1.3.2 第1课时 基本不等式新授课2026-2027学年高一上学期必修一

该高中数学课件聚焦“基本不等式”，通过复习完全平方公式推导重要不等式，再以√a、√b代换引出基本不等式，结合代数与几何背景构建学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于以数学抽象、逻辑推理、数学运算为核心素养，通过“题型探究+归纳提升+对点练习”模式，如利用“1”的代换求最值、拆项变形证明不等式，强化“一正二定三相等”条件。学生能提升解题能力，教师可直接用于课堂教学，提高效率。

§3　不等式 3.2　基本不等式 【素养目标】 1．了解基本不等式的代数和几何背景．(数学抽象) 2．理解并掌握基本不等式及其变形．(逻辑推理) 3．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．(数学运算) 4．会用基本不等式进行代数式大小的比较及证明不等式．(逻辑推理) 5．会用基本不等式求最值问题和解决简单的实际问题．(数学运算) 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 【学法解读】 1．本节学习时，学生先复习完全平方公式(a－b)2＝a2－2ab＋b2，由(a－b)2≥0可得a2－2ab＋b2≥0，即a2＋b2≥2ab．然后以分别代替a，b推得基本不等式，从代数观点认识基本不等式． 2．借助教材“探究”中的问题，使学生从几何角度认识基本不等式． 3．重点掌握应用基本不等式求最值的前提条件，通过具体实例强化公式的应用技巧． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 第1课时　基本不等式 必备知识•探新知 关键能力•攻重难 课堂检测•固双基 必备知识•探新知 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 基础知识 　　　基本不等式 知识点1 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 思考1：(1)基本不等式中的a，b只能是具体的某个数吗？ (2)基本不等式成立的条件“a，b＞0”能省略吗？请举例说明． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 　　　基本不等式与最值 已知x，y都为正数，则 (1)若x＋y＝s(s为定值)，则当且仅当x＝y时，积xy取得最大值 ______． (2)若xy＝p(p为定值)，则当且仅当x＝y时，和x＋y取得最小值_______． 知识点2 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 思考2：应用基本不等式求最值的关键是什么？ 提示：依定值去探求最值，探求的过程中常需依具体的问题进行合理的拆、凑、配等变换． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 基础自测 ×　 √　 √　 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） C　 a＝1　 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 关键能力•攻重难 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 题型探究 题型一 利用基本不等式判断命题真假  例 1 C　 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） [归纳提升]　利用基本不等式判断命题真假的步骤 第一步：检查是否满足应用基本不等式的条件； 第二步：应用基本不等式； 第三步：检验等号是否成立． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） [解析]　对于A，若a＝b时，a2＋b2＝2ab，则A中的不等式不恒成立．当a＜0，b＜0时，选项B，C不成立，故选D． D　 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 题型二 利用基本不等式求最值  [分析]　(1)将所求代数式变形，构造出基本不等式所满足的结构条件，从而运用基本不等式求最值． (2)利用“1”的代换，结合不等式求解． 例 2 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） [归纳提升]　利用基本不等式求最值的方法及注意点 (1)知和求积的最值：求解此类问题的关键：明确“和为定值，积有最大值”．但应注意以下两点：①具备条件——正数；②验证等号成立． (2)知积求和的最值：明确“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） (3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解． (4)利用基本不等式求最值时应注意：①非零的各数(或式)均为正；②和或积为定值；③等号能否成立，即“一正、二定、三相等”，这三个条件缺一不可． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 1　 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 题型三 利用基本不等式证明不等式  例 3 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） [归纳提升]　利用基本不等式证明不等式的思路 利用基本不等式证明不等式时，要先观察题中要证明的不等式的结构特征，若不能直接使用基本不等式证明，则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之转化为能使用基本不等式的形式；若题目中还有已知条件，则先观察已知条件和所证不等式之间的联系，当已知条件中含有“1”时，要注意“1”的代换，另外，解题时要时刻注意等号能否取到． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 【对点练习】❸　已知x，y，z都是正数，求证：(x＋y)(y＋z)(z＋x) ≥8xyz． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 课堂检测•固双基 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） [解析]　x2＋y2＝4≥2xy， ∴xy≤2， ∴xy的最大值为2，故选C． C　 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） C　 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 3．对于任意正数a，b，A是a，b的算术平均数，G是a，b的几何平均数，则A与G的大小关系是__________． 4．已知x＞0，y＞0，且xy＝100，则x＋y的最小值为______． A≥G　 20　 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 提示：(1)a，b既可以是具体的某个数，也可以是代数式． (2)不能，如≥是不成立的． 　 2　 1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”) (1)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的． (　　) (2)当a＞0，b＞0时，a＋b≥2． (　　) (3)当a＞0，b＞0时，ab≤． (　　) [解析]　(1)不等式a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；不等式≥成立的条件是a＞0，b＞0． (2)基本不等式的变形公式． (3)基本不等式的变形公式． 2．下列不等式正确的是 (　　) A．a＋≥2　　 B．(－a)＋≤－2 C．a2＋≥2　 D．(－a)2＋≤－2 3．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是_________． 4．已知x＞0，求x＋的最小值． [解析]　因为x＞0，所以x＋≥2＝2， 当且仅当x＝，即x2＝1，x＝1时，等号成立，因此所求的最小值为2． 　　　　下列不等式一定成立的是 (　　) A．＞(x＞0)　 B．x＋≥2(x≠0) C．x2＋1≥2|x|(x∈R)　 D．＞1(x∈R) [解析]　选项A中，x2＋≥x(当且仅当x＝时，x2＋＝x)，故选项A不正确；选项B中，x＋≥2(x＞0)，x＋≤－2(x＜0)，故选项B不正确；选项C中，x2－2|x|＋1＝(|x|－1)2≥0(x∈R)，故选项C正确；选项D中，x2＋1≥1，则0＜≤1，故选项D不正确． 【对点练习】❶　若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是 (　　) A．a2＋b2＞2ab　 B．a＋b≥2 C．＋＞　 D．＋≥2 　　　　(1)已知x＜3，求f(x)＝＋x的最大值； (2)已知x，y是正实数，且x＋y＝4，求＋的最小值． [解析]　(1)因为x＜3，所以x－3＜0， 所以f(x)＝＋x＝＋(x－3)＋3 ＝－＋3≤－2＋3＝－1，当且仅当＝3－x，即x＝1时取等号， 所以f(x)的最大值为－1． (2)因为x，y是正实数， 所以(x＋y)＝4＋≥4＋2． 当且仅当＝，即x＝2(－1)，y＝2(3－)时取等号． 又x＋y＝4，所以＋≥1＋，故＋的最小值为1＋． 【对点练习】❷　(1)若0＜x＜1，则的取值范围是________； (2)已知a＞0，b＞0，＋＝4，则a＋b的最小值为_____． 　 [解析]　(1)由0＜x＜1知3－2x＞0， 故＝·≤·＝，当且仅当x＝时，上式等号成立． 所以0＜≤． (2)由＋＝4，得＋＝1． 所以a＋b＝(a＋b)＝＋＋≥＋2＝1．当且仅当a＝b＝时取等号． 　　　　已知a＞b，ab＝1，求证：a2＋b2≥2(a－b)． [分析]　这是个条件不等式，因此要用好a＞b，ab＝1这两个条件．注意到不等式左、右两边的次数特征，因此要向模型ax＋≥2进行思考． [证明]　∵a＞b，∴a－b＞0．又ab＝1， ∴＝＝＝a－b＋≥2＝2，即≥2，即a2＋b2≥2(a－b)，当且仅当a－b＝，即a－b＝时取等号． [证明]　∵x，y，z是正数， x＋y≥2，y＋z≥2，x＋z≥2， ∴(x＋y)(y＋z)(z＋x)≥8xyz． 当且仅当x＝y＝z时取得等号． 1．若x2＋y2＝4，则xy的最大值是 (　　) A．　 B．1 C．2　 D．4 2．设a＞b＞0，则下列不等式中一定成立的是 (　　) A．a－b＜0　 B．0＜＜1 C．＜　 D．ab＞a＋b [解析]　由基本不等式知≤， ∵a＞b＞0，∴＜，故选C． [解析]　x＋y≥2＝2＝20(当且仅当x＝y＝10时取等号)． 5．已知a，b∈R，求证：ab≤． [证明]　∵－ab＝－ab ＝＝≥0， ∴≥ab，即ab≤． $