16.3　乘法公式 教学设计 2025-2026学年人教版数学八年级上册

该初中数学教学设计聚焦乘法公式（平方差公式、完全平方公式）及添括号法则，通过多项式乘法计算引导学生发现规律，从特殊到一般推导公式，构建从多项式乘法到公式应用的知识支架。 以几何直观验证公式（如面积模型推导平方差和完全平方公式），培养抽象能力与推理意识，例题分层设计（基础应用到拓展提升，如连续公式应用、化简求值），帮助学生用数学语言表达数量关系，提升教师教学效率，促进学生逻辑思维与应用能力发展。

16.3　乘法公式 16.3.1　平方差公式 课题 16.3.1　平方差公式 授课人 学 习 目 标 1.会推导平方差公式,并且懂得运用平方差公式进行简单计算. 2.经历探索特殊形式的多项式乘法的过程,发展学生的符号感和推理能力,使学生逐渐掌握平方差公式. 3.探究平方差公式的应用,熟练地应用于多项式乘法之中. 4.通过合作学习,体会在解决具体问题过程中与他人合作的重要性,体验数学活动充满着探索性和创造性. 学习 重点 平方差公式的推导和运用以及对平方差公式的几何背景的了解. 学习 难点 平方差公式的应用. 授课 类型 新授课 课时 教具 多媒体 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 计算: (1)(x+2)(x-2);(2)(1+3a)(1-3a); (3)(x+5y)(x-5y);(4)(y+3z)(y-3z). 做完之后,观察以上算式及运算结果,你能发现什么规律?再举两个例子验证你的发现. 　　设计探索规律的问题,可以激发学生强烈的好奇心和求知欲. 活动 二: 探究 与 应用 【探究】 平方差公式 1.计算下列多项式的积,你能发现什么规律? (1)(x+1)(x-1)=　　　　;  (2)(m+2)(m-2)=　　　　;  (3)(2x+1)(2x-1)=　　　　.  2.猜想:相乘的两个多项式的各项与它们的积中的各项有什么关系? (a+b)(a-b)=a2-b2. 3.你能证明(a+b)(a-b)=a2-b2吗? 方法一:利用多项式与多项式相乘的法则验证; 方法二:利用图形的面积证明,如图16-3-2. 图16-3-2 4.你能用文字语言描述上面的发现吗? 学生活动:学生分小组讨论、交流,逐一回答问题. 教师活动:适时引导学生归纳、探索,表扬学生的探索精神. 关键:弄清平方差公式的结构特点,左边:(1)两个二项式的积;(2)两个二项式中,有一项完全相同,另一项互为相反数.右边:(1)二项式;(2)两个因式中完全相同的项的平方减去互为相反数的项的平方. 　　1.由特殊到一般,让学生学会归纳,同时培养学生的合作意识. 2.教学中注意培养学生的数形结合思想,理解平方差公式的几何意义. 活动 二: 探究 与 应用 【应用举例】 例1　运用平方差公式计算: (1)(3x+2)(3x-2); (2)(-x+2y)(-x-2y). [答案:(1)9x2-4　(2)x2-4y2] 通过做题,应该总结出:在两个因式中,符号相同的一项作a,符号不同的一项作b. 注意提示学生公式的变化形式. 例2　计算: (1)(x-1)(x+1)(x2+1); (2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5); (3)102×98. [答案:(1)x4-1　(2)-4y+1　(3)9996] 例3　先化简,再求值:(2x-y)(y+2x)-(2y+x)(2y-x),其中x=1,y=2. [答案:原式=5x2-5y2　当x=1,y=2时,原式=-15] 　　1.抓住平方差公式的本质特征,是正确应用公式进行计算的关键. 　　2.例题可体现知识的延伸,使学生养成提出新数学问题的习惯. 3.使学生明确:只有符合公式条件的乘法才能运用公式简化运算,其余的运算仍按乘法法则进行. 【拓展提升】 例4　计算:(1)(a-b)(a+b)(a2+b2)(a4+b4)(a8+b8); (2)×××…×. [答案:(1)a16-b16　(2)] 教师活动: 归纳平方差公式的结构特征:左边相乘的两个二项式中,有一项完全相同,另一项互为相反数,右边是完全相同的项的平方减去互为相反数的项的平方. 例5　对于任意的正整数n,(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)一定是10的整数倍吗? [答案:一定是] 　　1.知识的综合与拓展,提高学生的应考能力. 2.及时巩固拓展新知识点,同时引出公式的广泛应用. 活动 三: 课堂 总结 反思 【当堂训练】 1.在下列多项式的乘法中,可以用平方差公式计算的是 (D) A.(3a+3b)(3a-2b)　　　　B.(a+b)(-a-b) C.(-2m+n)(2m-n) D.(a+b)(b-a) 2.计算:118×122=　14396　.  3.利用平方差公式计算: (1)(a+3b)(a-3b);(2)(3+2a)(-3+2a); (3)(-2x2-y)(-2x2+y);(4)20262-2025×2027. [答案:(1)a2-9b2　(2)4a2-9　(3)4x4-y2　(4)1] 4.先化简,再求值:(x+2)(x-2)-x(x-1),其中x=-2. [答案:原式=x-4　当x=-2时,原式=-6] 　　采用“精讲精练”“分层递推”的教学方法,让学生在训练中熟练掌握平方差公式的特征. 活动 三: 课堂 总结 反思 【课堂总结】 　　本节课的内容是两数和与这两数差的积,公式指出了具有特殊关系的两个二项式积的性质.运用平方差公式应满足两点:一是分别找出对应公式中的a和b的数或式;二是两数和乘这两数差,这也是判断能否运用平方差公式的方法. 　　通过总结可以让学生更加理解平方差公式,体会公式中的a,b分别表示什么. 【知识网络】 　　框架图式总结,加上形象的记忆方法,易于被学生接受. 【教学反思】 ①[授课流程反思] 引导学生用自己的语言叙述所发现的规律,允许学生之间互相补充,教师不要急于概括. ②[讲授效果反思] 平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式,在教学中首先应让学生思考:你能发现什么吗?让学生经历观察、比较、归纳、提出猜想的过程. ③[师生互动反思] 教学中教师要帮助学生对照公式找特点,注意培养学生的观察能力. ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 错题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 　　反思,更进一步提升. 16.3.2　完全平方公式 第1课时　完全平方公式 课题 第1课时　完全平方公式 授课人 学 习 目 标 1.会推导完全平方公式,并能运用公式进行简单的运算,形成推理能力. 2.利用多项式与多项式的乘法以及幂的意义,推导出完全平方公式,掌握完全平方公式的计算方法. 3.会正确地运用完全平方公式解决问题. 4.培养学生观察、类比、发现问题的能力,体验数学活动充满着探索性和创造性. 学习 重点 完全平方公式的推导和应用. 学习 难点 完全平方公式的应用. 授课 类型 新授课 课时 教具 多媒体 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 前面我们学习了多项式与多项式的乘法,你能说一下它的运算法则吗? 请运用这个法则计算:(m+p)(n+q). 　　通过回顾前面的知识,增强学生对知识直接的关联性的感知,也起到检验学生知识的掌握情况,让教师因材施教,针对学生的掌握情况实施更有效的教学设计. (续表) 活动 二: 探究 与 应用 【探究】 完全平方公式 问题1:计算下列多项式的积,你能发现什么规律? (1)(p+1)2=(p+1)(p+1)=　　　　　　;  (2)(m+2)2=(m+2)(m+2)=　　　　　　;  (3)(p-1)2=(p-1)(p-1)=　　　　　　;  (4)(m-2)2=(m-2)(m-2)=　　　　　　.  教师活动:组织学生通过观察上面的运算结果中的每一项,猜测它们的共同特点. 学生活动:分成小组,讨论、观察、探讨,发现规律如下:(1)右边第一项是左边括号中第一项的平方,右边最后一项是左边括号中第二项的平方,中间一项是左边括号中第一项和第二项乘积的2倍.(2)左边如果为“+”号,右边全是“+”号,左边如果为“-”号,右边中间一项的符号就为“-”号,其余都为“+”号. 教师提问:那我们就利用简单的(a+b)2与(a-b)2进行验证,请同学们利用多项式乘法以及幂的意义进行计算. 学生活动:计算出(a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2,完成后,一位学生上讲台板演. 教师活动:利用学生的板演内容,引出本节课的教学内容——完全平方公式. [归纳]完全平方公式: (a+b)2=a2+2ab+b2; (a-b)2=a2-2ab+b2. 语言叙述:两个数的和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们的积的2倍. 问题2:你能根据图16-3-7中图形的面积说明完全平方公式吗? 图16-3-7 可以借助多媒体课件,直观地演示面积的变化,帮助学生联想到(a+b)2=a2+b2+ab+ab=a2+2ab+b2;(a-b)2=a2-b2-2b(a-b)=a2-2ab+b2. 　　1.从多项式与多项式相乘入手,推导出完全平方公式. 　　2.利用几何模型和割补面积的方法来验证公式的正确性. 【应用举例】 例1　运用完全平方公式计算: (1)(4m+n)2;(2)(y-)2. [答案:(1)16m2+8mn+n2　(2)y2-y+] 变式　(改变公式中a,b的符号)计算:. 解题思路:本题改变了公式中a,b的符号,处理方法之一:把式子变形为=后,直接用公式计算;方法二:把式子变形为=后,直接用公式计算.在此处应注意添括号的法则. [答案:4x2-20xy+25y2] 　　1.适时、恰当地安排例题教学,能起到巩固所学知识(公式等)的目的,使学生掌握解题的步骤. 活动 二: 探究 与 应用 思考:(1)(a+b)2与(-a-b)2相等吗? (2)(a-b)2与(b-a)2相等吗? (3)(a-b)2与a2-b2相等吗? 说明为什么? 例2　运用完全平方公式计算: (1)1022;(2)992. [答案:(1)10404　(2)9801] 例3　已知a+b=-6,ab=8,求: (1)a2+b2的值; (2)(a-b)2的值. [答案:(1)20　(2)4] 利用完全平方公式,可以使一些计算简便.对一些形式上不符合公式的式子可进行适当地变形,使之符合公式的应用.完全平方公式的变形如下表: 完全平方公式 变形 (a+b)2=a2+2ab+b2 ①a2+b2=(a+b)2-2ab ②2ab=(a+b)2-(a2+b2) (a-b)2=a2-2ab+b2 ①a2+b2=(a-b)2+2ab ②2ab=(a2+b2)-(a-b)2 ③(a-b)2=(a+b)2-4ab ④(a+b)2=(a-b)2+4ab 　　2.对乘法公式的最初运用是模仿套用,套用的前提是确定是否具备使用公式的条件,关键是正确确定“两数”,即“a”和“b”. 【拓展提升】 例4　运用乘法公式计算: (1);(2). [答案:(1)2x2+4xy+2y2　(2)-a2-2ab-b2] 方法归纳:本例中所给的均是二项式乘二项式,表面看外观结构不符合公式特征,但仔细观察易发现,只要将其中一个因式作适当变形就可以了.观察到两个因式的系数有倍数关系或相反关系是正确变形并利用公式的前提. 　　灵活运用公式,主要是指既要熟练地正用公式,又要掌握公式的逆用,还要根据题目特点善于对公式进行变形使用.在解题中充分体现应用公式的思维灵活性,灵活地解决有关的不同类型的问题. 活动 三: 课堂 总结 反思 【当堂训练】　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1.计算(-1-x)2的结果是 (D) A.1+x2 B.1-2x+x2 C.1-2x-x2 D.1+2x+x2 2.如图16-3-8,将完全相同的四个长方形纸片拼成一个大的正方形,用两种不同的方法表示这个大正方形的面积,可以得出一个等式为 (A) 图16-3-8 A.(a+b)2=a2+2ab+b2 B.(a-b)2=a2-2ab+b2 C.a2-b2=(a+b)(a-b) D.(a+b)2=(a-b)2+4ab 3.化简:(1-x)2+2x=　1+x2　.  4.已知a+b=2,ab=-1,则a2+b2=　6　.  　　1.当堂训练,及时反馈学习效果.通过完成练习使学生进一步熟练掌握公式的结构特征. 2.教师引导学生进行探索,必要时进行适当的启发和提示. 活动 三: 课堂 总结 反思 5.计算:(1)(-x+3y)2;(2);(3). [答案:(1)9y2-6xy+x2　(2)16y2+2y+　(3)-a2+2ab-b2] 6.计算:(1);(2)20252-4050×2024+20242. [答案:(1)3602　(2)1] 【课堂总结】 (1)谈谈你的收获. (2)你还有哪些疑惑? 　　课堂总结,发展潜能. 【知识网络】 　　框架图式总结,加上生动记忆的方法,使学生易于接受. 【教学反思】 ①[授课流程反思] 把乘法公式作为研究一般多项式乘法基础上的“特例”来处理.在教学过程中,让学生获得乘法公式的同时,充分体会从一般到特殊的数学思想方法.遵循这一研究线索,把特例作为沟通新知识与旧知识的桥梁,训练了学生的逻辑思维能力,很容易把新知识纳入已有的知识体系,形成完整的知识结构. ②[讲授效果反思] 教师在此立足于强化新知识的同时,着眼于激发学生的思考兴趣和发现兴趣,培养学生的归纳理解能力.本节课在中学代数中占据着非常重要的位置,一定要使学生熟悉这个公式及它的各种变形. ③[师生互动反思] 在整个教学过程中充分运用探究学习与合作学习,有学生之间的交流,也有师生之间的交流,在课堂中构建和谐、民主的气氛.对于作业习题的布置打破传统的格局,使不同层面的学生得到不同发展. ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 错题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 　　反思,更进一步提升. 课题 第2课时　添括号法则 授课人 学 习 目 标 1.会推导添括号法则,掌握并利用添括号法则. 2.体会添括号法则与去括号法则之间的联系与区别. 3.依据添括号法则进行整式的变形与运算. 4.通过对去括号与添括号的比较,渗透对立统一的思想和数学知识体系的内在完备性与美感. 学习 重点 添括号法则的推导与应用. 学习 难点 应用添括号法则进行整式的运算. 授课 类型 新授课 课时 教具 多媒体 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 回顾 1.去括号法则的内容是什么? 2.根据去括号法则填空: a+(b+c)=　　　　;a-(b+c)=　　　　.  　　回顾相关知识,为学习新知识奠定基础. 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 把以上各式反过来,即交换等式的左右两边,可得: a+b+c=a+(　　　　);a-b-c=a-(　　　　).  学生独立完成,互相订正. 　　通过已学知识进行逆向变形,获得新知识,体现新旧知识之间的联系,有利于构建知识网络. 活动 二: 探究 与 应用 【探究】 添括号法则 根据以上解答,仿照去括号法则,叙述添括号法则: ①添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项都　　　　符号;  ②如果括号前面是负号,括到括号里的各项都　　　　符号.  师生活动:学生在教师的引导下积极思考问题,教师鼓励学生举其他例子来验证自己的发现. 　　用数学符号和语言来表达,提高概括能力. 活动 二: 探究 与 应用 【应用举例】 例1　下列式子中正确的是 (D) A.a-(b+c)=a+b-c　　　　B.-x+y-z=-(x+y+z) C.2(a-b)+c=2a-b+c D.x+3y-3z=x+3(y-z) 变式一　在括号前填入“+”号或“-”号,使左边与右边相等. y-x=　-　(x-y);  (x-y)2=　+　(y-x)2;  (x-y)3=　-　(y-x)3.  学生独立,教师指名回答,要求说明理由. 变式二　已知a-b=-3,c+d=2,求(b+c)-(a-d)的值. [答案:5] 例2　已知3x2y-2xy2-xy2+2x2y=3x2y-(　　),则括号里所填的各项应是 (D) A.2xy2-xy2+2x2y B.2xy2-xy2-2x2y C.-2xy2+xy2-2x2y D.2xy2+xy2-2x2y 例3　(改变公式中的项数) 运用乘法公式计算: (1)(x+2y-3)(x-2y+3); (2)(a+b+c)2. [答案:(1)x2-4y2+12y-9　(2)a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc] 练一练　计算:(1)(a-b+c)2; 　(2)(1-2x+y)(1+2x-y). 解题思路:(1)利用添括号法则(在此应讲解一下添括号的法则)适当变形,然后利用平方差公式及完全平方公式即可解决. (2)(a-b+c)2可先变形为[a-(b-c)]2或[(a-b)+c]2或者[(a+c)-b]2,再进行计算. [答案:(1)a2+b2+c2-2ab+2ac-2bc　(2)1-4x2+4xy-y2] 　　1.直接利用添括号法则进行整式的变形,有利于巩固所学知识. 2.依据乘法公式对三项式的乘法进行计算,体现了整体思想的具体应用. 活动 三: 课堂 总结 反思 【当堂训练】 1.下列各式中,与x3-2x2-4x+8相等的是 (C) A.(x3-2x2)-(-4x+8) B.x3+8+(-2x2+4x) C.(x3-2x2)-(4x-8) D.x3+8-(2x2-4x) 2.为了应用平方差公式计算(x+3y-1)(x-3y+1),下列变形正确的是 (C) A.[x-(3y+1)]2 　　　　　B.[x+(3y+1)]2 C.[x+(3y-1)][x-(3y-1)] 　D.[(x-3y)+1][(x-3y)-1] 3.添括号:2025a-b+2026c=2025a-(　b-2026c　).  4.已知2a-3b2=5,则10-2a+3b2的值是　5　.  5.计算下列各题: (1)(x-y-1)2; (2)(a+b+1)(a-b+1). [答案:(1)x2-2xy+y2-2x+2y+1　(2)a2+2a+1-b2] 　　1.当堂训练,帮助教师发现教学中存在的问题,便于在课堂小结和作业以及后续教学中进行弥补. 2.学生通过测评,检查学习效果,可以对知识进行系统总结,查漏补缺,为课后复习指明方向. 【课堂总结】 (1)添括号法则的内容是什么? (2)添括号法则与去括号法则有什么联系与区别? 　　课后复习巩固,查漏补缺. 活动 三: 课堂 总结 反思 【知识网络】 　　框架图式总结,更容易形成知识网络. 【教学反思】 ①[授课流程反思] 利用去括号法则导出添括号法则,是帮助学生学习探索新知识的一种途径,即从互逆的角度进行研究,猜想结论,举例验证,推理说明,最终确认并加以应用. ②[讲授效果反思] 通过对添括号法则的学习及其与去括号法则的比较,强化了对数学知识体系对立统一相互关系的认识,感受到数学知识体系的完备性.同时,在解题中注意符号导致带来的整式变形,培养耐心仔细、科学严谨的解题素养和治学态度. ③[师生互动反思] 在教师的引导下,以自主学习为主研究新知识.利用添括号法则解决具体问题时,放手让学生自己解答,教师在巡视过程中重点指导学困生,争取让全体学生都能掌握添括号的变形方式,优等生能借助添括号法则和乘法公式计算三项式乘法或变形求值,实现分层教学的目的. ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 错题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 　　反思,更进一步提升. 学科网（北京）股份有限公司 $