精品解析：黑龙江省绥化市明水县2025-2026学年八年级下学期7月期末数学试题

2025—2026年第二学期八年级数学学科 期末测试卷 考生须知： 1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生先将个人信息在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效． 4．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题使用黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5．保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、不要弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 第Ⅰ卷 选择题（共36分）（涂卡） 一．选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分） 1. 下列关于x的方程中一定是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】一元二次方程是指只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程，特别要注意二次项系数不为0． 【详解】解：选项A，展开整理原方程，整理得 ，是一元一次方程，不是一元二次方程； 选项B， 中，若 ，方程不是一元二次方程； 选项C， 是整式方程，只含一个未知数，二次项系数为，未知数最高次数为2，一定是一元二次方程； 选项D，分母含有未知数，是分式方程，不是整式方程，因此不是一元二次方程． 2. 方程的根是（ ） A. ， B. ， C. D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，通过直接开平方法解方程即可，掌握一元二次方程解法是解题的关键． 【详解】解： ， 或 ， ∴ ，， 故选：． 3. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．解决本题的关键是根据中心对称图形和轴对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意； C选项：该图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D选项：该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项符合题意． 4. 下列哪句话是错误的（ ） A. 直径是圆中最长的弦 B. 半圆是弧 C. 圆上各点到圆心的距离相等 D. 长度相等的两段弧是等弧 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆的相关概念，根据圆的定义、弦、弧及等弧定义判断即可． 【详解】解：A、直径是圆中最长的弦，正确，故本选项不符合题意； B、半圆是弧，正确，故本选项不符合题意； C、圆上各点到圆心的距离相等，正确，故本选项不符合题意； D、在同圆或等圆中，长度相等的两段弧是等弧，原说法错误，故本选项符合题意． 故选：D． 5. 下列关于抛物线的说法，正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标是 D. 时，随的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数顶点式的性质，需根据的性质分析开口方向、对称轴、顶点坐标及增减性求解即可 【详解】解：∵抛物线解析式为，其中，， ∴抛物线开口向上，故A错误． 对称轴为直线，故B错误． 顶点坐标为，故C错误． ∵，抛物线开口向上，对称轴为 ∴当时，随的增大而减小． 又∵包含在的范围内 ∴时，随的增大而减小，故D正确． 故选：D． 6. 下列事件是随机事件的是( ) A. 瓜熟蒂落 B. 石沉大海 C. 一箭双雕 D. 海底捞月 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点判断即可． 【详解】解：A．瓜熟蒂落，这是必然事件，故A不符合题意； B．石沉大海，这是必然事件，故B不符合题意； C．一箭双雕，这是随机事件，故C符合题意； D．海底捞月，这是不可能事件，故D不符合题意； 故选：C． 7. 一元二次方程根的情况是（ ）． A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，计算判别式的值即可判断根的情况． 【详解】解：对于一元二次方程， ∵ ，，， ∴， ∴ 该方程有两个不相等的实数根． 8. 如图所示，是等腰直角三角形，BC是斜边，点D是内一点，连接AD、BD，将绕点A逆时针旋转后能与重合，如果，那么DE的长是（　　） A. 2 B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据旋转的性质得到，，再由勾股定理得出的长即可． 【详解】是等腰直角三角形， ， 绕点A逆时针旋转后能与重合， ，， ， 故选：A． 【点睛】本题考查旋转的性质、勾股定理，解题的关键是熟记旋转前后的两个图形全等，对应边相等、对应角相等． 9. 如图，点、、在上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在优弧上取点A，连接、，根据圆内接四边形的性质求出的度数，然后根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：在优弧上取点A，连接、， ∴， ∵， ∴， ∴． 10. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据解析式可得开口方向和对称轴，开口向上，离对称轴越远函数值越大，再求出三个点到对称轴的距离即可得到答案；本题主要考查了比较二次函数值的大小，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴二次函数开口向上，离对称轴越远的点，函数值越大，对称轴为直线， ∵，， ∴． 故选：B． 11. 同时掷两个质地均匀的骰子（骰子有6个面，分别标有数字1，2，3，4，5，6），掷得的点数之积是3的倍数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先确定所有等可能结果总数，再利用对立事件简化计算符合条件的结果数，最后代入概率公式求解即可． 【详解】解：∵同时掷两个质地均匀的骰子，每个骰子都有6种可能结果 ∴所有等可能的结果总数为 种 ∵点数之积是3的倍数，则至少有一个骰子掷出的点数是3的倍数（即3或6），1~6中不是3的倍数的点数共4个， ∴两个骰子点数都不是3的倍数的结果数为种， ∴点数之积是3的倍数的结果数为 种， ∴掷得的点数之积是3的倍数的概率为． 12. 已知二次函数的图象如图所示，给出以下结论：①；②；③；④；⑤关于的一元二次方程有两个相等的实数根；⑥，其中正确的个数是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数系数与图像的对应关系，从图像中提取核心信息是解题关键． 先根据抛物线的对称轴，可解答①；再分别判断，，的值，可解答②；然后根据抛物线与轴有两个不同的交点，可得，可判断③；根据抛物线的对称性可知点关于对称轴对称的点是，可得当时，，可解答④；根据二次函数的图象与有一个交点，可解答⑤；根据当时，，可得，最后结合，可解答⑥． 【详解】解：∵抛物线的对称轴是， ∴， 即， 故①不正确； ∵抛物线的开口向上， ∴， ∵抛物线的对称轴是， ∴， ∵抛物线交轴负半轴， ∴， ∴， 故②正确； 由图象可知抛物线与轴有两个不同的交点， ∴， 即， 故③正确； 根据抛物线的对称性可知点关于对称轴对称的点是， 当时，， 则时，，即， 故④正确； ∵二次函数的最小值为， ∴二次函数的图象与有一个交点， ∴关于的一元二次方程有两个相等的实数根， 故⑤正确； 由图可知，当时，， ∴． ∵， ∴， 即， 故⑥不正确． 综上，正确的有个． 故选：． 第Ⅱ卷 非选择题（共84分） 二．填空题（本题共10个小题，每小题3分，共30分） 13. 将一元二次方程化成的形式，则的值为_____． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，通过配方将方程化为完全平方形式，再求p和q的值，代入求和解答即可． 【详解】解：， 所以，， 则， 故答案为：9． 14. 以原点为中心，把点逆时针旋转得到点N，则点N的坐标为________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转，建立平面直角坐标系，作出图形，然后根据图形写出点N的坐标即可．作出图形，利用数形结合的思想求解更形象直观． 【详解】如图所示，建立平面直角坐标系，点N的坐标为． 故答案为：． 15. 如图，四边形内接于，为直径，，连接．若，则的度数为___． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查圆心角、弧、弦之间的关系、同圆（或等圆）中同弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角为和圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形对角互补是解题的关键；先根据弧、弦之间的关系得出，再根据圆周角定理得出，直径所对的圆周角为，求出，最后根据圆内接四边形的性质得出，求出答案即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵是的直径， ∴， ∴． ∵四边形内接于， ∴， ∴． 故答案为：． 16. 把抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为___． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数图象平移规律“左加右减，上加下减”，即可得到结果． 【详解】解：将抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度， 根据二次函数图象平移规律可得：． 17. 已知，分别是一元二次方程的两个根，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系．根据根与系数的关系可得两根之和与两根之积，再代入所求表达式计算即可． 【详解】解：，分别是一元二次方程的两个根， 由根与系数的关系得，， 则 ， 故答案为． 18. 如图，内接于，，，若，则的长为 _____________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，弧长公式，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．连接，．首先证明是等腰直角三角形，求出，再根据弧长公式即可解决问题． 【详解】解：连接，． ∵， 又∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 19. 汽车刹车后行驶的距离s（单位：米）与行驶的时间t（单位：秒）的函数关系式是那么汽车刹车后_________秒停下来． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，利用顶点坐标求解是解题的关键．汽车刹车后速度减为0时停下来，此时行驶的距离达到最大值，因此，本题即求取得最大值时t的取值． 【详解】解：． 因为，当时，s取得最大值． 故汽车刹车后秒，停下来． 故答案为：． 20. 如图所示的圆形纸板被等分成10个扇形挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上），则飞镖落在阴影区域的概率是______． 【答案】## 【解析】 【分析】直接利用阴影部分÷总面积=飞镖落在阴影区域的概率，即可得出答案． 【详解】解：由题意可得：阴影部分有4个小扇形，总的有10个小扇形， 故飞镖落在阴影区域的概率是：． 故答案为． 【点睛】题目主要考查几何概率的计算，熟练掌握概率计算公式是解题关键． 21. 如图，半圆的直径，中，，，，半圆以的速度从左向右运动，在运动过程中，点、始终在直线上，设运动时间为，．当半圆与的边相切时，运动时间__________． 【答案】2或8或14 【解析】 【分析】本题考查平移性质、切线的判定与性质、锐角三角函数，分点E与C重合时和点E与D重合时，半圆与相切；点O与C重合时，半圆与相切时三种情况，利用平移性质和切线的判定与性质，结合数形结合计算求解即可．运用分类讨论思想是解答的关键 【详解】解：∵半圆的直径， ∴半圆的半径, ①如图1，当点E与C重合时，，则半圆与相切， 此时点O运动了， ∴运动时间； ②如图2，当点E与D重合时，则， ∴半圆与相切， 此时点O运动了， ∴运动时间； ③如图3，过C作于F， ∵，， ∴， 当半圆与相切时，O到的距离等于半径， ∴点O与C重合，此时点O运动了， ∴运动时间 综上，当半圆与的边相切时，运动时间2或8或14， 故答案为：2或8或14． 22. 如图，已知点，，，在函数位于第二象限的图象上，点，，，在函数位于第一象限的图象上，点，，，在轴的正半轴上，若四边形、，，都是正方形，则正方形的对角线长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形对角线平分一组对角可得与轴的夹角为，然后表示出的解析式，再与抛物线解析式联立求出点的坐标，然后求出的长，再根据正方形的性质求出，表示出的解析式，与抛物线联立求出的坐标，然后求出的长，再求出的长，然后表示出的解析式，与抛物线联立求出的坐标，然后求出的长，从而根据边长的变化规律解答即可． 【详解】解：是正方形， 与轴的夹角为， 的解析式为， 联立方程组得：， 解得或， 点的坐标是：； ， ， ， ∴直线的解析式为：， 联立方程组得：， 解得或， 点的坐标是：； ， ， 依此类推，则正方形的边长为， ∴其对角线长为 故答案为：． 【点睛】考查了二次函数的对称性，正方形的性质，表示出正方形的边长所在直线的解析式，与抛物线解析式联立求出正方形的顶点的坐标，从而求出边长是解题的关键． 三．解答题（本题共7个小题，共54分） 23. 用指定的方法解下列方程： （1）（因式分解法） （2）（公式法） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）根据题目要求用因式分解法解方程即可； （2）根据题目要求用公式法解方程即可． 【小问1详解】 解：， 二次项系数化为1，得， 因式分解，得， 解得：，； 【小问2详解】 解：， ∵，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根 ， ∴ ， 解得：，． 24. 已知二次函数图象的顶点坐标是，且经过点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）若点在该函数图象上，求的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，二次函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据二次函数图象的顶点坐标是，设二次函数的解析式为，再把代入进行计算，即可作答． （2）理解题意，把点代入进行计算，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，设二次函数的解析式为， ∵二次函数经过点， ∴， ∴， 解得， ∴这个二次函数的表达式； 【小问2详解】 解：∵二次函数的表达式； ∵点在该函数图象上， ∴， ∴ 解得或； 25. 如图，在正方形中，点是边上一点，连接，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，将线段绕点顺时针旋转得到，连接． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1）证明：是的中点， ． 四边形是正方形， , ∴， 又， ， ， 是斜边上的中线， ． ， ． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质，旋转的性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用相关知识是解答本题的关键． （1）根据证明得，从而可证明； （2）设由得，求出，得出，由旋转得，可列式，得出即． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴ ． 26. 如图，是的直径，点是上一点，过点的直线交的延长线于点．作，垂足为点，已知平分． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）． 【解析】 【分析】（1）连接，根据题意求得，，从而求出，，结合切线的判定即可求解； （2）设的半径，则，由勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，是的直径， ， 设的半径，则， ，， 由勾股定理得， 解得：，（舍）， 的半径为． 27. 中小学应急疏散演练旨在提升师生应对突发事件的避险与逃生能力，教育部要求中小学校每月至少开展一次演练．小颖和小明的班级所在楼层设置了三个步梯作为消防通道．某次应急疏散演练过程中，小颖和小明分别随机选择中的一个步梯下楼，到达安全区域 （1）小颖通过A步梯下楼的概率是________； （2）利用画树状图或列表的方法，求小颖和小明通过同一步梯下楼的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据简单的概率公式，解答即可． （2）根据画树状图法，求概率解答即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得小颖通过A步梯下楼的概率是． 【小问2详解】 解：根据题意，画树状图如下： 一共有9种等可能性，其中小颖和小明通过同一步梯下楼的有3种等可能性． 故小颖和小明通过同一步梯下楼的概率为：． 28. 智慧农业是以物联网、大数据、人工智能为核心的新型农业形态，通过农业传感器和北斗导航系统、智能农机装备和智能机器人实现精准高效地作业．智慧农业领域某品牌的智能机器人今年1月份销售量为3万台，随着智慧农业的不断推广，销量不断增长，该品牌智能机器人的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万台． （1）求从1月份到3月份该品牌智能机器人销售量的月平均增长率 （2）为了降低成本和提高采摘效率，小明家的果园也引进了一台智能机器人帮助采摘某种水果．如图，为了方便智能机器人和工人采摘水果，计划在一块长、宽的矩形果园上修建三条道路，道路的宽度都相等，道路将果园分成面积均为的6个小矩形．求道路的宽度． 【答案】（1） （2）道路宽度为 【解析】 【分析】（1）设从1月份到3月份该品牌智能机器人销售量的月平均增长率为，然后根据题意列方程求解即可； （2）设道路宽度为．然后根据题意列一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解：设从1月份到3月份该品牌智能机器人销售量的月平均增长率为， 则 解得（不合题意，舍去） 答：从1月份到3月份该品牌智能机器人销售量的月平均增长率为． 【小问2详解】 解：设道路宽度为． 依题意得， 解得（不合实际，舍去）． 答：道路宽度为． 29. 如图，抛物线经过点、，与直线交于B、D两点，点P是抛物线上一动点，记点P的横坐标为t． （1）求抛物线的解析式； （2）当点P位于直线下方时，求面积的最大值及此时点P的坐标； （3）过点P作x轴的垂线交x轴于点H，若是等腰直角三角形，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）的面积的最大值为8， （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点P作轴，交于点E，先表示，，得出，故，再利用二次函数的性质求解即可； （3）因为，且是等腰直角三角形，得，由（2）知，所以，，则，再解出方程，即可作答． 【小问1详解】 解：抛物线经过点、， ， 解得 抛物线的解析式为， 【小问2详解】 解：抛物线的解析式为与直线交于B、D两点． ， 解得，， 把代入，得， 点D的坐标为， 如图1，过点P作轴，交于点E， 则，， ， 点B的坐标是 ， 当时，的面积的最大值为8， 此时． 【小问3详解】 解：如图2，过点P作x轴的垂线交x轴于点H， 轴于H， ， 是等腰直角三角形， ， 由（2）知， 点H的坐标为， 由（1）可知， ，， ， 或， 即或， 当时， 解得或（舍去）， 此时； 当时， 解得或（舍去）， 此时， 综上，点P的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026年第二学期八年级数学学科 期末测试卷 考生须知： 1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生先将个人信息在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效． 4．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题使用黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5．保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、不要弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 第Ⅰ卷 选择题（共36分）（涂卡） 一．选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分） 1. 下列关于x的方程中一定是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 2. 方程的根是（ ） A. ， B. ， C. D. ， 3. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列哪句话是错误的（ ） A. 直径是圆中最长的弦 B. 半圆是弧 C. 圆上各点到圆心的距离相等 D. 长度相等的两段弧是等弧 5. 下列关于抛物线的说法，正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标是 D. 时，随的增大而减小 6. 下列事件是随机事件的是( ) A. 瓜熟蒂落 B. 石沉大海 C. 一箭双雕 D. 海底捞月 7. 一元二次方程根的情况是（ ）． A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 8. 如图所示，是等腰直角三角形，BC是斜边，点D是内一点，连接AD、BD，将绕点A逆时针旋转后能与重合，如果，那么DE的长是（　　） A. 2 B. C. D. 4 9. 如图，点、、在上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 11. 同时掷两个质地均匀的骰子（骰子有6个面，分别标有数字1，2，3，4，5，6），掷得的点数之积是3的倍数的概率为（ ） A. B. C. D. 12. 已知二次函数的图象如图所示，给出以下结论：①；②；③；④；⑤关于的一元二次方程有两个相等的实数根；⑥，其中正确的个数是（   ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共84分） 二．填空题（本题共10个小题，每小题3分，共30分） 13. 将一元二次方程化成的形式，则的值为_____． 14. 以原点为中心，把点逆时针旋转得到点N，则点N的坐标为________ 15. 如图，四边形内接于，为直径，，连接．若，则的度数为___． 16. 把抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为___． 17. 已知，分别是一元二次方程的两个根，则的值为__________． 18. 如图，内接于，，，若，则的长为 _____________________． 19. 汽车刹车后行驶的距离s（单位：米）与行驶的时间t（单位：秒）的函数关系式是那么汽车刹车后_________秒停下来． 20. 如图所示的圆形纸板被等分成10个扇形挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上），则飞镖落在阴影区域的概率是______． 21. 如图，半圆的直径，中，，，，半圆以的速度从左向右运动，在运动过程中，点、始终在直线上，设运动时间为，．当半圆与的边相切时，运动时间__________． 22. 如图，已知点，，，在函数位于第二象限的图象上，点，，，在函数位于第一象限的图象上，点，，，在轴的正半轴上，若四边形、，，都是正方形，则正方形的对角线长为_____． 三．解答题（本题共7个小题，共54分） 23. 用指定的方法解下列方程： （1）（因式分解法） （2）（公式法） 24. 已知二次函数图象的顶点坐标是，且经过点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）若点在该函数图象上，求的值． 25. 如图，在正方形中，点是边上一点，连接，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，将线段绕点顺时针旋转得到，连接． （1）求证：； （2）求的度数． 26. 如图，是的直径，点是上一点，过点的直线交的延长线于点．作，垂足为点，已知平分． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 27. 中小学应急疏散演练旨在提升师生应对突发事件的避险与逃生能力，教育部要求中小学校每月至少开展一次演练．小颖和小明的班级所在楼层设置了三个步梯作为消防通道．某次应急疏散演练过程中，小颖和小明分别随机选择中的一个步梯下楼，到达安全区域 （1）小颖通过A步梯下楼的概率是________； （2）利用画树状图或列表的方法，求小颖和小明通过同一步梯下楼的概率． 28. 智慧农业是以物联网、大数据、人工智能为核心的新型农业形态，通过农业传感器和北斗导航系统、智能农机装备和智能机器人实现精准高效地作业．智慧农业领域某品牌的智能机器人今年1月份销售量为3万台，随着智慧农业的不断推广，销量不断增长，该品牌智能机器人的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万台． （1）求从1月份到3月份该品牌智能机器人销售量的月平均增长率 （2）为了降低成本和提高采摘效率，小明家的果园也引进了一台智能机器人帮助采摘某种水果．如图，为了方便智能机器人和工人采摘水果，计划在一块长、宽的矩形果园上修建三条道路，道路的宽度都相等，道路将果园分成面积均为的6个小矩形．求道路的宽度． 29. 如图，抛物线经过点、，与直线交于B、D两点，点P是抛物线上一动点，记点P的横坐标为t． （1）求抛物线的解析式； （2）当点P位于直线下方时，求面积的最大值及此时点P的坐标； （3）过点P作x轴的垂线交x轴于点H，若是等腰直角三角形，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $