2.2　全称量词与存在量词 第一课时 同步练习-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修 第一册

**基本信息** 本同步练通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，实现全称量词与存在量词从概念辨析到综合推理的渐进式巩固，适配新授课教学，培养数学符号表达与逻辑推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层（1-8题）|量词符号表示、命题类型判断|以选择填空直接考查概念，如第1题辨析存在量词符号，第2题统计全称命题个数，强化符号意识| |提升层（9-12题）|命题真假判断、简单参数问题|加入多选与计算，如第9题由假命题求参数范围，第12题结合数论判断命题真假，发展推理能力| |综合层（13-16题）|跨知识点应用（函数、集合）|通过解答题综合应用，如第14题函数与方程结合，第16题双变量存在性问题，培养数学思维与问题解决能力|

2.2　全称量词与存在量词 第一课时　全称量词命题与存在量词命题 1.存在量词命题“存在实数x，使x2＋1＜0”可写成（　　） A.若x∈R，则x2＋1＞0　 B.∀x∈R，x2＋1＜0 C.∃x∈R，x2＋1＜0　 D.以上都不正确 2.下列命题中全称量词命题的个数是（　　） ①至少有一个偶数是质数；②∀x∈R，2x＞0；③实数的平方是正数. A.0　 B.1 C.2　 D.3 3.下列说法正确的是（　　） A.对所有的正实数t，有＜t B.存在实数x，使x2－3x－4＝0 C.不存在实数x，使x＜4且x2＋5x－24＝0 D.任意实数x，使得｜x＋1｜≤1且x2＞4 4.下列命题不是“∃x∈R，x2＞3”的表述方法的是（　　） A.有一个x∈R，使得x2＞3成立 B.对有些x∈R，x2＞3成立 C.任选一个x∈R，都有x2＞3成立 D.至少有一个x∈R，使得x2＞3成立 5.已知不等式x＋3≥0的解集是A，则使命题“∀a∈M，a∉A”为真命题的集合M是（　　） A.{a｜a≥－3}　 B.{a｜a＞－3} C.{a｜a≤－3}　 D.{a｜a＜－3} 6.（多选）下列命题中是真命题的是（　　） A.∀x∈R，｜x＋1｜＞0 B.∀x∈{1，－1，0}，2x＋3＞0 C.∃x∈N，使≤x D.不存在x∈N＋，使x为29的约数 7.命题“有些负数满足不等式（1＋x）（1－9x）＞0”用“∃”或“∀”可表述为　　　　. 8.下列命题是真命题的序号是　　　　. ①有些不相似的三角形面积相等； ②每一条线段的长度都能用正有理数来表示； ③存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大. 9.已知命题p：∃x≥3，使得2x－1＜m是假命题，则实数m的最大值是　　　　. 10.指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断真假： （1）有的集合中存在两个相同的元素； （2）∀a，b∈R，（a＋b）（a2－ab＋b2）＝a3＋b3； （3）存在一个x∈R，使＝0. 11.设非空集合P，Q满足P⊆Q，则下列表述正确的是（　　） A.∀x∈Q，有x∈P　 B.∀x∈P，有x∈Q C.∃x∉Q，使得x∈P　 D.∃x∈P，使得x∉Q 12.（多选）下列结论中正确的是（　　） A.∀n∈N＋，2n2＋5n＋2能被2整除是真命题 B.∀n∈N＋，2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题 C.∃n∈N＋，2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题 D.∃n∈N＋，2n2＋5n＋2能被2整除是真命题 13.能够说明“存在两个不相等的正数a，b，使得a－b＝ab是真命题”的一组有序数对（a，b）为　　　　. 14.若任意x∈R，函数y＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围. 15.已知命题p：∀x∈{x｜1≤x≤3}，x－a≥0，若命题p是真命题，则实数a的取值范围是（　　） A.{a｜a＜1}　 B.{a｜a＞3} C.{a｜a≤1}　 D.{a｜a≥3} 16.已知函数y1＝，y2＝－2x2－m，若对∀x1∈{x｜－1≤x≤3}，∃x2∈{x｜0≤x≤2}，使得y1≥y2，求实数m的取值范围. 第一课时　全称量词命题与存在量词命题 1.C　存在量词命题中“存在”可用符号“∃”表示，故选C. 2.C　①中含有存在量词“至少”，所以是存在量词命题；②中含有全称量词符号“∀”，所以是全称量词命题；③中省略了全称量词“任意一个”，所以是全称量词命题. 3.B　t＝时，＞t，所以A选项错；由x2－3x－4＝0，得x＝－1或x＝4，因此当x＝－1或x＝4时，x2－3x－4＝0，故B选项正确；由x2＋5x－24＝0，得x＝－8或x＝3，所以C选项错；x＝0时，不成立，所以D选项错. 4.C　C选项是全称量词命题，而题中的命题是存在量词命题，故选C. 5.D　因为x＋3≥0，所以A＝{x｜x≥－3}.又因为对∀a∈M，都有a∉A，所以a＜－3.故选D. 6.BC　∀x∈R，｜x＋1｜＞0，因为当x＝－1时，｜x＋1｜＝0，故A错误；∀x∈{1，－1，0}，2x＋3＞0，只要x＞－，2x＋3＞0成立，故B正确；∃x∈N，使≤x，取x＝4∈N，有≤4成立，故C正确；1，29都是29的约数，故D错误.故选B、C. 7.∃x＜0，（1＋x）（1－9x）＞0　解析：“有些”为存在量词，因此可用存在量词命题来表述. 8.①③　解析：①为真命题，只要找出等底等高的两个三角形，面积就相等，但不一定相似；②是假命题，如边长为1的正方形，对角线长度为，就不能用正有理数表示；③中当实数a＞0时，结论成立，为真命题.故真命题的序号是①③. 9.5　解析：因为命题p：∃x≥3，使得2x－1＜m是假命题，所以m≤2x－1（x≥3）恒成立，所以m≤2×3－1，解得m≤5.故实数m的最大值是5. 10.解：（1）是存在量词命题，由集合中元素的互异性可知，此命题是假命题. （2）是全称量词命题，∀a，b∈R，（a＋b）（a2－ab＋b2）＝a3－a2b＋ab2＋a2b－ab2＋b3＝a3＋b3是真命题. （3）是存在量词命题.因为不存在x∈R，使＝0成立，所以该命题是假命题. 11.B　因为P⊆Q，则由子集的定义，知P中的任何一个元素都在Q中. 12.CD　当n＝1时，2n2＋5n＋2不能被2整除，当n＝2时，2n2＋5n＋2能被2整除，所以A、B错误，C、D正确.故选C、D. 13.（答案不唯一）　解析：答案不唯一，如，，都符合题意. 14.解：当m＝0时，y＝x－a与x轴恒相交，所以a∈R. 当m≠0时，二次函数y＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m（m＋a）≥0恒成立， 即4m2＋4am＋1≥0恒成立. 又4m2＋4am＋1≥0是一个关于m的二次不等式， 恒成立的充要条件是Δ＝（4a）2－16≤0， 解得－1≤a≤1. 综上所述，当m＝0时，a∈R； 当m≠0时，－1≤a≤1. 15.C　由p是真命题，可知a≤x，因为1≤x≤3，因此a≤1，故选C. 16.解：因为x1∈{x｜－1≤x≤3}，x2∈{x｜0≤x≤2}， 所以y1∈{y｜0≤y≤9}，y2∈{y｜－4－m≤y≤－m}， 又因为对∀x1∈{x｜－1≤x≤3}，∃x2∈{x｜0≤x≤2}，使得y1≥y2， 即y1的最小值大于等于y2的最小值， 即－4－m≤0， 所以m≥－4. 故实数m的取值范围为{m｜m≥－4}. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $