1.3.1不等式的性质课时练习-2025-2026学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

第一章　§3　3.1不等式的性质 一、选择题 1．若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式成立的是( ) A．< B．a2>b2 C．> D．a|c|>b|c| 2．若某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120 km/h，行驶过程中，同一车道上的车间距d不得小于10 m，则用不等式表示为( ) A．v≤120 km/h或d≥10 m B． C．v≤120 km/h D．d≥10 m 3．已知a，b，c∈R，给出下列条件：①a2>b2；②<；③ac2>bc2，则使得a>b成立的充分不必要条件的个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3 4．已知a＋b>0，b<0，则a，b，－a，－b的大小关系是( ) A．a>b>－b>－a B．a>－b>－a>b C．a>－b>b>－a D．a>b>－a>－b 5．若不等式a>b与>同时成立，则必有( ) A．a>b>0 B．0>> C．a>0>b D．>>0 6．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m2)分别为x，y，z，且x<y<z，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m2)分别为a，b，c，且a<b<c.在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是( ) A．ax＋by＋cz B．az＋by＋cx C．ay＋bz＋cx D．ay＋bx＋cz 7．若－1<α<β<1，则下列不等式恒成立的是( ) A．－2<α－β<0 B．－2<α－β<－1 C．－1<α－β<0 D．－1<α－β<1 8．(多选题)已知P＝a2＋b2，Q＝2ab，R＝，则( 　 ) A．P≥R B．Q≥R C．P≤R D．P≥Q 9．手机屏幕面积与整机面积的比值叫手机的“屏占比”，它是手机外观设计中一个重要参数，其值通常在(0,1)之间，设计师将某手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量，升级为一款新手机的外观，则该手机“屏占比”和升级前比有什么变化( ) A．“屏占比”不变 B．“屏占比”变小 C．“屏占比”变大 D．变化不确定 10．(多选题)下列说法中正确的是( 　 ) A．若a>b，则> B．若－2<a<3,1<b<2，则－3<a－b<1 C．若a>b>0，m>0，则< D．若a>b，c>d，则ac>bd 二、填空题 11．若x>y，a>b，则在①a－x>b－y；②a＋x>b＋y；③ax>by；④x－b>y－a这四个式子中，恒成立的不等式的序号是 　. 12．已知2b<a<－b，则的取值范围为 　. 13．给出下列命题： ①若a<b，c<0，则<； ②若ac－3>bc－3，则a>b； ③若a>b且k∈N＋，则ak>bk； ④若c>a>b>0，则>. 其中正确命题的序号是 　. 14．实数a，b，c，d满足下列三个条件：①d>c；②a＋b＝c＋d；③a＋d<b＋c.则将a，b，c，d按从小到大的顺序排列起来是 　. 三、解答题 15．已知a>b，e>f，c>0，求证：f－ac<e－bc. 16．已知a>b>0，c<d<0，比较与的大小． 17．甲、乙两车从A地沿同一路线到达B地，甲车一半时间的速度为a，另一半时间的速度为b；乙车一半路程的速度为a，另一半路程的速度为b.若a≠b，试判断哪辆车先到达B地． 18．已知函数f(x)＝ax2－c，－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围． 第一章　§3　3.1不等式的性质 一、选择题 1．[解析]　若a>0>b，则>0，<0，此时>，所以A不成立； 若a＝1，b＝－2，则a2<b2，所以B不成立； 因为c2＋1≥1，且a>b， 所以>恒成立，所以C成立； 当c＝0时，a|c|＝b|c|，所以D不成立．故选C. 2．[解析]　考虑实际意义，知v≤120 km/h，且d≥10 m．故选B. 3．[解析]　①由a2>b2，得|a|>|b|，不一定有a>b成立，不符合题意；对于②，当a＝－1，b＝1时，有<，但a>b不成立，所以不符合题意；对于③，由ac2>bc2，知c≠0，所以a>b成立，当a>b成立时，不一定有ac2>bc2，因为c可以为0，符合题意．故选B. 4．[解析]　因为a＋b>0，b<0，所以a>－b＝|b|>0，所以必有a>－b>b>－a.故选C. 5．[解析]　若a>b>0，则<，同理0>a>b时，<，所以只有当a>0>b时，满足>.故选C. 6．[解析]　方法一：因为x<y<z，a<b<c，所以ax＋by＋cz－(az＋by＋cx)＝a(x－z)＋c(z－x)＝(x－z)(a－c)>0，故ax＋by＋cz>az＋by＋cx；同理，ay＋bz＋cx－(ay＋bx＋cz)＝b(z－x)＋c(x－z)＝(x－z)(c－b)<0，故ay＋bz＋cx<ay＋bx＋cz.又az＋by＋cx－(ay＋bz＋cx)＝a(z－y)＋b(y－z)＝(a－b)(z－y)<0，故az＋by＋cx<ay＋bz＋cx.综上可得，最低的总费用为az＋by＋cx.故选B. 方法二：采用特殊值法进行求解验证即可，若x＝1，y＝2，z＝3，a＝1，b＝2，c＝3，则ax＋by＋cz＝14，az＋by＋cx＝10，ay＋bz＋cx＝11，ay＋bx＋cz＝13.由此可知最低的总费用是az＋by＋cx.故选B. 方法三：根据实际意义．故选B. 7．[解析]　∵－1<β<1，－1<α<1， ∴－1<－β<1，－2<α－β<2， 又∵α<β，∴α－β<0，－2<α－β<0.故选A. 8．[解析]　P－R＝a2＋b2－＝≥0，则P≥R，故A正确，C错误；R－Q＝－2ab＝＝≥0，所以R≥Q，故B错误；因为P≥R，R≥Q，所以P≥Q，故D正确．故选AD. 9．[解析]　设升级前“屏占比”为，升级后“屏占比”为(a>b>0，m>0)，因为－＝>0，所以>，所以该手机“屏占比”和升级前比变大．故选C. 10．[解析]　对于A，∵c2＋1>0，∴>0，∵a>b，∴>，故A正确；对于B，因为1<b<2，所以－2<－b<－1，同向不等式相加得－4<a－b<2，故B中说法错误；对于C，因为a>b>0，所以<，又因为m>0，所以<，故C中说法正确；对于D，只有当a>b>0，c>d>0时，才有ac>bd，故D中说法错误．故选AC. 二、填空题 11． ②④　. 12． (－1,2)　. [解析]　∵2b<a<－b，∴2b<－b.∴b<0. ∴<<，即－1<<2. 13． ④　. [解析]　①当ab<0时，<不成立，故①不正确； ②当c<0时，a<b，故②不正确； ③当a＝1，b＝－2，k＝2时，命题不成立，故③不正确； ④a>b>0⇒－a<－b<0⇒0<c－a<c－b， 两边同乘以，得0<<， 又a>b>0，∴>，故④正确． 14． a<c<d<b　. [解析]　由a－d＝c－b，a＋d<b＋c相加得a<c； 又b－d＝c－a>0，得b>d，又d>c，故a<c<d<b. 三、解答题 15．[证明]　∵a>b，c>0，∴ac>bc.∴－ac<－bc. 又e>f，即f<e，∴f－ac<e－bc. 16．．[解析]　∵c<d<0，∴－c>－d>0. 又a>b>0，∴a－c>b－d>0，∴>>0， 又a>b>0，∴>. 17． [解析]　设A，B两地间的路程为s，甲、乙两辆车所用的时间分别为t1，t2，则t1＝，t2＝＋. 因为t1－t2＝－＝＝－<0，所以t1<t2，所以甲先到达B地． 18． [解析]　因为f(x)＝ax2－c， 所以即 解得 所以f(3)＝9a－c＝f(2)－f(1)． 又因为－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5， 所以≤－f(1)≤，－≤f(2)≤， 所以－1≤f(2)－f(1)≤20， 即－1≤f(3)≤20. 学科网（北京）股份有限公司 $$