专题03 判定两个三角形全等的十种常用思路（举一反三专项训练）数学新教材人教版八年级上册

**基本信息** 以“已知条件分类+判定定理匹配”为主线，系统梳理全等三角形判定的十种思路，实现方法体系化与知识逻辑可视化。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |十种判定思路|10题型，每题型含1例题+3变式|按已知条件（两边/一边一角/两角）分类，提炼SSS/SAS/ASA/AAS/HL判定路径|构建“已知条件→判定定理→解题应用”逻辑链，衔接几何直观与推理意识|

专题03 判定两个三角形全等的十种常用思路（举一反三专项训练） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型1 已知两边找第三边SSS】 1 【题型2 已知两边找夹角SAS】 4 【题型3 已知一角与邻边找这边的另一个邻角ASA】 9 【题型4 已知一角与邻边找这个角的另一个邻边SAS】 13 【题型5 已知一角与邻边找这边的对角AAS】 16 【题型6 已知一角与对边找一角AAS】 19 【题型7 已知两角找夹边ASA】 22 【题型8 已知直角与邻边找对边HL】 25 【题型9 已知直角与对边找邻边HL】 29 【题型10 已知两边找直角HL】 32 知识点 判定两个三角形全等的常用思路 已知两边 （1）找第三边——利用“SSS”； （2）找夹角——利用“SAS”； （3）找直角——利用“HL” 已知一边一角 已知一角与邻边 （1）找这边的另一个邻角——利用“ASA”； （2）找这个角的另一个邻边——利用“SAS”； （3）找这边的对角——利用“AAS”； （4）若是直角找对边——利用“HL” 已知一角与对边 （1）找一角——利用“AAS”； （2）若是直角找一边——利用“HL” 已知两角 （1）找夹边——利用“ASA”； （2）找夹边外任意一边——利用“AAS” 【题型1 已知两边找第三边SSS】 【例1】（2026·云南昆明·一模）如图，点，，，在同一直线上，，，．求证：． 【答案】 证明：， ， ． 在与中 ， ． 【分析】根据得出，根据“”即可证明． 【变式1-1】（25-26八年级上·安徽马鞍山·阶段检测）如图，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据全等三角形判定定理即可证明． 【详解】证明：， ， ， 在和中， ． 【变式1-2】如图，在四边形ABCD中，，E为的中点，连接，延长交的延长线于点F． (1)和全等吗？请说明理由． (2)若，试说明： 【答案】(1)解：，理由如下： ∵， ∴， ∵E为的中点， ∴， 又∵， ∴； (2)由（1）可得，， ∴，， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，即． 【分析】（1）根据可得，再根据E为的中点可得，即可通过判定两个三角形全等； （2）由（1）可得，，，再根据可以得到，利用可以得到，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形的有关判定方法． 【变式1-3】（2026·江苏无锡·一模）如图，在中，点、、分别是、、的中点．连接、． (1)求证：． (2)若，，求四边形的周长． 【答案】(1) 证明：点、、分别是、、的中点， ，，，、是的中位线， ，， ，， ． (2) 【分析】（1）根据线段的中点以及三角形中位线定理，得出，，，即可利用“”证明全等； （2）由（1）可知，，，将四边形的周长转化为，即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知，，， ，， 四边形的周长． 【题型2 已知两边找夹角SAS】 【例2】（25-26七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）如图，E、F是四边形的对角线上的两点，，，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明：∵， ∴． ∵， ∴，即． ∵，，， ∴． (2)证明：∵， ∴． 【分析】（1）首先利用平行线的性质得出，然后由进而得出； 接下来根据即可判定． （2）根据即可证明． 【变式2-1】（25-26七年级下·山东枣庄·阶段检测）如图，在，中，，，，点，，三点在同一直线上，连接． (1)与全等吗？为什么？ (2)试猜想，有何关系？并说明理由． 【答案】(1)全等，理由见解析 (2)，，理由见解析 【分析】（1）已知，，由可得，利用“”即可证明； （2）由（1）知，可得，，通过角之间的等量代换，得出即可得到． 【详解】（1）解：全等，理由见解析： ， ， ， 在与中， ， ； （2）解：，，理由如下： 由（1）知，， ，， ∵，， ∴， 即， ， ， ∴， 则． 【变式2-2】（2026·陕西咸阳·三模）如图，在和中，，，点在的延长线上，，请你添加一个条件，使得，并写出证明过程． 【答案】 解：添加条件：， 证明过程如下：∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； 添加条件： ， 证明过程如下：，， ∴， ∴， 在和中， ， ； 添加条件：， 证明过程如下：，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； 添加条件：， 证明过程如下：，， ∴， ∴， 在和中， ， ． 【分析】先证明，再结合添加条件，根据、、、证明即可． 【变式2-3】如图，和都是等边三角形，当点B，C，D在一条直线上时，连接，交于点M，连接， (1)求证：． (2)试探究线段与线段，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，见解析 【分析】（1）利用可证即可； （2）在上取点F，使，连接，由全等三角形的性质得，，同理可证，由全等三角形的性质得，，由等边三角形的判定得是等边三角形，结合等边三角形的性质，即可求解； 【详解】（1）证明：与都是等边三角形， ，，， ， ， 在和中 ， （）， （2）解：； 理由如下： 如图，在上取点F，使，连接， ∵， ，， ， 同理可证：（）， ，， ， 是等边三角形， ， ． 【题型3 已知一角与邻边找这边的另一个邻角ASA】 【例3】（2026·河北张家口·二模）如图，已知和，，，，与交于点，点在上． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明：， ， ． 在和中 ， ． (2) 【分析】（1）由题意易得，然后根据“”证明全等即可； （2）由（1）可知，则有，然后根据三角形内角和可进行求解． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ． ， ． 【变式3-1】（25-26九年级下·吉林辽源·期中）如图，在矩形中，点在边上，连接，，求证：． 【答案】证明：∵矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴． 【分析】根据矩形的性质得到，，，由已知可得，则，即可证明． 【变式3-2】（26-27九年级·全国·暑假作业）如图，在中，，，，垂足为，且，，其两边分别交于点． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长； (3)求证：． 【答案】(1)证明：∵，， ， ， ， ， 是等边三角形． (2)4 (3)证明：是等边三角形， ，， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ． 【分析】（1）由等腰三角形的性质和已知条件得出，再由，即可得出结论； （2）由等边三角形三线合一可得，，再结合已知即可求解； （3）由是等边三角形，得出，，证出，由证明，得出，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵是等边三角形， ， ， ， 又， ． （3）略 【变式3-3】（2026·甘肃天水·模拟预测）如图，在正方形中，，分别为，上的点，连接，，若于点，，则的长为________． 【答案】 【分析】根据正方形的性质可得，，根据垂直的定义及同角的余角相等可得，利用证明，根据全等三角形的对应边相等即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ． ， ， ， ． 在和中，， ， ． ， ． 【题型4 已知一角与邻边找这个角的另一个邻边SAS】 【例4】（2024·广东佛山·一模）如图，在正方形中，延长分别至点，使得．在不增加字母和线段的情况下，写出三个不同类型的结论______． 【答案】，（答案不唯一） 【分析】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定等知识，根据正方形的性质得到，再证明即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴, ∵， ∴， 即， ∴， 故答案为：，（答案不唯一） 【变式4-1】如图，△ABC中，BC=4，D为AB的中点，将△ADC沿DC折叠至△A'DC，边A'C与BD相交于点E．若△CDE面积是△ADC面积的一半，则BE=______． 【答案】 【分析】根据题意和翻折的性质，可以得到然后可以求出结果． 【详解】解：∵D为的中点， ∴与的面积相等， ∵面积是面积的一半， ∴面积是面积的一半， ∴， 又∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ 故答案为：2． 【点睛】本题考查翻折变换，三角形全等，解答本题的关键是利用数形结合的思想解题． 【变式4-2】（25-26七年级下·江苏淮安·期末）已知：如图，在同一直线上，． (1)求证：； (2)判断线段与满足的数量关系和位置关系，并给出证明． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 即． 在和中： ， ∴． (2)，且，证明如下： 由（1）得， ∴，． ∴， ∴． 综上，，且． 【分析】（1）因为已知，所以先对该等式同时减去公共线段，推导得到，结合已知的、，用全等判定定理证明． （2）和的关系，先根据全等三角形的性质得到对应边相等，直接确定数量关系；再由全等得到对应角，推导其补角，根据平行线的判定定理确定位置关系． 【变式4-3】（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，已知四边形中，，，，是中点，与相交于点，连接． (1)判断线段与关系，并说明理由； (2)若，求面积． 【答案】(1)，，理由见解析 (2) 【分析】此题考查是平行线的性质和全等三角形的判定， （1）先根据已知条件和中点定义证出：，然后根据平行线的性质证出：，最后利用即可证出：，根据全等三角形的性质即可得，再由角的转化可得，即可证明； （2）根据计算即可． 【详解】（1）解：，，理由如下 ，是的中点， ，， ， ，， ， ， 在和中 ； ∴， ∵， ∴ ∴， ∴； （2）解：，， ， ∵，， ． 【题型5 已知一角与邻边找这边的对角AAS】 【例5】（25-26七年级下·河南开封·期末）数学兴趣小组同学就“测量如图所示的河两岸A，B两点间的距离”这一问题，设计了如下方案．测量步骤：①在点B所在河岸同侧的平地上取点C和点D，使得点A，B，C在一条直线上，且；②测得， ；③在的延长线上取点E，使得 ；④测得的长度为．则A，B两点间的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用全等三角形的判定和性质并结合三角形内角和定理可得，可证明，从而得到，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ， ∴， 在和中， ∵ ，，， ∴， ∴， ∵， ∴，即 ， ∵ 的长度为， ∴， 即A、B两点间的距离为． 【变式5-1】（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，将一张长方形纸片按如图方式折叠，若，，则重叠部分的面积为________． 【答案】21 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形全等的判定和性质，三角形的面积公式，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键．证明，得出，根据三角形面积公式求出结果即可． 【详解】解：根据题意知：，， 根据折叠可知：，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴重叠部分的面积． 故答案为：21． 【变式5-2】（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，点E、F在矩形的边上，连接、，与的延长线交于点P，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，由矩形的性质可得，，由等边对等角结合对顶角相等即可得出，最后证明，即可得证，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】证明：四边形是矩形， ，， ， ∴， ∵，， ． 在和中， ， ． 【变式5-3】如图，已知在四边形中，点E在上，，，．求证： (1)； (2)平分． 【答案】(1)证明：，， ， 又∵，， ； (2)证明： ， ， ． ， ， 平分． 【分析】（1）首先得到，然后证明； （2）首先利用全等三角形的性质得到，得到，等量代换得到，即可得到平分． 【题型6 已知一角与对边找一角AAS】 【例6】（25-26七年级下·重庆·期末）如图所示，在和中，，点，，在同一条直线上，且，于点，若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同角的余角相等得出，利用证明，得出，，进而求出的长． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴. 【变式6-1】（24-25七年级下·江苏淮安·期末）如图，在中，，，过A点作；，，，连接，则的面积为_____． 【答案】3 【分析】过点E作交延长线于点F，证明，得到，然后利用三角形面积公式求解． 【详解】解：过点E作交延长线于点F， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴的面积为． 【变式6-2】（25-26八年级上·湖北宜昌·期末）如图，，，于点，于点，若，，则的面积为_________ ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质． 通过全等三角形的判定定理证明，从而证明，，由即可求解． 【详解】解：， ， 于点， ， ． 又， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式6-3】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，是一段斜坡，是水平线，欢欢为了测斜坡上一点C的竖直高度，他在点C处立上一根竹竿，竹竿垂直于斜坡，在竿顶点D处垂下一根绳子，与斜坡的交点是E．当时，测得，则的长为__________． 【答案】 【分析】根据题意，得，，得到，于是得到，再证明，得到，解答即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，深刻理解垂下的意义，得到平行线成为解题的关键性突破口． 【详解】解：根据题意，得，， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型7 已知两角找夹边ASA】 【例7】（2025八年级上·全国·专题练习）在中，，点为直线上一点，，，连接交于．，为中点，求证： 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是他的关键． 证明，得到． 【详解】解：， ， ∵为中点， ∴， ， ， 在和中， ， ， ． 【变式7-1】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图所示，点D，A，C在同一直线上，，，，试说明． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定．利用证明即可． 【详解】解：因为， 所以． 因为， 所以． 在和中，， 所以． 【变式7-2】（2025八年级上·全国·专题练习）已知：如图，点，在线段上，，，，与交于点．求证：． 【答案】 证明： ， ， 即：． ，， ． 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据全等三角形的判定进行证明即可． 【变式7-3】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在的网格中，点A，B，C在格点上，，，平分，点N是线段的中点，过点N作分别交，于点E，F．求证：． 【答案】 证明：，CM平分， ， 点N是AC中点， ． ， ． ． 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、角平分线的定义以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过角和边的关系证明三角形全等． 先根据已知条件求出，再利用中点，最后通过对顶角相等证明，从而得出． 【题型8 已知直角与邻边找对边HL】 【例8】（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）如图，，E是AB上的一点，且，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查等腰三角形的判定，全等三角形的判定及性质．由“等角对等边”得到，再由“”证明，由全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴． 【变式8-1】（24-25八年级上·四川泸州·期中）如图，已知点在一条直线上，，，．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)16 【分析】（1）证明，可得，即可证明； （2）根据，可得，根据即可解答． 【详解】（1）证明：， ， 即， 在与中， ， ， ， ； （2）解：， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，熟练运用上述概念的论述过程是解题的关键． 【变式8-2】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，为的中点，过点作于点，于点，已知，，求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等边三角形的判定，等角对等边，先证明，则，所以，从而得到是等腰三角形，再通过三角形内角和定理得，最后由等边三角形判定方法即可求证，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】证明：∵是的中点， ∴， ∵，， ∴和都是直角三角形， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形． 【变式8-3】（25-26八年级下·河南平顶山·期中）如图，在中，平分的外角，，垂足为点G，，垂足为点H，垂直平分于点E． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）通过证明，即可求证； （2）证明为等腰直角三角形，进而得到为等腰直角三角形，得到即可得证． 【详解】（1）证明：∵平分的外角，，， ∴，， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图， ∵，， ∴， 由（1）知， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 【题型9 已知直角与对边找邻边HL】 【例9】（26-27八年级·江苏·暑假作业）如图，矩形中，点在边上，，过点作，垂足为，连接． (1)求证：； (2)求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用矩形的性质和，即可得证； （2）证明，得到，即可. 【详解】（1）证明：矩形， ，， ， ， ， ， 在和中， ； （2）证明：， ， 矩形， ， ， 在和中， ， ， 平分． 【变式9-1】（25-26八年级下·江西鹰潭·期中）如图，点，，，在同一直线上，且，，与相交点，，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】利用“”证明，由全等三角形的性质可得结论. 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 【变式9-2】（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）如图，，，于点E，于点F．求证：． 【答案】见解析 【分析】先证明，结合，进一步证明即可得到结论． 【详解】证明：∵， ∴． 即， ∵，， ∴和是直角三角形， ∵， ∴， ∴． 【变式9-3】（26-27八年级·浙江·暑假作业）如图， ，直线与交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求证：平分． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据同角的余角相等可得，结合 ，利用即可证明结论； （2）根据，结合已知易证，可得 ，即可证明结论． 【详解】（1）证明：， ， ， 又， ； （2）证明：，， ∴，， ∴ ， ， ， ， ∴平分． 【题型10 已知两边找直角HL】 【例10】（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，在中，，于点． (1)用尺规完成以下基本作图：在线段上截取，作线段交射线于点，作，交于点；（不写作法和证明，保留作图痕迹） (2)在（1）所作的图形中，求证：．（请补全下面的证明过程，除题目给的字母外，不添加其它字母或者符号） 证明：， ①_________； 在和中， ， ③_________； 在和中， ， ， ． 【答案】(1) (2)①；②；③ 【详解】（1）解：以点C为圆心，长为半径画弧，交线段于点E，此时；以点E为圆心，长为半径画弧，交射线于点F，此时；以点C为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于两点，保持半径不变，以点C为圆心画弧交于一点，进一步作图即可； （2）略 【变式10-1】（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，在与中，于点．若，求证：． 【答案】证明：， ∴ ∵， ， 在和中， ， ； ∴． 【分析】由，结合，推出，得，确定两个三角形均为直角三角形．利用定理证明．最后根据全等三角形对应边相等，即可解答． 【变式10-2】（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，在和中，，，点在的延长线上，，请你添加一个条件，使得，并写出证明过程． 【答案】 解：添加条件：， 证明过程如下：∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； 添加条件： ， 证明过程如下：，， ∴， ∴， 在和中， ， ； 添加条件：， 证明过程如下：，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； 添加条件：， 证明过程如下：，， ∴， ∴， 在和中， ， ． 【分析】先证明，再结合添加条件，根据、、、证明即可． 【变式10-3】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在梯形中，为上任意一点， ，垂足分别为，求证：． 【答案】见解析 【分析】延长，，利用等腰梯形的性质，得到两个底角相等，从而得到一个等腰三角形，利用三角形的面积关系推导即可． 【详解】证明：如图，延长，，交于点M，连接， ∵， ∴梯形是等腰梯形， ∴， （因教材版本，无等腰梯形的性质，此处补充证明： 如图，作，， ∵， ∴， 又， ∴， ∴，） ∴， ∵，， ∴，， 又， ∴， 又， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 判定两个三角形全等的十种常用思路（举一反三专项训练） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型1 已知两边找第三边SSS】 1 【题型2 已知两边找夹角SAS】 2 【题型3 已知一角与邻边找这边的另一个邻角ASA】 4 【题型4 已知一角与邻边找这个角的另一个邻边SAS】 5 【题型5 已知一角与邻边找这边的对角AAS】 6 【题型6 已知一角与对边找一角AAS】 7 【题型7 已知两角找夹边ASA】 8 【题型8 已知直角与邻边找对边HL】 9 【题型9 已知直角与对边找邻边HL】 10 【题型10 已知两边找直角HL】 11 知识点 判定两个三角形全等的常用思路 已知两边 （1）找第三边——利用“SSS”； （2）找夹角——利用“SAS”； （3）找直角——利用“HL” 已知一边一角 已知一角与邻边 （1）找这边的另一个邻角——利用“ASA”； （2）找这个角的另一个邻边——利用“SAS”； （3）找这边的对角——利用“AAS”； （4）若是直角找对边——利用“HL” 已知一角与对边 （1）找一角——利用“AAS”； （2）若是直角找一边——利用“HL” 已知两角 （1）找夹边——利用“ASA”； （2）找夹边外任意一边——利用“AAS” 【题型1 已知两边找第三边SSS】 【例1】（2026·云南昆明·一模）如图，点，，，在同一直线上，，，．求证：． 【变式1-1】（25-26八年级上·安徽马鞍山·阶段检测）如图，．求证：． 【变式1-2】如图，在四边形ABCD中，，E为的中点，连接，延长交的延长线于点F． (1)和全等吗？请说明理由． (2)若，试说明： 【变式1-3】（2026·江苏无锡·一模）如图，在中，点、、分别是、、的中点．连接、． (1)求证：． (2)若，，求四边形的周长． 【题型2 已知两边找夹角SAS】 【例2】（25-26七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）如图，E、F是四边形的对角线上的两点，，，．求证： (1)； (2)． 【变式2-1】（25-26七年级下·山东枣庄·阶段检测）如图，在，中，，，，点，，三点在同一直线上，连接． (1)与全等吗？为什么？ (2)试猜想，有何关系？并说明理由． 【变式2-2】（2026·陕西咸阳·三模）如图，在和中，，，点在的延长线上，，请你添加一个条件，使得，并写出证明过程． 【变式2-3】如图，和都是等边三角形，当点B，C，D在一条直线上时，连接，交于点M，连接， (1)求证：． (2)试探究线段与线段，之间的数量关系，并说明理由． 【题型3 已知一角与邻边找这边的另一个邻角ASA】 【例3】（2026·河北张家口·二模）如图，已知和，，，，与交于点，点在上． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式3-1】（25-26九年级下·吉林辽源·期中）如图，在矩形中，点在边上，连接，，求证：． 【变式3-2】（26-27九年级·全国·暑假作业）如图，在中，，，，垂足为，且，，其两边分别交于点． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长； (3)求证：． 【变式3-3】（2026·甘肃天水·模拟预测）如图，在正方形中，，分别为，上的点，连接，，若于点，，则的长为________． 【题型4 已知一角与邻边找这个角的另一个邻边SAS】 【例4】（2024·广东佛山·一模）如图，在正方形中，延长分别至点，使得．在不增加字母和线段的情况下，写出三个不同类型的结论______． 【变式4-1】如图，△ABC中，BC=4，D为AB的中点，将△ADC沿DC折叠至△A'DC，边A'C与BD相交于点E．若△CDE面积是△ADC面积的一半，则BE=______． 【变式4-2】（25-26七年级下·江苏淮安·期末）已知：如图，在同一直线上，． (1)求证：； (2)判断线段与满足的数量关系和位置关系，并给出证明． 【变式4-3】（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，已知四边形中，，，，是中点，与相交于点，连接． (1)判断线段与关系，并说明理由； (2)若，求面积． 【题型5 已知一角与邻边找这边的对角AAS】 【例5】（25-26七年级下·河南开封·期末）数学兴趣小组同学就“测量如图所示的河两岸A，B两点间的距离”这一问题，设计了如下方案．测量步骤：①在点B所在河岸同侧的平地上取点C和点D，使得点A，B，C在一条直线上，且；②测得， ；③在的延长线上取点E，使得 ；④测得的长度为．则A，B两点间的距离为（     ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，将一张长方形纸片按如图方式折叠，若，，则重叠部分的面积为________． 【变式5-2】（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，点E、F在矩形的边上，连接、，与的延长线交于点P，．求证：． 【变式5-3】如图，已知在四边形中，点E在上，，，．求证： (1)； (2)平分． 【题型6 已知一角与对边找一角AAS】 【例6】（25-26七年级下·重庆·期末）如图所示，在和中，，点，，在同一条直线上，且，于点，若，，则（     ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25七年级下·江苏淮安·期末）如图，在中，，，过A点作；，，，连接，则的面积为_____． 【变式6-2】（25-26八年级上·湖北宜昌·期末）如图，，，于点，于点，若，，则的面积为_________ ． 【变式6-3】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，是一段斜坡，是水平线，欢欢为了测斜坡上一点C的竖直高度，他在点C处立上一根竹竿，竹竿垂直于斜坡，在竿顶点D处垂下一根绳子，与斜坡的交点是E．当时，测得，则的长为__________． 【题型7 已知两角找夹边ASA】 【例7】（2025八年级上·全国·专题练习）在中，，点为直线上一点，，，连接交于．，为中点，求证： 【变式7-1】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图所示，点D，A，C在同一直线上，，，，试说明． 【变式7-2】（2025八年级上·全国·专题练习）已知：如图，点，在线段上，，，，与交于点．求证：． 【变式7-3】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在的网格中，点A，B，C在格点上，，，平分，点N是线段的中点，过点N作分别交，于点E，F．求证：． 【题型8 已知直角与邻边找对边HL】 【例8】（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）如图，，E是AB上的一点，且，．求证：． 【变式8-1】（24-25八年级上·四川泸州·期中）如图，已知点在一条直线上，，，．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式8-2】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，为的中点，过点作于点，于点，已知，，求证：是等边三角形． 【变式8-3】（25-26八年级下·河南平顶山·期中）如图，在中，平分的外角，，垂足为点G，，垂足为点H，垂直平分于点E． (1)求证：； (2)若，求证：． 【题型9 已知直角与对边找邻边HL】 【例9】（26-27八年级·江苏·暑假作业）如图，矩形中，点在边上，，过点作，垂足为，连接． (1)求证：； (2)求证：平分． 【变式9-1】（25-26八年级下·江西鹰潭·期中）如图，点，，，在同一直线上，且，，与相交点，，．求证：． 【变式9-2】（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）如图，，，于点E，于点F．求证：． 【变式9-3】（26-27八年级·浙江·暑假作业）如图， ，直线与交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求证：平分． 【题型10 已知两边找直角HL】 【例10】（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，在中，，于点． (1)用尺规完成以下基本作图：在线段上截取，作线段交射线于点，作，交于点；（不写作法和证明，保留作图痕迹） (2)在（1）所作的图形中，求证：．（请补全下面的证明过程，除题目给的字母外，不添加其它字母或者符号） 证明：， ①_________； 在和中， ， ③_________； 在和中， ， ， ． 【变式10-1】（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，在与中，于点．若，求证：． 【变式10-2】（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，在和中，，，点在的延长线上，，请你添加一个条件，使得，并写出证明过程． 【变式10-3】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在梯形中，为上任意一点， ，垂足分别为，求证：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $