精品解析：陕西汉中市西乡县2025-2026年七年级下学期期末考试数学试题

2025-2026学年度第二学期教学质量评估试卷 七年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，考试时间为120分钟，学生直接在试卷上答卷； 2．答卷前请将装订线内的项目填写清楚； 3．书写要认真、工整、规范；卷面干净、整洁、美观． 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分，每小题只有一项是符合题目要求的．） 1. 从个性化学习、高效答疑、拓展资源等多个方面给学生的学习带来帮助．以下是4款不同图标，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中，运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 2026年3月，中国科学技术大学潘建伟团队依托超导量子计算原型机“祖冲之三号”，首次完成大规模基于测量的量子计算实验验证，制备出史上最大二维簇态，量子相干时间达到0.000085秒．将数据0.000085用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 晓晓经常购买汉中热米皮；热米皮的单价是8元/份，晓晓购买热米皮的总钱数随着热米皮的份数变化而变化，在这个过程中，自变量是（） A. 热米皮的单价 B. 购买的热米皮的份数 C. 购买热米皮的总钱数 D. 热米皮的单价和购买的份数 5. 如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在和中，、相交于点E，．若利用“”来判定，则需添加的条件是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，长方形纸片沿对折后，点B、C的对应点分别为点．与交于点M．若 ，则 为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，平分，下列结论∶① 平分；②；③；④．其中正确的有（ ） A. ①③ B. ③④ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 9. 计算：________. 10. 如图，在跳远比赛中，裁判员将皮尺的起始端固定在点处，拉紧皮尺，使皮尺，垂足为，则线段的长度就是运动员所跳的距离，这一做法运用的数学依据是______． 11. 如图，为测量一个“福”字的面积，某同学将该“福”字贴在一个面积为的正方形内，现将米随机撒到贴有“福”字的正方形内，经过大量重复试验，发现米粒落在“福”字区域的频率稳定在常数附近，由此可估计这个“福”字的面积是______． 12. 如图是一款自行车的示意图，已知．若，，则的度数为_____ 13. 如图，在中，，的垂直平分线分别交于点，．若，则的周长为_____________． 14. 如图，中，平分∠ABC，如果点M，N分别为上的动点，那么的最小值是__________． 三、解答题（共12小题，计78分，解答应写出过程．） 15. 计算：． 16. 化简： 17. 尺规作图：如图，已知，请在边上找一点，使的周长等于．（保留作图痕迹，不写作法） 18. 如图，已知，，．求证：． 19. 现有一张“西安大唐不夜城”的“盛唐密盒”互动体验门票，小明和小亮都想得到它，小红为他们出了一个主意，方法就是：从写有数字1，2，3，4，4，5，6，7的8张卡片中任取一张，抽到比4大的卡片，小明去：否则，小亮去．（每张卡片除数字外完全相同，将它们背面朝上混合均匀后抽取） （1）求小明抽到卡片4的概率． （2）你认为这种方法对小明和小亮公平吗？请说明理由． 20. 格点的正方形网格中的位置如图所示． （1）在图中画出关于直线对称的； （2）若网格中每个小正方形的边长为1，求的面积． 21. 已知池中有的水，每小时抽水． （1）用关系式表示池中剩余水的体积（单位：）与时间（单位：）之间的关系； （2）后池中还有多少水？ 22. 如图，和谐广场有一块长为米，宽为米的长方形土地，现要将阴影部分进行绿化，在上方两角处留两块边长为米的小正方形空地． （1）用含有，的式子表示绿化部分的总面积；（结果写成最简形式） （2）若，，求出绿化部分的总面积． 23. 如图，． （1）试说明． （2）若平分，求的度数． 24. 【实践主题】从数学角度探究钟摆过程中的规律． 【素材准备】实验支架，细绳，小球，卷尺等． 【实践操作】在支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动．如图1，点表示小球静止时的位置．小明将小球从摆到的位置，并向右推动小球，是小球在摆动过程中某一瞬间的位置，且与恰好垂直，，，，在同一平面上． 【数学建模】如图2是小球摆动过程的示意图，，过点作于点．过点作于点， 【数据测量】，， 【问题解决】 （1）求证：； （2）求的长． 25. 【教材还原】 （1）如图①，用含字母的等式表示图中图形的面积的运算为______； 【类比探究】 （2）若，，则的值为______； 【拓展应用】 （3）如图，某学校有一块梯形空地，于点E，，该校计划在和区域内种花，在和的区域影音部分内种草经测量种花区域的面积为，，请求出种草区域的面积． 26. 如图1，在中，，，分别过两点作过点A的直线l的垂线，垂足为； （1）如图1，当两点在直线的同侧时，猜想，三条线段有怎样的数量关系？并说明理由． （2）如图（2），将（1）中的条件改为：在中，，三点都在直线m上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）如图3，，，．点P从B点出发沿路径向终点C运动；点Q从C点出发沿路径向终点B运动．点P和Q分别以每秒2和3个单位的速度同时开始运动，各自到达终点时停止运动；在运动过程中，分别过P和Q作于F，于G．问：点P运动多少秒时，与全等？（直接写出答案） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期教学质量评估试卷 七年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，考试时间为120分钟，学生直接在试卷上答卷； 2．答卷前请将装订线内的项目填写清楚； 3．书写要认真、工整、规范；卷面干净、整洁、美观． 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分，每小题只有一项是符合题目要求的．） 1. 从个性化学习、高效答疑、拓展资源等多个方面给学生的学习带来帮助．以下是4款不同图标，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的定义（平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形，直线叫做对称轴），根据轴对称图形的定义逐一判断即可． 【详解】解：A选项：图形不是轴对称图形，不符合题意； B选项：图形不是轴对称图形，不符合题意； C选项：图形是轴对称图形，符合题意； D选项：图形不是轴对称图形，不符合题意； 故选C． 2. 下列各式中，运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方与幂的乘方、乘法公式，熟练掌握整式的运算法则和乘法公式是解题关键．根据积的乘方与幂的乘方、乘法公式逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此项错误，不符合题意； B、，，所以，则此项正确，符合题意； C、，则此项错误，不符合题意； D、，则此项错误，不符合题意； 故选：B． 3. 2026年3月，中国科学技术大学潘建伟团队依托超导量子计算原型机“祖冲之三号”，首次完成大规模基于测量的量子计算实验验证，制备出史上最大二维簇态，量子相干时间达到0.000085秒．将数据0.000085用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：． 4. 晓晓经常购买汉中热米皮；热米皮的单价是8元/份，晓晓购买热米皮的总钱数随着热米皮的份数变化而变化，在这个过程中，自变量是（） A. 热米皮的单价 B. 购买的热米皮的份数 C. 购买热米皮的总钱数 D. 热米皮的单价和购买的份数 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了自变量的知识点，解题的关键是理解自变量的定义，即主动变化的量． 根据自变量的定义，判断在总钱数随份数变化过程中哪个量是主动变化的． 【详解】在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量．如果一个变量随着另一个变量的变化而变化，那么是自变量，是因变量．已知热米皮单价是8元/份，为固定值，总钱数=单价份数，总钱数随着购买热米皮的份数变化而变化，份数是主动变化的量，所以购买的热米皮的份数是自变量，购买热米皮的总钱数是因变量． 故答案选：B． 5. 如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．过顶点作，利用平行线的性质得到，利用角的和差得到，再利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图，过顶点作， ， ， ， ，， ， ， ． 故选：D． 6. 如图，在和中，、相交于点E，．若利用“”来判定，则需添加的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，找出三组对应边相等，即可根据可判定． 【详解】∵，， ∴当时，根据可判定； 故选：C． 7. 如图，长方形纸片沿对折后，点B、C的对应点分别为点．与交于点M．若 ，则 为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据长方形的性质得出平行线，根据平行线的性质得出，再根据翻折的性质得出相等的角，最后利用平行线的性质求解． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， ∴， 根据翻折的性质可得， ∵， ∴． 8. 如图，，平分，下列结论∶① 平分；②；③；④．其中正确的有（ ） A. ①③ B. ③④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，理解题意，结合图形求解是解题关键． 根据平行线的性质及各角之间的等量代换得出，再由角平分线及等量代换可判断①；根据全等三角形的判定和性质可判断②和④；利用三角形面积的关系可判断③，即可得出结果． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∵ 平分， ， ∴ 平分，故①正确； 在上截取，连接， 在和中， ∴ ， 在和中， ，， 故②不正确，④正确； ， ∴， 故③正确； 故选：C． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 9. 计算：________. 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了单项式的乘法，熟练掌握运算法则是关键． 根据单项式乘单项式的运算法则，系数相乘，同底数幂相乘进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为： 10. 如图，在跳远比赛中，裁判员将皮尺的起始端固定在点处，拉紧皮尺，使皮尺，垂足为，则线段的长度就是运动员所跳的距离，这一做法运用的数学依据是______． 【答案】垂线段最短 【解析】 【分析】本题考查了垂线段最短，根据垂线段最短即可求解，理解知识点是解题的关键． 【详解】解：这一做法运用的数学依据是垂线段最短， 故答案为：垂线段最短． 11. 如图，为测量一个“福”字的面积，某同学将该“福”字贴在一个面积为的正方形内，现将米随机撒到贴有“福”字的正方形内，经过大量重复试验，发现米粒落在“福”字区域的频率稳定在常数附近，由此可估计这个“福”字的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】设这个“福”字的面积是，由题意可得，然后解方程即可． 【详解】解：设这个“福”字的面积是， 由题意可得， 解得， ∴这个“福”字的面积是． 12. 如图是一款自行车的示意图，已知．若，，则的度数为_____ 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质并灵活运用；平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆． 根据和、的度数分别求出和的度数，然后根据求出，进而求出． 【详解】解：， ，， ，， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 13. 如图，在中，，的垂直平分线分别交于点，．若，则的周长为_____________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是利用垂直平分线的性质将的周长转化为的长度．根据线段垂直平分线的性质，得到，，再将的周长替换为，而的长度等于的长度，代入已知的数值即可求出的周长． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点， ∴； ∵的垂直平分线交于点， ∴； ∴的周长， ∵， ∴的周长为； 故答案为：8． 14. 如图，中，平分∠ABC，如果点M，N分别为上的动点，那么的最小值是__________． 【答案】4.8 【解析】 【分析】先作垂直交于点，再作垂直，根据角平分线的性质：角分线上的点到角的两边距离相等，即可找到动点和，进而求得的最小值． 【详解】解：如图所示： 过点作于点，交于点， 过点作于点， 平分， ， ． 中，，，，，， ， ， ． 即的最小值是4.8， 故答案为：4.8 【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题、角分线的性质，解决本题的关键是找到使最小时的动点和． 三、解答题（共12小题，计78分，解答应写出过程．） 15. 计算：． 【答案】7 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 先计算乘方，负整数指数幂，零指数幂，绝对值，再进行加减即可求解． 【详解】解：原式． 16. 化简： 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 17. 尺规作图：如图，已知，请在边上找一点，使的周长等于．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】解：如下图，即为所求， 【解析】 【分析】作线段的垂直平分线交于D，得，得，即可得解． 【详解】略． 18. 如图，已知，，．求证：． 【答案】证明过程见详解 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，掌握其判定方法是解题的关键． 根据可得，，运用角角边证明，即可求解． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 19. 现有一张“西安大唐不夜城”的“盛唐密盒”互动体验门票，小明和小亮都想得到它，小红为他们出了一个主意，方法就是：从写有数字1，2，3，4，4，5，6，7的8张卡片中任取一张，抽到比4大的卡片，小明去：否则，小亮去．（每张卡片除数字外完全相同，将它们背面朝上混合均匀后抽取） （1）求小明抽到卡片4的概率． （2）你认为这种方法对小明和小亮公平吗？请说明理由． 【答案】（1） （2）不公平，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据概率公式求解，即可得到答案； （2）分别求出小明去和小亮去的概率，比较大小可得方法不公平． 【小问1详解】 解：从8张卡片中任取一张，所有可能出现的结果一共有8种， 每种结果出现的概率都相等，其中抽到卡片4的结果有2种． 所以，小明抽到卡片4的概率是． 【小问2详解】 解：不公平． 理由如下：从8张卡片中任取一张，所有可能出现的结果一共有8种， 每种结果出现的概率都相等，其中抽到比4大的结果有3种． 所以，． 所以小明获得门票的概率为，小亮获得门票的概率为：． 因为， 所以，游戏不公平． 20. 格点的正方形网格中的位置如图所示． （1）在图中画出关于直线对称的； （2）若网格中每个小正方形的边长为1，求的面积． 【答案】（1） 如图，为所作； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了作图-轴对称变换：作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质，掌握其基本作法是解决问题的关键（先确定图形的关键点；利用轴对称性质作出关键点的对称点；按原图形中的方式顺次连接对称点）． （1）利用网格特点和轴对称的性质画出点A、B、C关于直线的对称点即可； （2）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：的面积． 21. 已知池中有的水，每小时抽水． （1）用关系式表示池中剩余水的体积（单位：）与时间（单位：）之间的关系； （2）后池中还有多少水？ 【答案】（1） （2）后池中还有的水． 【解析】 【分析】（1）根据剩余水的体积＝蓄水体积－抽水体积求解即可； （2）将代入函数解析式即可求解 【小问1详解】 解：由题意得，当全部抽完水时，用时， ∴； 【小问2详解】 解：当时，． 故后池中还有的水． 22. 如图，和谐广场有一块长为米，宽为米的长方形土地，现要将阴影部分进行绿化，在上方两角处留两块边长为米的小正方形空地． （1）用含有，的式子表示绿化部分的总面积；（结果写成最简形式） （2）若，，求出绿化部分的总面积． 【答案】（1）绿化部分的总面积为平方米 （2）绿化部分的总面积为13200平方米 【解析】 【分析】本题主要考查的是整式的四则混合运算的应用，代数式求值等知识． （1）根据图形可知，绿化的总面积等于长方形的面积减去两个小正方形的面积，然后再把式子去括号化简即可得出答案； （2）把，，代入（1）中算出的式子即可得出答案． 【小问1详解】 解：绿化部分的总面积 平方米． 答：绿化部分的总面积为平方米． 【小问2详解】 当，时， 原式（平方米）． 答：绿化部分的总面积为13200平方米． 23. 如图，． （1）试说明． （2）若平分，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据可得，结合已知可得，即可得证； （2）根据得出，根据角平分线的定义得出，根据垂线的定义以及平行线的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：因为， 所以． 因为， 所以， 所以． 【小问2详解】 因为， 所以， 所以． 因为平分， 所以． 因为， 所以． 因为， 所以． 24. 【实践主题】从数学角度探究钟摆过程中的规律． 【素材准备】实验支架，细绳，小球，卷尺等． 【实践操作】在支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动．如图1，点表示小球静止时的位置．小明将小球从摆到的位置，并向右推动小球，是小球在摆动过程中某一瞬间的位置，且与恰好垂直，，，，在同一平面上． 【数学建模】如图2是小球摆动过程的示意图，，过点作于点．过点作于点， 【数据测量】，， 【问题解决】 （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． （1）证，，即可得出结论； （2）先证，得出，即可得出答案． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 解：由题意得：， 由（1）得：，， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴． 25. 【教材还原】 （1）如图①，用含字母的等式表示图中图形的面积的运算为______； 【类比探究】 （2）若，，则的值为______； 【拓展应用】 （3）如图，某学校有一块梯形空地，于点E，，该校计划在和区域内种花，在和的区域影音部分内种草经测量种花区域的面积为，，请求出种草区域的面积． 【答案】（1）；（2）；（3）种草区域的面积是． 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，完全平方公式变形应用，掌握完全平方公式并灵活运用是解题的关键． （1）根据图直接作答即可； （2）将两边同时平方，利用（1）中得到的等式计算即可； （3）由三角形的面积公式，分别将和的面积表示出来，根据已知条件得到，由得到，根据（1）中得到的等式得到的值；再由三角形的面积公式求得与的面积之和，将的值代入计算即可． 【详解】解：（1）根据题意，得． 故答案为：． （2）将两边同时平方， 得， ， ． 故答案为：． （3），， ，， ， ， ， ， ， ，， ， 种草区域的面积是． 26. 如图1，在中，，，分别过两点作过点A的直线l的垂线，垂足为； （1）如图1，当两点在直线的同侧时，猜想，三条线段有怎样的数量关系？并说明理由． （2）如图（2），将（1）中的条件改为：在中，，三点都在直线m上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）如图3，，，．点P从B点出发沿路径向终点C运动；点Q从C点出发沿路径向终点B运动．点P和Q分别以每秒2和3个单位的速度同时开始运动，各自到达终点时停止运动；在运动过程中，分别过P和Q作于F，于G．问：点P运动多少秒时，与全等？（直接写出答案） 【答案】（1），理由见解析 （2）成立，理由见解析 （3）当t等于或或时，与全等 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，一元一次方程的应用及分类讨论的思想，解决这类问题要注意类比思想方法的运用． （1）根据，，可得，根据等角的余角相等得，然后再根据可证得，则，，于是； （2）利用，则，，得出，进而得出即可求解； （3）由题意可知，，只需，就可得到与全等，然后只需根据点P和点Q不同位置进行分类讨论即可解决问题． 【小问1详解】 解：，理由如下： ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ； 【小问2详解】 成立，理由如下： ， ， 又， ， 在和中， ， ， ，， ， ； 【小问3详解】 设点运动的时间为， 当点在上，点在上，如图1， 则，，，， 与全等， ，即， 解得， 即运动4秒时，与全等； 当点都在上，即点与点重合时，与全等， 此时， 解得， 当点在上，点在上，如图2， 则，， 与全等， ，即, 解得，（不符合题意，舍去）； 当点停在点处，点在 由得， 解得， 综上所述，当t等于或或时，与全等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $