3.1不等式的性质 第一课时课件- 2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

该高中数学课件聚焦“不等关系与不等式”，核心知识点包括用不等式（组）表示实际问题中的不等关系及作差法比较实数大小。课堂通过高楼高度、交通标志等现实情境导入，连接生活与数学，新知部分先讲实数大小比较基本事实，再结合典型例题和跟踪训练巩固，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以情境化导入培养数学眼光，通过杂志销售、包车优惠等实例引导学生用数学语言表达现实问题，作差法步骤化教学（作差→变形→判号→结论）发展数学思维。通性通法总结帮助学生形成解题模型，学生能提升应用能力，教师可高效开展分层教学。

第一课时 不等关系与不等式 新课程标准解读 核心素养 1.能用不等式（组）表示实际问题中的不等关系 数学抽象、逻辑 推理 2.初步学会作差法、作商法比较两实数的大小 数学运算 目录 数学·必修第一册（BSD） 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 （1）如图，某城市的高楼有高、有矮，有的高度相同. 目录 数学·必修第一册（BSD） （2）我们经常看到如图标志. 【问题】　它们的含义是什么？量与量之间的关系有哪些？ ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ 目录 数学·必修第一册（BSD） 知识点　实数大小比较的基本事实 文字表示 符号表示 如果 a － b 是正数，那么 ⁠ ⁠ a － b ＞0⇔ ⁠ 如果 a － b 等于0，那么 ⁠ a － b ＝0⇔ ⁠ 如果 a － b 是负数，那么 ⁠ ⁠ a － b ＜0⇔ ⁠ a ＞b 　 a ＞ b 　 a ＝ b 　 a ＝ b 　 a ＜ b a ＜ b 　 目录 数学·必修第一册（BSD） 提醒　（1）利用作差法比较大小，只需判断差的符号，至于差的值 是多少无关紧要，通常将差化为完全平方的形式或多个因式的积的形 式；（2）对于两个正值，也可采用作商的方法，比较商与1的大小； （3）对于某些问题也可采用取中间值的方法比较大小. 【想一想】 在比较两实数 a ， b 大小的依据中， a ， b 两数是任意实数吗？ 提示：是. 目录 数学·必修第一册（BSD） 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）任意两个实数都能比较大小. （　√　） （2）实数 m 不大于－2，用不等式表示为 m ≥－2. （　×　） 2. 大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是提示司机要安全通过该 桥，应使车和货物的总质量 T 满足关系 ⁠. 解析：“限重40吨”是不超过40吨的意思. 3. 设 M ＝ x2， N ＝2 x －1，则 M 与 N 的大小关系是 .⁠ √ × T ≤40　 M ≥ N 　 目录 数学·必修第一册（BSD） 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 用不等式（组）表示不等关系 【例1】　某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市 场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2 000本.若把提 价后杂志的定价设为 x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于 20万元呢？ 解：提价后销售的总收入为 x 万元，那么不等关系 “销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式 x ≥20. 目录 数学·必修第一册（BSD） 通性通法 　　数学中的能力之一就是抽象概括能力，即能用数学语言表示出实 际问题中的数量关系.用不等式（组）表示实际问题中的不等关系 时：（1）要先读懂题，设出未知量；（2）抓关键词，找到不等关 系；（3）用不等式表示不等关系.思维要严密、规范. 目录 数学·必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 　某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成500 mm和600 mm两种.按 照生产的要求，600 mm的钢管数量不能超过500 mm钢管数量的3倍. 怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？ 解：设截得500 mm的钢管 x 根，截得600 mm的钢管 y 根.根据题意， 应有如下的不等关系： （1）截得两种钢管的总长度不超过4 000 mm； （2）截得600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管数量的3倍； 目录 数学·必修第一册（BSD） （3）截得两种钢管的数量都不能为负. 要同时满足上述的三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示： 目录 数学·必修第一册（BSD） 题型二 作差法比较大小 【例2】　已知 a ， b 均为正实数.试利用作差法比较 a3＋ b3与 a2 b ＋ ab2的大小. 解：∵ a3＋ b3－（ a2 b ＋ ab2）＝（ a3－ a2 b ）＋（ b3－ ab2） ＝ a2（ a － b ）＋ b2（ b － a ） ＝（ a － b ）（ a2－ b2）＝（ a － b ）2（ a ＋ b ）. 当 a ＝ b 时， a － b ＝0， a3＋ b3＝ a2 b ＋ ab2； 当 a ≠ b 时，（ a － b ）2＞0， a ＋ b ＞0， a3＋ b3＞ a2 b ＋ ab2. 综上所述， a3＋ b3≥ a2 b ＋ ab2. 目录 数学·必修第一册（BSD） 【母题探究】 （变条件）若 a ＞0， b ＞0， a5＋ b5与 a3 b2＋ a2 b3的大小关系又如何？ 解：（ a5＋ b5）－（ a3 b2＋ a2 b3）＝ a5－ a3 b2＋ b5－ a2 b3 ＝ a3（ a2－ b2）＋ b3（ b2－ a2）＝（ a2－ b2）（ a3－ b3） ＝（ a － b ）2（ a ＋ b ）（ a2＋ ab ＋ b2）. ∵ a ＞0， b ＞0， ∴（ a － b ）2≥0， a ＋ b ＞0， a2＋ ab ＋ b2＞0. ∴ a5＋ b5≥ a3 b2＋ a2 b3. 目录 数学·必修第一册（BSD） 通性通法 　　比较两个实数的大小，可以求出它们的差的符号.作差法比较实 数的大小的一般步骤是：作差→恒等变形→判断差的符号→下结论. 作差后变形是比较大小的关键一步，变形的方向是化成几个完全平方 式的形式或一些易判断符号的因式积的形式. 目录 数学·必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 已知 x ＜1，试比较 x3－1与2 x2－2 x 的大小. 解：∵（ x3－1）－（2 x2－2 x ）＝ x3－2 x2＋2 x －1 ＝（ x3－ x2）－（ x2－2 x ＋1）＝ x2（ x －1）－（ x －1）2 ＝（ x －1）（ x2－ x ＋1）＝（ x －1） ， 又∵ ＋ ＞0， x －1＜0， ∴（ x －1） ＜0，∴ x3－1＜2 x2－2 x . 目录 数学·必修第一册（BSD） 题型三 不等关系的实际应用 【例3】　某单位职工去北京瞻仰伟大领袖毛主席遗容，需包车前往. 甲车队说：“如果领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠”，乙 车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠.”这两车队的原价、车 型都是一样的，试根据单位的人数，比较两车队的收费哪家更优惠. 目录 数学·必修第一册（BSD） 解：设该单位职工有 n 人（ n ∈N＋），全票价为 x 元，坐甲车队的车 需花 y1元，坐乙车队的车需花 y2元. 由题意，得 y1＝ x ＋ x ·（ n －1）＝ x ＋ nx ， y2＝ nx . 因为 y1－ y2＝ x ＋ nx － nx ＝ x － nx ＝ x ， 当 n ＝5时， y1＝ y2； 当 n ＞5时， y1＜ y2； 当 n ＜5时， y1＞ y2. 所以当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车 队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠. 目录 数学·必修第一册（BSD） 通性通法 1. “最优方案”问题，首先要设出未知量，搞清楚比较的对象，然后 把这个未知量用其他的已知量表示出来，通过比较即可得出结论. 2. 这是一道与不等式有关的实际应用问题，解答时要有设有答，步骤 完整. 目录 数学·必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 　某公司有20名技术人员，计划开发 A ， B 两类共50件电子器件，每 类每件所需人员和预计产值如下： 电子器件种类 每件需要人员数 每件产值（万元/件） A 类 7.5 B 类 6 今制订计划欲使总产值最高，则 A 类电子器件应开发 件，最高产 值为 万元. 20　 330　 目录 数学·必修第一册（BSD） 解析：设应开发 A 类电子器件 x 件，则开发 B 类电子器件（50－ x ） 件.根据题意，得 ＋ ≤20，解得 x ≤20.由题意，得总产值 y ＝ 7.5 x ＋6（50－ x ）＝300＋1.5 x ≤330，当且仅当 x ＝20时， y 取最大 值330.所以欲使总产值最高， A 类电子器件应开发20件，最高产值为 330万元. 目录 数学·必修第一册（BSD） 1. 某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩 x 不低于95分，文化 课总分 y 高于380分，体育成绩 z 超过45分，用不等式表示就是（　） A. C. 　 D. 目录 数学·必修第一册（BSD） 解析：　“不低于”即“≥”，“高于”即“＞”，“超过”即 “＞”，∴ x ≥95， y ＞380， z ＞45. 目录 数学·必修第一册（BSD） 2. 完成一项装修工程，请木工需付工资每人500元，请瓦工需付工资 每人400元，现有工人工资预算20 000元，设木工 x 人，瓦工 y 人， 则请工人需满足的关系式是（　　） A. 5 x ＋4 y ＜200 B. 5 x ＋4 y ≥200 C. 5 x ＋4 y ＝200 D. 5 x ＋4 y ≤200 解析：　由题意 x ， y 满足的不等式关系为500 x ＋400 y ≤20 000，即5 x ＋4 y ≤200. 目录 数学·必修第一册（BSD） 3. 设 a ＝3 x2－ x ＋1， b ＝2 x2＋ x ，则（　　） A. a ＞ b B. a ＜ b C. a ≥ b D. a ≤ b 解析：　 a － b ＝（3 x2－ x ＋1）－（2 x2＋ x ）＝ x2－2 x ＋1＝（ x －1）2≥0，所以 a ≥ b . 目录 数学·必修第一册（BSD） 4. 若 x ＝（ a ＋3）（ a －5）， y ＝（ a ＋2）（ a －4），则 x 与 y 的大 小关系是 ⁠. 解析： x － y ＝（ a ＋3）（ a －5）－（ a ＋2）（ a －4）＝（ a2－2 a －15）－（ a2－2 a －8）＝－7＜0，所以 x ＜ y . 5. 若0＜ x ＜1，则 x ， ， ， x2中最小的是 ⁠. 解析：因为0＜ x ＜1，所以 ＞1，0＜ ＜1，0＜ x2＜1，因为 ＝ ＜1， ＝ x ＜1，所以 x ＜ ， x2＜ x 即 x2＜ x ＜ ＜ . x ＜ y 　 x2　 目录 数学·必修第一册（BSD） 谢 谢 观 看！ $