3.1 第1课时 比例线段及相似多边形（教学设计）-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦“比例线段及相似多边形”核心知识点，从回顾小学比的知识切入，通过观察形状相同图形引出线段比，再用格点五边形探究成比例线段，逐步过渡到相似多边形，构建连贯知识支架。 资料以合作探究为主线，“议一议”“做一做”引导学生观察图形抽象概念，培养抽象能力与几何直观，“思考”环节探究比例性质与相似判定发展推理意识，结合黑板边框等实例提升应用意识，助力学生数学眼光与思维发展，也为教师提供清晰教学路径。

第三章　图形的相似 1　相似多边形 第1课时　比例线段及相似多边形 1.知道线段的比的概念，会计算两条线段的比． 2.理解成比例线段的概念及掌握成比例线段的判定方法． 3.理解相似的概念，会判断相似图形；理解相似三角形、相似多边形、相似比的概念，掌握相似三角形的性质． 4.通过现实情境，进一步发展学生从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的能力，培养学生的数学应用意识． 重点：准确计算两条线段的比；理解相似多边形、相似比的概念． 难点：成比例线段的判定；相似多边形的性质． 知识链接 　　我们小学就学习过比，你还记得比的有关知识点吗？ 　探究点一：线段的比和成比例线段 议一议：观察教材P60图3－1的图片，你能找出形状相同的图形吗？这些形状相同的图形有什么不同？ 形状相同而大小不同的两个平面图形，较大的图形可以看成是由较小的图形“放大”得到的，较小的图形可以看成是由较大的图形“缩小”得到的．在这个过程中，两个图形上的相应线段也被“放大”或“缩小”．因此，对于形状相同而大小不同的两个图形，我们可以用相应线段长度的比来描述它们的大小关系． 概念引入：如果选用同一个长度单位量得两条线段AB，CD的长度分别是m，n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即AB∶CD=m∶n，或写成=，其中，线段AB，CD分别叫作这个线段比的前项和后项．如果把表示成比值k，那么=k，或AB=k•CD．两条线段的比实际上就是两个数的比．  （1）若线段AB=6 cm，CD=4 cm，则=　　． （2）若线段AB=8 cm，CD=2 dm，则=　　． 思考：两条线段长度的比与所采用的长度单位是否有关？ 有关，求两条线段的比时，所使用的长度单位应该统一． 做一做：如图，已知小方格的边长均为1，五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′的顶点都在格点上． 问题1：AB，AE，A′B′，A′E′的长度分别是多少？ 解：AB=2，AE=2，A′B′=1，A′E′=． 问题2：分别计算，，，的值，你发现了什么？ 解：==2，==2，==，==，=，=． 概念引入：四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即=，那么这四条线段a，b，c，d叫作成比例线段，简称比例线段．在图中，AB，A′B′，BC，B′C′是成比例线段，AB，BC，A′B′，B′C′也是成比例线段．  判断下列线段a，b，c，d是否是成比例线段： （1）a=4，b=6，c=5，d=10；（2）a=2，b=，c=2，d=5． 解：（1）∵==，==，∴≠．∴线段a，b，c，d不是成比例线段． （2）∵==，==，∴=．∴线段a，b，c，d是成比例线段． 思考：如果a，b，c，d四个数成比例，即=，那么ad=bc吗？如果ad=bc，那么等式=还成立吗？与同伴交流． 归纳总结：如果=，那么ad=bc．如果ad=bc（a，b，c，d都不等于0），那么=． 　探究点二：相似多边形的定义与性质 观察图，你认为五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′的形状相同吗？ 问题1：在这两个多边形中，是否有对应相等的内角？设法验证你的猜想． 可以使用度量法测量每个角的大小．∠A与∠A′，∠B与∠B′，∠C与∠C′，∠D与∠D′，∠E与∠E′分别相等，称为对应角． 问题2：在这两个多边形中，相等内角的两边是否成比例？ AB与A′B′，BC与B′C′，CD与C′D′，DE与D′E′，EA与E′A′的比都相等，称为对应边． 概念引入：各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫作相似多边形．五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′相似，记作：五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′，“∽”读作“相似于”．相似多边形的对应边的比叫作相似比．  下列各选项中的矩形与如图所示的矩形不相似的是（A）  如图，四边形ABCD和四边形EFGH相似，求角α，β的大小和EH的长度x． 解：∵四边形ABCD和四边形EFGH相似，∴它们的对应角相等．由此可得∠α=∠C=83°，∠A=∠E=118°．在四边形ABCD中，∠β=360°－（78°＋83°＋118°）=81°．∵四边形ABCD和四边形EFGH相似，∴它们的对应边成比例，由此可得=，即=，解得x=28. 思考： （1）两个全等三角形相似吗？为什么？ 相似．两个全等三角形对应角相等，对应边相等，它们是相似比为1的相似三角形． （2）任意两个等边三角形相似吗？任意两个正方形呢？任意两个正n边形呢？ 已知等边三角形的每个角都为60°，三边都相等．所以满足边数相等，对应角相等，以及对应边的比相等．同理，任意两个正方形也相似．任意两个边数相等的正多边形都相似． （3）任意的两个菱形相似吗？ 任意的两个菱形不一定相似，因为各内角不一定都相等． 做一做：一块长3.1 m、宽1.5 m的矩形黑板如图所示，镶在其外围的木质边框宽7.5 cm．边框的内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？ 不相似．因为两个矩形的边不成比例． 1.下列线段中，能成比例的是(　D　) A.3cm，6cm，8cm，9cm B.3cm，5cm，6cm，9cm C.3cm，6cm，7cm，9cm D.3cm，6cm，9cm，18cm 2.已知2x＝3y，则下列比例式成立的是(　C　) A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ 3.如图，点B是线段AC上的一点，且线段AB∶BC＝2∶3，则线段AB∶AC等于(　A　) A.2∶5 B.5∶2 C.3∶5 D.5∶3 4.下列图形一定相似的是(　D　) A.所有的三角形 B.所有的菱形 C.所有的矩形 D.所有的正方形 5.已知矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，下列四个矩形中与矩形ABCD相似的是(　A　) 　　 　　 　　 　　 　　 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $