精品解析：上海市位育中学2025-2026学年第一学期高二年级数学期末试题

位育中学2025-2026学年第一学期高二年级数学期末 一、填空题（本大题共有12题，第1-6题每题3分，第7-12题每题4分，满分42分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果 1. 用符号表示“直线在平面内”_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据直线与平面的关系即得. 【详解】符号表示“直线在平面内”为. 故答案为： 2. 如图，在棱长为1的正方体中，______． 【答案】2 【解析】 【详解】因为，， 所以， ， . 3. 某个品种的小麦麦穗长度（单位：）的样本数据的茎叶图如图所示，其中整数部分为“茎”，小数部分为“叶”，则这组数据的第百分位数为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据茎叶图得出从小到大的数据，利用百分位数定义直接求解即可. 【详解】由题知， 样本数据有， 共个，则， 则这组数据的第百分位数为. 故答案为： 4. 设一个球的大圆面积为，则该球的表面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用球体表面积公式可求得结果. 【详解】设该球的半径为，则该球的大圆面积为， 故该球的表面积为. 5. 在的二项展开式中，项的系数是______． 【答案】 【解析】 【详解】展开式的通项为，， 所以， 所以项的系数是. 6. 若异面直线所成角的大小为，设的一个方向向量为，的一个方向向量为，则的所有可能值为______． 【答案】或 【解析】 【详解】当为锐角或直角时，，此时； 当为钝角时，，此时． 所以的可能值为或． 7. 相互独立事件满足，，则______． 【答案】## 【解析】 【详解】因为，且，所以， 因为事件和事件相互独立，所以，所以. 8. 若，则______． 【答案】33 【解析】 【分析】由赋值法即可求解． 【详解】令，则， 令，则， 所以． 9. 将4名程序专家全部分配到1，2，3号3个AI实验室指导工作，每个实验室至少分配1名专家，则不同的分配方案共有______种． 【答案】36 【解析】 【分析】根据分组分配即可求解． 【详解】先将4名程序专家分成一个2人组和两个1人组，共有种，再分配给3个AI实验室,有种， 所以共有种不同的分配方案． 10. 马老师从课本上抄录一个随机变量的概率分布列如表 x 1 2 3 P() ? ! ? 请小牛同学计算的数学期望，尽管“！”处无法完全看清，且两个“？”处字迹模糊，但能肯定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案_______ ． 【答案】2 【解析】 【详解】试题分析：令？的数字是x，则！的数值是1-2x，所以 考点：数学期望 点评：数学期望就是平均值，要得到随机变量的数学期望，则需先写出分布列． 11. 空间直角坐标系中，从原点出发的两个向量、满足：，，且存在实数，使得成立，则由构成的空间几何体的体积是______. 【答案】## 【解析】 【分析】由不等式有解，结合数量积运算，求得，又且，可得围成的空间几何体是以原点为顶点，高为2，母线长为的圆锥，从而根据锥体体积公式求得结论. 【详解】由已知得，所以， 所以存在实数，使得不等式有解， 则有，解得， 又因为且，所以在方向上的数量投影是， 所以围成的空间几何体是以原点为顶点，高为，母线长为的圆锥， 故由构成的空间几何体的体积为. 故答案为：. 12. 给定正方体，用、、、、、、、这8个组合数标记顶点，共有种标记方法，其中一种标记方法如图所示．对于第种标记方法，有一质点从点出发，沿棱按最短距离移动到点后立即停止，它经过的组合数之和（含标记点、的组合数）的最小值为，则集合的最大元素为______． 【答案】78 【解析】 【详解】 ，所以这8 个组合数构成的集合为， 质点从点出发，沿棱按最短距离移动到点，中间会经过两个点，第一个中间点属于与相邻的顶点集合， 第二个中间点属于与相邻的顶点集合，考虑到一个点只能与三个点相邻，所以每个只能和两个组合（反之亦然）， 即， 对于任意一条路径，设其经过的组合数之和为，依题意目标是要得到， 由于和存在于每一条路径中，为了最大化路径的最小值，应将35分配给它们， 接下来考虑中间点，剩余的组合数集合为，同样基于我们的目标，我们需要使两个1无法组合，比如同时在中， 于是1只能和7或21组合，最小值为，因此集合的最大元素为. 【点睛】这是一个组合优化问题，从正方体的结构特征出发可以得到可能的路径，另外由于涉及到两个优化目标，分步骤讨论是有必要且有益的. 二、选择题（本大题共有4题，13、14题每题3分，15、16题每题4分，满分14分） 13. 从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ） A. 恰好有一个白球与都是红球 B. 至多有一个白球与都是红球 C. 至多有一个白球与都是白球 D. 至多有一个白球与至多一个红球 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得总事件分别为（红，白），（红，红），（白，白）三种情况，根据互斥事件以及对立事件的定义再对应各个选项逐个分析即可求解． 【详解】从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球， 表示的事件分别为（红，白），（红，红），（白，白）三种情况， 故选项A中事件互斥不对立，A正确， 选项B：至多有一个白球表示的是（红，白），（红，红），与都是红球不互斥，故B错误， 选项C：由选项B的分析可知互斥且对立，故C错误， 选项D：至多有一个白球表示的是（红，白），（红，红），至多有一个红球表示的是（红，白），（白，白），所以两个事件不互斥，故D错误， 故选：A． 14. 在以下四图中，直线与直线可能平行的位置关系只能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用异面直线的判定及公理的应用判定选项即可. 【详解】选项A中，平面内的两直线异面，则a与b异面； 选项B中，平面内的两直线异面，则a与b异面； 选项C中，平面内的两直线相交，两相交直线能确定一个平面， 则a与b有可能平行； 选项D中，平面内的两直线异面，则a与b异面． 故选：C． 15. 某地2025年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下： 行业名称 人工智能 生物医药 集成电路 汽车制造 IT服务 应聘人数 215830 200250 154676 74570 65280 行业名称 人工智能 集成电路 生物医药 养老护理 游戏 招聘人数 124620 102935 89115 76516 70436 若用同一行业中招聘人数和应聘人数的比值的大小来衡量该行业的就业情况，则根据表中数据，就业形势一定是（ ） A. 人工智能行业好于游戏行业 B. 养老护理行业好于汽车制造行业 C. 生物医药行业最紧张 D. 集成电路行业比IT服务行业紧张 【答案】C 【解析】 【分析】根据就业形势的好坏的衡量标准逐项分析即可求解． 【详解】人工智能行业的招聘人数和应聘人数的比值为：， 生物医药行业的招聘人数和应聘人数的比值为：， 集成电路行业的招聘人数和应聘人数的比值为：， 对于A，人工智能行业的招聘人数和应聘人数的比值约为，但游戏行业只知道招聘人数，不知道应聘人数，无法比较，故A错误； 对于B，养老护理行业只知道招聘人数，汽车制造行业只知道应聘人数，无法比较，故B错误； 对于C，生物医药行业在已知的招聘人数和应聘人数的比值行业中最小，故最紧张，故C正确； 对于D，集成电路行业的招聘人数和应聘人数的比值约为,IT服务行业只知道应聘人数，无法比较，故D错误． 16. 已知样本数据的各项均不为0，这组样本数据的方差为，，样本数据的方差为．设甲：，乙：全为正数，或全为负数．则甲是乙的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先证明充分性，设的平均数为，的平均数为，，，因为，所以，，结合绝对值不等式得到充分性成立，再分全为正数和全是负数两种情况，得到必要性成立，得到结论. 【详解】充分性：设的平均数为，的平均数为， ，， 因为，所以，所以， 其中，故， 由绝对值不等式得， 当且仅当同号，即全为正数，或全为负数，等号成立， 故充分性成立， 必要性：若全为正数，则，，显然， 若全为负数，则，， 设的平均数为，则的平均数为， ，， ，必要性成立， 综上，甲是乙充分必要条件. 故选：A 三、解答题（本大题共有5题，满分44分）. 17. “人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心．现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出人，并将这人按年龄分为第1组，第2组，第3组，第4组，绘制出如图所示的频率分布直方图． （1）求的值； （2）现从年龄在及的人群中按分层抽样抽取人，再从中选人作为生态文明建设知识宣讲员，求这两人来自同一组的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图的核心性质——所有矩形面积之和为1（即各组频率之和为1）即可求解； （2）先用分层抽样按比例抽取，然后用组合数计算古典概型． 【小问1详解】 由题意得，解得. 【小问2详解】 由，得抽取的人中有人来自，有人来自， 所以人中选人作为生态文明建设知识宣讲员，两人来自同一组的概率． 18. 某种“笼具”由上、下两层组成，上层和下层分别是一个圆锥和一个圆柱，其中圆柱与圆锥的底面半径相等，如图所示：圆锥无底面，圆柱无上底面有下底面，内部镂空，已知圆锥的母线长为20cm，圆柱高为30cm，底面的周长为. （1）求这种“笼具”的体积（结果精确到）； （2）现要使用一种纱网材料制作这样“笼具”的保护罩（包括底面）50个，该保护罩紧贴包裹“笼具”，纱网材料（按实测面积计算）的造价为每平方米8元，共需多少元？（结果精确到0.1元） 【答案】（1） （2）138.7元 【解析】 【分析】（1）先通过底面周长求出底面圆的半径，然后根据圆锥母线及底面圆半径求出圆锥的高，最后利用圆锥的体积加上圆柱的体积即可求解； （2）求出圆锥的侧面积，圆柱侧面积及一个底面积，即可得到“笼具”的表面积，然后求出总的造价即可. 【小问1详解】 设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为，圆柱高为， 则由题意有，得，圆锥高， 所以“笼具”的体积. 【小问2详解】 圆柱的侧面积，圆柱的底面积， 圆锥的侧面积， 所以“笼具”的侧面积. 故造50个“笼具”的最低总造价为元. 答：这种“笼具”的体积约为；生产50个笼具需要138.7元. 19. 盒中有个红球，个黑球，其中、为正整数．这些球的大小、质地均相同． （1）若，求在第一次抽取黑球且不放回的条件下，第二次抽取的还是黑色球的概率； （2）设为正整数．先随机从盒中抽取一个球，观察其颜色后放回，并加上同色球个，再从盒中第二次抽取一球，求第二次抽出的是黑球的概率（用含、、的代数式表示）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分析可知在第一次抽取黑球的条件下，则盒子里还剩个红球个黑球，再利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率； （2）记事件第次从盒中摸出的一个球是黑球，求出、、、，利用全概率公式可得出的值. 【小问1详解】 若，在第一次抽取黑球且不放回的条件下，则盒子里还剩个红球个黑球， 故在第一次抽取黑球且不放回的条件下，第二次抽取的还是黑色球的概率为. 【小问2详解】 记事件第次从盒中摸出的一个球是黑球， 则，，，， 由全概率公式可得 . 20. 已知正方形，、分别是边、的中点，将沿折起，形成如图的几何体． （1）证明：平面； （2）若为正三角形，试判断点在平面内的射影是否在直线上，证明你的结论，并求二面角的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2）在，证明见解析， 【解析】 【分析】（1）推导出四边形为平行四边形，可得出，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）利用线面垂直的性质及线段相等可证的位置，然后以点为坐标原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，过点作平行于的直线为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的大小. 【小问1详解】 翻折前，因为、分别是正方形的边、的中点， 所以且，所以四边形为平行四边形，故， 翻折后，仍有， 又平面，而平面，所以平面. 【小问2详解】 点在平面内的射影在直线上， 过点作平面，垂足为，连接、． 因为为正三角形，所以，则，则在的垂直平分线上， 又因为是的垂直平分线，所以点在平面内的射影在直线上， 如图，连接，以点为坐标原点，以所在直线为轴，所在直线为轴， 过点作平行于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系. 设正方形的边长为，连接，则，，． 因，则，且，故， 、、、、， 易知平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 因，， 则，故可取， 所以， 由图可知，二面角为锐角，故二面角的大小为. 21. 规定，其中，是正整数，且，这是组合数（是正整数，且）的一种推广． （1）求的值，并判断组合数性质是否能推广到（，是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式，并说明理由；若不能，则说明理由． （2）已知组合数是正整数，证明：当，是正整数时，． 【答案】（1），能，推广形式为，理由见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据定义即可计算；分类讨论，和两种情况，结合组合数的性质即可证明； （2）当时，分，和三种情况讨论，结合组合数的性质即可证明． 【小问1详解】 ； 当时，，等式成立， 当时， ， 所以组合数性质能推广到（是正整数）的情形，推广形式为． 【小问2详解】 当时，因为是正整数，所以是个连续整数的乘积，而！是个连续正整数的乘积，所以， 当时，此时，那么， 所以， 当时，因为， 所以， 又因为组合数是正整数，所以，则， 综上，当是正整数时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 位育中学2025-2026学年第一学期高二年级数学期末 一、填空题（本大题共有12题，第1-6题每题3分，第7-12题每题4分，满分42分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果 1. 用符号表示“直线在平面内”_____. 2. 如图，在棱长为1的正方体中，______． 3. 某个品种的小麦麦穗长度（单位：）的样本数据的茎叶图如图所示，其中整数部分为“茎”，小数部分为“叶”，则这组数据的第百分位数为________. 4. 设一个球的大圆面积为，则该球的表面积为______． 5. 在的二项展开式中，项的系数是______． 6. 若异面直线所成角的大小为，设的一个方向向量为，的一个方向向量为，则的所有可能值为______． 7. 相互独立事件满足，，则______． 8. 若，则______． 9. 将4名程序专家全部分配到1，2，3号3个AI实验室指导工作，每个实验室至少分配1名专家，则不同的分配方案共有______种． 10. 马老师从课本上抄录一个随机变量的概率分布列如表 x 1 2 3 P() ? ! ? 请小牛同学计算的数学期望，尽管“！”处无法完全看清，且两个“？”处字迹模糊，但能肯定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案_______ ． 11. 空间直角坐标系中，从原点出发的两个向量、满足：，，且存在实数，使得成立，则由构成的空间几何体的体积是______. 12. 给定正方体，用、、、、、、、这8个组合数标记顶点，共有种标记方法，其中一种标记方法如图所示．对于第种标记方法，有一质点从点出发，沿棱按最短距离移动到点后立即停止，它经过的组合数之和（含标记点、的组合数）的最小值为，则集合的最大元素为______． 二、选择题（本大题共有4题，13、14题每题3分，15、16题每题4分，满分14分） 13. 从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ） A. 恰好有一个白球与都是红球 B. 至多有一个白球与都是红球 C. 至多有一个白球与都是白球 D. 至多有一个白球与至多一个红球 14. 在以下四图中，直线与直线可能平行的位置关系只能是（ ） A. B. C. D. 15. 某地2025年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下： 行业名称 人工智能 生物医药 集成电路 汽车制造 IT服务 应聘人数 215830 200250 154676 74570 65280 行业名称 人工智能 集成电路 生物医药 养老护理 游戏 招聘人数 124620 102935 89115 76516 70436 若用同一行业中招聘人数和应聘人数的比值的大小来衡量该行业的就业情况，则根据表中数据，就业形势一定是（ ） A. 人工智能行业好于游戏行业 B. 养老护理行业好于汽车制造行业 C. 生物医药行业最紧张 D. 集成电路行业比IT服务行业紧张 16. 已知样本数据的各项均不为0，这组样本数据的方差为，，样本数据的方差为．设甲：，乙：全为正数，或全为负数．则甲是乙的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 三、解答题（本大题共有5题，满分44分）. 17. “人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心．现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出人，并将这人按年龄分为第1组，第2组，第3组，第4组，绘制出如图所示的频率分布直方图． （1）求的值； （2）现从年龄在及的人群中按分层抽样抽取人，再从中选人作为生态文明建设知识宣讲员，求这两人来自同一组的概率． 18. 某种“笼具”由上、下两层组成，上层和下层分别是一个圆锥和一个圆柱，其中圆柱与圆锥的底面半径相等，如图所示：圆锥无底面，圆柱无上底面有下底面，内部镂空，已知圆锥的母线长为20cm，圆柱高为30cm，底面的周长为. （1）求这种“笼具”的体积（结果精确到）； （2）现要使用一种纱网材料制作这样“笼具”的保护罩（包括底面）50个，该保护罩紧贴包裹“笼具”，纱网材料（按实测面积计算）的造价为每平方米8元，共需多少元？（结果精确到0.1元） 19. 盒中有个红球，个黑球，其中、为正整数．这些球的大小、质地均相同． （1）若，求在第一次抽取黑球且不放回的条件下，第二次抽取的还是黑色球的概率； （2）设为正整数．先随机从盒中抽取一个球，观察其颜色后放回，并加上同色球个，再从盒中第二次抽取一球，求第二次抽出的是黑球的概率（用含、、的代数式表示）． 20. 已知正方形，、分别是边、的中点，将沿折起，形成如图的几何体． （1）证明：平面； （2）若为正三角形，试判断点在平面内的射影是否在直线上，证明你的结论，并求二面角的大小． 21. 规定，其中，是正整数，且，这是组合数（是正整数，且）的一种推广． （1）求的值，并判断组合数性质是否能推广到（，是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式，并说明理由；若不能，则说明理由． （2）已知组合数是正整数，证明：当，是正整数时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $