2.1必要条件与充分条件第一课时课件- 2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

该高中数学课件聚焦“必要条件与充分条件”核心知识点，通过“双刀”开关情境提问导入，结合命题概念预备知识，搭建从具体现象到抽象逻辑的学习支架，衔接性质定理与判定定理的理解脉络。 其亮点在于以情境激发兴趣，用定义法和命题判断法梳理逻辑关系，典型例题结合集合观点培养逻辑推理能力，母题探究变式训练提升数学抽象素养。学生能深化概念理解，教师可依托分层设计高效开展教学。

2.1　必要条件与充分条件 新课程标准解读 核心素养 1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意 义，理解性质定理与必要条件的关系 数学抽象、 逻辑推理 2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意 义，理解判定定理与充分条件的关系 数学抽象、 逻辑推理 3.通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意 义，理解数学定理与充要条件的关系 数学抽象、 逻辑推理 目录 数学·必修第一册（BSD） 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 第一课时　必要条件与充分条件 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 某居民的卧室里安有一盏灯，在卧室门口和床头各有一个开关，任意 一个开关都能够独立控制这盏灯.这就是电器上常用的“双刀”开 关，如图所示. 【问题】　（1） A 开关闭合时 B 灯一定亮吗？ （2） B 灯亮时 A 开关一定闭合吗？ ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ 目录 数学·必修第一册（BSD） 预备知识　命题的概念、分类及结构形式 1. 定义：可以判断 ，用文字或符号表述的 ⁠叫 作命题. 2. 分类：判断为 的语句是真命题；判断为 ⁠的语句是 假命题. 3. 结构形式：“若 p ，则 q ”形式的命题中， ⁠称为命题的条 件， 称为命题的结论. 真假　 陈述句　 真　 假　 p 　 q 　 目录 数学·必修第一册（BSD） 提醒　（1）并非任何语句都是命题，只有能判断真假的陈述句才 是命题；（2）命题的真假是确定的，一个命题要么为真，要么为 假，不能无法判断；（3）数学中的定义、公理、定理、公式等都 是真命题. 目录 数学·必修第一册（BSD） 知识点一　必要条件与性质定理 一般地，当命题“若 p ，则 q ”是真命题时，称 是 ⁠的必要 条件.也就是说，一旦 q 不成立， p 一定也不成立，即 ⁠对 于 的成立是必要的. q 　 p 　 q 　 p 　 目录 数学·必修第一册（BSD） 知识点二　充分条件与判定定理 一般地，当命题“若 p ，则 q ”是真命题时，称 是 ⁠的充分 条件. 综上，对于真命题“若 p ，则 q ”，即 p ⇒ q 时，称 q 是 p 的 ⁠ 条件，也称 p 是 q 的 条件. 提醒　（1）一般地，如果 p ⇒ q 且 q ⇒/ p ，则称 p 是 q 的充分不必要条 件；（2）如果 p ⇒/ q 且 q ⇒ p ，则称 p 是 q 的必要不充分条件；（3） 如果 p ⇒/ q 且 q ⇒/ p ，则称 p 是 q 的既不充分也不必要条件. p 　 q 　 必要　 充分　 目录 数学·必修第一册（BSD） 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）如果 q 是 p 的必要条件，那么 q 是唯一的. （　×　） （2） q 是 p 的必要条件的含义是：如果 q 不成立，则 p 一定不成立. （　√　） （3）“ xy ＞0”是“ x ， y 都大于0”成立的充分条件. （　×　） （4）若 p 是 q 的充分条件，则 q 是 p 的必要条件. （　√　） × √ × √ 目录 数学·必修第一册（BSD） 2. （多选）下列条件中是 x2＞4的充分条件的是（　　） A. x ＞－2 B. x ＜－2 C. x ＜－3 D. x ＞4 解析：当 x ＝0时， x ＞－2，但 x2＜4，故A错，B、C、D都符合. 3. p ：｜ x ｜＝｜ y ｜， q ： x ＝ y ，则 p 是 q 的 条件（填“充 分”或“必要”）. 解析：∵ x ＝ y ⇒｜ x ｜＝｜ y ｜，即 q ⇒ p ，∴ p 是 q 的必要条件. 必要　 目录 数学·必修第一册（BSD） 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 必要条件的判断 【例1】　指出下列哪些命题中 q 是 p 的必要条件： （1） p ：一个四边形是矩形， q ：四边形的对角线相等； 解：因为矩形的对角线相等，所以 q 是 p 的必要条件. （2） p ： A ⊆ B ， q ： A ∩ B ＝ A ； 解：因为 p ⇒ q ，所以 q 是 p 的必要条件. （3） p ： a ＞ b ， q ： ac ＞ bc . 解：因为 p ⇒/q，所以 q 不是 p 的必要条件. 目录 数学·必修第一册（BSD） 通性通法 必要条件的两种判断方法 （1）定义法： 目录 数学·必修第一册（BSD） （2）命题判断法： 如果命题“若 p ，则 q ”是真命题，则 q 是 p 的必要条件； 如果命题“若 p ，则 q ”是假命题，则 q 不是 p 的必要条件. 目录 数学·必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 1. 使 x ＞1成立的一个必要条件是（　　） A. x ＞0 B. x ＞3 C. x ＞2 D. x ＜2 解析：　只有 x ＞1⇒ x ＞0，其他选项均不可由 x ＞1推出. 目录 数学·必修第一册（BSD） 2. 设集合 A ＝{ x ｜ x ≤1}， B ＝{ x ｜ x ≥ a }，则“ A ∪ B ＝R”是“ a ＝1”的 条件（填“充分”或“必要”）. 解析：因为集合 A ＝{ x ｜ x ≤1}， B ＝{ x ｜ x ≥ a }，当 A ∪ B ＝R 时， a ≤1，因为 a ≤1不一定得到 a ＝1，当 a ＝1时一定可以得到 a ≤1，所以“ A ∪ B ＝R”是“ a ＝1”的必要条件. 必要　 目录 数学·必修第一册（BSD） 题型二 充分条件的判断 【例2】　指出下列哪些命题中 p 是 q 的充分条件： （1）在△ ABC 中， p ：∠ B ＞∠ C ， q ： AC ＞ AB ； 解：在△ ABC 中，由大角对大边知，∠ B ＞∠ C ⇒ AC ＞ AB ，所 以 p 是 q 的充分条件. （2）已知 x ， y ∈R， p ： x ＝1， q ：（ x －1）（ x －2）＝0； 解：由 x ＝1⇒（ x －1）（ x －2）＝0，故 p 是 q 的充分条件. 目录 数学·必修第一册（BSD） 法二　设集合 A ＝{ x ｜ x ＞1}， B ＝{ x ｜ x ＞2}，所以 B ⊆ A ，所以 p 不是 q 的充分条件. （3）已知 x ∈R， p ： x ＞1， q ： x ＞2. 解：法一　由 x ＞1⇒/ x ＞2，所以 p 不是 q 的充分条件. 目录 数学·必修第一册（BSD） 通性通法 充分条件的两种判断方法 （1）定义法： 目录 数学·必修第一册（BSD） （2）命题判断方法： 如果命题：“若 p ，则 q ”是真命题，则 p 是 q 的充分条件； 如果命题：“若 p ，则 q ”是假命题，则 p 不是 q 的充分条件. 目录 数学·必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 1. （多选）使0＜ x ＜3成立的一个充分条件是（　　） A. 2＜ x ≤3 B. 0≤ x ＜1 C. 0＜ x ≤2 D. 1＜ x ＜2 解析：　从集合观点看，求0＜ x ＜3成立的一个充分条件， 就是从A、B、C、D中选出集合{ x ｜0＜ x ＜3}的子集.由于 { x ｜0＜ x ≤2}⊆{ x ｜0＜ x ＜3}，{ x ｜1＜ x ＜2}⊆{ x ｜0＜ x ＜3}，故选C、D. 目录 数学·必修第一册（BSD） 2. 设集合 M ＝{ x ｜0＜ x ≤2}， N ＝{ x ｜0＜ x ≤3}，那么“ a ∈ M ” 是“ a ∈ N ”的 条件（填“充分”或“必要”）. 解析：由题意得， M ⊆ N ，所以“ a ∈ M ”⇒“ a ∈ N ”，所以“ a ∈ M ”是“ a ∈ N ”的充分条件. 充分　 目录 数学·必修第一册（BSD） 题型三 根据必要条件、充分条件求参数的取值范围 【例3】　已知 p ：实数 x 满足3 a ＜ x ＜ a ，其中 a ＜0， q ：实数 x 满 足－2≤ x ≤3.若 p 是 q 的充分条件，求实数 a 的取值范围. 解： p ：3 a ＜ x ＜ a ，记集合 A ＝{ x ｜3 a ＜ x ＜ a }. q ：－2≤ x ≤3，记集合 B ＝{ x ｜－2≤ x ≤3}. 因为 p ⇒ q ，所以 A ⊆ B ， 所以⇒－ ≤ a ＜0， 所以 a 的取值范围是 . 目录 数学·必修第一册（BSD） 【母题探究】 1. （变条件）若本例中条件 p 改为“实数 x 满足 a ＜ x ＜3 a ，其中 a ＞ 0”，若 p 是 q 的必要条件，求实数 a 的取值范围. 解： p ： a ＜ x ＜3 a ，记集合 A ＝{ x ｜ a ＜ x ＜3 a }. q ：－2≤ x ≤3，记集合 B ＝{ x ｜－2≤ x ≤3}. 因为 q ⇒ p ，所以 B ⊆ A ，所以 目录 数学·必修第一册（BSD） 2. （变条件）若本例中的条件“ q ：实数 x 满足－2≤ x ≤3”改为 “ q ：实数 x 满足－3≤ x ≤0”其他条件不变，求实数 a 的取值 范围. 解： p ：3 a ＜ x ＜ a ，其中 a ＜0，记集合 A ＝{ x ｜3 a ＜ x ＜ a }. q ：－3≤ x ≤0，记集合 B ＝{ x ｜－3≤ x ≤0}. 因为 p 是 q 的充分条件，所以 p ⇒ q ，所以 A ⊆ B ， 所以⇒－1≤ a ＜0. 所以 a 的取值范围是[－1，0）. 目录 数学·必修第一册（BSD） 通性通法 利用充分（必要）条件确定参数的值（范围）的步骤 （1）记集合 M ＝{ x ｜ p （ x ）}， N ＝{ x ｜ q （ x ）}； （2）若 p 是 q 的充分条件，则 M ⊆ N ；若 p 是 q 的必要条件，则 N ⊆ M ； （3）根据集合的关系列不等式（组）； （4）解不等式（组）得结果. 目录 数学·必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 已知全集 U ＝R，非空集合 A ＝{ x ｜2＜ x ＜3 a ＋1}， B ＝{ x ｜ a ＜ x ＜ a ＋2}.记 p ： x ∈ A ， q ： x ∈ B ，若 q 是 p 的必要条件，求实数 a 的 取值范围. 解：∵ A ≠∅，∴3 a ＋1＞2，即 a ＞ . ∵ q 是 p 的必要条件，∴ A ⊆ B ， ∴解得 a ≤ ， 又 a ＞ ，∴ ＜ a ≤ ， 即实数 a 的取值范围是 . 目录 数学·必修第一册（BSD） 1. 若 a ∈R，则“ a ＝1”是“｜ a ｜＝1”的（　　） A. 充分条件 B. 必要条件 C. 既不是充分条件，也不是必要条件 D. 无法判断 解析：　当 a ＝1时，｜ a ｜＝1成立，但｜ a ｜＝1时， a ＝±1， 所以 a ＝1不一定成立.所以“ a ＝1”是“｜ a ｜＝1”的充分条件. 目录 数学·必修第一册（BSD） 2. “ x ＞2”是“ x ＞ ”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既是充分条件，也是必要条件 D. 既不是充分条件，也不是必要条件 解析：　∵2＜ ，∴“ x ＞2”是“ x ＞ ”的必要不充分条 件.故选B. 目录 数学·必修第一册（BSD） 3. 若“ x ＞1”是“ x ＞ a ”的充分条件，则 a 的取值范围是 ⁠. 解析：因为 x ＞1⇒ x ＞ a ，所以 a ≤1. 4. “ x2＝2 x ”是“ x ＝0”的 条件，“ x ＝0”是“ x2＝2 x ” 的 条件（用“充分”“必要”填空）. 解析：由于 x ＝0⇒ x2＝2 x ，所以“ x2＝2 x ”是“ x ＝0”的必要条 件，“ x ＝0”是“ x2＝2 x ”的充分条件. （－∞，1]　 必要　 充分　 目录 数学·必修第一册（BSD） 谢 谢 观 看！ $