第二章 一元二次方程 复习讲义--2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学讲义通过“知识归纳+题型总结”系统构建一元二次方程单元体系，以知识框架图梳理定义、解法、根与系数关系、应用四大模块，用对比表格呈现直接开平方法、配方法等解法步骤，清晰展示重难点及内在逻辑。 讲义亮点在于分层典例设计，如配方法步骤辨析（典例2-1）、根与系数关系应用（典例3-1）、增长率问题（典例4-1）等，培养运算能力与模型意识。配套选择、填空、解答题梯度练习，助力学生自主复习，教师可依此实施精准分层教学。

暑季研思・九年级上册数学暑期培优专项讲义 第二章 一元二次方程 知识归纳与题型总结 题型01 认识一元二次方程 一、一元二次方程的定义 定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程． 判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下四个标准： ①整式方程． ②方程中只含有一个未知数． ③化简后方程中未知数的最高次数是2． ④二次项的系数不为0 二、一元二次方程的一般形式 1.一元二次方程的一般形式是()，其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项. 2.（1）是一元二次方程一般形式的重要条件，但是b，c可以为0；（2）任何一个一元二次方程都可以化成一般形式；（3）一元二次方程的各项都包含它前面的符号. 3.一元二次方程的特殊形式. （1)当b=0时，得()； （2)当c=0时，得()； （3)当b=0且c=0时，得(). 3、 一元二次方程的根 一元二次方程的根：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.利用方程的根求待定系数时，只需将方程的根代入原方程再解关于待定系数的方程. 【典例1-1】已知a，b是方程的两个实数根，则的值为______． 【典例1-2】已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【典例1-3】已知关于x的一元二次方程． (1)如果方程的一个根是2，求k的值 (2)求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根； 题型02 一元二次方程的解法 一、用直接开平方法解一元二次方程 1. 定义：根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法． 例如，解得． 一般地，对于方程p． 方程有两个不等的实数根， 方程有两个相等的实数根 方程无实数根 2. 直接降次解一元二次方程的步骤 （1）将方程化为p或的形式； （2）直接开平方化为两个一元一次方程； （3）解两个一元一次方程得到原方程的解． 二、用配方法解一元二次方程 1. 定义：解一元二次方程时，先把常数项移到右边，再把它的左边配成含有未知数的完全平方式，即将方程化为的形式，如果右边是一个非负数，那么就可以利用直接开平方的方法求解．这种通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法． 一般地，对于方程． 方程有两个不等的实数根， 方程有两个相等的实数根 方程无实数根 2. 用配方法解一元二次方程的步骤 （1）移项：将常数项移到方程的右边，含未知数的项移到方程的左边； （2）二次项系数化为1：方程左、右两边同时除以二次项系数； （3）配方：方程左、右两边同时加上一次项系数一半的平方； （4）开平方：利用平方根的意义直接开平方； （5）移项，合并同类项． 三、一元二次方程根的判别式 1. 对于一元二次方程，通过配方可得，则方程根的情况由的符号决定． 一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“”表示它，即． 2. 根的判别式的符号与一元二次方程根的情况 （1）一元二次方程有两个不相等的实数根； （2）一元二次方程有两个相等的实数根； （3）一元二次方程无实数根． 3. 应用 （1）不解方程判断一元二次方程根的情况； （2）根据方程根的情况求字母系数的取值范围． 四、公式法解一元二次方程 1. 当时，方程通过配方，其实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式． 将各系数直接代入求根公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法． 方程有两个不相等的实数根 方程有两个相等的实数根 方程无实数根 2. 利用公式法解一元二次方程的一般步骤 （1）把方程化为一般形式，确定a，b，c的值； （2）求出的值； （3）若，则将a，b，c的值代人求根公式求出方程的根，若，则方程无实数根． 【典例2-1】某同学解一元二次方程的步骤如下： (1)小张认为解答过程有错误，开始出现错误的是第 步；（填序号） (2)请写出你认为正确的解答过程． 【典例2-2】小芳在解关于的方程时采用了下面的方法： 解： ． 因为，① 所以．② ，得． 两边平方，得， ． 经检验，是原方程的解． 请你学习小芳的方法，解决下列问题： (1)已知，则________． (2)若，求的值． (3)实数满足，求的值． 【典例2-3】已知关于x的一元二次方程． (1)当时，求方程的解． (2)若是方程的一个解，求b的值和方程的另一个解． 题型03 一元二次方程的根与系数的关系 1. 对若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根，则有x1＋x2＝－，x1x2＝. 即：任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比． 2. 判断根的正负性：在的条件下，我们有如下结论： （1）当时，方程的两根必一正一负． ①若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；②若，则此方程的正根小于负根的绝对值． （2）当时，方程的两根同正或同负． ①若，则此方程的两根均为正根；②若，则此方程的两根均为负根． 注意：（1）若，则方程必有实数根． （2）若，方程不一定有实数根． 【典例3-1】已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个相等的实数根，求的值． (2)设，是方程的两个实数根，当时，求的值． 【典例3-2】已知关于x的方程． (1)求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若，是方程的两根． ①当时，求m的值； ②直接写出代数式的最小值． 【典例3-3】如果一元二次方程的两个根互为相反数，那么______________ 题型04 一元二次方程的应用 1、 一元二次方程应用中的常见数量关系 1. 几何问题 （1）面积公式：，，，； 说明：①a，b分别为长方形的长、宽； ②a为正方形的边长； ③r为圆的半径； ④a为三角形的一边长，h为边长为a的边上的高． （2）体积公式：，，，． 说明：①a，b，h分别为长方体的长、宽、高； ②a为正方体的棱长； ③R为圆柱底面圆的半径，h为圆柱的高； ④R为圆锥底面圆的半径，h为圆锥的高． 2. 传播问题 传染源+第一轮被传染的+第二轮被传染的=二轮传染后被传染的总数． 3. 计数问题 若参赛队伍数为n，则单循环赛中每队比赛场数为场，比赛总场数为场. 双循环赛中每队比赛场数为2场，比赛总场数为场． 4. 数字问题 两位数 十位数字 个位数字 三位数 百位数字 十位数字 个位数字 5. 平均增长（降低）率问题 设增长（降低）的基数为a，每次的平均增长率（降低率）为x，增长（降低）n次后的数量为b， 则增长率公式为，降低率公式为． 6. 销售利润问题 （1）利润=售价－进价； （2）利润率=； （3）售价=进价； （4）总利润=每件商品的利润×销售量=总收入－总支出． 2、 列一元二次方程解应用题的一般步骤 可简单地分为审、设、列、解、验、答六个步骤． （1）审：认真审题，分析题意，明确已知量、未知量及它们之间的关系； （2）设：用字母（如x）表示题目中的一个未知量； （3）列：根据等量关系，列出所需的代数式，进而列出方程； （4）解：解方程，求出未知数的值； （5）验：检验方程的解是否符合实际意义，不符合实际意义的舍去； （6）答：写出答案（包括单位名称)． 【典例4-1】甲、乙两种品牌的智能机器人采摘苹果，它们原来每分钟采摘的个数相同，现它们都提高采摘速度，其中甲品牌智能机器人连续两次提速的百分率都是，乙品牌智能机器人一次性提速的百分率是．提速后甲品牌智能机器人平均每分钟采摘的苹果个数是乙品牌智能机器人平均每分钟采摘的苹果个数的倍，则的值为（     ）． A． B． C． D． 【典例4-2】某物流园区的货运停车场为矩形，其面积为，停车场内共设计了如图所示的40个停车位，每个停车位的尺寸都一样，其长比宽的2倍还多．停车场内所有横、纵向的通车道的宽度均相等．设每个停车位的宽为． (1)请用含的代数式表示横向通车道的长； (2)求该停车场的每个停车位的宽． 【典例4-3】暑假期间某文旅公司生产一种文创产品，按照控制成本降价促销的原则，使生产的文创产品能够及时售出．据市场调查：每个文创产品按元销售时，每天可销售个．若销售单价每降低元，则每天可多售出个．已知每个文创产品的成本为元，并要求销售单价不得低于元．问这种文创产品的销售单价为多少元时，厂家每天可获利润元？ 一、选择题 1．若方程的两实根为，那么下列说法不正确的是（     ） A． B． C． D． 2．关于的方程中，若满足和，则该方程的根是（    ） A． B． C． D．无法确定 3．关于x的一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 4．若关于的方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 5．若关于x的方程有两个实数根，则k的取值范围是（     ） A． B．且 C． D． 6．已知三角形两边长分别为3和4，第三边的长是方程 的一个根，则此三角形的周长为（     ） A．13 B．14 C．15 D．13或15 7．关于的方程的两个根，满足，且，则的值为（     ） A． B． C． D． 8．设，是一元二次方程的两个根，则（     ） A．4 B．8 C．24 D．26 9．关于的一元二次方程，有下列四个结论：①若是该方程的一个根，则一定有成立；②若，则方程有一根为；③若该方程的解为和，则方程的解是或；④当，，时，方程一定有实数根．其中，正确的有（     ） A．①②③④ B．②③④ C．②③ D．②④ 10．已知整式，其中为整数，与均为正整数，且，记，请选出正确的选项（     ） A．若，则满足条件的多项式一共有8个 B．当，且取最小值时，将全部符合条件的多项式相加，结果是单项式 C．有两个实数根为，若，则的最小值为8 D．以上选项均不正确 二、填空题 11．将个数、、、排成两行、两列，两边各加一条竖线段，定义，上述记号就叫做二阶行列式，若 ，则______． 12．设，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的值为___________． 13．已知m、n是方程的两个根，代数式的值为________；的值为________． 14．已知的两个根为，则_______，_______，_______，_______，_______． 15．若方程的两根分别是方程的两根的相反数，则__________． 三、解答题 16．用配方法解下列方程 (1) (2) 17．用适当方法解下列方程 (1) (2) 18．在复习一元二次方程时，旺仔同学总结了三个知识点： 知识点一：根的判别式； 知识点二：求根公式； 知识点三：若一元二次方程的两个实数根为，，则． 根据以上知识点完成下列问题： (1)若一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)若一元二次方程的两个实数根为， ①计算 ， ； ②求的值； (3)若一元二次方程的两个实数根为，，且，直接写出的值． 19．某农场有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，现利用围墙和木栏围出一块矩形菜地，菜地左右两边各开一扇宽为米的门．已知木栏总长为米，左右两边的门均不消耗木栏． (1)如图，当时，设长为米． 请用含的代数式表示的长，并写出的取值范围． 若围成的菜地面积为平方米，求的长． (2)如图，当时，围成的菜地面积是否可以达到平方米？说明理由． 20．如图，在中，，，，点E为边上一点（不与B点重合，但可与C点重合），连接． (1)利用直尺和圆规作，使点E、F位于的异侧（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下． ①求； ②四边形可以为菱形吗？若能，求其边长；若不能，说明理由！ ③四边形为矩形时，直接写出的长． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $暑季研思・九年级上册数学暑期培优专项讲义 第二章 一元二次方程 知识归纳与题型总结 题型01 认识一元二次方程 一、一元二次方程的定义 定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程． 判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下四个标准： ①整式方程． ②方程中只含有一个未知数． ③化简后方程中未知数的最高次数是2． ④二次项的系数不为0 二、一元二次方程的一般形式 1.一元二次方程的一般形式是()，其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项. 2.（1）是一元二次方程一般形式的重要条件，但是b，c可以为0；（2）任何一个一元二次方程都可以化成一般形式；（3）一元二次方程的各项都包含它前面的符号. 3.一元二次方程的特殊形式. （1)当b=0时，得()； （2)当c=0时，得()； （3)当b=0且c=0时，得(). 3、 一元二次方程的根 一元二次方程的根：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.利用方程的根求待定系数时，只需将方程的根代入原方程再解关于待定系数的方程. 【典例1-1】已知a，b是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】2022 【分析】由一元二次方程的根可知，由韦达定理可知，将变形成，然后代入式子计算即可． 【详解】解：由可知，即， ∵a，b是方程的两个实数根， ∴，， 【典例1-2】已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义可得二次项系数不为，结合方程有两个不相等的实数根可得根的判别式，解不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程，且有两个不相等的实数根， 且， 即， 解得， 实数的取值范围是且． 【典例1-3】已知关于x的一元二次方程． (1)如果方程的一个根是2，求k的值 (2)求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根； 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）把代入原方程中得到关于k的方程，解方程即可得到答案； （2）只需要证明即可． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有一个根是2， ∴把代入得， 解得； （2）证明：由题意得， ， ∵， ∴， ∴无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根． 题型02 一元二次方程的解法 一、用直接开平方法解一元二次方程 1. 定义：根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法． 例如，解得． 一般地，对于方程p． 方程有两个不等的实数根， 方程有两个相等的实数根 方程无实数根 2. 直接降次解一元二次方程的步骤 （1）将方程化为p或的形式； （2）直接开平方化为两个一元一次方程； （3）解两个一元一次方程得到原方程的解． 二、用配方法解一元二次方程 1. 定义：解一元二次方程时，先把常数项移到右边，再把它的左边配成含有未知数的完全平方式，即将方程化为的形式，如果右边是一个非负数，那么就可以利用直接开平方的方法求解．这种通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法． 一般地，对于方程． 方程有两个不等的实数根， 方程有两个相等的实数根 方程无实数根 2. 用配方法解一元二次方程的步骤 （1）移项：将常数项移到方程的右边，含未知数的项移到方程的左边； （2）二次项系数化为1：方程左、右两边同时除以二次项系数； （3）配方：方程左、右两边同时加上一次项系数一半的平方； （4）开平方：利用平方根的意义直接开平方； （5）移项，合并同类项． 三、一元二次方程根的判别式 1. 对于一元二次方程，通过配方可得，则方程根的情况由的符号决定． 一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“”表示它，即． 2. 根的判别式的符号与一元二次方程根的情况 （1）一元二次方程有两个不相等的实数根； （2）一元二次方程有两个相等的实数根； （3）一元二次方程无实数根． 3. 应用 （1）不解方程判断一元二次方程根的情况； （2）根据方程根的情况求字母系数的取值范围． 四、公式法解一元二次方程 1. 当时，方程通过配方，其实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式． 将各系数直接代入求根公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法． 方程有两个不相等的实数根 方程有两个相等的实数根 方程无实数根 2. 利用公式法解一元二次方程的一般步骤 （1）把方程化为一般形式，确定a，b，c的值； （2）求出的值； （3）若，则将a，b，c的值代人求根公式求出方程的根，若，则方程无实数根． 【典例2-1】某同学解一元二次方程的步骤如下： (1)小张认为解答过程有错误，开始出现错误的是第 步；（填序号） (2)请写出你认为正确的解答过程． 【答案】(1)第②步 (2)或 【分析】不能在不确定的前提下，等式两边同时除以，否则会漏掉这个解，正确做法是移项后因式分解求解方程． 【详解】（1）第②步 （2）解：， ， 或． 【典例2-2】小芳在解关于的方程时采用了下面的方法： 解： ． 因为，① 所以．② ，得． 两边平方，得， ． 经检验，是原方程的解． 请你学习小芳的方法，解决下列问题： (1)已知，则________． (2)若，求的值． (3)实数满足，求的值． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】本题可以仿照题干，先利用平方差公式转化，然后将两式相加后再除以2求解，最后检验即可． 【详解】（1）解： ， ∵ ∴； （2）解： ． ，① ．② ，得． 两边平方得， 解得， 经检验，是原方程的解． （3）解： ． ，① ．② ，得． 两边平方得， 整理得， 解得，． ， ∴舍去 ． 【典例2-3】已知关于x的一元二次方程． (1)当时，求方程的解． (2)若是方程的一个解，求b的值和方程的另一个解． 【答案】(1)， (2)，方程的另一个解为 【分析】（1）当时，方程为，运用因式分解法求解即可； （2）把代入方程，求出b的值，再解方程即可解答． 【详解】（1）解：当时，方程为， 因式分解，得， 所以或， 解得，． （2）解：∵是方程的一个解， ∴， ∴， ∴方程为， 因式分解，得， 解得，， ∴方程的另一个解为． 题型03 一元二次方程的根与系数的关系 1. 对若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根，则有x1＋x2＝－，x1x2＝. 即：任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比． 2. 判断根的正负性：在的条件下，我们有如下结论： （1）当时，方程的两根必一正一负． ①若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；②若，则此方程的正根小于负根的绝对值． （2）当时，方程的两根同正或同负． ①若，则此方程的两根均为正根；②若，则此方程的两根均为负根． 注意：（1）若，则方程必有实数根． （2）若，方程不一定有实数根． 【典例3-1】已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个相等的实数根，求的值． (2)设，是方程的两个实数根，当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用判别式求解； （2）根据根与系数的关系（韦达定理）与完全平方式的变形求解． 【详解】（1）解：∵方程有两个相等的实数根， ， ． （2）解：，是方程的两个实数根，， ，． ． 【典例3-2】已知关于x的方程． (1)求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若，是方程的两根． ①当时，求m的值； ②直接写出代数式的最小值． 【答案】(1)将，整理得 ， ∴， 无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根 (2)①；②0 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式解答即可； （2）①把代入方程，即可求解；②利用一元二次方程根与系数的关系可得，，再代入，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：①把代入方程，得， ． ②将，整理得 ∵，是方程的两根， ，， ∴， 所以代数式的最小值为0． 【典例3-3】如果一元二次方程的两个根互为相反数，那么______________ 【答案】 【分析】利用相反数的性质得到两根之和为0，结合一元二次方程根与系数的关系列式求解即可． 【详解】解：设一元二次方程的两根为，， ∵两根互为相反数， ∴， 该方程中，，根据根与系数的关系可得， 因此得， 解得． 当时，，方程有两个实数根， ∴． 题型04 一元二次方程的应用 1、 一元二次方程应用中的常见数量关系 1. 几何问题 （1）面积公式：，，，； 说明：①a，b分别为长方形的长、宽； ②a为正方形的边长； ③r为圆的半径； ④a为三角形的一边长，h为边长为a的边上的高． （2）体积公式：，，，． 说明：①a，b，h分别为长方体的长、宽、高； ②a为正方体的棱长； ③R为圆柱底面圆的半径，h为圆柱的高； ④R为圆锥底面圆的半径，h为圆锥的高． 2. 传播问题 传染源+第一轮被传染的+第二轮被传染的=二轮传染后被传染的总数． 3. 计数问题 若参赛队伍数为n，则单循环赛中每队比赛场数为场，比赛总场数为场. 双循环赛中每队比赛场数为2场，比赛总场数为场． 4. 数字问题 两位数 十位数字 个位数字 三位数 百位数字 十位数字 个位数字 5. 平均增长（降低）率问题 设增长（降低）的基数为a，每次的平均增长率（降低率）为x，增长（降低）n次后的数量为b， 则增长率公式为，降低率公式为． 6. 销售利润问题 （1）利润=售价－进价； （2）利润率=； （3）售价=进价； （4）总利润=每件商品的利润×销售量=总收入－总支出． 2、 列一元二次方程解应用题的一般步骤 可简单地分为审、设、列、解、验、答六个步骤． （1）审：认真审题，分析题意，明确已知量、未知量及它们之间的关系； （2）设：用字母（如x）表示题目中的一个未知量； （3）列：根据等量关系，列出所需的代数式，进而列出方程； （4）解：解方程，求出未知数的值； （5）验：检验方程的解是否符合实际意义，不符合实际意义的舍去； （6）答：写出答案（包括单位名称)． 【典例4-1】甲、乙两种品牌的智能机器人采摘苹果，它们原来每分钟采摘的个数相同，现它们都提高采摘速度，其中甲品牌智能机器人连续两次提速的百分率都是，乙品牌智能机器人一次性提速的百分率是．提速后甲品牌智能机器人平均每分钟采摘的苹果个数是乙品牌智能机器人平均每分钟采摘的苹果个数的倍，则的值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出原来的采摘个数，根据甲品牌智能机器人连续两次提速的百分率都是列出，再根据乙品牌智能机器人一次性提速的百分率是列出，最后根据提速后甲品牌智能机器人平均每分钟采摘的苹果个数是乙品牌智能机器人平均每分钟采摘的苹果个数的倍列出方程求解即可． 【详解】设甲、乙原来每分钟采摘苹果的个数为，其中， 根据题意列方程：， ，两边约去得：， 展开整理得：， 因式分解得：， 解得，（舍）， 答：的值为． 【典例4-2】某物流园区的货运停车场为矩形，其面积为，停车场内共设计了如图所示的40个停车位，每个停车位的尺寸都一样，其长比宽的2倍还多．停车场内所有横、纵向的通车道的宽度均相等．设每个停车位的宽为． (1)请用含的代数式表示横向通车道的长； (2)求该停车场的每个停车位的宽． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据长比宽的2倍多表示出停车位的长，再结合图形中横向停车位的排列数量，加上通车道宽度相关的部分，得到横向通车道的长的表达式； （2）结合图形分别表示出整个停车场的长和宽，利用停车场面积为建立方程，并解方程，结合实际意义对根进行取舍，得到停车位的宽即可． 【详解】（1）解：∵每个停车位的宽为，且长比宽的2倍多， ∴停车位的长为， 观察图形可得横向通车道的长为4个停车位的宽与两个停车位长的和， ∴横向通车道的长为； （2）解：由题意得： 整理得： 解得：，（舍去） 答：货运停车场的每个停车位的宽为． 【典例4-3】暑假期间某文旅公司生产一种文创产品，按照控制成本降价促销的原则，使生产的文创产品能够及时售出．据市场调查：每个文创产品按元销售时，每天可销售个．若销售单价每降低元，则每天可多售出个．已知每个文创产品的成本为元，并要求销售单价不得低于元．问这种文创产品的销售单价为多少元时，厂家每天可获利润元？ 【答案】这种文创产品的销售单价为元时，厂家每天可获利润元 【分析】设这种文创产品的销售单价为元时，厂家每天可获利润元，然后根据利润公式建立一元二次方程求解． 【详解】解：设这种文创产品的销售单价为元时，厂家每天可获利润元，根据题意得 解得，． ∵销售单价不得低于元， ． 答：这种文创产品的销售单价为元时，厂家每天可获利润元． 一、选择题 1．若方程的两实根为，那么下列说法不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根和与两根积，再对各选项变形计算，即可找出错误选项. 【详解】解：∵方程的两实根为、， ∴，； 对选项A：，A正确； 对选项B：，B正确； 对选项C：，C正确； 对选项D：，D不正确. 2．关于的方程中，若满足和，则该方程的根是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据方程根的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根，将题目给出的等式与一元二次方程的一般形式对比，即可得到对应满足方程的x的值． 【详解】解：∵ 方程为 当时，代入方程左边得， 由题可知， ∴ 是方程的根， 当时，代入方程左边得， 由题可知， ∴ 是方程的根 ∴方程的根为． 3．关于x的一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用方程有两个相等实数根得到判别式为0，结合已知条件整理得到a，b，c的关系，进而判断选项． 【详解】解：关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ，且， ， ， 将代入，得， 整理，得， ， ， 将代入，得， ， 故C正确； ， ， 故A错误； ， 故B错误； ，a的值不确定， 不一定等于， 故D错误． 4．若关于的方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】A 【分析】当，即时，原方程为一元一次方程，满足题意；当，即时，原方程是一元二次方程，利用判别式求出此时m的取值范围即可得到答案． 【详解】解：当，即时，此时原方程为，解得，有实数根，符合题意； 当，即时，原方程是一元二次方程， ∵原方程有实数根， ∴， ∴， 解得，即此时满足条件的范围是且， 综上所述，的取值范围是． 5．若关于x的方程有两个实数根，则k的取值范围是（     ） A． B．且 C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程需满足二次项系数不为0，且判别式大于等于0，据此列不等式组求解即可． 【详解】解：∵方程有两个实数根 ∴，解得且． 综上，的取值范围是且． 6．已知三角形两边长分别为3和4，第三边的长是方程 的一个根，则此三角形的周长为（     ） A．13 B．14 C．15 D．13或15 【答案】A 【分析】先解一元二次方程得到第三边的两个可能值，再根据三角形三边关系排除不能构成三角形的边长，最后计算周长得到答案． 【详解】解：， 解得，， ∵三角形的两边长为3和4，根据三角形三边关系可得第三边 ， 即第三边 ， ∴不符合要求，舍去， 则第三边长为6， ∴此三角形的周长为． 7．关于的方程的两个根，满足，且，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对原一元二次方程变形因式分解，得到方程的两个根，再结合题目给出的根的大小关系和倍数关系列方程，求解得到的值． 【详解】解：∵ 原方程可变形为， 由平方差公式因式分解得 ， ∴ 方程的两个根为和， ∵ ，， ∴ ，，代入关系式得 ， 展开整理得 ， 因此的值为． 8．设，是一元二次方程的两个根，则（     ） A．4 B．8 C．24 D．26 【答案】C 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再利用完全平方公式将所求式子变形，代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵ ，是一元二次方程的两个根， ∴，， 又∵ ， ∴ 代入得． 9．关于的一元二次方程，有下列四个结论：①若是该方程的一个根，则一定有成立；②若，则方程有一根为；③若该方程的解为和，则方程的解是或；④当，，时，方程一定有实数根．其中，正确的有（     ） A．①②③④ B．②③④ C．②③ D．②④ 【答案】D 【分析】根据根的判别式、一元二次方程的解，逐个验证结论，结合条件推导判别式的符号，最终确定正确选项． 【详解】解：① 将代入方程，得， 提取公因式得， 当时等式恒成立，不一定满足，故①错误； ② 将代入方程，得，由条件，可得， 因此是方程的根，故②正确； ③原方程的解为和，则原方程可写为， 展开得，即，， 代入新方程得：，， 整理得， 解得或，故③错误； ④ 由条件，，， 可得， 若，则， 可推出，与矛盾， 因此， 方程判别式， 因为，，所以， ，方程一定有实数根，故④正确. 综上，正确结论为②④． 10．已知整式，其中为整数，与均为正整数，且，记，请选出正确的选项（     ） A．若，则满足条件的多项式一共有8个 B．当，且取最小值时，将全部符合条件的多项式相加，结果是单项式 C．有两个实数根为，若，则的最小值为8 D．以上选项均不正确 【答案】B 【分析】先根据题干给出的系数绝对值递增条件，结合整数性质，对每个选项逐一分析，分别计算验证，判断选项正误. 【详解】选项A：当时，为正整数， 时，满足条件的多项式共个； 时，满足且和为的绝对值组合共组，每组对应个多项式，共个； 时，最小系数绝对值和为， 不存在.总共有个满足条件的多项式，A错误. 选项B：当，取最小值时， 系数绝对值为从小到大排列的个最小正整数， 即， 仅最高次系数符号固定为正，其余系数每个都可取正负， 所有符合条件的多项式相加时，任意次数低于的项，系数正负个数相等，相加和为， 仅剩余最高次项，结果为单项式，B正确. 选项C：对于， 由， 整理得， 由， 得， 故， ∵判别式， 由得， 故，不存在两个实根，C错误. 选项D：∵B正确，故D错误. 二、填空题 11．将个数、、、排成两行、两列，两边各加一条竖线段，定义，上述记号就叫做二阶行列式，若 ，则______． 【答案】或 【分析】根据定义可得 ，解方程即可得到答案． 【详解】解： ， ， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴ ， 解得或． 12．设，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的值为___________． 【答案】 【分析】根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，将所求代数式因式分解后整体代入计算即可． 【详解】解：是一元二次方程的两个实数根， 由根与系数的关系可得，， ． 13．已知m、n是方程的两个根，代数式的值为________；的值为________． 【答案】 【分析】对于第一空 ，根据单项式乘以多项式的运算法则和平方差公式去括号，然后合并同类项化简，根据方程的解的定义推出，再由可得答案；对于第二空，由根与系数的关系得到，再根据完全平方公式的变形求解即可． 【详解】解： ， ∵m是方程的一个根， ∴， ∴， ∴； ∵m、n是方程的两个根， ∴， ∴ ． 14．已知的两个根为，则_______，_______，_______，_______，_______． 【答案】 / 【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系的应用，先根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再将所求代数式变形为含两根之和与两根之积的形式，代入计算即可得到结果． 【详解】解：对于一元二次方程，其中二次项系数，一次项系数，常数项， 根据根与系数的关系可得：，， ∴； ； ， ． 15．若方程的两根分别是方程的两根的相反数，则__________． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，得到关于的方程组，求解得到的值后即可计算出的结果． 【详解】解：设方程的两根为， 由题意可知，方程的两根为， 根据一元二次方程根与系数的关系， 对可得，； 对可得，， 整理得，； 联立得方程组， 解得， 因此． 三、解答题 16．用配方法解下列方程 (1) (2) 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查用配方法解一元二次方程．先将方程整理为标准形式，第二题先将二次项系数化为1，再通过配方将方程化为完全平方等于常数的形式，最后用直接开平方法求解即可． 【详解】（1）解： 移项得 配方，方程两边同时加16得 整理得 开方得 解得，． （2）解： 移项得 二次项系数化为1得 配方，方程两边同时加得 整理得 解得． 17．用适当方法解下列方程 (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： ∴或 解得，． （2）解： 移项得 开平方得 解得，． 18．在复习一元二次方程时，旺仔同学总结了三个知识点： 知识点一：根的判别式； 知识点二：求根公式； 知识点三：若一元二次方程的两个实数根为，，则． 根据以上知识点完成下列问题： (1)若一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)若一元二次方程的两个实数根为， ①计算 ， ； ②求的值； (3)若一元二次方程的两个实数根为，，且，直接写出的值． 【答案】(1) (2)① ，；② (3) 【分析】（1）利用方程有两个不相等的实数根得判别式大于0，解不等式得到k的取值范围； （2）直接根据根与系数的关系得到两根和与两根积，再展开所求代数式，整体代入计算结果； （3）先由方程有两个实数根得判别式非负，再利用根与系数关系变形已知等式得到关于的方程，求解后舍去不符合条件的解得到的值． 【详解】（1）解：一元二次方程有两个不相等的实数根， 判别式， 解得：， 的取值范围为； （2）解：①根据题意得：方程， 由根与系数的关系得：，， ② ； （3）解：方程有两个实数根， 判别式， 解得：， 由根与系数的关系得：、， ， ， ， 整理得：， 解得：或， ， ． 19．某农场有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，现利用围墙和木栏围出一块矩形菜地，菜地左右两边各开一扇宽为米的门．已知木栏总长为米，左右两边的门均不消耗木栏． (1)如图，当时，设长为米． 请用含的代数式表示的长，并写出的取值范围． 若围成的菜地面积为平方米，求的长． (2)如图，当时，围成的菜地面积是否可以达到平方米？说明理由． 【答案】(1)，；； (2)解：不可以，理由如下， 设长为米， 当时，， 则围成的菜地面积， ， ∴方程无实数根， ∴围成的菜地面积不可以达到平方米． 【分析】根据图形和条件确定边长表达式； 根据面积公式列出方程求解即可； 根据面积公式列出方程，再根据一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】（1）解：， 由题意得，解得； ∵围成的菜地面积为平方米， ∴，整理得， 解得，（舍去）， ∴的长为米； （2）略． 20．如图，在中，，，，点E为边上一点（不与B点重合，但可与C点重合），连接． (1)利用直尺和圆规作，使点E、F位于的异侧（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下． ①求； ②四边形可以为菱形吗？若能，求其边长；若不能，说明理由！ ③四边形为矩形时，直接写出的长． 【答案】(1)如图：即为所求． (2)①；②四边形可以为菱形，菱形的边长为；③3和6． 【分析】（1）以A为圆心，以为半径画弧；以D为圆心，以为半径画弧；两弧交于点F，连接，即可得到； （2）①如图：过E作于H，过A作于G，则四边形是矩形，即，利用平行四边形的性质、含30度直角三角形的性质以及勾股定理可得，易得，最后根据平行四边形的对角线将平行四边形分成面积相等的两部分即可解答；②如图：过E作于H，过A作于G，由①，利用菱形的性质、等腰三角形三线合一以及勾股定理求解即可；③如图：过E作于H，过A作于G，则四边形是矩形，即，，由①，，设，则，易得，，再利用矩形的性质以及勾股定理列方程求得x，进而求得的长． 【详解】（1）略 （2）解：①如图：过E作于H，过A作于G， ， ∵在中，， ∴， 则四边形是矩形，即， ∵在中，，，，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴． ②四边形可以为菱形， 如图：过E作于H，过A作于G，由①， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴，即菱形的边长为； ③如图：过E作于H，过A作于G，则四边形是矩形，即，，由①，, 设，则， ∵， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴或， 当时，； 当时，，此时点E和点C重合，符合题意． 综上，的长为3和6． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $