第1章 §2 2.2 全称量词与存在量词(Word练习)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

[必备知识·基础巩固] 1．(2025·辽宁鞍山期中)下列命题为真命题的是(　　) A．p1：∃x∈R，x2＋1<0 B．p2：∀x∈R，x＋|x|>0 C．p3：∀x∈Z，|x|∈N D．p4：∃x∈R，x2－7x＋15＝0 解析　∀x∈R，x2＋1≥1>0，故p1是假命题． 当x＝0时，x＋|x|＝0，故p2是假命题． ∀x∈Z，|x|∈N，故p3是真命题．对于方程x2－7x＋15＝0，Δ＝49－4×15<0，此方程无解，故p4是假命题． 答案　C 2．已知命题“存在0<x<3，使得等式2x－m＝0”是假命题，则实数m的取值范围是(　　) A．{m|m≤0，或m≥6} B．{m|m<0，或m>6} C．{m|m<0，或m≥6} D．{m|m≤0，或m>6} 解析　由题意知“对任意0<x<3，都有2x－m≠0”是真命题，所以m≤0或m≥6，故选A. 答案　A 3．(多选)已知下列命题正确的是(　　) A．∀x∈R，－x2＜0 B．∃x∈Q，x2＝5 C．∃x∈R，x2－x－1＝0 D．若p：∀x∈N，x2≥1，则¬p：∃x∈N，x2＜1 解析　A中，当x＝0时，－x2＝0，故A是假命题；B中，x2＝5，x＝±，±是无理数，故A是假命题；C中，当x＝时，x2－x－1＝0；D中，全称量词命题的否定是存在量词命题，故CD是真命题． 答案　CD 4．命题“∀x∈R,3x2－2x＋1＞0”的否定是________________． 解析　“∀x∈M，p(x)”的否定为“∃x0∈M，¬p(x0)”．∴其否定为∃x∈R,3x2－2x＋1≤0. 答案　∃x∈R,3x2－2x＋1≤0 5．下列命题中，是全称量词命题的是________；是存在量词命题的是________．(填序号) ①正方形的四条边相等； ②有两个角相等的三角形是等腰三角形； ③正数的平方根不等于0； ④至少有一个正整数是偶数． 解析　①可表述为“每一个正方形的四条边相等”，是全称量词命题；②是全称量词命题，即“凡是有两个角相等的三角形都是等腰三角形”；③可表述为“所有正数的平方根不等于0”是全称量词命题；④是存在量词命题． 答案　①②③　④ 6．写出下列命题的否定，并判断其真假． (1)p：末位数字为9的整数能被3整除； (2)p：有的素数是偶数； (3)p：至少有一个实数x，使x2＋1＝0； (4)p：∀x，y∈R，x2＋y2＋2x－4y＋5＝0. 解析　(1)¬p：存在一个末位数字为9的整数不能被3整除，¬p为真命题． (2)¬p：所有的素数都不是偶数．由于2是素数也是偶数，故¬p为假命题． (3)¬p：对任意的实数x，都有x2＋1≠0.¬p为真命题． (4)¬p：∃x，y∈R，x2＋y2＋2x－4y＋5≠0，¬p为真命题． [关键能力·综合提升] 7．(多选)下列命题不正确的是(　　) A．∃x∈R，x2＋1≤0 B．∀x∈R,2x＞x2 C．“a＋b＝0”的充要条件是“＝－1” D．“a＞1，b＞1”是“ab＞1”的充分条件 解析　∵∀x∈R，x2＋1＞0，∴A为假命题；∵函数y＝2x与y＝x2的图象有交点，如点(2,2)，此时2x＝x2，∴B为假命题；∵当a＝b＝0时，a＋b＝0，而0作分母无意义，∴C为假命题；当a＞1，b＞1时，ab＞1，∴D为真命题． 答案　ABC 8．(多选)设非空集合P，Q满足P∩Q＝Q，且P≠Q，则下列选项中正确的是(　　) A．∀x∈Q，有x∈P B．∃x∈P，使得x∉Q C．∃x∈Q，使得x∉P D．∀x∉Q，有x∉P 解析　因为P∩Q＝Q，且P≠Q，所以QP，画出Venn图如图所示，所以A，B正确，C，D错误． 答案　AB 9．(2025·浙江温州瑞安六中检测)已知命题p：∀x∈{x|1≤x≤3}，都有m≥x；命题q：∃x∈{x|1≤x≤3}，使得m≥x.若命题p为真命题，q的否定为假命题，则实数m的取值范围是________． 解析　因为q的否定为假命题，所以q为真命题，所以m≥1.因为命题p为真命题，所以m≥3，故实数m的取值范围为{m|m≥3}∩{m|m≥1}＝{m|m≥3}． 答案　{m|m≥3} 10．(2025·福建莆田期末)已知集合A＝{x|0≤x≤a}，集合B＝{x|m2＋3≤x≤m2＋4}，如果命题“∃m∈R，使得A∩B≠∅”为假命题，求实数a的取值范围． 解析　命题“∃m∈R，使得A∩B≠∅”为假命题，则该命题的否定“∀m∈R，A∩B＝∅”为真命题． 当a<0时，集合A＝∅，符合A∩B＝∅； 当a≥0时，因为m2＋3>0，所以由∀m∈R，A∩B＝∅，得a<m2＋3对于任意m∈R恒成立，又m2＋3≥3，所以a<3，则0≤a<3. 综上，实数a的取值范围为{a|a<3}． [核心价值·探索创新] 11．已知命题p：“至少存在一个实数x∈[1,2]，使不等式x2＋2ax＋2－a＞0成立”为真，试求参数a的取值范围． 解析　解法一　由题意知，x2＋2ax＋2－a＞0在[1,2]上有解，令f(x)＝x2＋2ax＋2－a，则只需f(1)＞0或f(2)＞0，即1＋2a＋2－a＞0，或4＋4a＋2－a＞0. 整理得a＞－3或a＞－2. 即a＞－3.故参数a的取值范围为(－3，＋∞)． 解法二　¬p：∀x∈[1,2]，x2＋2ax＋2－a＞0无解， 令f(x)＝x2＋2ax＋2－a， 则f(1)≤0，f(2)≤0， 即 解得a≤－3.故命题p中，a＞－3. 即参数a的取值范围为(－3，＋∞)． 学科网（北京）股份有限公司 $$