2.2　全称量词与存在量词 第二课时 同步练 2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修 第一册

**基本信息** 聚焦全称与存在量词命题否定，分层设计从概念辨析到综合应用，梯度合理，适配新授课知识巩固与逻辑推理能力培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|单一命题否定（量词与结论否定）|直接考查否定形式（如第1-3题），强化符号意识| |能力提升|命题真假判断与简单应用|结合多选（第5、6题）及填空（第7-9题），发展推理意识| |综合拓展|跨知识综合与实际问题|融合集合、函数（第13-14题）及情境题（第15-16题），培养数学应用与模型意识|

第二课时　全称量词命题和存在量词命题的否定 1.若p：∀x∈R，｜x｜≤1，则命题p的否定为（　　） A.∃x∈R，｜x｜＞1　 B.∀x∈R，｜x｜＞1 C.∃x∈R，｜x｜≥1　 D.∀x∈R，｜x｜≥1 2.命题“存在一个无理数，它的平方是无理数”的否定是（　　） A.任意一个有理数，它的平方是无理数 B.任意一个无理数，它的平方不是无理数 C.存在一个有理数，它的平方是无理数 D.存在一个无理数，它的平方不是无理数 3.命题p：∀x∈N，x3＞x2的否定形式为（　　） A.∀x∈N，x3≤x2　 B.∃x∈N，x3＞x2 C.∃x∈N，x3＜x2　 D.∃x∈N，x3≤x2 4.已知命题p：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是（　　） A.命题p的否定是真命题 B.命题p是存在量词命题 C.命题p是全称量词命题 D.命题p既不是全称量词命题也不是存在量词命题 5.（多选）关于命题p：“∀x∈R，x2＋1≠0”的叙述，正确的是（　　） A.p的否定：∃x∈R，x2＋1＝0 B.p的否定：∀x∈R，x2＋1＝0 C.p是真命题，p的否定是假命题 D.p是假命题，p的否定是真命题 6.（多选）若“∀x∈M，有｜x｜＞x”为真命题，“∃x∈M，使x＞3”为假命题，则集合M可以是（　　） A.（－∞，－5）　 B.（－3，－1] C.（3，＋∞）　 D.[0，3] 7.命题“∀x∈R，＜0”的否定是　　　　　　. 8.命题p：存在实数x∈M，使得x，3，4能成为三角形的三边长.若命题p为假命题，则x的取值集合M＝　　　　. 9.下列命题： ①对一切实数x＜0，都有｜x｜＞x； ②∀x∈R，＝x； ③已知an＝2n，bm＝3m，对于任意n，m∈N＋，an≠bm. 其中，所有真命题的序号为　　　　. 10.写出下列命题的否定，并判断其真假： （1）p：不论m取何实数，关于x的方程x2＋mx－1＝0都有实根； （2）r：∃x∈{三角形}，x是等边三角形； （3）s：至少有一个实数x，使x2＋1＝0. 11.已知命题p：∃x＞0，x＋a－1＝0，若p为假命题，则实数a的取值范围是（　　） A.{a｜a＜1}　 B.{a｜a≤1} C.{a｜a＞1}　 D.{a｜a≥1} 12.（多选）若“∃x∈M，x＜0”为真命题，“∃x∈M，x≥3”为假命题，则集合M可以是（　　） A.（－∞，1）　 B.[－1，3] C.[0，2）　 D.（－3，3） 13.已知函数y1＝x2－2x，y2＝ax＋2（a＞0），集合A＝{x｜－1≤x≤2}，若∀x1∈A，∃x2∈A，使得－2x1＝ax2＋2，则实数a的取值范围是　　　　. 14.已知集合A＝{x｜－2≤x≤5}，B＝{x｜m＋1≤x≤2m－1}，且B≠∅. （1）若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围； （2）若命题q：“∃x∈A，x∈B”是真命题，求m的取值范围. 15.甲、乙、丙、丁四个人参加某项竞赛，四人在成绩公布前做出了如下预测： 甲说：获奖者在乙、丙、丁三人中； 乙说：我不会获奖，丙获奖； 丙说：甲和丁中有一人获奖； 丁说：乙的猜测是对的. 成绩公布后表明，四人中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不相符.已知有两人获奖，则获奖的是（　　） A.甲和丁　 B.甲和丙 C.乙和丙　 D.乙和丁 16.在①∃x∈R，x2＋2ax＋4＝0；②∃A＝{x｜2＜x＜4}，B＝{x｜a＜x＜3a}，使得A∩B＝∅，这2个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解. 问题：已知命题p：∀1≤x≤2，x2－a≥0，命题q：　　　　. 若p，q都是真命题，求实数a的取值范围. 注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分. 第二课时　全称量词命题和存在量词命题的否定 1.A　根据全称量词命题的否定为存在量词命题可知，∀x∈R，｜x｜≤1的否定为：∃x∈R，｜x｜＞1，故选A. 2.B　量词“存在”改为“任意”，结论“它的平方是无理数”否定后为“它的平方不是无理数”，故选B. 3.D　命题p：∀x∈N，x3＞x2的否定形式是存在量词命题，即“∃x∈N，x3≤x2”.故选D. 4.C　命题p：实数的平方是非负数，是真命题，故命题p的否定是假命题，命题p是全称量词命题，故选C. 5.AC　命题p：“∀x∈R，x2＋1≠0”的否定是“∃x∈R，x2＋1＝0”.所以p是真命题，p的否定是假命题. 6.AB　∵∃x∈M，x＞3为假命题，∴∀x∈M，x≤3为真命题，可得M⊆（－∞，3].又∀x∈M，｜x｜＞x为真命题，可得M⊆（－∞，0）.∴M⊆（－∞，0），对照选项可知A、B满足. 7.∃x∈R，＞0或x－2＝0 8.{x｜x≤1或x≥7}　解析：当命题p为真命题时，可得4－3＜x＜3＋4，即1＜x＜7.所以当命题p为假命题时，可得{x｜x≤1或x≥7}. 9.①　解析：①显然为真命题；＝｜x｜＝故②为假命题；当n＝3，m＝2时，a3＝b2，故③为假命题. 10.解：（1）p的否定：∃m∈R，关于x的方程x2＋mx－1＝0无实根，假命题. （2）r的否定：∀x∈{三角形}，x不是等边三角形，假命题. （3）s的否定：∀x∈R，x2＋1≠0，真命题. 11.D　∵命题p为假命题，∴命题p的否定为真命题，即∀x＞0，x＋a－1≠0，即∀x＞0，x≠1－a，∴1－a≤0，则a≥1.∴实数a的取值范围是{a｜a≥1}.故选D. 12.AD　由题意∃x∈M，x＜0为真命题，∀x∈M，x＜3为真命题，则满足题意的选项应为集合{x｜x＜3}的子集，且满足∃x∈M，x＜0，A、D选项均满足，B选项当x＝3时不符合∀x∈M，x＜3，故错误，C选项不存在x∈M，x＜0，故错误.故选A、D. 13.[3，＋∞）　解析：由二次函数的性质可得，当－1≤x≤2时，y1∈{y1｜－1≤y1≤3}，由一次函数的性质可知，当－1≤x≤2时，y2∈{y2｜2－a≤y2≤2＋2a}.因为∀x1∈A，∃x2∈A，使得－2x1＝ax2＋2，所以解得a≥3. 14.解：（1）由于命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题， 所以B⊆A，B≠∅， 所以解得2≤m≤3. （2）由于命题q为真命题，则A∩B≠∅， 因为B≠∅，所以m≥2. 所以解得2≤m≤4. 15.D　易知乙、丁的预测要么同时与结果相符，要么同时与结果不相符，若乙、丁的预测与结果相符，则甲、丙的预测与结果不相符，矛盾，故乙、丁的预测与结果不相符，从而获奖的是乙和丁，故选D. 16.解：选条件①. 由命题p为真，可得不等式x2－a≥0对于1≤x≤2恒成立. 因为1≤x≤2，所以1≤x2≤4，所以a≤1. 若命题q为真，则关于x的方程x2＋2ax＋4＝0有解， 所以Δ＝（2a）2－16≥0，解得a≥2或a≤－2. 又p，q都是真命题，所以a≤－2， 所以实数a的取值范围是{a｜a≤－2}. 选条件②. 由命题p为真，可得不等式x2－a≥0对于1≤x≤2恒成立. 因为1≤x≤2，所以1≤x2≤4，所以a≤1. 对于命题q， 当B＝∅，即a≤0时，A∩B＝∅，命题q为真命题； 当B≠∅，即a＞0时，由A∩B＝∅得a≥4或3a≤2，所以0＜a≤或a≥4. 综上，a≤或a≥4. 又p，q都是真命题，所以a≤， 所以实数a的取值范围是. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $