2.2 有理数的乘法与除法 课前预习2026-2027学年人教版七年级数学上册

**基本信息** 聚焦有理数乘除运算，分层设计覆盖基础概念、运算技能及综合应用，通过生活情境与数学问题结合，培养运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|倒数、运算法则等单一概念|直接写结果（如解答题16），夯实运算基础| |中档|符号判断、运算规律应用|符号法则辨析（如单选题7），培养推理意识| |提升|跨情境综合问题|环形跑道追及（解答题20），发展应用意识与逻辑思维|

2.2 有理数的乘法与除法 课前预习2026-2027学年人教版 七年级数学上册 一、单选题 1．2026的倒数是（     ） A． B． C． D． 2．计算的结果是（   ） A．10800 B．-2700 C．-432 D．1080 3．计算 （     ） A． B． C． D． 4．我国元代《算术启蒙》中记载：“同名相乘为正，异名相乘为负”，则下列运算的结果为负数的是（     ） A． B． C． D． 5．如果平时不注意爱护眼睛，就有可能形成近视．在验光时，验光师经常会以“***D”的方式记录近视程度，例如，将近视50度记录为“”，近视100度记录为“”，等等．通常，近视超过200度时就要持续配戴眼镜进行视力矫正，有4位同学的验光记录如下，需要持续配戴眼镜的是（   ） A． B． C． D． 6．湖里中学九（3）班在庆祝“建党100周年”开展的一次学党史知识手抄报活动中，一个由5人组成的小组里所有同学均相互传阅自己制作的手抄报，则该小组的同学共传阅（　　） A．5次 B．15次 C．20次 D．25次 7．如果四个数的积为负数，其中有两个数异号，则另外两个数（　　） A．一定都是正数 B．一定都是负数 C．一定也异号 D．一定同号 8．计算下列各题时，运用的方法和乘法分配律一样的是(    ) A． B．计算后，用验算 C．想，得出 D．竖式计算(如图) 9．张丽用计算器计算“”时，发现数字键“9”坏了，按照下列算式输入不能得到正确结果的是（   ） A． B． C． D． 10．兔子和刺猬在一条550米长的圆形跑道上比赛．它们都以恒定的速度奔跑．兔子的速度是每秒10米，而刺猬的速度是每秒1米．它们同时从同地出发．然而，刺猬跑的方向与兔子的方向相反．当它们相遇时，刺猬立即转身，追着兔子跑．问刺猬比兔子晚多少秒到达出发的地点？（） A．45 B．50 C．55 D．100 E．505 二、填空题 11．小溪在计算时，除号变乘号时，忘记把改成它的倒数，结果是54，则的正确结果是______． 12．某家纺公司生产四种针织产品，每种产品货源充足，各产品重量及价格如表： 产品 重量（千克） 价格（元） 在某次展销活动中，根据客户需求，现在想将部分产品做成套装礼盒销售，每个礼盒总重量不超过千克． （1）若每个礼盒中只装同一种产品，则一个礼盒的总价值最高是________元； （2）若每个礼盒中同一种产品最多装件，则一个礼盒的总价值最高是________元． 13．计算：________． 14．某种少年读物，如果按照原价格销售，每销售一本获利元，现在降价销售，结果销售量增加一倍，获利增加倍，则每本书售价降价_______元． 15．将，，，，，，，填入九宫格内，如图所示的处应填_____． 三、解答题 16．直接写出结果 (1)（     ） (2)（     ） (3)（     ） (4)（     ） (5)（     ） (6)（     ） 17．某时，长江主要港口的水位数据如下表． 港口 寸滩 武隆 宜昌 三峡水库 丹江口水库 水位/米 165.47 169.67 39.45 165.14 146.08 (1)算出这5个港口的平均水位．（结果保留两位小数） (2)如果把平均水位记为0米，那么用正负数表示出这5个港口及水库的水位与平均水位的差并填写在下表中． 港口 寸滩 武隆 宜昌 三峡水库 丹江口水库 水位差/米 18．生活部对六年级个班的卫生情况打分，分及以上为达标．若将分记分，分记“”分，分记“”分，则六年级个班的卫生成绩如下表所示． 班级 班 班 班 班 班 班 卫生成绩/分 (1)班和班的卫生成绩相差多少分？ (2)六年级的整体卫生情况达标了吗？请说明理由． 19．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．一般地，点在数轴上分别表示数，，那么之间的距离可表示为． (1)如图1，在数轴上，点，，分别对应有理数，1，4，则，之间的距离为_____，，之间的距离为_____； (2)如图2，为数轴上一动点，点表示的有理数为，现以为折点，将图1的数轴向右对折．已知点在点的右侧，与点，的相对位置不固定，且对折后点，的对应点分别为点． ①若对折后点与点重合，求此时的值； ②若对折后三点互不重合且其中一点到另外两点的距离相等，请求出此时的值． 20．在400米环形跑道上，两点相距100米（如图），甲、乙两人分别从两点同时出发，按逆时针方向跑步，甲每秒跑7米，乙每秒跑5米，他们每人跑100米都停5秒，那么，甲追上乙需要多少秒？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A D D D C D D B A 1．A 【分析】乘积为的两个数互为倒数. 【详解】解：， 的倒数是. 2．A 【分析】本题主要考查有理数的乘法，掌握有理数的乘法运算法则是解题的关键． 根据有理数的乘法运算法则求解即可． 【详解】解： ． 故选：A． 3．D 【详解】解：． 4．D 【分析】根据题意给出的“同名相乘为正，异名相乘为负”，结合乘任何数都得的性质，判断各选项结果的符号，即可得出答案． 【详解】解：选项A：，不是负数，不符合要求； 选项B：，两数同号，同名相乘得正，结果为正数，不符合要求； 选项C：，两数同号，同名相乘得正，结果为正数，不符合要求； 选项D：，两数异号，异名相乘得负，结果为负数，符合要求． 5．D 【分析】将各选项的记录转换为实际度数后，筛选出度数超过200度的选项即可. 【详解】解：∵根据题意，验光记录中D前数字的绝对值乘100就是实际近视度数，且近视超过200度需要持续佩戴眼镜， ∴A、对应近视度数为度，，不需要佩戴， B、对应近视度数为度，，不需要佩戴， C、对应近视度数为度，，不需要佩戴， D、对应近视度数为度，，需要佩戴． 6．C 【分析】根据题意确定每名同学需要传阅的次数，再结合总人数计算总传阅次数即可． 【详解】解：∵小组共5人，所有同学相互传阅自己的手抄报，即每名同学都要将自己的手抄报传给除自己外的名同学， ∴总传阅次数为次． 7．D 【分析】根据有理数的乘法法则可得另外两个数的积为正数，由此即可得． 【详解】解：∵四个数的积为负数，其中有两个数异号（这两个数的积为负数）， ∴另外两个数的积一定为正数， ∴另外两个数一定同号． 8．D 【分析】本题考查乘法分配率，根据题意，结合乘法分配律的定义：两个数的和或差与一个数相乘，可以用这两个数分别和这个数相乘，再把它们的积相加或相减．据此判断即可． 【详解】解：A．，运用了乘法交换律和结合律； B．计算后，用验算，运用了乘法交换律； C．想，得出，运用了“商不变的规律”； D．竖式计算，把看作，分别用和1乘，再将两个积相加，运用了乘法分配律． 故选：D． 9．B 【分析】本题主要考查了乘法运算律（结合律、分配律）的灵活应用，熟练掌握运算律对算式进行等价变形是解题的关键． 将原式通过运算律（乘法结合律、分配律）变形，避开数字“9”，逐一验证选项是否与原式等价． 【详解】解：原式：， 选项A：， ； 选项B：， ； 选项C：， ； 选项D：，， ； 故选：B． 10．A 【分析】本题为环形行程问题，兔子方向保持不变，先计算兔子到达出发点的总时间，再计算第一次相遇的时间和位置，进而得到刺猬到达出发点的总时间，最后计算时间差即可． 【详解】解：∵兔子方向不变，跑道长550米，兔子速度为10米每秒， ∴兔子到达出发点的总时间为秒， ∵出发时二者反向，速度和为米每秒，相遇时路程和为一圈550米， ∴第一次相遇时间秒， 相遇时兔子跑了的路程为米，此时距离出发点还剩米，刺猬转身后与兔子同向，因此刺猬也需要跑50米才能到达出发点， ∵刺猬速度为1米每秒，转身之后不会再相遇（兔子速度更快，距离不断拉大），无需再次转身， ∴刺猬从相遇点到出发点的时间秒， ∴刺猬总时间秒， ∴时间差为秒． 11． 【分析】先根据错误的计算过程列出关于的等式，求出的值，再代入正确的算式，根据有理数除法法则计算即可得到结果． 【详解】根据题意，可得错误的计算算式为：， 解得 ， 将代入正确算式， 得． 12． 【分析】（1）分别计算只装同一种产品时，每个礼盒最多可装的包数，计算对应总价值，比较得到最大值； （2）根据每种产品最多装2件的限制，列举所有符合总重量要求的组合，计算总价值后比较得到最大值． 【详解】解：（1）分别计算每种产品的总价值： 产品A：每件重千克，最多装件，总价值（元）， 产品B：每件重千克，最多装件，总价值（元）， 产品C：每件重千克，最多装件，总价值（元）， 产品D：每件重千克，最多装件，总价值（元）， 比较得，一个礼盒的总价值最高是元； （2）计算单位重量价值（优先选单价高的）： 、（元）， 、（元）， 、（元）， 、（元）， ∵， 即按照单位重量价值从大到小排序为：， 故优先级为． 按照每种最多件：最多件（），最多件（），最多件（），最多件（）， 先装满优先级高的产品，再用剩余重量搭配次优产品： ①件：，价值（元）， 件：，价值（元）， 已用重量：，剩余重量：， 剩余恰好装件，且只装件，符合限制条件， 此时件件件，总重量：（千克），总价值：（元）； ②件件，总重量：（千克），总价值：（元）元； ③件件，总重量：（千克），总价值：（元）元； ④件件件，总重量：（千克），总价值：（元）元； ⑤件件件，总重量：（千克），总价值：（元）元； 其余符合重量限制的组合总价均低于元，因此最高总价值是元． 13．1103 【分析】观察原式中各数字的关系，对各项变形后，利用乘法分配律进行简便计算． 【详解】解： ． 14． 【分析】本题考查有理数乘除法的应用，先根据题意得出现在每本读物获利的金额，进而算出每本书售价降价的金额，即可解题． 【详解】解：假设原销售量为本，则降价后销售量为本， 则根据题意可得现在每本书获利（元）， 每本书售价降价（元）； 故答案为：． 15． 【分析】题主要考查了九宫格和有理数的运算，求出每行、每列、每条斜对角线上的个数和为是关键．设左下角的数字为，右下角的数字为，先求出每行、每列、每条斜对角线上的3个数和为-3，再根据和不变依次求出、、即可． 【详解】解：如图，设左下角的数字为，右下角的数字为， 由条件可知每行、每列、每条斜对角线上的个数和， ， ， ， 故答案为：． 16．(1) (2) (3) (4) (5)4 (6)5 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： （5）解： （6）解： 17．(1)137.16米 (2)米；米；米；米；米 【分析】（1）这5个港口的水位数据之和再除以即可； （2）每个数据与平均数比较大小，大于的为正，小于的为负，再求差即可． 【详解】（1）解：（米） 答：这5个港口的平均水位是137.16米． （2）解：以平均水位 137.16米为标准，计算各港口水位偏差： 寸滩： ，记为正数， ，即米； 武隆： ，记为正数， ，即米； 宜昌： ，记为负数， ，即米； 三峡水库： ，记为正数， ，即米； 丹江口水库： ，记为正数， ，即米． 据此填表如下： 港口 寸滩 武隆 宜昌 三峡水库 丹江口水库 水位/米 18．(1)分 (2)达标，理由如下： 班的卫生成绩：（分）， 班的卫生成绩：（分）， 班的卫生成绩：（分）， 班的卫生成绩：（分）， 班的卫生成绩：（分）， 班的卫生成绩：（分）， 六个班的平均分：（分）， ， 故六年级的整体卫生情况达标． 【分析】（1）先求出班、班的实际分数，用高分减去低分算出分差； （2）算出每个班真实分数，求和除以班级数得到平均分，与分比较判断整体是否达标． 【详解】（1）解：班的卫生成绩：（分）， 班的卫生成绩：（分）， 相差：（分）， 故班和班的卫生成绩相差分． （2）略 19．(1)2，3 (2)①1.5；②0.75或2或3.5． 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，数轴折叠后，折点到对应点的距离相等．关键是分类讨论要全面． （1）根据两点之间的距离公式解答即可． （2）①对折后点A与点C重合，即点到，的距离相等，据此求解即可． ②分三种情况进行分析计算． 【详解】（1）解：∵点，，分别对应有理数，1，4， ∴，之间的距离为，，之间的距离为 故答案为：2，3． （2）①因为对折后点与点重合，，所以． 因为，所以此时的值为1.5． ②由题意知，对折后存在以下三种情况： （i）对折后点不动，此时折点在点之间，点在点之间，且到点的距离相等． 因为，所以， 则点表示的数为，可得， 则，所以点表示的数为， 即此时的值为0.75； （ii）对折后点动，点不动，此时折点在点之间， 点在点之间，且到点的距离相等． 因为，所以，所以， 即点表示的数为，可得，则， 所以点表示的数为，即此时的值为2； （iii）对折后点动，点不动，此时折点在点之间， 点在点之间，且到点的距离相等． 因为，所以，所以， 即点表示的数为，可得，则， 所以点表示的数为，即此时的值为3.5． 综上，的值为0.75或2或3.5． 20．77.5秒 【分析】本题考查了行程问题中的追及问题，解题的关键是结合跑步与停留的周期，分析实际追及的路程与时间． 先计算不考虑停留时的追及时间与路程，再结合每跑米停留5秒的规则，调整追及时长，确定最终时间． 【详解】解：不考虑停留，甲追及乙的路程差为米，速度差为米/秒， 追及时间为秒，此时甲跑了米，乙跑了米． 甲跑米，需停留次（），停留时间秒； 乙跑米，需停留次（），停留时间秒． 甲停留时乙仍在跑，实际追及时需补时间差：甲多停留秒，乙在这秒跑了米， 需再追米，时间秒，此时甲跑米（无需停留）． 总时间：秒． 答：甲追上乙需要秒． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $