16.3　乘法公式 教学设计 2025-2026学年人教版数学八年级上册

课题

16.3.1　平方差公式

授课人

学

习

目

标

1.会推导平方差公式,并且懂得运用平方差公式进行简单计算.

2.经历探索特殊形式的多项式乘法的过程,发展学生的符号感和推理能力,使学生逐渐掌握平方差公式.

3.探究平方差公式的应用,熟练地应用于多项式乘法之中.

4.通过合作学习,体会在解决具体问题过程中与他人合作的重要性,体验数学活动充满着探索性和创造性.

学习

重点

平方差公式的推导和运用以及对平方差公式的几何背景的了解.

学习

难点

平方差公式的应用.

授课

类型

新授课

课时

教具

多媒体

教学活动

教学

步骤

师生活动

设计意图

活动

一:

创设

情境

导入

新课

【课堂引入】

计算:

(1)(x+2)(x-2);(2)(1+3a)(1-3a);

(3)(x+5y)(x-5y);(4)(y+3z)(y-3z).

做完之后,观察以上算式及运算结果,你能发现什么规律?再举两个例子验证你的发现.

　　设计探索规律的问题,可以激发学生强烈的好奇心和求知欲.

活动

二:

【探究】 平方差公式

1.计算下列多项式的积,你能发现什么规律?

　　1.由特殊到一般,让学生学会归纳,同

探究

与

应用

(1)(x+1)(x-1)=　　　　; 

(2)(m+2)(m-2)=　　　　; 

(3)(2x+1)(2x-1)=　　　　. 

2.猜想:相乘的两个多项式的各项与它们的积中的各项有什么关系?

(a+b)(a-b)=a2-b2.

3.你能证明(a+b)(a-b)=a2-b2吗?

方法一:利用多项式与多项式相乘的法则验证;

方法二:利用图形的面积证明,如图16-3-2.

图16-3-2

4.你能用文字语言描述上面的发现吗?

学生活动:学生分小组讨论、交流,逐一回答问题.

教师活动:适时引导学生归纳、探索,表扬学生的探索精神.

关键:弄清平方差公式的结构特点,左边:(1)两个二项式的积;(2)两个二项式中,有一项完全相同,另一项互为相反数.右边:(1)二项式;(2)两个因式中完全相同的项的平方减去互为相反数的项的平方.

时培养学生的合作意识.

2.教学中注意培养学生的数形结合思想,理解平方差公式的几何意义.

活动

二:

探究

与

应用

【应用举例】

例1　运用平方差公式计算:

(1)(3x+2)(3x-2);

(2)(-x+2y)(-x-2y).

[答案:(1)9x2-4　(2)x2-4y2]

通过做题,应该总结出:在两个因式中,符号相同的一项作a,符号不同的一项作b.

注意提示学生公式的变化形式.

　　1.抓住平方差公式的本质特征,是正确应用公式进行计算的关键.

　　2.例题可体现知识的延伸,使学生养成提出新数学问题的习惯.

例2　计算:

(1)(x-1)(x+1)(x2+1);

(2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5);

(3)102×98.

[答案:(1)x4-1　(2)-4y+1　(3)9996]

例3　先化简,再求值:(2x-y)(y+2x)-(2y+x)(2y-x),其中x=1,y=2.

[答案:原式=5x2-5y2　当x=1,y=2时,原式=-15]

3.使学生明确:只有符合公式条件的乘法才能运用公式简化运算,其余的运算仍按乘法法则进行.

【拓展提升】

例4　计算:(1)(a-b)(a+b)(a2+b2)(a4+b4)(a8+b8);

(2)×××…×.

[答案:(1)a16-b16　(2)]

教师活动:

归纳平方差公式的结构特征:左边相乘的两个二项式中,有一项完全相同,另一项互为相反数,右边是完全相同的项的平方减去互为相反数的项的平方.

例5　对于任意的正整数n,(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)一定是10的整数倍吗?

[答案:一定是]

　　1.知识的综合与拓展,提高学生的应考能力.

2.及时巩固拓展新知识点,同时引出公式的广泛应用.

活动

三:

课堂

总结

反思

【当堂训练】

1.在下列多项式的乘法中,可以用平方差公式计算的是 (D)

A.(3a+3b)(3a-2b)　　　　B.(a+b)(-a-b)

C.(-2m+n)(2m-n)       D.(a+b)(b-a)

2.计算:118×122=　14396　. 

3.利用平方差公式计算:

(1)(a+3b)(a-3b);(2)(3+2a)(-3+2a);

(3)(-2x2-y)(-2x2+y);(4)20262-2025×2027.

[答案:(1)a2-9b2　(2)4a2-9　(3)4x4-y2　(4)1]

4.先化简,再求值:(x+2)(x-2)-x(x-1),其中x=-2.

　　采用“精讲精练”“分层递推”的教学方法,让学生在训练中熟练掌握平方差公式的特征.