精品解析：上海市上海中学2024-2025学年高二第一学期期末考试数学试题

上海中学2024学年第一学期期末考试 数学试题 一、填空题（每题3分，共36分） 1. 同时抛掷两颗质地均匀的骰子，则两颗骰子出现的点数之和为4的概率为______； 2. 设等差数列的前n项和为.若，则______. 3. 在等比数列中，已知，，则公比_____ 4. 已知是同一个样本空间中的独立事件，若，且，则________． 5. 一批产品中有一等品和二等品，其中二等品的概率为，将这批产品逐件检测后放回，在连续三次检测中，至少有一件二等品的概率为________． 6. 某同学坚持跑步锻炼身体，他记录了10周的跑量，将跑量数据（单位：千米）按从小到大排序如下：，则这组数据的第40百分位数为________． 7. 甲、乙两名运动员5场比赛得分的茎叶图如图所示已知甲得分的极差为32，乙得分的众数为26，则__________. 8. 若数列中，，则________． 9. 已知数列满足，则的最小值为______． 10. 若数列满足，则其前2025项的和为________． 11. 数列满足．若对任意的正整数，均有，则的取值范围是______． 12. 已知无穷数列与无穷数列满足下列条件：①；②且．记数列的前n项积为，则的最大值为________． 二、选择题（每题4分，共16分） 13. 对于古典概率模型中的事件，若，则之间的关系一定为（ ） A. 互斥事件 B. 独立事件 C. 对立事件 D. 以上选项均不正确 14. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S15>0，S16<0，则中最大的项为（ ） A. B. C. D. 15. 某工厂利用随机数表考查某种品牌的850颗种子的发芽率，先将850颗种子按进行编号，从中抽取50颗种子进行试验，下面提供随机数表的第1行和第2行： 若从表中第1行第2列开始向右依次读取数据，每次读出三位数，则得到的第4颗种子编号为（ ） A. 428 B. 114 C. 572 D. 042 16. 已知数列{an}的前n项和，若数列{an}单调递减，则λ的取值范围是 A. (－∞，2) B. (－∞，3) C. (－∞，4) D. (－∞，5) 三、解答题（共48分） 17. 甲、乙两位同学参加数学竞赛培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下： 甲 乙 分别求出甲、乙预赛成绩的平均数和方差，并从统计学的角度选派一人参加决赛． 18. 甲、乙两人进行一次围棋对抗赛，采用5局3胜制，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，同时比赛结束.假设在每局中，甲获胜的概率为0.4，乙获胜的概率为0.6，各局比赛结果相互独立.已知前两局中，甲、乙各胜1局. （1）求再赛两局比赛就结束的概率； （2）求甲获得这次比赛胜利的概率. 19. 已知严格增的等比数列满足：，且是的等差中项． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 20. 某科技创新公司在第一年年初购买了一台价值昂贵的设备，该设备的第1年的维护费支出为20万元，从第2年到第6年，每年的维修费增加4万元，从第7年开始，每年维修费为上一年的125%． （1）求第n年该设备的维修费的表达式； （2）设，若万元，则该设备继续使用，否则须在第n年对设备更新，求在第几年必须对该设备进行更新？ 21. 设各项均为正整数的无穷数列满足：，其中为不超过x的最大整数． （1）若对任意正整数n都有，请写出两个满足条件的的值； （2）若数列是常数列，请写出所有满足条件的的表达式，并说明理由； （3）证明：不论为何值，总存在使得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海中学2024学年第一学期期末考试 数学试题 一、填空题（每题3分，共36分） 1. 同时抛掷两颗质地均匀的骰子，则两颗骰子出现的点数之和为4的概率为______； 【答案】 【解析】 【分析】按古典概型概率公式求解. 【详解】同时抛掷两枚质地均匀的骰子，基本事件共有个； 设两枚骰子点数之和为4为事件，则事件包含：，，共3个基本事件， 所以. 故答案为： 2. 设等差数列的前n项和为.若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由等差数列的前n项和公式与等差中项的概念求解即可. 【详解】因为等差数列的前n项和为，， 所以. 故答案为： 3. 在等比数列中，已知，，则公比_____ 【答案】1或 【解析】 【详解】试题分析：当时满足，同时成立，当时有，解方程得 考点：等比数列通项及求和 4. 已知是同一个样本空间中的独立事件，若，且，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用事件的独立性得，又，进而得，即是方程的两根，利用二次方程的性质即可求解. 【详解】由题意得，又， 所以，所以是方程的两根， 解得或，又，所以. 5. 一批产品中有一等品和二等品，其中二等品的概率为，将这批产品逐件检测后放回，在连续三次检测中，至少有一件二等品的概率为________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用对立事件和二项分布即可求解. 【详解】令事件为在连续三次检测中，至少有一件二等品， 由二等品的概率为，所以一等品的概率为， 所以， 所以. 6. 某同学坚持跑步锻炼身体，他记录了10周的跑量，将跑量数据（单位：千米）按从小到大排序如下：，则这组数据的第40百分位数为________． 【答案】9.5 【解析】 【分析】根据一组数据的百分位数的规定计算即得. 【详解】由可知这组数据的第40百分位数为. 7. 甲、乙两名运动员5场比赛得分的茎叶图如图所示已知甲得分的极差为32，乙得分的众数为26，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据茎叶图，以及极差和众数的定义，即可求解. 【详解】由茎叶图可知，甲的最低得分为6分，由甲得分的极差为32，可知，甲的最高得分为，所以的值为8， 乙得分的众数为26，所以的值为6， 所以. 故答案为： 8. 若数列中，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用递推公式先求前几项，进而得周期，利用周期即可求解. 【详解】由题意得：，，， ，， 所以，所以数列是以为周期的周期数列， 所以. 9. 已知数列满足，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得数列是首项为，公比为的等比数列，由累乘法求出，结合指数函数和二次函数的性质求即可得出答案. 【详解】因为，所以， 所以，因此数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， 当时，， 因为时，，所以， 因此当或时，取得最小值，为. 故答案为：. 10. 若数列满足，则其前2025项的和为________． 【答案】 【解析】 【分析】取倒数，再结合等差数列求和公式结合累加法得出通项，最后裂项相消求和． 【详解】数列满足， 可得，， ， 所以， ， 所以， 所以， 可得数列的前2025项和:． 11. 数列满足．若对任意的正整数，均有，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【详解】，且． 因此，问题转化为使恒小于2时的取值范围． 由于． 则当时，恒有．从而，对任何正整数，有．若， 则存在正整数，使得． 事实上，若有，则，即． 因此，由，可得，即． 所以，的取值范围为． 故答案为 12. 已知无穷数列与无穷数列满足下列条件：①；②且．记数列的前n项积为，则的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意， 且设，则进一步分析得，的值从大到小依次为，然后分，，分析求解即可. 【详解】由题意， 且    设，， 得，进一步得 显然的值从大到小依次为        （ⅰ）若，则，则不可能      （ⅱ）若，则或， 则或不可能              （ⅲ）若，则，则不可能     ∴（当或取得） 从而， ∴. ∴     （当：取得）                            又 ，∴ 二、选择题（每题4分，共16分） 13. 对于古典概率模型中的事件，若，则之间的关系一定为（ ） A. 互斥事件 B. 独立事件 C. 对立事件 D. 以上选项均不正确 【答案】A 【解析】 【分析】利用概率加法公式求出，再结合互斥、对立、独立事件的定义逐一判断选项即可. 【详解】根据概率加法公式，对任意事件有， 将代入上式，得. 因为，所以事件互斥，故选项A正确； ，所以事件不独立，故选项B错误； 因为，所以事件不对立，故选项C错误；因此选项D错误. 14. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S15>0，S16<0，则中最大的项为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：：∵等差数列前n项和， 由S15>0，S16<0，得，∴， 若视为函数则对称轴在之间，∵，∴Sn最大值是， 分析，知为正值时有最大值，故为前8项，又d＜0，递减，前8项中递增， ∴前8项中最大最小时有最大值，∴最大． 考点：等差数列性质及求和 15. 某工厂利用随机数表考查某种品牌的850颗种子的发芽率，先将850颗种子按进行编号，从中抽取50颗种子进行试验，下面提供随机数表的第1行和第2行： 若从表中第1行第2列开始向右依次读取数据，每次读出三位数，则得到的第4颗种子编号为（ ） A. 428 B. 114 C. 572 D. 042 【答案】C 【解析】 【分析】根据随机数表法可得结果. 【详解】根据随机数表法，抽取的前颗种子的编号依次为：， 所以第4颗种子编号为. 16. 已知数列{an}的前n项和，若数列{an}单调递减，则λ的取值范围是 A. (－∞，2) B. (－∞，3) C. (－∞，4) D. (－∞，5) 【答案】A 【解析】 【详解】，， 因为单调递减，所以， 所以，且， 所以只需，，且， 所以，故选A． 三、解答题（共48分） 17. 甲、乙两位同学参加数学竞赛培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下： 甲 乙 分别求出甲、乙预赛成绩的平均数和方差，并从统计学的角度选派一人参加决赛． 【答案】，；，；选派甲参加决赛更合适 【解析】 【分析】根据平均数和方差的公式计算即可求解. 【详解】由题意得，， 所以 ， ， 由，所以选派甲参加决赛更合适. 18. 甲、乙两人进行一次围棋对抗赛，采用5局3胜制，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，同时比赛结束.假设在每局中，甲获胜的概率为0.4，乙获胜的概率为0.6，各局比赛结果相互独立.已知前两局中，甲、乙各胜1局. （1）求再赛两局比赛就结束的概率； （2）求甲获得这次比赛胜利的概率. 【答案】（1）0.52 （2）0.352 【解析】 【分析】（1）再赛两局比赛就结束意味着后两局是同一个人胜，有可能是甲胜，也有可能是乙胜，根据并事件及相互独立事件求解即可； （2）甲获得这次比赛胜利则有三种情况：后两局直接赢，输一局后两局赢，赢一局输一局赢一局. 【小问1详解】 用表示事件“第i局甲胜”，表示事件“第j局乙胜”（i，，4，5）， 设“再赛两局结束这次比赛”为事件A， 则 因为互斥,且两两相互独立， 所以 ， 故再赛两局结束这次比赛的概率为0.52. 【小问2详解】 设“甲获得这次比赛胜利”为事件B， 则 故甲获得这次比赛胜利的概率为0.352. 19. 已知严格增的等比数列满足：，且是的等差中项． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设数列的公比为，计算基本量，利用等比数列通项公式即可求解； （2）利用错位相减法即可求解. 【小问1详解】 设数列的公比为， 所以， 又是的等差中项， 所以，所以， 所以，解得或（舍去）, 时，，此时数列递减，不符合题意， 所以， 所以； 【小问2详解】 由（1）有：， 所以①， 所以②， 由①②得：， 所以. 20. 某科技创新公司在第一年年初购买了一台价值昂贵的设备，该设备的第1年的维护费支出为20万元，从第2年到第6年，每年的维修费增加4万元，从第7年开始，每年维修费为上一年的125%． （1）求第n年该设备的维修费的表达式； （2）设，若万元，则该设备继续使用，否则须在第n年对设备更新，求在第几年必须对该设备进行更新？ 【答案】(1) (2) 第9年 【解析】 【分析】（1）将数列分为两部分，分别利用等差数列和等比数列公式得到答案. （2）当时，恒成立，当时，，判断是递增数列，计算,得到答案. 【详解】（1）当时，数列是首项为20，公差为4的等差数列， ； 当时，数列是首项为，公比为的等比数列，又 所以. 因此第n年该设备的维修费的表达式因此为 (2)设数列的前项和为，由等差及等比的求和公式得： 当时，， 此时恒成立，即该设备继续使用； 当时， ， 此时 因为，即 所以是递增数列，又, 故在第9年必须对该设备进行更新. 【点睛】本题考查了数列的应用，意在考查学生利用数列知识解决问题的能力和应用能力. 21. 设各项均为正整数的无穷数列满足：，其中为不超过x的最大整数． （1）若对任意正整数n都有，请写出两个满足条件的的值； （2）若数列是常数列，请写出所有满足条件的的表达式，并说明理由； （3）证明：不论为何值，总存在使得． 【答案】（1）3,5（答案不唯一）； （2）； （3）任取一项，设，其中为非负整数． 若，则结论已经成立． 下面设． 若为偶数，则即下一项进入比更低的区间． 若为奇数，则，并且 同时，由可得 所以，当数列的项仍留在区间内且尚未等于时，每遇到奇数项，下一项就严格增大； 一旦出现偶数项，下一项便进入更低的区间． 区间内只有有限个正整数，因此数列不可能永远在该区间内严格增大而又不到达． 故经过有限步后，数列或者到达，或者进入某个更低的区间，其中． 若进入更低的区间，就重复上述讨论． 由于非负整数只能降低有限次，最终必有某一项等于某个区间的最大整数， 即，其中为正整数． 【解析】 【分析】（1）选择便于计算的初值，按递推关系验证数列中不出现1． （2）设常数列的每一项均为，分别讨论的奇偶性，解出所有可能的． （3）把正整数按区间分类．在同一区间内，偶数项的下一项会进入更低的区间；奇数项若不是区间最大整数，则下一项严格增大．利用区间内正整数个数有限，证明数列最终到达某个． 【小问1详解】 取． 因为为奇数，且，所以 故对任意正整数均成立． 取． 因为，所以 此后，因此数列中也不出现1． 所以满足条件的两个的值可以为3，5． 【小问2详解】 数列是常数列，且，其中为正整数． 若为偶数，则由递推关系从而，与为正整数矛盾． 所以只能为奇数． 设，则． 由递推关系解得 反过来，任取正整数，令，则且 所以数列为常数列当且仅当其中为正整数． 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $