精品解析：黑龙江省绥化市明水县2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试卷（五四学制）

黑龙江省绥化市明水县八年级（下）期末数学试卷（五四学制） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列关于x的方程是一元二次方程的为（ ） A. B. C. D. 2. 函数中自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 一组数据，，，，，，有唯一的众数，则为（    ） A. B. C. D. 4. 下列说法中正确的是（　　）． A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是正方形 C. 平行四边形的对角线平分一组对角 D. 矩形的对角线相等且互相平分 5. 有人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了人，则的为（ ） A. B. C. D. 6. 把抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是（ ） A. B. C. D. 7. 在同一直角坐标系中，函数与的图象大致是（    ） A. B. C. D. 8. 以和为根的一元二次方程是( ) A. -10x-1=0 B. +10x-1=0 C. +10x+1=0 D. -10x+1=0 9. 如图，已知菱形ABCD的对角线AC．BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是（） A. B. C. D. 10. 抛物线如图所示，现有下列四个结论：①；②；③；④．其中错误的结论有（    ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 11. 一元二次方程x2﹣4=0的解是_________． 12. 甲、乙、丙三名学生参加引体向上体育项目测试，已知他们测试成绩的平均数相同，方差如下：，，．则甲、乙、丙中成绩最稳定的学生是______． 13. 如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽米，则可列方程为______． 14. 关于x的一元二次方程x2+2x+1=0的两个根同号，则的取值范围是______． 15. 如图，直线与直线交于点，则关于的不等式的解集是______ ． 16. 如图所示，为的中位线，点F 在 上，且平 分，， 若，则的长为 ________． 17. 设A(－2，y1)、B(1，y2)、C(2，y3)是抛物线y＝－(x＋1)2＋k上的三点，则y1、y2、y3的大小关系为__________． 18. 直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且，则直线的解析式为______． 19. 如图是我国汉代数学家赵爽用来说明勾股定理的弦图，他用四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出一个小正方形，若大正方形面积为5，小正方形面积为1，则________． 20. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点，分别是边，上的点，已知点，点，连接，则的周长为___________． 三、解答题：本题共7小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 21. 解方程： （1） （2） 22. 某校学生的上学方式分为A步行、B骑车、C乘公共交通工具、D乘私家车、E其它，该校数学兴趣小组成员在全校随机抽取了若干名学生进行抽样调查，并整理样本数据，得到如下两幅不完整的统计图： （1）求本次抽样调查的人数，并补全条形统计图； （2）写出这5组频数的中位数； （3）若该校共2000名学生，请估计该校选择B骑车上学的人数； 23. 如图，在等边中，点D是的中点，是边上的中线，连接，以为边作等边，连接． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，求四边形的面积． 24. 已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1，x2． （1）求实数k的取值范围； （2）若x1，x2满足x12+x22=16+x1x2，求实数k的值． 25. “低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某自行车专卖店的自行车销售量自2014年底起逐月增加，据统计，该专卖店1月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆． （1）若该自行车专卖店前4个月的自行车销量的月平均增长率相同，则该自行车专卖店4月份卖出______辆自行车． （2）若该自行车专卖店，A型车的进价为500元/辆，B型车进价为1000元/辆．如表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 12辆 8辆 18800元 第二周 20辆 10辆 27000元 ①A型号的自行车的销售单价为______，B型号的自行车的销售单价为______； ②考虑到自行车需求不断增加，该自行车专卖店准备用不超过25万的金额再进购一批两种规格的自行车共300辆，求B型号最多能购多少辆． 26. 甲、乙两地相距，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地（两车速度均保持不变）．如图，折线表示轿车离甲地的距离（千米）与时间（小时）之间的函数关系，线段表示货车离甲地的距离（千米）与时间（小时）之间的函数关系，请你根据图象信息，解答下列问题： （1）线段表示轿车在途中停留了______小时，______； （2）求线段对应的函数解析式； （3）轿车从甲地出发后经过多长时间追上货车？ （4）请你直接写出两车何时相距30千米（两车均在行驶）？答：____________． 27. 综合与探究 已知抛物线与直线交于，两点，与轴的另一个交点为． （1）求抛物线的解析式． （2）若为抛物线顶点，则线段的长为_____． （3）如图1，点是直线上方抛物线的一动点，过点作轴，交于点．连接，求的面积的最大值． （4）如图2，在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黑龙江省绥化市明水县八年级（下）期末数学试卷（五四学制） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列关于x的方程是一元二次方程的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，理解定义是解题的关键．含有1个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程；或能化为的整式方程是一元二次程；据此进行逐一判断，即可解题． 【详解】解：A、是分式方程，不符合题意； B、是一元三次方程，不符合题意； C、中若时，不是一元二次方程，不符合题意； D、是一元二次方程，符合题意； 故选：D． 2. 函数中自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据被开方数大于等于0，列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得，， 解得． 故选：B． 【点睛】本题考查自变量的取值范围，掌握被开方数大于等于0是解题关键． 3. 一组数据，，，，，，有唯一的众数，则为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了众数的概念，根据众数的概念：一组数据中出现次数最多的数值即为众数，即可得到答案，熟练掌握众数的概念为解题的关键． 【详解】解：∵这组数据中，出现两次，又有唯一的众数， ∴， 故选：． 4. 下列说法中正确的是（　　）． A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是正方形 C. 平行四边形的对角线平分一组对角 D. 矩形的对角线相等且互相平分 【答案】D 【解析】 【分析】由矩形和正方形的判定方法容易得出A、B不正确；由平行四边形的性质和矩形的性质容易得出C不正确，D正确． 【详解】∵对角线相等的平行四边形是矩形， ∴A不正确； ∵对角线互相垂直的矩形是正方形， ∴B不正确； ∵平行四边形的对角线互相平分，菱形的对角线平分一组对角， ∴C不正确； ∵矩形的对角线互相平分且相等， ∴D正确； 故选D． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、正方形的判定；熟练掌握平行四边形、矩形、正方形的判定与性质是解决问题的关键． 5. 有人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了人，则的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染了x个人，第二轮作为传染源的是（x+1）人，则传染x（x+1）人，依题意列方程求解即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：或（舍去）， 则的值为6． 故选B． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，找出题中的等量关系是解决本题的关键． 6. 把抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线平移的规律，左加右减自变量，上加下减常数项进行整理即可． 【详解】解：图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位， 得， 故选：C． 【点睛】本题主要考查抛物线的平移规律，熟练地掌握图象的平移规律是解决问题的关键． 7. 在同一直角坐标系中，函数与的图象大致是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的图象．根据每一选项中a、b的符号是否相符，逐一判断． 【详解】解：A、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项错误； B、由抛物线可知，由直线可知，故本选项错误； C、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项正确； D、由抛物线可知，，，由直线可知，，，但抛物线顶点不在直线上，故本选项错误． 故选：C． 8. 以和为根的一元二次方程是( ) A. -10x-1=0 B. +10x-1=0 C. +10x+1=0 D. -10x+1=0 【答案】D 【解析】 【分析】先计算和的和与积，然后根据根与系数的关系求解． 【详解】解：∵+=10， （）（）=25-24=1， ∴以和为根的一元二次方程可为x2-10x+1=0． 故选D. 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，，． 9. 如图，已知菱形ABCD的对角线AC．BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形的性质得出BO、CO的长，在RT△BOC中求出BC，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于BC×AE，可得出AE的长度． 【详解】∵四边形ABCD是菱形， ∴CO=AC=3，BO=BD=4，AO⊥BO， ∴． ∴． 又∵， ∴BC·AE=24， 即． 故选D． 点睛：此题考查了菱形的性质，也涉及了勾股定理，要求我们掌握菱形的面积的两种表示方法，及菱形的对角线互相垂直且平分． 10. 抛物线如图所示，现有下列四个结论：①；②；③；④．其中错误的结论有（    ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系．根据二次函数的开口方向，对称轴，与x轴、y轴的交点坐标，结合等式、不等式的性质逐项进行判断即可． 【详解】解：抛物线开口向上，因此， 对称轴为，因此a、b异号，所以， 抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，因此， 所以， 因此①是正确的； 由于对称轴为，即， 所以， 因此③不正确； 设抛物线与x轴两个交点坐标为，， 由图象可知，而对称轴为，根据对称性可知，， 所以当时，，又， 所以， 即， 因此②是正确； 当时，，即， 所以④不正确； 综上所述，正确的结论有①②，错误的结论有③④， 故选：B． 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 11. 一元二次方程x2﹣4=0的解是_________． 【答案】x=±2 【解析】 【详解】移项得x2=4， ∴x=±2． 故答案是：x=±2． 12. 甲、乙、丙三名学生参加引体向上体育项目测试，已知他们测试成绩的平均数相同，方差如下：，，．则甲、乙、丙中成绩最稳定的学生是______． 【答案】丙 【解析】 【分析】本题考查方差．先比较甲、乙、丙的方差的大小，再找出方差最小的学生即可． 【详解】解：∵，，．， ∴， ∴成绩最稳定的学生是丙， 故答案为：丙． 13. 如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽米，则可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】可借助平移性质得到长为、宽为的矩形草坪，然后利用矩形面积公式列方程即可． 【详解】解：根据题意，草坪的面积为， 故所列方程为， 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，读懂题意，找出图形中的等量关系，借助平移性质列方程是解答的关键． 14. 关于x的一元二次方程x2+2x+1=0的两个根同号，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件知，①该方程有两个实数根，故根的判别式△=b2-4ac≥0；②该方程的两个根之积是正数；③二次项系数不为零． 【详解】∵关于x的方程ax2+2x+1=0是一元二次方程， ∴a≠0①， 又∵该方程有两个实数根， ∴ 即②， ∵该方程的两个根是同号， ∴ ∴a>0③， 综合①②③知，， 故答案是：. 【点睛】考查一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，熟记公式是解决本题的关键. 15. 如图，直线与直线交于点，则关于的不等式的解集是______ ． 【答案】 【解析】 【分析】观察函数图象得到当时，函数的图象都在的图象下方，所以关于的不等式的解集为． 【详解】解：由图象可知：当时，， 即不等式的解集为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 16. 如图所示，为的中位线，点F 在 上，且平 分，， 若，则的长为 ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理求出，再根据直角三角形斜边上的中线的性质求出，最后根据线段的和差关系求解即可． 【详解】解：为的中位线，， ，为的中点， 在中，为的中点，， ， ， 故答案为：． 17. 设A(－2，y1)、B(1，y2)、C(2，y3)是抛物线y＝－(x＋1)2＋k上的三点，则y1、y2、y3的大小关系为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题要比较，，的大小，由于，，是抛物线上三个点的纵坐标，所以可以根据二次函数的性质进行解答：先求出抛物线的对称轴，再由对称性得点关于对称轴的对称点的坐标，再根据抛物线开口向下，在对称轴右边，随的增大而减小，便可得出，，的大小关系． 【详解】解：抛物线， 对称轴为， ， 点关于的对称点， ， 在的右边随的增大而减小， ，，，， ， 故答案选：． 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，对称轴的求法，解题的关键是熟记二次函数的性质：时，在对称轴左边，随的增大而减小，在对称轴右边，随的增大而增大；时，在对称轴左边，随的增大而增大，在对称轴右边，随的增大而减小． 18. 直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且，则直线的解析式为______． 【答案】或 【解析】 【分析】首先表示出，，然后利用求解即可． 本题考查了求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是关键． 【详解】解：直线与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴当时，， ∴ 当时， 解得 ， ， ， 解得， 一次函数解析式为或． 故答案为：或． 19. 如图是我国汉代数学家赵爽用来说明勾股定理的弦图，他用四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出一个小正方形，若大正方形面积为5，小正方形面积为1，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了弦图、正方形的性质、勾股定理、一元二次方程的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据题意得，，，设，在中利用勾股定理列出方程，解出的值，求出的长，再利用平行四边形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图， 由题意得，，，， 设，则， 在中，， ， 解得：，（舍去）， ， ． 故答案为：2． 20. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点，分别是边，上的点，已知点，点，连接，则的周长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】延长到使，作轴于，由正方形的性质推出，得到，，由，得到，得到，即可证明，得到，即可得到的周长，由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：延长到使，作轴于， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的周长， 的坐标是， ，， ， 的周长是． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，坐标与图形的性质，关键是通过作辅助线构造全等三角形，证明的周长． 三、解答题：本题共7小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 21. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． （1）运用公式法解一元二次方程即可； （2）运用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： ，，， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：，； 【小问2详解】 解： ，， 解得，． 22. 某校学生的上学方式分为A步行、B骑车、C乘公共交通工具、D乘私家车、E其它，该校数学兴趣小组成员在全校随机抽取了若干名学生进行抽样调查，并整理样本数据，得到如下两幅不完整的统计图： （1）求本次抽样调查的人数，并补全条形统计图； （2）写出这5组频数的中位数； （3）若该校共2000名学生，请估计该校选择B骑车上学的人数； 【答案】（1）人， 补全条形统计图如下： （2）30人 （3）680人 【解析】 【分析】本题考查条形统计图与扇形统计图、用样本估计总体、中位数定义 （1）利用C乘公共交通工具的人数除以其所占的百分比求得样本总量，再减去其他乘车方式的人数求得D乘私家车的人数，进而补全条形统计图即可； （2）根据中位数的定义求解即可； （3）利用选择B骑车上学的人数除以样本总量求得其所占百分比，再乘以即可求解． 【小问1详解】 解：本次抽样调查的人数（人）， ∴D乘私家车的人数为（人）． 【小问2详解】 解：这5组频数按从小到大排序为：9，15，30，45，51， ∵处于最中间的数为30， 则这5组频数的中位数为30人． 【小问3详解】 解：校选择B骑车上学的人数约是人， 答：该校选择B骑车上学的人数为680人． 23. 如图，在等边中，点D是的中点，是边上的中线，连接，以为边作等边，连接． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：是等边三角形，点是的中点，是边的中线， ， 是等边三角形， ， ， 四边形是平行四边形， 又 四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的判定和性质定理是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再证明四边形是矩形； （2）分别求出，根据矩形面积计算公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：是等边三角形， ， 是边的中线， ， 在中，由勾股定理得：， 又四边形是矩形， ． 24. 已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1，x2． （1）求实数k的取值范围； （2）若x1，x2满足x12+x22=16+x1x2，求实数k的值． 【答案】(1) k≤;(2)-2. 【解析】 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=﹣4k+5≥0，解之即可得出实数k的取值范围； （2）由根与系数的关系可得x1+x2=1﹣2k、x1x2=k2﹣1，将其代入x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=16+x1x2中，解之即可得出k的值． 【详解】（1）∵关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1，x2， ∴△=（2k﹣1）2﹣4（k2﹣1）=﹣4k+5≥0，解得：k≤， ∴实数k的取值范围为k≤． （2）∵关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1，x2， ∴x1+x2=1﹣2k，x1x2=k2﹣1． ∵x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=16+x1x2， ∴（1﹣2k）2﹣2×（k2﹣1）=16+（k2﹣1）， 即k2﹣4k﹣12=0， 解得：k=﹣2或k=6（不符合题意，舍去）． ∴实数k的值为﹣2． 25. “低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某自行车专卖店的自行车销售量自2014年底起逐月增加，据统计，该专卖店1月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆． （1）若该自行车专卖店前4个月的自行车销量的月平均增长率相同，则该自行车专卖店4月份卖出______辆自行车． （2）若该自行车专卖店，A型车的进价为500元/辆，B型车进价为1000元/辆．如表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 12辆 8辆 18800元 第二周 20辆 10辆 27000元 ①A型号的自行车的销售单价为______，B型号的自行车的销售单价为______； ②考虑到自行车需求不断增加，该自行车专卖店准备用不超过25万的金额再进购一批两种规格的自行车共300辆，求B型号最多能购多少辆． 【答案】（1）125； （2）①700，1300；②200辆 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用． （1）设该自行车专卖店前4个月的自行车销量的月平均增长率为x，利用该商城3月份销售自行车的数量＝该商城1月份销售自行车的数量该自行车专卖店前4个月的自行车销量的月平均增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再将其符合题意的值代入中，即可求出结论； （2）①设A型号的自行车的销售单价为a元，B型号的自行车的销售单价为b元，利用销售总价＝销售单价销售数量，结合近两周的销售情况，可列出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论； ②设购进B型号的自行车m辆，则购进A型号的自行车辆，利用进货总价＝进货单价购进数量，结合进货总价不超过25万元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设该自行车专卖店前4个月的自行车销量的月平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， （辆）， 该自行车专卖店4月份卖出125辆自行车， 故答案为：125； 【小问2详解】 解：①设A型号的自行车的销售单价为a元，B型号的自行车的销售单价为b元， 根据题意得：， 解得：， 型号的自行车的销售单价为700元，B型号的自行车的销售单价为1300元． 故答案为：700，1300； ②设购进B型号的自行车m辆，则购进A型号的自行车辆， 根据题意得：， 解得：， 的最大值为， 答：B型号的自行车最多能购进200辆． 26. 甲、乙两地相距，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地（两车速度均保持不变）．如图，折线表示轿车离甲地的距离（千米）与时间（小时）之间的函数关系，线段表示货车离甲地的距离（千米）与时间（小时）之间的函数关系，请你根据图象信息，解答下列问题： （1）线段表示轿车在途中停留了______小时，______； （2）求线段对应的函数解析式； （3）轿车从甲地出发后经过多长时间追上货车？ （4）请你直接写出两车何时相距30千米（两车均在行驶）？答：____________． 【答案】（1）0.5，5.5；（2）；（3）3.5小时；（4）小时，小时 【解析】 【分析】（1）直接将C点横坐标减去B点横坐标即可求出停留时间，通过CD段y值的变化可求出经过的时间，将C点横坐标加上该时间即可； （2）先设出其解析式，再将C、D两点坐标代入计算即可； （3）直接求图像中CD和OE的交点坐标即可； （4）先讨论轿车在AB段时的情况，再讨论轿车在CD段的情况，其中在AB段，由图像可知，对应的图像位于AB上方，因此直接列方程求解即可，由于求得的x的值大于B点横坐标，因此舍去；在CD段，又要分两种情况讨论，最后列出方程求解以及验证即可． 【详解】（1）由图像可知：线段BC平行于x轴，表示轿车离甲地的距离在该段时间没有改变，其中B（2,120），C（2.5,120）， ∴停留时间为2.5-2=0.5； 由AB可知，轿车一个小时行驶了120千米, 由CD段可知，轿车行驶了480-120=360（千米）， 因此需要时间为360÷120=3（小时）， 所以a=2.5+3=5.5， 故答案为 0.5,5.5． （2）设的解析式为，过、两点， ∴，解得， ∴的解析式为 （3）由OE可知，火车行驶速度为480÷6=80（千米/小时）， ， ， （小时）， ∴轿车从甲地出发后3.5小时后追上货车； （4）轿车行驶在AB段时：设y=mx+n ∵，， ∴，解得：， ∴； 当时，>2，不符合题意，舍去； 轿车行驶在DC段时： 当时，；符合题意； 当时，；符合题意； 故答案为：小时，小时 【点睛】本题综合考查了一次函数的实际应用，涉及到一次函数的图像与性质、待定系数法求解析式、图像的交点问题等知识，解决本题的关键是能正确理解题意，能读懂函数图像，与具体数据建立关联，能利用一次函数图像与性质求相关数据等，本题涉及到了数形结合的思想方法和分类讨论的思想方法等． 27. 综合与探究 已知抛物线与直线交于，两点，与轴的另一个交点为． （1）求抛物线的解析式． （2）若为抛物线顶点，则线段的长为_____． （3）如图1，点是直线上方抛物线的一动点，过点作轴，交于点．连接，求的面积的最大值． （4）如图2，在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）8 （4）存在，点的坐标为， 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）先将二次函数配方成顶点式，求出点N的坐标，再求出的长； （3）先求出直线的解析式为，设，，根据列出关于的二次函数关系式，化为顶点式即可求出最大值； （4）设点的坐标为，根据勾股定理表示出，，，当时，，当时，，列方程求解即可． 【小问1详解】 解：将，代入，得： ， 解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：， ， ， 故答案为：； 【小问3详解】 解：设直线的解析式为， 将，代入，得： ， 解得， 直线的解析式为； 由（1）知抛物线的解析式为，直线的解析式为， 设，则， ， ， ， 当时，有最大值，最大值为8； 【小问4详解】 解：存在，点的坐标为，，理由如下： 设点的坐标为， ，， ，，， 当中，当时，， ， 化简得， 解得或， 当时，点与点重合，不合题意，舍去， 当时，， 点的坐标为； 同理，当时，， ， 化简得， 解得或， 当时，点与点重合，不合题意，舍去， 当时，， 点的坐标为； 综上可知，点的坐标为，． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，利用二次函数求最值，勾股定理，直角三角形的存在性问题，解题的关键是熟练运用数形结合及分类讨论思想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $