第1章 §2 2.1 第1课时 必要条件与性质定理、充分条件与判定定理(Word练习)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

[必备知识·基础巩固] 1．a＜0，b＜0的一个必要条件为(　　) A．a＋b＜0　　　　　　 B．a－b＞0 C.＞1 D．＜－1 解析　a＋b＜0a＜0，b＜0，而a＜0，b＜0⇒a＋b＜0. 答案　A 2．(多选)对任意实数a，b，c，下列结论不正确的是(　　) A．“ac＞bc”是“a＞b”的必要条件 B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件 C．“ac＞bc”是“a＞b”的充分条件 D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件 解析　“a＝b”⇒“a－b＝0”⇒“(a－b)c＝0”⇒“ac＝bc”，∴“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件．即B正确，A、C、D不正确． 答案　ACD 3．(多选)下列式子：①x＜1；②0＜x＜1；③－1＜x＜1；④－1＜x＜0.其中，可以是x2＜1的一个充分条件的是(　　) A．①　　　 B．② C．③　　　 D．④ 解析　∵x2＜1，∴－1＜x＜1，∴②③④可以是x2＜1的充分条件． 答案　BCD 4．下列说法不正确的是________．(只填序号) ①x2≠1是x≠1的必要条件； ②x＞5是x＞4的充分不必要条件； ③xy＝0是x＝0且y＝0的充分条件； ④x2＜4是x＜2的充分不必要条件． 解析　若“x2≠1，则x≠1”的意思是“若x＝1，则x2＝1”，易知x＝1是x2＝1的充分不必要条件，故①不正确；③中由xy＝0不能推出x＝0且y＝0，则③不正确；②④正确． 答案　①③ 5．条件p：1－x＜0，条件q：x＞a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________． 解析　p：x＞1，若p是q的充分不必要条件，则p⇒q，但qp，也就是说，p对应集合是q对应集合的真子集，所以a＜1. 答案　(－∞，1) 6．已知p：－1＜x＜3，若－a＜x－1＜a是p的一个必要条件，求使a＞b恒成立的实数b的取值范围． 解析　因为－a＜x－1＜a是p：－1＜x＜3的一个必要条件，且－a＜x－1＜a⇔1－a＜x＜1＋a(a＞0)，所以{x|－1＜x＜3}⊆{x|1－a＜x＜1＋a}(a＞0)， 所以解得a≥2， 则使a＞b恒成立的实数b的取值范围是(－∞，2)． [关键能力·综合提升] 7．(多选)下列命题中，p是q的充分条件的是(　　) A．p：a是无理数，q：a2是无理数 B．p：四边形为等腰梯形，q：四边形对角线相等 C．p：x＞2，q：x≥1 D．p：a＞b，q：ac2＞bc2 解析　A中，a＝是无理数，a2＝2是有理数， 所以p不是q的充分条件； B中，因为等腰梯形的对角线相等， 所以p是q的充分条件； C中，x＞2⇒x≥1，所以p是q的充分条件； D中，当c＝0时，ac2＝bc2，所以p不是q的充分条件． 答案　BC 8．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么(　　) A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件 B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件 C．丙是甲的充要条件 D．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 解析　因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲． 又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙丙，如图． 综上，有丙⇒甲，但甲丙， 即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件． 答案　A 9．命题p：|x|＜a(a＞0)，命题q：－1＜x＋1＜4，若p是q的充分条件，则a的取值范围是________，若p是q的必要条件，则a的取值范围是________． 解析　p：－a＜x＜a，q：－2＜x＜3，若p是q的充分条件，则(－a，a)⊆(－2,3)， 所以故a≤2. 若p是q的必要条件，则(－2,3)⊆(－a，a)， 所以则a≥3. 答案　(－∞，2]　[3，＋∞) 10．已知集合A＝{x|2－a≤x≤2＋a}，B＝{x|1≤x≤8}． (1)若A∩B＝{x|1≤x≤4}，求实数a的值； (2)若A≠∅，且“x∈B”是“x∈A”的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 解析　(1)因为B＝{x|1≤x≤8}，A∩B＝{x|1≤x≤4}，所以解得a＝2. (2)因为A≠∅，所以2＋a≥2－a，即a≥0. 因为“x∈B”是“x∈A”的必要不充分条件， 所以AB，所以解得a≤1. 因此，实数a的取值范围为{a|0≤a≤1}． [核心价值·探索创新] 11．命题“对任意x∈{x|1≤x＜2}，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是(　　) A．a≥4　 B．a＞4 C．a≥1　 D．a＞1 解析　要使“对任意x∈{x|1≤x＜2}，x2－a≤0”为真命题，只需要a≥4，所以a＞4是命题为真的充分不必要条件． 答案　B 学科网（北京）股份有限公司 $$