4.2命题与证明（题型专练）数学新教材湘教版八年级上册

4.2命题与证明 （7大题型基础达标练+4大题型能力提升练+拓展培优练） 基础达标练 题型一 判断是否是命题 题型二 写出命题的题设和结论 题型三 写出命题的逆命题及判断是否互为逆命题 题型四 判断命题真假 题型五 举反例说明假命题 题型六 反证法 题型七 定义、定理、逆定理和推理 能力提升题 题型一 代数问题证明 题型二 写出命题的已知、求证及证明过程 题型三 已知证明过程写出理论依据 题型四 根据给出的论断组命题并证明 题型一 判断是否是命题 1．下列语句不是命题的是（   ） A．两直线平行，同位角相等 B．作直线垂直于直线 C．若，则 D．同角的补角相等 2．下列是命题的是（    ） A．两直线平行，内错角相等 B．画线段 C．画一个菱形 D．平行于同一条直线的两直线平行吗？ 3．下列语句中命题的个数是（    ） ①明天下雨吗；②白色的墙；③过直线l外一点作l的垂线；④两点确定一条直线． A．1 B．2 C．3 D．4 4．下列语句属于命题的有（   ） ①两点之间线段最短；②不许大声喧哗；③连接P，Q两点；④花儿在春天开放；⑤不相交的两条直线叫做平行线；⑥无论n取怎样的自然数，式子的值都是质数吗？ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？ （1）正数大于一切负数吗？ （2）两点之间线段最短； （3）2不是无理数； （4）作一条直线和已知直线平行． 6．判断下列句子是否是命题： （1）0是偶数； ； （2）两个锐角的和是钝角； ； （3）画两个相等的角； ； （4）同旁内角互补； ； （5）所有的质数都是奇数吗？ ； （6）两条直线相交，只有一个交点． ， 题型二 写出命题的题设和结论 7．把“垂直于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果……那么……”的形式是 8．把命题“对顶角相等”改写成“如果……，那么……”的形式： ． 9．将命题“同角的余角相等”，改写成“如果…，那么…”的形式 ． 10．命题“度数之和为的两个角互为余角”的条件是（    ） A．B．两个角C．度数之和为D．度数之和为的两个角 11．填空： （1）命题“两直线平行，内错角相等”的条件是 ，结论是 ，这个命题的逆命题的条件是 ，结论是 ． （2）命题“如果，那么”的条件是 ，结论是 ，这个命题的逆命题是 ． 12．已知命题“如果两条平行线被第三条直线所截，那么一对内错角的平分线互相平行．” (1)写出这个命题的题设和结论； (2)画出符合这个命题的几何图形； (3)用几何语言叙述这个命题； (4)判断这个命题的真假，并说明理由． 题型三 写出命题的逆命题及判断是否互为逆命题 13．命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，那么．命题2：如果一个三角形的三条边长分别为，，，且，那么这个三角形是直角三角形．则命题1与命题2是 命题． 14．“直角都相等”与“相等的角是直角”是（    ） A．互为逆命题 B．互逆定理 C．公理 D．假命题 15．下列说法错误的是（       ） A．任何命题都有逆命题 B．任何定理都有逆定理 C．命题的逆命题不一定是真命题 D．定理的逆定理一定是真命题 16．命题“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是（　　） A．如果|x|≠|y|，那么x2≠y2 B．如果|x|＝|y|，那么x2≠y2 C．如果x2＝y2，那么|x|＝|y| D．如果x2≠y2，那么|x|≠|y| 17．“两组对边分别相等的四边形是平行四边形．”的逆命题是 ． 18．直角三角形的两个锐角互余的逆命题为 ． 19．写出下列命题“若p，则q”的形式，写出它的逆命题并判断它们的真假． (1)全等三角形的对应边相等； (2)互为相反数的两个数的和为零． 题型四 判断命题真假 20．下列命题中，是真命题的是（   ） A．相等的两个角是对顶角 B．同旁内角互补 C．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 D．经过一点，有且只有一条直线与这条直线平行 21．下列命题： ①两条直线相交，一角的两邻补角相等，则这两条直线垂直； ②两条直线相交，一角与其邻补角相等，则这两条直线垂直； ③内错角相等，则它们的角平分线互相垂直； ④同旁内角互补，则它们的角平分线互相垂直．其中正确的是（    ）． A．②④ B．②③ C．①④ D．①③ 22.下列命题中，是假命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 23.下列命题为假命题的是（    ） A．对顶角相等 B．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 C．垂线段最短 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 题型五 举反例说明假命题 24．用一组a，b，c的值说明命题“若，则”是假命题，所举反例可以是（   ） A． B． C． D． 25．要判断命题“若，则”是错误的，可以举一个反例，则下列反例中符合要求的是（   ） A．， B．， C．， D．， 26．举反例说明下列命题是假命题． (1)任何偶数都是4的整数倍； (2)对于任意有理数x，代数式的值总是正数； (3)有公共顶点且相等的角是对顶角． 27．请从下列四个命题中选取两个命题，并判断所选命题是真命题还是假命题．如果是真命题，给出证明；如果是假命题，举出反例． (1)若，则； (2)对于任意实数，一定有； (3)两个连续正奇数的平方差一定是8的倍数； (4)一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形． 题型六 反证法 28．在证明“等腰三角形的两个底角是锐角”时，先假设“等腰三角形的两个底角不是锐角”，这种证明方法是（   ） A．举反例法 B．整体代入法 C．反证法 D．数学归纳法 29．“已知，，，求证：”．若用反证法证明，则应假设（    ） A． B． C． D． 30．用反证法证明“如果，那么”时，应先假设（   ） A． B． C． D． 31．用反证法证明“同一平面内，，则”时，第一步应先假设（   ） A．不平行于 B．不平行于 C． D． 32．用反证法证明命题：在一个三角形中，最大的内角不小于．证明的第一步是（   ） A．假设最大的内角小于 B．假设最大的内角大于 C．假设最大的内角大于或等于 D．假设最大的内角小于或等于 33．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”，应首先假设这个直角三角形中（   ） A．两个锐角都大于 B．没有一个锐角大于 C．至少有一个锐角大于 D．两个锐角都大于等于 34．上海市金山初级中学某数学兴趣小组，在十九章19.2（2）无理数一课的学习后，对利用“反证法”证明是无理数产生了很大的兴趣，在课后进行了衍生探究：证明是无理数． (1)下面是他们的探究过程，请完成填空． 先假设是_____，则可设（，且、是_____的整数）． 则有，即_____． 整理得：，所以是_____． 所以设，则，即_____m． 所以也是_____． 这与假设中的是的整数矛盾，所以不是，是无理数． (2)说明是无理数的理由． 题型七 定义、定理、逆定理和推理 35．下列语句中，属于定义的是（    ） A．直角都相等 B．作已知角的平分线 C．点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度 D．两点之间线段最短 36．下列语句中，属于定理的是（   ） A．在直线上取一点E B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 C．同位角相等 D．同角的补角相等 37．下列命题可以称为定理的有（   ） ①与的平均数是；②能被整除的数也能被整除；③是方程的根；④三角形的内角和是；⑤等式两边加上同一个数，等式仍成立． A．个 B．个 C．个 D．个 38．下列定理：①有两边相等的三角形是等腰三角形；②全等三角形的对应边相等；③同位角相等，两直线平行．其中有逆定理的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 39．下列命题中，与“同旁内角互补，两直线平行”成为互逆定理的是（　　） A．同旁内角不互补，两直线平行 B．同旁内角不互补，两直线不平行 C．两直线平行，同旁内角互补 D．两直线不平行，同旁内角不互补 ． 题型一 代数问题证明 40.下列推理正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则或 41．命题“当n是整数时，两个连续整数的平方差等于这两个连续整数的和”正确吗？试着用你学过的知识说明理由. 42．求证：两个连续自然数（0除外）的积是偶数． 题型二 写出命题的已知、求证及证明过程 43．证明三角形的内角和为．要求：根据题意画出图形，结合画出的图形写出已知和求证，并尝试证明． 44．请将三角形内角和定理的推论补充完整并加以证明． 定理：三角形的外角等于_____________________的和． 已知： 求证： 45．命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． (1)请将此命题改写成“如果……那么……”的形式； (2)证明该命题．（要求先画出图形，再写出已知和求证，最后写出证明过程） 题型三 已知证明过程写出理论依据 46．补全下列推理过程： 如图，，，，试说明． 解：∵，，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（____________）． ∴（____________）． ∵（已知）， ∴____________（等量代换）． ∴（____________）． 47．补全下列推理过程： 如图，已知，，试说明：， 解：∵（已知） （______） （已知） （______） （______） （______） （______） 48．推理填空：如图，已知∠B＝∠CGF，∠BGC＝∠F． 求证：∠B＋∠F＝180°，∠F＋∠BGD＝180°． 证明： ∵∠B＝∠CGF（已知）， ∴ABCD（ ）． ∵∠BGC＝∠F（已知）， ∴CDEF（ ）． ∴ABEF（ ）． ∴∠B＋∠F＝180°（ ）． 又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（ ）， ∠BGC＝∠F（已知）， ∴∠F＋∠BGD＝180°（ ）． 题型四 根据给出的论断组命题并证明 49．如图，点D，E，F分别是三角形的边，，上的点，给定以下三个条件：①；②；③．请从这三个条件中选择两个作为条件（放在已知处），另一个作为结论（放在证明处）组成一个真命题，并进行证明． 已知：________，________． 求证：________． 证明： 50．如图，现有以下3个论断：①；②；③．请以其中2个论断为条件，另一个论断为结论构造命题．    (1)请写出所有的真命题； (2)请选择其中一个命题加以证明． 51．如图，已知直线，给出下列信息： ①；②平分；③． (1)请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个真命题，你选择的条件是 ，结论是 (只要填写序号)，并说明理由． (2)在（1）的条件下，若比的倍少度，求的度数． 52.如下： 证明：∵， ∴> ． ∴ ． ∵，， ∴ ． ∴ ． ∴． 【问题解决】 (1)请将上面的证明过程填写完整； (2)有以下几个条件：①，②，③，④ ．请从中选择两个作为已知条件，得出结论 ．你选择的条件序号是 ，并给出证明过程 ． 53．代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性． 例如：证明命题“如果，，那么”是真命题． 证明：，（已知） 在不等式两边都加上，得．（不等式的基本性质） ，（已知） 在不等式两边都加上，得．（不等式的基本性质） ，，（已证） ．（不等式的传递性） (1)已知有理数、满足，证明：（补全下列推理过程）； 证明：且，均为正数，（已知） 不等式的两边都乘以同一个正数，得______，（不等式的基本性质） 不等式的两边都乘以同一个正数，得______．（不等式的基本性质） ．（不等式的传递性） (2)请你尝试证明：若，则． (3)命题“三个连续自然数之和能被3整除”是真命题还是假命题？若为真命题，请证明；若为假命题，请举一个反例说明． 54．【阅读理解】 如果把一个命题（记作）的题设和结论交换位置，得到另一个命题（记作），那么这两个命题叫做互逆命题，其中命题称为原命题，命题称为原命题的逆命题． 例如：原命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”． 【解决问题】 给出命题“如果，那么．” (1)写出命题的题设和结论，及逆命题． (2)判断命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例进行说明． 55．某次数学竞赛中有5道选择题，每题1分，每道题在A、B、C三个选项中，只有一个是正确的．下表是甲、乙、丙、丁四位同学每道题填涂的答案和这5道题的得分： 第一题 第二题 第三题 第四题 第五题 得分 甲 C C A B B 4 乙 C C B B C 3 丙 B C C B B 2 丁 B C C B A (1)则丁同学的得分是 ； (2)如果有一个同学得了1分，他的答案可能是 （写出一种即可） 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2命题与证明 （7大题型基础达标练+4大题型能力提升练+拓展培优练） 基础达标练 题型一 判断是否是命题 题型二 写出命题的题设和结论 题型三 写出命题的逆命题及判断是否互为逆命题 题型四 判断命题真假 题型五 举反例说明假命题 题型六 反证法 题型七 定义、定理、逆定理和推理 能力提升题 题型一 代数问题证明 题型二 写出命题的已知、求证及证明过程 题型三 已知证明过程写出理论依据 题型四 根据给出的论断组命题并证明 题型一 判断是否是命题 1．下列语句不是命题的是（   ） A．两直线平行，同位角相等 B．作直线垂直于直线 C．若，则 D．同角的补角相等 【答案】B 【分析】本题主要考查了命题的概念，掌握其概念：判断一件事情的语句叫做命题，是解题的关键． 判断一件事情的语句叫做命题，据此判断即可． 【详解】A、是命题，故不合题意； B、作直线AB垂直于直线CD是描述了一种作图的过程，不是命题，故符合题意； C、是命题，故不合题意； D、是命题，故不合题意； 故选：B． 2．下列是命题的是（    ） A．两直线平行，内错角相等 B．画线段 C．画一个菱形 D．平行于同一条直线的两直线平行吗？ 【答案】A 【分析】本题考查了命题的识别．熟练掌握命题的定义是解题的关键．判断一件事情的语句叫做命题．命题必须具有判断性，即对一件事情作出“肯定”或“否定”的判断，不论其判断的结果是否正确． 根据命题的定义判断即可，注意命题必须具有判断性． 【详解】A．两直线平行，内错角相等，是命题，因为它是一个具有判断性的语句，故该选项符合题意； B．画线段，只是陈述一个事实，没有对事情作出判断，不是命题，故该选项不符合题意； C．画一个菱形，是一个操作指令，不是命题，因为它不是判断性语句，是祈使句，故该选项不符合题意； D．平行于同一条直线的两直线平行吗？不是命题，因为它不是判断性语句，是疑问句，故该选项不符合题意． 故选：A． 3．下列语句中命题的个数是（    ） ①明天下雨吗；②白色的墙；③过直线l外一点作l的垂线；④两点确定一条直线． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要了考查命题的定义．命题是能够判断真假的陈述句，据此逐个判断即可． 【详解】解：命题是可以判断真假的陈述句． ①“明天下雨吗”是疑问句，不能判断真假，不是命题； ②“白色的墙”不是完整的句子，不能判断真假，不是命题； ③“过直线外一点作的垂线”是祈使句，不能判断真假，不是命题； ④“两点确定一条直线”是陈述句，且为真命题． 综上，命题的个数是1个， 故选：A． 4．下列语句属于命题的有（   ） ①两点之间线段最短；②不许大声喧哗；③连接P，Q两点；④花儿在春天开放；⑤不相交的两条直线叫做平行线；⑥无论n取怎样的自然数，式子的值都是质数吗？ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查的是命题的含义与判断，根据命题的含义逐一分析判断即可． 【详解】解：①两点之间线段最短是命题； ②不许大声喧哗不是命题； ③连接P，Q两点不是命题； ④花儿在春天开放是命题； ⑤不相交的两条直线叫做平行线是命题； ⑥无论n取怎样的自然数，式子的值都是质数吗？不是命题． 故选：B 5．下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？ （1）正数大于一切负数吗？ （2）两点之间线段最短； （3）2不是无理数； （4）作一条直线和已知直线平行． 【答案】（2）（3）是命题，（1）（4）不是命题 【分析】本题主要考查了命题的定义，一般地，在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题． 根据命题的定义即可求解． 【详解】解：由命题的定义可得（2）（3）是命题，（1）（4）不是命题． 6．判断下列句子是否是命题： （1）0是偶数； ； （2）两个锐角的和是钝角； ； （3）画两个相等的角； ； （4）同旁内角互补； ； （5）所有的质数都是奇数吗？ ； （6）两条直线相交，只有一个交点． ， 【答案】 是命题 是命题 不是命题 是命题 不是命题 是命题 【分析】根据命题的定义，即能够判断真假的陈述句叫做命题，依次对每个句子进行判断，看是否符合命题的特征．本题主要考查了命题的定义，熟练掌握命题是能够判断真假的陈述句这一概念是解题的关键． 【详解】解：（1）0是偶数；是命题； （2）两个锐角的和是钝角；是命题； （3）画两个相等的角；不是命题； （4）同旁内角互补；是命题； （5）所有的质数都是奇数吗？不是命题； （6）两条直线相交，只有一个交点，是命题； 故答案为：（1）是命题；（2）是命题；（3）不是命题；（4）是命题；（5）不是命题；（6）是命题． 题型二 写出命题的题设和结论 7．把“垂直于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果……那么……”的形式是 【答案】如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线相互平行 【分析】本题考查了命题与定理，把命题的题设部分写在如果的后面，把结论部分写在那么的后面． 【详解】解：命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”写成“如果……那么……”的形式为：如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线相互平行， 故答案为：如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线相互平行． 8．把命题“对顶角相等”改写成“如果……，那么……”的形式： ． 【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 【分析】本题考查了命题的改写，理解命题的构成为解题的关键．根据命题的条件与结论即可改写． 【详解】解：命题“对顶角相等”改写成“如果……，那么……”的形式：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 9．将命题“同角的余角相等”，改写成“如果…，那么…”的形式 ． 【答案】如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 【分析】本题考查命题与定理，正确得出命题的题设和结论是解题的关键．​​​​​​​根据“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面接的部分是结论，即可解决问题． 【详解】解：命题“同角的余角相等”，可以改写成：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等． 故答案为：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等． 10．命题“度数之和为的两个角互为余角”的条件是（    ） A． B．两个角 C．度数之和为 D．度数之和为的两个角 【答案】D 【分析】本题考查了命题的条件与结论，命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式，题设写在如果的后面，把结论写在那么的后面． 命题的题设与结论部分，一个命题可以写成“如果…那么…”形式，如果的后面是条件，那么的后面是题设． 【详解】解：命题“度数之和为的两个角互为余角” 写成：如果两个角的度数之和等于，那么这两个角互为余角， ∴命题“度数之和为的两个角互为余角”的条件是度数之和为的两个角． 故选：D． 11．填空： （1）命题“两直线平行，内错角相等”的条件是 ，结论是 ，这个命题的逆命题的条件是 ，结论是 ． （2）命题“如果，那么”的条件是 ，结论是 ，这个命题的逆命题是 ． 【答案】 两直线平行 内错角相等 内错角相等 两直线平行 如果，则． 【分析】本题考查了命题的组成部分（条件和结论）以及逆命题的概念，解题的关键是明确命题中“如果”引导的部分是条件，“那么”引导的部分是结论，逆命题则是将原命题的条件和结论互换得到的命题． （1）对于给定命题，先分离出条件和结论，条件是命题成立的前提，结论是由条件推出的结果；再通过交换原命题的条件和结论得到逆命题，进而确定逆命题的条件和结论． （2）同样先找出原命题的条件（“如果”后的部分）和结论（“那么”后的部分）；再将条件和结论互换，得到该命题的逆命题． 【详解】解：（1）命题“两直线平行，内错角相等”可改写为“如果两直线平行，那么内错角相等”． 因此，条件是“两直线平行”，结论是“内错角相等”． 其逆命题是“如果内错角相等，那么两直线平行”，所以逆命题的条件是“内错角相等”，结论是“两直线平行”． （2）命题“如果那么”中， 条件是“”，结论是“”． 将条件和结论互换，得到逆命题是“如果那么”． 故答案为：（1）两直线平行；内错角相等；内错角相等；两直线平行； （2）如果那么． 12．已知命题“如果两条平行线被第三条直线所截，那么一对内错角的平分线互相平行．” (1)写出这个命题的题设和结论； (2)画出符合这个命题的几何图形； (3)用几何语言叙述这个命题； (4)判断这个命题的真假，并说明理由． 【答案】(1)题设：两条平行线被第三条直线所截；结论：一对内错角的平分线互相平行 (2)见解析 (3)见解析 (4)这个命题是真命题，理由见解析 【分析】本题主要考查了命题、几何语言、平行线的判定与性质等知识点，掌握平行线的判定与性质成为解题的关键． （1）直接确定题设和结论即可； （2）直接根据题意画图即可； （3）将该命题写出几何语言即可； （4）由两直线平行、内错角相等可得，再根据角平分线的定义可得，即，然后根据内错角相等、两直线平行即可证明结论． 【详解】（1）解：题设：两条平行线被第三条直线所截；结论：一对内错角的平分线互相平行． （2）解：如图即为所求． （3）解：已知分别平分和，则． （4）解：这个命题是真命题．理由如下： ， ， 又分别平分和， ， ， ， ∴这个命题是真命题． 题型三 写出命题的逆命题及判断是否互为逆命题 13．命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，那么．命题2：如果一个三角形的三条边长分别为，，，且，那么这个三角形是直角三角形．则命题1与命题2是 命题． 【答案】互逆 【分析】根据互逆命题的定义直接得出的答案，在两个命题中，如果一个命题的结论和题干是另一个命题的题干和结论，则称它们为互逆命题． 【详解】根据互逆命题的定义可知命题1与命题2是互逆命题， 故答案为：互逆 【点睛】本题考查了互逆命题的定义，理解定义是解题的关键． 14．“直角都相等”与“相等的角是直角”是（    ） A．互为逆命题 B．互逆定理 C．公理 D．假命题 【答案】A 【分析】根据逆命题，逆定理，公理，假命题的定义，分别对每一项进行分析即可． 【详解】“直角都相等”的条件是“两个角是直角”，结论是“这两个角相等” “相等的角是直角” 的条件是“两个角相等”，结论是“这两个角是直角” 条件和结论互换，所以是互为逆命题． 定理：“直角都相等”的逆命题是“相等的角是直角”明显这个定理的逆命题是假命题， 所以“直角都相等”与“相等的角是直角”不是互逆定理． 故选：A． 【点睛】本题考查了互为逆命题的知识，熟记互为逆命题的定义是解题关键． 15．下列说法错误的是（       ） A．任何命题都有逆命题 B．任何定理都有逆定理 C．命题的逆命题不一定是真命题 D．定理的逆定理一定是真命题 【答案】B 【分析】本题考查命题与定理，逆定理、互逆定理、原命题、逆命题、互逆命题等知识，解题的关键是掌握基本概念，根据命题，定理的定义对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、任何命题都有逆命题，正确，故本选项不符合题意； B、任何定理不一定都有逆定理，故本选项符合题意； C、命题的逆命题不一定为真命题，故本选项不符合题意； D、定理的逆定理一定是真命题，故本选项不符合题意； 故选：B． 16．命题“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是（　　） A．如果|x|≠|y|，那么x2≠y2 B．如果|x|＝|y|，那么x2≠y2 C．如果x2＝y2，那么|x|＝|y| D．如果x2≠y2，那么|x|≠|y| 【答案】C 【分析】交换题设和结论，即可得到答案． 【详解】解：“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是：如果x2＝y2，那么|x|＝|y|， 故选：C． 【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握求一个命题的逆命题，就是交换原命题的题设与结论． 17．“两组对边分别相等的四边形是平行四边形．”的逆命题是 ． 【答案】平行四边形是两组对边分别相等的四边形 【分析】本题考查命题的逆命题，熟练掌握“逆命题是将命题的条件和结论互换得到的命题”是解题的关键．将原命题的条件和结论互换，即可得到逆命题． 【详解】解：“两组对边分别相等的四边形是平行四边形．”的逆命题是“平行四边形是两组对边分别相等的四边形”， 故答案为：平行四边形是两组对边分别相等的四边形． 18．直角三角形的两个锐角互余的逆命题为 ． 【答案】有两个角互余的三角形是直角三角形 【分析】本题考查的命题与定理，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大．直接写出原命题的逆命题即可． 【详解】解：直角三角形的两个锐角互余的逆命题为有两个角互余的三角形是直角三角形， 故答案为：有两个角互余的三角形是直角三角形． 19．写出下列命题“若p，则q”的形式，写出它的逆命题并判断它们的真假． (1)全等三角形的对应边相等； (2)互为相反数的两个数的和为零． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查命题书写及判断真假： （1）先根据题意找到题设结论，写出命题，根据是否能得到判断真假即可得到答案； （2）先根据题意找到题设结论，写出命题，根据是否能得到判断真假即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得， “若p，则q ”的形式：若两个三角形全等，则这两个三角形的对应边相等， ∵三角形全等对应边相等， ∴该命题是真命题， 逆命题：若两个三角形的对应边相等，则这两个三角形全等，是真命题； （2）解：由题意可得， “若p，则q”的形式：若两个数互为相反数，则它们的和为零， ∵两个互为相反的数和为0， ∴是真命题， 逆命题：若两个数的和为零，则它们互为相反数，是真命题． 题型四 判断命题真假 20．下列命题中，是真命题的是（   ） A．相等的两个角是对顶角 B．同旁内角互补 C．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 D．经过一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】C 【分析】本题主要考查命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．根据同旁内角的概念、对顶角相等、平行公理、垂线段最短判断即可． 【详解】解：A．相等的两个角不一定是对顶角，选项是假命题，不符合题意； B．两直线平行，同旁内角互补，选项是假命题，不符合题意； C．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，选项是真命题，不符合题意； D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，选项是真命题，符合题意； 故选：C． 21．下列命题： ①两条直线相交，一角的两邻补角相等，则这两条直线垂直； ②两条直线相交，一角与其邻补角相等，则这两条直线垂直； ③内错角相等，则它们的角平分线互相垂直； ④同旁内角互补，则它们的角平分线互相垂直．其中正确的是（    ）． A．②④ B．②③ C．①④ D．①③ 【答案】A 【分析】本题主要考查角平分线的定义、邻补角的性质和垂线，利用邻补角的定义、垂直的定义、平行线的性质等知识对各个命题进行判断后即可确定正确的答案． 【详解】解：①、两条直线相交，同角的补角一定相等，这两条直线不一定垂直，错误； ②、两条直线相交，一角与其邻补角互补且相等，则这两条直线垂直；正确． ③、内错角相等，则它们的角平分线互相平行，错误． ④、同旁内角互补，则它们的角平分线互相垂直，正确； 故选：A． 22.下列命题中，是假命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了真假命题，平行线的判定与性质，根据平行线的判定与性质一一判断即可. 【详解】解：．若，根据两直线平行，同位角相等，则，是真命题，故本选项不符合题意； ．若，根据两直线平行，内错角相等，则，是真命题，故本选项不符合题意； ．若，根据同位角相等，两直线平行，则，根据两直线平行，同位角相等，则，是真命题，故本选项不符合题意； ．若，根据内错角相等，两直线平行，则，无法推出, 是假命题, 故本选项符合题意； 故选：D． 23.下列命题为假命题的是（    ） A．对顶角相等 B．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 C．垂线段最短 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】B 【分析】根据对顶角相等、行线的性质、垂线段最短、平行公理判断即可． 【详解】解：A、对顶角相等，是真命题，不符合题意． B、两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，故本选项是假命题，符合题意． C.垂线段最短，是真命题，不符合题意． D.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，是真命题，不符合题意． 故选：B． 题型五 举反例说明假命题 24．用一组a，b，c的值说明命题“若，则”是假命题，所举反例可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了真假命题的判断，以及等式的性质，代值验证是解决本题的关键． 将选项中a，b，c的值代入验证是真假命题即可． 【详解】解：A选项，当时，满足，且，该例子不符合反例的定义； B选项，当时，不满足，该例子不符合反例的定义； C选项，当时，满足，但，该例子符合反例的定义； D选项，当时，满足，且，该例子不符合反例的定义． 故选：C． 25．要判断命题“若，则”是错误的，可以举一个反例，则下列反例中符合要求的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查的是命题和定理．根据条件，逐项把数值代入计算并判断，即可解题． 【详解】解：A、，且，满足命题，不符合题意； B、，且，不满足命题，符合题意； C、，且，满足命题，不符合题意； D、，不满足命题，不符合题意； 故选：B． 26．举反例说明下列命题是假命题． (1)任何偶数都是4的整数倍； (2)对于任意有理数x，代数式的值总是正数； (3)有公共顶点且相等的角是对顶角． 【答案】(1)2是偶数，但2不是4的整数倍（答案不唯一） (2)是有理数，但不是正数（答案不唯一） (3)角平分线分成的两个角，有公共顶点且相等，但不是对顶角．（答案不唯一） 【分析】本题考查了命题，证明命题为假命题，通常用反例说明，此反例满足命题的题设，但不满足命题的结论．据此判断即可． 【详解】（1）解：偶数，，不是整数，所以不是的整数倍，说明“任何偶数都是的整数倍”是假命题． 所以反例为：2是偶数，但2不是4的整数倍； （2）解：当时，，是负数，不是正数，说明“对于任意有理数，代数式的值总是正数”是假命题． 所以反例为：是有理数，但不是正数； （3）解：在角平分线分成的两个角，它们有公共顶点且相等，但不是对顶角，说明“有公共顶点且相等的角是对顶角”是假命题． 所以反例为：角平分线分成的两个角，有公共顶点且相等，但不是对顶角． 27．请从下列四个命题中选取两个命题，并判断所选命题是真命题还是假命题．如果是真命题，给出证明；如果是假命题，举出反例． (1)若，则； (2)对于任意实数，一定有； (3)两个连续正奇数的平方差一定是8的倍数； (4)一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形． 【答案】(1)假命题，见解析； (2)假命题，见解析； (3)真命题，证明见解析； (4)假命题，见解析． 【分析】本题考查了真命题与假命题．熟练掌握真命题与假命题的定义是解题的关键．题设成立结论也成立的命题叫做真命题，题设成立结论不成立的命题叫做假命题．判断一个命题是真命题通常由已知条件出发，经过一步步推理，最后推出结论正确；要说明一个命题是假命题，通常举出一个反例（具备命题的条件，不具备命题的结论的例子）即可 根据真命题和假命题的定义判断并说明即可． 【详解】（1）解：是假命题，反例： 当时， ，， ∴结论不成立； （2）解：是假命题，反例： 当时， ， ∴结论不成立； （3）解：是真命题，证明： 设两个连续的正奇数为，（为正整数）， 则 ∵为正整数， ∴是8的倍数， ∴两个连续正奇数的平方差一定是8的倍数； （4）解：是假命题，反例： 当四边形为等腰梯形时结论不成立． 题型六 反证法 28．在证明“等腰三角形的两个底角是锐角”时，先假设“等腰三角形的两个底角不是锐角”，这种证明方法是（   ） A．举反例法 B．整体代入法 C．反证法 D．数学归纳法 【答案】C 【分析】本题主要考查了反证法，根据反证法的第一步：假设结论不成立，即可判断解题． 【详解】解：证明“等腰三角形的两个底角是锐角”时，先假设“等腰三角形的两个底角不是锐角”，这种证明方法是反证法； 故选：C． 29．“已知，，，求证：”．若用反证法证明，则应假设（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先提出与命题的结论相反的假设，再通过推理证明假设不成立，从而肯定原结论．这里要证，就假设其反面．本题主要考查了反证法的概念，熟练掌握反证法中假设结论的反面成立是解题的关键． 【详解】解：求证：”．若用反证法证明，则应假设． 故选： ． 30．用反证法证明“如果，那么”时，应先假设（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查命题，解题关键在于根据反证法定义即可求得答案．了解反证法证明的方法和步骤，反证法的步骤中，首先假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说原假设成立． 【详解】解：原命题为“若，则”， 根据反证法，需假设结论不成立，“”， 则用反证法证明“如果，那么”时，应先假设“”． 故选：A． 31．用反证法证明“同一平面内，，则”时，第一步应先假设（   ） A．不平行于 B．不平行于 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是反证法，解此题的关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．根据反证法的步骤，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 【详解】解：用反证法证明“同一平面内，，则”时，第一步应先假设不平行于， 故选：． 32．用反证法证明命题：在一个三角形中，最大的内角不小于．证明的第一步是（   ） A．假设最大的内角小于 B．假设最大的内角大于 C．假设最大的内角大于或等于 D．假设最大的内角小于或等于 【答案】A 【分析】假设命题的结论不成立，假定命题的结论反面成立即可． 本题考查了反证法：掌握反证法的一般步骤（假设命题的结论不成立；从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确）． 【详解】解：用反证法证明“在一个三角形中，最大的内角不小于”时，应先假设在三角形中，最大的内角小于． 故选：A． 33．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”，应首先假设这个直角三角形中（   ） A．两个锐角都大于 B．没有一个锐角大于 C．至少有一个锐角大于 D．两个锐角都大于等于 【答案】A 【分析】本题考查了反证法，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 用反证法证明命题，应先假设命题的结论不成立，然后从这个假设出发，经过推理，得出矛盾，从而证明原命题成立． 【详解】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应先假设两个锐角都大于． 故选：A． 34．上海市金山初级中学某数学兴趣小组，在十九章19.2（2）无理数一课的学习后，对利用“反证法”证明是无理数产生了很大的兴趣，在课后进行了衍生探究：证明是无理数． (1)下面是他们的探究过程，请完成填空． 先假设是_____，则可设（，且、是_____的整数）． 则有，即_____． 整理得：，所以是_____． 所以设，则，即_____m． 所以也是_____． 这与假设中的是的整数矛盾，所以不是，是无理数． (2)说明是无理数的理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了反证法，掌握反证法的步骤是关键． （1）根据题干信息与逻辑格式完善过程即可． （2）根据有理数都可以写出分数的形式，那么存在两个互质的正整数p，q，使得，等式两边平方得到，由是的倍数，可得q是的倍数，可设（k是正整数），则，即可证明p也是的倍数，这与p，q是互质的正整数的假设矛盾，由此即可证明结论． 【详解】（1）解：先假设是有理数，则可设（，且、是互质的整数）． 则有，即． 整理得：，所以是偶数． 所以设，则，即． 所以也是偶数． 这与假设中的是互质的整数矛盾，所以不是有理数，是无理数． （2）证明：假设是一个有理数，那么它可以表示为两个整数的商， 设（p，q是互质的正整数）． ∴． ， ∴． 是的倍数， 也是的倍数． 设（k是正整数）， ， ， 是的倍数． ∴p是的倍数． ∴p和q均为的倍数． 这与p，q是互质的正整数的假设矛盾． 这个矛盾表明假设“是一个有理数”不成立， 所以不是有理数． 题型七 定义、定理、逆定理和推理 35．下列语句中，属于定义的是（    ） A．直角都相等 B．作已知角的平分线 C．点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度 D．两点之间线段最短 【答案】C 【分析】本题考查了定义与性质、公理的异同．解决本题需熟记课本中的定义．根据定义的属性进行判断即可． 【详解】解：A．直角都相等是直角的性质，不是定义，故A不符合题意； B．作已知角的平分线是作图语言，不是定义，故B不符合题意； C．点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度是定义，故C符合题意； D．两点之间线段最短是公理，不是定义，故D不符合题意． 故选C． 36．下列语句中，属于定理的是（   ） A．在直线上取一点E B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 C．同位角相等 D．同角的补角相等 【答案】D 【分析】本题考查了定理的概念，定理是经过逻辑推理为真命题的陈述句． 根据定理是真命题进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、 在直线上取一点E，不是命题，故不是定理，不符合题意； B、如果两个角相等，那么这两个角不一定是对顶角，是假命题，不是定理，不符合题意； C、 同位角相等，是命题；同位角不一定相等，故不是定理，不符合题意； D、同角的补角相等，真命题，是定理，符合题意； 故选：D． 37．下列命题可以称为定理的有（   ） ①与的平均数是；②能被整除的数也能被整除；③是方程的根；④三角形的内角和是；⑤等式两边加上同一个数，等式仍成立． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题主要考查的知识点有:定理的概念:定理是经过逻辑证明为真的陈述，是具有普遍意义、经过严格证明的结论．包括平均数的计算、能被和整除的数的特征、方程的根的验证、三角形内角和定理、等式的基本性质等相关数学概念和性质，通过对这些内容的考查，判断哪些命题符合定理的定义． 【详解】解：命题①平均数的计算是，所以“与的平均数是”是错误的，不是定理； 命题②能被整除的数不一定能被整除，例如能被整除，但不能被整除，所以该命题错误，不是定理； 命题③“将 代入方程，左边，右边，左边右 边，所以该命题是错误的，不是定理； 命题④“三角形的内角和是”，这是经过严格的几何证明(如通过平行线性质、拼图等方法证明)，具有普遍适用性的结论，是定理； 命题⑤“等式两边加上同一个数，等式仍成立”，这是等式的基本性质之一，是经过数学定义和推导确定的、具有普遍意义的结论，是定理； 综上，命题④和命题⑤是定理，共个． 故选：A． 38．下列定理：①有两边相等的三角形是等腰三角形；②全等三角形的对应边相等；③同位角相等，两直线平行．其中有逆定理的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查了命题与定理，逆定理，熟练掌握逆命题与逆定理的区别是解题的关键．分别写出其逆命题，然后判断对错，即可得出答案． 【详解】解：①有两边相等的三角形是等腰三角形的逆命题是：等腰三角形有两边相等，是真命题，故①有逆定理，符合题意； ②全等三角形的对应边相等的逆命题是：三边分别相等的两个三角形全等，是真命题，故②有逆定理，符合题意； ③同位角相等，两直线平行的逆命题是：两直线平行，同位角相等，是真命题，故③有逆定理，符合题意； 故选：D． 39．下列命题中，与“同旁内角互补，两直线平行”成为互逆定理的是（　　） A．同旁内角不互补，两直线平行 B．同旁内角不互补，两直线不平行 C．两直线平行，同旁内角互补 D．两直线不平行，同旁内角不互补 【答案】C 【分析】本题考查逆命题，根据条件和结论互换的两个命题互为逆命题，进行判断即可． 【详解】解：“同旁内角互补，两直线平行”的逆定理是“两直线平行，同旁内角互补”， 故选C． ． 题型一 代数问题证明 40.下列推理正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则或 【答案】D 【分析】直接利用不等式的基本性质和解方程的思想进行判断即可. 【详解】解：A、∵，∴a，b同号，则或，本项错误； B、∵，则不一定正确，如时，，本项错误； C、∵，则或，∴不一定正确，故本项错误； D、∵，则或，本项正确； 故选择：D. 【点睛】本题考查了不等式性质和解方程的思想，解题的关键是利用不等式性质进行判断. 41．命题“当n是整数时，两个连续整数的平方差等于这两个连续整数的和”正确吗？试着用你学过的知识说明理由. 【答案】正确，理由见解析. 【分析】运用完全平方公式计算，根据计算结果判断题意中的说法是否正确． 【详解】正确，理由如下： . 故命题“当n是整数时，两个连续整数的平方差等于这两个连续整数的和”正确. 【点睛】本题考查了命题真假的判断和完全平方公式，通过完全平方公式对所给式子进行化简计算是判断命题真假的前提． 42．求证：两个连续自然数（0除外）的积是偶数． 【答案】见解析 【分析】本题考查了命题中的证明举例，熟练掌握知识点是解题的关键． 先写出已知，求证，再证明即可． 【详解】解：已知：是两个连续的自然数． 求证：是偶数． 证明：当n是奇数时，就是偶数，所以是偶数． 当n是偶数时，是偶数． 综上所述，是偶数． 即两个连续自然数的积是偶数． 题型二 写出命题的已知、求证及证明过程 43．证明三角形的内角和为．要求：根据题意画出图形，结合画出的图形写出已知和求证，并尝试证明． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和的证明，平行线的性质，利用平行线的性质，将三角形的三个内角集中到同一个顶点，再由平角为，证明即可． 【详解】解：已知：如图，， 求证：； 证明：过点作，如图， ∵， ， ， ， 三角形内角和． 44．请将三角形内角和定理的推论补充完整并加以证明． 定理：三角形的外角等于_____________________的和． 已知： 求证： 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，三角形的外角等于与其不相邻的两个内角的和，据此补全定理，再写出对应的已知和求证，根据三角形内角和定理和平角的定义证明即可． 【详解】定理：三角形的外角等于与其不相邻的两个内角的和． 已知：是的一个外角． 求证：． 证明：如图所示，在中，， ∵， ∴． 45．命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． (1)请将此命题改写成“如果……那么……”的形式； (2)证明该命题．（要求先画出图形，再写出已知和求证，最后写出证明过程） 【答案】(1)在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行 (2)见解析 【分析】本题考查了命题，命题的改写，命题的证明等知识，掌握这些基础知识是关键． （1）分清命题的题设与结论，按照如果部分后面是题设，那么部分后面是结论的形式改写即可； （2）画出图形，结合图形写出已知、求证，利用平行线的判定即可完成证明． 【详解】（1）解：改成“如果……那么……”的形式为：在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行． （2）已知：如图，是同一平面内的三条直线，且． 求证：． 证明：． ． 又和是同位角， ∴． 题型三 已知证明过程写出理论依据 46．补全下列推理过程： 如图，，，，试说明． 解：∵，，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（____________）． ∴（____________）． ∵（已知）， ∴____________（等量代换）． ∴（____________）． 【答案】答案见详解； 【分析】本题考查证明补充条件，根据条件与结论因果关系直接填写即可得到答案； 【详解】解：∵，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（　同位角相等，两直线平行　）， ∴（　两直线平行，同位角相等　）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（　内错角相等，两直线平行　）． 47．补全下列推理过程： 如图，已知，，试说明：， 解：∵（已知） （______） （已知） （______） （______） （______） （______） 【答案】答案见详解； 【分析】本题考查证明补充条件，平行线的性质与判定，根据条件及结论逐个写明理由即可得到答案； 【详解】解：∵（已知）， （两直线平行，内错角相等）， （已知）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， （对顶角相等）， ． 48．推理填空：如图，已知∠B＝∠CGF，∠BGC＝∠F． 求证：∠B＋∠F＝180°，∠F＋∠BGD＝180°． 证明： ∵∠B＝∠CGF（已知）， ∴ABCD（ ）． ∵∠BGC＝∠F（已知）， ∴CDEF（ ）． ∴ABEF（ ）． ∴∠B＋∠F＝180°（ ）． 又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（ ）， ∠BGC＝∠F（已知）， ∴∠F＋∠BGD＝180°（ ）． 【答案】同位角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；平行公理的推论；两直线平行，同旁内角互补；平角的定义；等量代换 【分析】根据平行线的判定与性质进行解答即可． 【详解】解：∵∠B＝∠CGF（已知）； ∴ABCD（同位角相等，两直线平行）， ∵∠BGC＝∠F（已知）； ∴CDEF（同位角相等，两直线平行）， ∴ABEF（平行公理的推论） ∴∠B＋∠F＝180°（两直线平行，同旁内角互补）． 又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（平角的定义）， ∠BGC＝∠F（已知）， ∴∠F＋∠BGD＝180°（等量代换）． 【点睛】本题考查平行线的判定与性质及推理论证，解题关键是熟练掌握平行线的判定与性质定理． 题型四 根据给出的论断组命题并证明 49．如图，点D，E，F分别是三角形的边，，上的点，给定以下三个条件：①；②；③．请从这三个条件中选择两个作为条件（放在已知处），另一个作为结论（放在证明处）组成一个真命题，并进行证明． 已知：________，________． 求证：________． 证明： 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线性质和判定，根据题意选择两个作为条件，另一个作为结论组成一个真命题，并结合平行线性质和判定进行证明，即可解题． 【详解】解：（答案不唯一）已知：，， 求证：． 证明：， （两直线平行，内错角相等）． ， （两直线平行，同位角相等）， ． 已知：，， 求证：． 证明：， （两直线平行，内错角相等）． ， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）． 已知：，， 求证：． 证明：， （两直线平行，同位角相等）． ， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）． 50．如图，现有以下3个论断：①；②；③．请以其中2个论断为条件，另一个论断为结论构造命题．    (1)请写出所有的真命题； (2)请选择其中一个命题加以证明． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）分别以其中2个论断为条件，第3个论断为结论可写出3个命题； （2）根据平行线的判定与性质对命题进行证明即可． 【详解】（1）解：命题1：由①②得到③； 命题2：由①③得到②； 命题3：由②③得到①； （2）命题1证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 命题2证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 命题3证明如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查命题与定理知识，平行线的判定与性质，熟练运用平行线的判定与性质是解答此题的关键． 51．如图，已知直线，给出下列信息： ①；②平分；③． (1)请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个真命题，你选择的条件是 ，结论是 (只要填写序号)，并说明理由． (2)在（1）的条件下，若比的倍少度，求的度数． 【答案】(1)①②；③；理由见解析 (2) 【分析】（1）由角平分线的定义可得，再根据等角的余角相等可得出，再由平行线的性质可得，从而结论得证； （2）由（1）得：，根据比的倍少度，可得关系式，求得，，再根据即可得到的度数． 【详解】（1）解：条件：①②，结论：③．理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：①②；③． （2）由（1）得：， ∵比的倍少度， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴． ∴的度数． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，等角的余角相等，平行线的性质，解方程组等知识．理解和掌握平行线的性质，等角的余角相等是解题的关键． 52.如下： 证明：∵， ∴> ． ∴ ． ∵，， ∴ ． ∴ ． ∴． 【问题解决】 (1)请将上面的证明过程填写完整； (2)有以下几个条件：①，②，③，④ ．请从中选择两个作为已知条件，得出结论 ．你选择的条件序号是 ，并给出证明过程 ． 【答案】(1)见解析 (2)②④，证明见解析 【分析】（1）根据，可得> ab．从而得到 ．再由，，可得ac．从而得到 ．即可求证； （2）选择②④ ．理由：根据a<b，b<0，可得a<0．再由绝对值的性质可得，．然后根据a < b，可得，即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴> ab． ∴ ． ∵，， ∴ac． ∴ ． ∴ ． （2）解∶选择②④ ． 证明如下： ∵a<b，b<0， ∴a<0． ∴，． ∵a < b， ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查了不等式的性质，绝对值的性质，熟练掌握不等式的性质，绝对值的性质是解题的关键． 53．代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性． 例如：证明命题“如果，，那么”是真命题． 证明：，（已知） 在不等式两边都加上，得．（不等式的基本性质） ，（已知） 在不等式两边都加上，得．（不等式的基本性质） ，，（已证） ．（不等式的传递性） (1)已知有理数、满足，证明：（补全下列推理过程）； 证明：且，均为正数，（已知） 不等式的两边都乘以同一个正数，得______，（不等式的基本性质） 不等式的两边都乘以同一个正数，得______．（不等式的基本性质） ．（不等式的传递性） (2)请你尝试证明：若，则． (3)命题“三个连续自然数之和能被3整除”是真命题还是假命题？若为真命题，请证明；若为假命题，请举一个反例说明． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查不等式的性质，命题的判定，关键是掌握不等式的性质． （1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，由此即可证明问题； （2）不等式的两边同时加上同一个数b得，不等式的两边同时除以同一个正数2，由此即可证明问题； （3）设这三个自然数分别是，，，其中，将这三个自然数求和即可得出结论． 【详解】（1）解：证明：且，均为正数，（已知） 不等式的两边都乘以同一个正数，得，（不等式的基本性质） 不等式的两边都乘以同一个正数，得．（不等式的基本性质） ．（不等式的传递性）； 故答案为：，； （2）证明：， 不等式两边同加上，得， 不等式两边同时除以2，得； （3）解：真命题， 证明：设这三个自然数分别是，，，其中， ， 能被3整除， 这三个自然数的和能被3整除． 54．【阅读理解】 如果把一个命题（记作）的题设和结论交换位置，得到另一个命题（记作），那么这两个命题叫做互逆命题，其中命题称为原命题，命题称为原命题的逆命题． 例如：原命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”． 【解决问题】 给出命题“如果，那么．” (1)写出命题的题设和结论，及逆命题． (2)判断命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例进行说明． 【答案】(1)是题设，是结论；逆命题是：如果，那么 (2)假命题，见解析． 【分析】本题考查了命题：要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． （1）命题的题设为，“那么”后面为结论，再交换题设和结论得到原命题的逆命题； （2）命题是假命题，举出一个反例进行说明即可． 【详解】（1）解：∵命题“如果，那么． ∴是题设，是结论； 逆命题是：如果，那么． （2）解：命题是假命题， 反倒：，但是3不等于． 55．某次数学竞赛中有5道选择题，每题1分，每道题在A、B、C三个选项中，只有一个是正确的．下表是甲、乙、丙、丁四位同学每道题填涂的答案和这5道题的得分： 第一题 第二题 第三题 第四题 第五题 得分 甲 C C A B B 4 乙 C C B B C 3 丙 B C C B B 2 丁 B C C B A (1)则丁同学的得分是 ； (2)如果有一个同学得了1分，他的答案可能是 （写出一种即可） 【答案】(1)3 (2)（答案不唯一） 【分析】（1）分甲从第1题到第5题依次错一道，进而得出其余四道的正确选项，再根据乙，丙的选项和得分判断，进而得出甲具体选错的题号，即可得出结论； （2）由（1）先得出五道题的正确选项，然后留一个正确，其他都错误即可得出结论． 【详解】（1）解：当甲选错了第1题，那么，其余四道全对， 针对于乙来看，第1，3，5道错了，做对两道，此时，得分为2，而乙得分3，所以，此种情况不符合题意， 当甲选错了第2题，那么其余四道全对， 针对于乙来看，第2，3，5道错了，做对2道，此时，得分为2分，而乙得分3分，所以，此种情况不符合题意， 当甲选错第3题时，那么其余四道都对， 针对于乙来看，第5道错了，而乙的得分是3分，所以，乙只能做对3道，即：第3题乙也选错，即：第3题的选项C正确， 针对于丙来看，第1，5题错了，做对3道，此时，丙的得分为3分，而丙的得分为2分，所以，此种情况不符合题意， 当甲选错第4题，那么其余四道都对， 针对于乙来看，第3，4，5道错了，做对了2道，此时，得分2分，而乙的得分为3分，所以，此种情况不符合题意， 当甲选错第5题，那么其余四道都对， 针对于乙来看，第3道错了，而乙的得分为3分，所以，乙只能做对3道，所以，乙第5题也错了，所以，第5题的选项A是正确的， 针对于丙来看，第1，3，5题错了，做对了2道，得分2分， 针对于丁来看，第3，5题错了，做对了3道，得分3分， 故答案为：3； （2）解：由（1）知，五道题的正确选项分别是：， 如果有一个同学得了1分，那么，只选对1道， 即：他的答案可能是或或或等， 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】此题是推理论证题目，确定出五道题目的正确选项是解本题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $