三角形的三边关系进行解答即可. 16．【答案】4 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 【解析】【解答】解：由韦达定理可得x1+x2=6，x1·x2=m+4， ①当x2≥0时，3x1=x2+2， ，解得 ， ∴m=4； ②当x2＜0时，3x1=2﹣x2， ，解得 ，不合题意，舍去. ∴m=4. 故答案为：4. 【分析】利用一元二次方程根与系数可得到x1+x2和x1·x2的值；再分情况讨论：当x2≥0时，3x1=x2+2；当x2＜0时，3x1=2﹣x2；分别建立方程组，分别求出x1，x2的值，然后求出m的值. 17．【答案】（1）解：两边同加．得， 即， 两边开平方，得， 即，或， ∴， （2）解：， ∴， ∴， ∴，或， 解得 【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程 【解析】【分析】（1）利用配方法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可。 18．【答案】解：根据题意得： 解得：m=﹣2． 即原方程为：﹣4x2+8x=0，解得：x1=0，x2=2． 【知识点】一元二次方程的定义及相关的量 【解析】【分析】根据一元二次方程的含义，求出m的值即可。 19．【答案】（1）；； （2）； （3）解: ， 故猜想正确. 【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 【解析】【解答】解：（1）① （x-1）（x-1）=0 ② （x-1）（x-2）=0 ③ （x-1）（x-3）=0 ； （ 2 ）① （x-1）（x-9）=0 ②根据方程的规律，一次项系数绝对值比常数项多1，而且常数项为方程除1的另外一个解，故常数项就是n，所以一次项系数绝对值为（n+1），按照规律一次项系数为负的，故方程为 ； 【分析】（1）利用因式分解法分别解方程即可； （2）①利用（1）中特征解方程即得；②根据根与系数的关系确定一次项系数和常数项即得； （3）根据配方法将方程变形为（x-5）2=16，然后利用直接开平方求出方程的解即可. 20．【答案】解：存在，理由如下： ∵m，n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根， ∴m2﹣2m＝1，n2﹣2n＝1，m+n＝2， ∴﹣（m+n）（7m2﹣14m+a）（3n2﹣6n﹣7） ＝﹣（m+n）[7（m2﹣2m）+a][3（n2﹣2n）﹣7] ＝﹣2×（7+a）（3﹣7） ＝8（7+a）， 由8（7+a）＝8得a＝﹣6， ∴存在实数a＝﹣6，使﹣（m+n）（7m2﹣14m+a）（3n2﹣6n﹣7）的值等于8. 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 【解析】【分析】根据方程的解的定义得出m2-2m=1，n2-2n=1，由根与系数的关系可得m+n=2，再整体代入即可得出a的值. 21．【答案】（1）解：是倍根方程，理由如下： 解方程， 得，， ∵2是1的2倍， ∴一元二次方程是倍根方程； （2）解：是倍根方程，且， ，或， ∴，或 （3） 【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程；定义新运算 【解析】【解答】(3)解：是倍根方程， ，或 即或 或 即或 故答案为： 【分析】（1）利用因式分解法解方程求出 ，， 再求解即可； （2）先求出 ，或， 再求解即可； （3）先求出，或，再求出或，最后求解即可。 22．【答案】（1）C （2）B （3）解：如图所示， 大正方形边长为x+4，四个面积和为x2+4x+4x+16=x2+8x+16， 而x2+8x−9=x2+8x+16−25=0. 所以x2+8x+16=25，即x+4=5，所以x=1. 【知识点】列式表示数量关系；配方法解一元二次方程 【解析】【解答】解：（1）根据题意可得到材料中使用的解题方法是配方法， 故答案为：C.（2）根据题意可知解答是通过正方形的性质来进行求解的， 故答案为：B. 【分析】（1）根据题意可知解题过程使用的是配方法；（2）根据题意可知所用的数学思想方法是数形结合思想；（3）因为x2+8x-9=x2+8x+16-25=0，所以x2+8x+16=25，即（x+4）2=25，由此可以构造出边长为x+4的正方形，然后可以得到x+4=5即可解题． 23．【答案】（1）解：（100﹣60﹣5）×（30+3×5） ＝（100﹣60﹣5）×（30+15） ＝35×45 ＝1575（元）． 答：商家平均每天能盈利1575元； （2）解：设每件冰墩墩周边降价x元，则每件的销售利润为（100﹣60﹣x）元，每天的销售量为（30+3x）件， 依题意得：（100﹣60﹣x）（30+3x）＝1800， 整理得：x2﹣30x+200＝0， 解得：x1＝10，x2＝20， ∵让利于顾客并且商家平均每天能盈利1800元， ∴商家每件应降价20元. 答：每件冰墩墩周边降价20元时，能让利于顾客并且让商家平均每天能盈利1800元. 【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题 【解析】【分析】（1）利用商家每天销售冰墩墩周边获得的利润＝每件的利润×每天的销售量，列式计算，即可求解； （2）设每件冰墩墩周边降价x元，每件的销售利润为（100﹣60﹣x）元，每天的销售量为（30+3x）件，利用商家每天销售冰墩墩周边获得的利润＝每件的利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之并确定符合题意的值即可解决问题. 24．【答案】（1）解：①45-3x； ②由题意得：x(45-3x)= 132，解得：x1=4，x2=11 当x1=4时，BF=33> BC，∴x1=4舍去；当x2=11时，BF=12< BC， 答：若围成的饲养场BDEF的面积为132 平方米，饲养场的宽EF的长为11米 （2）解：设EF的长为x米，则DE= 则x·=15.6 整理得：x2-20x+104=0，此方程无实根， ∴不能达到 【知识点】一元二次方程的应用-几何问题 【解析】【解答】解：（1）①∵BD=EF=x，AB=3， ∴AD=x-3， ∴DE-4=38-（x-3）-x-x， ∴DE=（45-3x）米， 故答案为：45-3x； 【分析】（1）①根据题意得出AD=x-3，从而得出DE-4=38-（x-3）-x-x，即可得出答案； ②根据题意列出方程，解方程求出x的值，即可得出答案； （2）设EF=x，得出DE=，再根据题意列出方程，得出方程没有实数根，即可得出答案. 1 学科网（北京）股份有限公司 $