第二章 一元二次方程【章末复习】（课件）-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了一元二次方程的定义、解法、根的判别式、韦达定理及五大实际应用题型，通过知识框架图将“列式-解方程-检验取舍”核心逻辑串联，构建从基础到综合的知识网络。 其亮点在于“考点解析-易错警示-分层训练”模式，如用菱形边长问题考查方程根的实际意义，培养数学抽象与推理能力，通过错题笔记强化应用意识。分层设计让学生巩固知识，教师可精准教学，提升复习效率。

北师大版数学9年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月3日 章末复习 第二章 一元二次方程 第二章 一元二次方程（全章完整精讲讲义） 本章为九年级数学核心重点、中考必考章节，主要包含：一元二次方程基础定义、四种解方程方法、根的判别式与韦达定理、五大实际应用题型。全章以「列式—解方程—检验取舍」为核心逻辑，计算题、应用题高频考察，是后续函数、几何综合题的基础。 2.1 一元二次方程基础 2.1.1 一元二次方程的定义 1. 定义三要素（缺一不可） 只含一个未知数、未知数最高次数为2、整式方程，叫做一元二次方程。 2. 一般形式 $$ax^2+bx+c=0\ (a eq0)$$ 核心说明：$$a eq0$$（保证是二次方程），$$b、c$$ 可以为0；$$ax^2$$二次项、$$bx$$一次项、$$c$$常数项，所有系数包含正负号。 3. 非一元二次方程辨析 分式方程、根式方程、多元方程、最高次数不为2的方程，均不是一元二次方程。 2.1.2 一元二次方程的解及其估算 1. 方程的根（解） 能使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的根。若 $$x=m$$ 是方程的根，则直接代入等式成立，常用于参数求解、整体代换求值。 2. 近似解估算法（夹值法） 设 $$y=ax^2+bx+c$$，若两个相邻自变量对应的函数值一正一负，则该区间内存在方程的实数根，可逐步逼近得到近似解。 2.2 一元二次方程的四种解法（计算核心） 2.2.1 直接开平方法 1. 适用形式 $$x^2=p$$ 或 $$(mx+n)^2=p\ (m eq0)$$ 2. 根的判定 $$p>0$$：两个不相等实数根；$$p=0$$：两个相等实数根；$$p<0$$：无实数根。 3. 易错点：开平方必须加 $$\pm$$，切勿漏根。 2.2.2 配方法（1）（二次项系数为1） 口诀：一次项系数一半方，左右同加配平方 步骤：移常数项→两边加一次项系数一半的平方→整理为完全平方式→开方求解。 2.2.2 配方法（2）（二次项系数不为1） 通用满分步骤：两边同除二次项系数（化系数为1）→移项→配方→开方求解。 核心禁忌：系数不为1时，不可直接配方，必须先化系数为1。 2.2.3 公式法（万能解法） 1. 根的判别式 $$\Delta=b^2-4ac$$ $$\Delta>0$$：两不等实根；$$\Delta=0$$：两相等实根；$$\Delta<0$$：无实根。 2. 求根公式（$$\Delta\ge0$$） $$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$ 3. 步骤：化一般式→找系数→算判别式→代入公式→化简结果。 2.2.4 因式分解法（最快解法） 1. 核心原理 若 $$ab=0$$，则 $$a=0$$ 或 $$b=0$$。 2. 常用分解方式 提公因式法、平方差公式、完全平方公式、十字相乘法。 3. 禁忌：切勿随意两边约分含未知数的式子，会丢失根。 2.3 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 1. 核心公式（$$\Delta\ge0$$） 方程 $$ax^2+bx+c=0$$ 两根为 $$x_1、x_2$$，则： $$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}，x_1x_2=\dfrac{c}{a}$$ 2. 高频代数式变形 $$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$$ $$\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}$$ $$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$$ 3. 常考题型 代数式整体求值、已知一根求参数、已知两根构造方程、判断根的正负性。 2.4 一元二次方程的实际应用（压轴重点） 2.4.1 行程动点问题 & 平均变化率问题 1. 平均变化率模型 两次增长：$$a(1+x)^2=b$$；两次降低：$$a(1-x)^2=b$$，负根一律舍去。 2. 几何动点问题 设运动时间 $$t$$，用含 $$t$$ 式子表示边长，结合面积、勾股定理列方程，根据运动范围取舍根。 2.4.2 营销问题及其他综合问题 1. 营销核心公式 单件利润=售价-进价，总利润=单件利润×销量 涨价→销量减少，降价→销量增加，结合实际取舍根（让利、价格限制、销量为正）。 2. 补充经典模型 传播问题：$$(1+x)^2=\text{总人数}$$ 单循环握手/比赛：$$\dfrac{n(n-1)}{2}=\text{总次数}$$ 双循环比赛：$$n(n-1)=\text{总场数}$$ 全章核心解题总结 1. 解方程方法择优 能因式分解优先因式分解→可开平方法用开平方法→复杂方程用公式法→题目指定用配方法。 2. 应用题通用步骤 设未知数→列方程→解方程→检验实际意义→作答（取舍根是得分关键）。 3. 高频易错汇总 1. 韦达定理两根之和易丢负号；2. 配方、开方遗漏符号和项；3. 应用题不检验，保留负数、超范围根；4. 营销问题误用售价代替利润；5. 无判别式验证乱用韦达定理。 一、一元二次方程的基本概念 1.定义： 只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为 ax2＋bx＋c＝0 (a，b，c 为常数，a ≠ 0) 的形式，这样的方程叫作一元二次方程． 2.一般形式： ax2 ＋ bx ＋c＝0 (a，b，c 为常数，a ≠ 0) 3. 项数和系数： ax2 ＋ bx ＋ c ＝0 (a，b，c 为常数，a ≠ 0) 中， 一次项：ax2 一次项系数：a 二次项：bx 二次项系数：b 常数项：c 4. 注意事项： (1) 含有一个未知数； (2) 未知数的最高次数为 2； (3) 二次项系数不为 0； (4) 整式方程． 二、解一元二次方程的方法 一元二次方程的各种解法及适用类型 一元二次方程的解法 适用的方程类型 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解 x2 + px + q = 0 ( p2 - 4q≥0) (ax + m)2 = n (a ≠ 0，n≥0) ax2 + bx +c = 0 (a ≠ 0，b2 - 4ac≥0) (ax + m)(bx + n) = 0 (ab ≠ 0) 三、一元二次方程的实际应用 列方程解应用题的一般步骤： 审 设 列 解 检 答 (1)审题：通过审题弄清已知量与未知量之间的数量关系； (2)设元：就是设未知数，分直接设与间接设，应根据实际需要恰当选取设元法； (3)列方程：就是建立已知量与未知量之间的等量关系，列方程这一环节至关重要，决定着能否顺利解决实际问题； (4)解方程：用适当的方法求出方程的根； (5)检验：一验所得根是否为方程的根，二验是否符合题意和实际； (6)作答：即写出答语，遵循问什么答什么的原则写清答语． 例1 若关于 x 的方程 (m - 1)x2 + mx - 1 = 0 是一元二次方程，则 m 的取值范围是( ) A. m ≠ 1 B. m = 1 C. m≥1 D. m ≠ 0 解析 本题考查了一元二次方程的定义，即方程中必须有二次项 (二次项系数不为 0)，因此它的系数 m - 1 ≠ 0 A 1. 方程 5x2 - x - 3 = x2 - 3 + x 的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 . 4 -2 0 考点一 一元二次方程的定义 【针对训练】 解析 根据一元二次方程根的定义，将 x = 0 代入原方程，左右两边相等，则有 m2 - 1 = 0，解得 m = ±1. 舍去 1，应填 -1. 这种解题方法我们称之为“有根必代”. 例2 若关于 x 的一元二次方程 (m - 1)x2 + x + m2 - 1 = 0 有一个根为 0，则 m = . 【易错提示】由于原方程是一元二次方程，所以 m 的值为 1 不符合其定义，应舍去，要引起注意. -1 考点二 一元二次方程的根的定义的应用 2. 一元二次方程 x2 + px - 2 = 0 的一个根为 2， 则 p 的值为 . -1 【针对训练】 【易错提示】(1)配方法的前提是二次项系数是 1；(a - b)2 与 (a + b)2 要准确区分；（2）求三角形的周长，不能盲目地将所得边长相加，而应养成检验三边长能否构成三角形的好习惯. 解析 (1) 配方法的关键是配上一次项系数一半的平方； (2) 先求出方程 x2﹣13x + 36 = 0 的两根，再根据三角形的三边关系，得到符合题意的边，进而求得三角形周长． 例3 (1) 用配方法解方程 x2 - 2x - 5 = 0 时，原方程应变为（ ） A.(x - 1)2 = 6 B.(x + 2)2 = 9 C.(x + 1)2 = 6 D.(x - 2)2 = 9 (2) (易错题) 三角形两边长分别为 3 和 6，第三边的长是方程 x2﹣13x + 36 = 0 的根，则该三角形的周长为（　 ） A．13 B． 15 C．18 D．13 或 18 A A 考点三 一元二次方程的解法 3. 菱形 ABCD 的一条对角线长为 6，边 AB 的长是方程 x2 - 7x + 12 = 0 的一个根，则菱形 ABCD 的周长为( ) A. 16 B. 12 C. 16 或 12 D. 24 A 【针对训练】 4. 用公式法和配方法分别解方程：x2 - 4x - 1 = 0（要求写出必要解题步骤）. 解： 4. 用公式法和配方法分别解方程：x2 - 4x - 1 = 0（要求写出必要解题步骤）. 解： 例4 已知关于 x 的一元二次方程 x2 - 3m = 4x 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是( ) A. B. m ＜ 2 C. m≥0 D. m＜0 A 【易错提示】应用根的判别式之前务必将方程化为一般形式，这样能帮助我们正确确定 a，b，c 的值. 解析 根据方程根的情况可知，判别式 Δ＞0，即 42 - 4×1×(-3m) = 16 + 12m＞0，解得 . 考点四 一元二次方程的根的判别式的应用 考点1 一元二次方程的有关概念 1. 下列方程中：； ； ； ； ，一元二次方程 有( ) B A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 返回 考试考法 14 2. 关于的一元二次方程 有一根为0,则 的值为( ) A A. 2 B. C. 2或 D. 3.把一元二次方程 化成一般 形式为________________. 返回 考试考法 15 考点2 一元二次方程的解法 4.用配方法解一元二次方程 ，得 到，从而解得方程的一根为1，则 ___. 3 【点拨】由可得， ， 即或 方程的一根为1，且，则 ， 即. 原方程为 ，整理,得 ，. . 返回 考试考法 16 5.解方程： （1） ； 【解】， . ， . 考试考法 17 （2） ；（配方法） ， . . . ， . （3） ； ， . ， . 考试考法 18 （4） . 原方程可化为 . ,, , . . , . 返回 考试考法 19 考点3 一元二次方程根的判别式 6. 关于的一元二次方程 的根的情况是 ( ) A A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 返回 考试考法 20 7. [2025内江] 若关于 的一元二次方程 有实数根，则实数 的取值范围是 ( ) C A. B. C. 且 D. 且 【点拨】 关于的一元二次方程 有 实数根，，且 ， 解得且 . 返回 考试考法 21 考点4 一元二次方程的根与系数的关系 8.[2025广安] 已知方程的两根分别为和 ， 则代数式 的值为____. 29 【点拨】 方程的两根分别为和 ， ,,， 返回 考试考法 22 9.关于的一元二次方程 有两个不同的实 数根，，且，则 ____. 【点拨】根据题意，得, . ，. . ，., 或 . 不合题意，舍去. . 返回 考试考法 23 10.若关于的一元二次方程 有 两个实数根， . （1）求 的取值范围； 【解】根据题意，得 ，解得 . 考试考法 24 （2）若， 恰好是对角线长为6的矩形的相邻两边的边长， 求 的值. 由根与系数的关系可知， . ，恰好是对角线长为6的矩形的相邻两边的边长，.整理，得，解得, . 又，且， . 返回 考试考法 25 考点5 一元二次方程的应用 11. 燕几（即宴几） 是世界上最早的一套组合桌，设计 者是北宋进士黄伯思.全套燕几一共 有七张桌子，每张桌子高度相同.其 桌面共有三种尺寸，包括2张长桌、2张中桌和3张小桌，它 们的宽都相同.七张桌面可以拼成一个大的长方形，或者分开 考试考法 26 组合成不同的图形，其组合方式丰 富多样，燕几也被认为是现代七巧 板的前身.如图给出了《燕几图》中 列出的名称为 “函三” 和“回文”的两 种桌面拼合方式.若全套七张桌子桌 面的总面积为61.25平方尺，则长桌 的长为___尺. 7 考试考法 【点拨】设每张桌子的桌面宽为 尺，根据题图可得，小桌 的长为尺，中桌的长为尺，长桌的长为 尺，故可得 ，解得， （不合题意，舍去）， ，故长桌的长为7尺. 返回 考试考法 28 12. 某运动品牌销售一款运动 鞋，已知每双运动鞋的成本价为60元，当 售价为100元时，平均每天能售出200双， 经过一段时间销售发现，平均每天售出的 运动鞋数量（双）与降低价格 （元） 之间存在如图所示的函数关系. 考试考法 29 （1）求出与 的函数关系式. 考试考法 30 【解】设与的函数关系式为 ， 由题图可知其函数图象经过点和 ， 将其坐标代入 ， 得解得 与的函数关系式为 . 考试考法 （2）公司希望平均每天获得的利润达到8 910元，且优惠力 度最大，则每双运动鞋的售价应该定为多少？ 考试考法 32 由题意得 ， 解得, . 优惠力度最大， . 当时，售价为 （元）. 答：每双运动鞋的售价应该定为87元. 考试考法 33 （3）在保证每双运动鞋的利润不低于成本价的 的前提 下，公司每天能否获得9 000元的利润？若能，求出定价； 若不能，请说明理由. 考试考法 34 公司每天能获得9 000元的利润. 要保证每双运动鞋的利润不低于成本价 的 ， ，解得 . 依题意，得 ， 考试考法 35 解得 . 降价10元,即定价为90元时，公司每天 能获得9 000元的利润，且每双运动鞋的 利润不低于成本价的 . 考试考法 解题支架 返回 考试考法 37 思想1整体思想 13.已知是关于的方程 的一个根，则 代数式 的值为___. 4 【点拨】 是关于的方程 的一个根， 原式 返回 考试考法 38 思想2分类讨论思想 14. 如图，在菱形 中， ，交于点， ， ，动点从点出发沿 方向以 的速度向点运动，动点从点 出发 沿方向以的速度向点运动.若， 同时出发，设 运动时间为 . 考试考法 39 （1）当时，___________， __________ ___.（用含 的式子表示） 考试考法 40 （2）当时， 的面积为多少？ 【解】 四边形 是菱形， ， ， . 当时，， ， ， ， . 考试考法 41 （3）点到达点 后立即原路返回，速度保 持不变，直到点到达点 后同时停止运动， 那么在整个运动过程中，是否存在某一时刻， 使得的面积为 ？若存在，求出 运动时间；若不存在，请说明理由. 考试考法 42 存在. 当时，根据题意得 ， ， ， ， , ， 解得或 （舍去）； 当时，， ， 考试考法 43 , ，无解； 当时，根据题意得 ， ， ， ， 考试考法 , ， 解得或 （舍去）； 当 时，根据题意得 ， ， ， ， 考试考法 , ， 解得或 （舍去）. 综上,或或 . 返回 考试考法 $