2.2有理数的乘法与除法知识归纳与题型突破2026-2027学年人教版数学七年级上册（六题型）

**基本信息** 聚焦有理数乘除法，以六题型分层设计，覆盖基础计算、性质应用到综合拓展，强化运算能力与推理意识，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|有理数乘法法则、运算律、倒数定义|直接应用法则计算，如题型01的乘法简便运算、题型04的倒数书写与性质判断| |能力提升|绝对值与乘法结合、新定义运算、除法及混合运算|融合概念辨析，如题型02利用绝对值性质求乘积，题型05乘除混合运算强化符号法则| |综合应用|数轴与有理数运算综合|数形结合，如题型06通过数轴位置判断a+b、ab等运算结果符号，发展几何直观|

2.2有理数的乘法与除法知识归纳与题型突破2026-2027学年人教版七年级上册（六题型） 知识归纳 知识点1. 有理数乘法 1. 有理数乘法法则 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. （2）任何数同0相乘，都得0. 2.有理数乘法的运算律 （1）乘法交换律: 两个数相乘,交换两个因数的位置,积相等.ab＝ba （2）乘法结合律: 三个数相乘,先把前两个数相乘,或先把后两个数相乘,积相等.(ab)c ＝ a(bc) （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,再把积相加. a(b＋c)=ab＋ac 根据分配律可以推出：一个数同几个数的和相乘,等于把这个数分别同这几个数相乘,再把积相加. a(b＋c＋d )＝ab＋ac＋ad 知识点2. 有理数除法 1.倒数的定义：乘积是1的两个有理数互为倒数。 2.互为倒数： 乘积为1的两个数互为倒数； 注意：0没有倒数； 若 a≠0，那么的倒数是； 若ab=1 a、b互为倒数. 3. 有理数除法法则 （1）有理数除法法则（一） 除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数. 用字母表示为 （2）有理数除法法则（二） 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数，都得0 4.有理数的除法及乘除混合运算. 乘除混合运算往往先将除法化为乘法，然后确定积的符号，最后求出结果（乘除混合运算按从左到右的顺序进行计算） 【要点总结归纳】 A. 有理数的乘法 （1）几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数个数决定。 （2）当负因数有奇数个时，积为负。 （3）当负因数有偶数个时，积为正。 （4）几个数相乘,如果其中有因数为0，积等于0。 B. “×”号写法 注意:用字母表示乘数时,“×”号可以写成“·”或省略, 如a×b可以写成a·b或ab. C. 有理数混合运算 （1）有理数除法化为有理数乘法以后，可以利用有理数乘法的运算律简化运算 （2）乘除混合运算往往先将除法化为乘法，然后确定积的符号，最后求出结果（乘除混合运算按从左到右的顺序进行计算） （3）有理数混合运算的顺序： 先算乘除，再算加减，同级运算从左往右依次计算，如有括号，先算括号内的. 题型突破 题型01 有理数的乘法计算及其简便运算 1.计算： （1）（﹣13）×（﹣6） （2）﹣×0.15 （3）（+1）×（﹣1） （4）3×（﹣1）×（﹣） （5）﹣2×4×（﹣1）×（﹣3） （6）（﹣2）×5×（﹣5）×（﹣2）×（﹣7） 【答案】 解：（1）（﹣13）×（﹣6）， ＝13×6， ＝78； （2）﹣×0.15， ＝﹣0.05； （3）（+1）×（﹣1）， ＝﹣（×）， ＝﹣2； （4）3×（﹣1）×（﹣）， ＝3×1×， ＝1； （5）﹣2×4×（﹣1）×（﹣3）， ＝﹣（2×4×1×3）， ＝﹣24； （6）（﹣2）×5×（﹣5）×（﹣2）×（﹣7）， ＝2×5×2×5×7， ＝700． 2.计算： （1）﹣2×7×（﹣4）×（﹣2.5）． （2）×（﹣）×（﹣24）×（+1）． （3）（﹣4）×499.7××0×（﹣1）． 【答案】 解：（1）原式＝﹣（2×7×4×2.5）＝﹣140； （2）原式＝××24×＝36； （3）原式＝0． 3.计算（1）； （2）； （3）； （4）（﹣8）×（﹣12）×（﹣0.125）×（﹣）×（﹣0.1）． 【答案】 解：（1）（﹣）××（﹣1） ＝﹣××（﹣） ＝； （2）125×3.67×6×8×（﹣） ＝125×8×3.67×6×（﹣） ＝1000×3.67×（﹣1） ＝﹣3670； （3）36×（﹣19） ＝36×（﹣20+） ＝﹣20×36+×36 ＝﹣720+2 ＝﹣718； （4）（﹣8）×（﹣12）×（﹣0.125）×（﹣）×（﹣0.1） ＝（﹣8）×（﹣0.125）×（﹣12）×（﹣）×（﹣0.1） ＝1×4×（﹣0.1） ＝﹣0.4． 4.计算． （1）（﹣10）×（﹣）×（﹣0.2）×9； （2）（﹣1.2）×0.75×（﹣1.25）； （3）﹣×3.59﹣×2.41+×（﹣3）； （4）（）×（﹣24）． 【答案】 解：（1）（﹣10）×（﹣）×（﹣0.2）×9 ＝﹣10××0.2×9 ＝﹣6； （2）（﹣1.2）×0.75×（﹣1.25） ＝×× ＝； （3）﹣×3.59﹣×2.41+×（﹣3） ＝﹣×（3.59+2.41+3） ＝﹣×9 ＝﹣； （4）（﹣+﹣）×（﹣24） ＝﹣×（﹣24）+×（﹣24）﹣×（﹣24） ＝6﹣8+10 ＝16﹣8 ＝8． 5.选择适当方法，简便计算： （1） （2） （3）﹣15×24+15×13+15． （4）． （5）． 【答案】 解：（1）（+﹣）×（﹣12） ＝×（﹣12）+×（﹣12）﹣×（﹣12） ＝﹣6﹣4+3 ＝﹣7； （2）﹣19×6＝（﹣20+）×6 ＝﹣20×6+×6 ＝﹣120+ ＝﹣； （3）﹣15×24+15×13+15 ＝15×（﹣24+13+1） ＝15×（﹣10） ＝﹣150； （4）×0.25×（﹣8）×（﹣36） ＝××8×36 ＝30； （5）（﹣+）×36﹣6×1.45+3.95×6 ＝×36﹣×36+×36+6×（﹣1.45+3.95） ＝28﹣30+14+6×2.5 ＝12+15 ＝27． 题型02 绝对值与有理数的乘法 1.已知|a|＝3．|b|＝4，且a＞b，则ab的值为（　　） A．±12 B．±1 C．1或﹣7 D．7或﹣1 【答案】A． 2.若|x|＝3，|y|＝5，且xy＜0，求x﹣y的值． 【答案】 解：∵|x|＝3，|y|＝5，且xy＜0， ∴x＝3，y＝﹣5或x＝﹣3，y＝5， 则x﹣y＝8或﹣8． 3.已知|x|＝5，|y|＝9． （1）求x，y的值； （2）若xy＜0，求x+y的值． 【答案】 解：（1）∵|x|＝5，|y|＝9， ∴x＝±5，y＝±9； （2）∵xy＜0， ∴x，y异号， 当x＝5，y＝﹣9时，x+y＝5﹣9＝﹣4； 当x＝﹣5，y＝9时，x+y＝﹣5+9＝4； 综上所述，x+y的值为4或﹣4． 4.已知|a|＝5，|b|＝7． （1）若ab＜0，求|a﹣b|的值． （2）若|a﹣b|＝﹣（a﹣b），求a•b的值． 【答案】 解：∵|a|＝5，|b|＝7， ∴a＝±5，b＝±7， （1）若ab＜0，所以a，b异号， 当a＝5，b＝﹣7时，|a﹣b|＝|5﹣（﹣7）|＝12， 当a＝﹣5，b＝7时，|a﹣b|＝|﹣5﹣7|＝12， 综上，|a﹣b|＝12； （2）若|a﹣b|＝﹣（a﹣b），则a﹣b≤0， 当a＝5，b＝7时，a•b＝5×7＝35， 当a＝﹣5，b＝7时，a•b＝﹣5×7＝﹣35， 综上，ab＝±35． 5.已知有理数a，b，c满足，求的值． 【答案】 解：∵， ∴a，b，c中必有两正一负，即abc之积为负， ∴＝﹣1． 题型03 有理数乘法中的新定义运算 1.若定义新运算：a△b＝（﹣2）×a×3×b，请利用此定义计算：（1△2）△（﹣3）＝　 　． 【答案】﹣216． 2.若“！”是一种数学运算符号，并1！＝1，2！＝2×1＝2，3！＝3×2×1＝6，4！＝4×3×2×1＝24，…，则的值为（　　） A．0.2！ B．2450 C． D．49！ 【答案】B． 3.若定义一种新的运算“*”，规定有理数a*b＝4ab，如2*3＝4×2×3＝24． （1）求3*（﹣4）的值； （2）求（﹣2）*（6*3）的值． 【答案】 解：（1）3*（﹣4）， ＝4×3×（﹣4）， ＝﹣48； （2）（﹣2）*（6*3）， ＝（﹣2）*（4×6×3）， ＝（﹣2）*（72）， ＝4×（﹣2）×（72）， ＝﹣576． 题型04 求有理数的倒数及其性质应用 1.写出下列各数的倒数： （1）﹣5；（2）﹣；（3）0.25；（4）1；（5）﹣1.4． 【答案】解：（1）﹣5的倒数为﹣； （2）﹣的倒数为﹣； （3）0.25＝，它的倒数为4； （4）1＝，它的倒数为； （5）﹣1.4＝﹣，它的倒数为﹣． 2.下列各对数中，互为倒数的一对是（　　） A．4和﹣4 B．﹣2和﹣ C．﹣3和 D．0和0 【答案】B． 3.如果一个数的倒数等于它本身，那么这个数一定是（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D．1或﹣1 【答案】D． 4.若a、b互为倒数，则2ab+5的值为（　　） A．1 B．7 C．﹣3 D．﹣5 【答案】B． 5.若a，b互为倒数，则﹣ab﹣2026的值为 　 　． 【答案】﹣2027． 6.若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2． （1）直接写出a+b，cd，m的值； （2）求m+cd+的值． 【答案】解：（1）∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2， ∴a+b＝0，cd＝1，m＝±2． （2）当m＝2时，m+cd+＝2+1+0＝3； 当m＝﹣2时，m+cd+＝﹣2+1+0＝﹣1． 题型05 有理数的除法、乘除法以及加减乘除混合运算 1.计算： （1）（﹣18）÷0.6；（2）﹣25.6÷（﹣0.064）；（3）÷（﹣1）； （4）﹣3÷；（5）﹣0.25÷；（6）﹣÷（﹣1.5）． 【答案】解：（1）（﹣18）÷0.6＝﹣18×＝﹣30； （2）﹣25.6÷（﹣0.064）＝＝400； （3）÷（﹣1）＝﹣； （4）﹣3÷＝﹣×＝﹣； （5）﹣0.25÷＝﹣×＝﹣； （6）﹣÷（﹣1.5）＝﹣×（﹣）＝． 2.计算： （1）0.9÷；（2）（﹣）÷5；（3）﹣18÷（﹣）； （4）÷（﹣8）；（5）÷（﹣）；（6）2÷÷（﹣）． 【答案】解：（1）0.9÷3 ＝× ＝； （2）（﹣）÷5 ＝（﹣）× ＝﹣； （3）﹣18÷（﹣1） ＝18× ＝10； （4）2÷（﹣8） ＝×（﹣） ＝﹣； （5）2÷（﹣2）＝﹣1； （6）2÷÷（﹣4） ＝2××（﹣） ＝﹣1． 3.计算： （1）（﹣6）÷（﹣4）÷（﹣）；（2）（﹣16）÷[（﹣）÷（﹣）]； （3）（﹣5）÷（﹣）××（﹣）÷7． 【答案】解：（1）原式＝﹣（6÷4÷）， ＝﹣（6××）， ＝﹣； （2）原式＝（﹣16）÷（×64） ＝﹣16÷4 ＝﹣4； （3）原式＝﹣（5××××） ＝﹣1． 4.计算： （1）[（﹣）÷]×（﹣）；（2）﹣0.25÷（﹣）×（﹣）； （3）﹣25×（﹣）+13×（﹣）﹣3×（﹣）； （4）[×（﹣）+（﹣0.4）÷（﹣）]×． 【答案】解：（1）[（﹣）÷]×（﹣） ＝（×30）×（﹣） ＝5×（﹣） ＝﹣1； （2）﹣0.25÷（﹣）×（﹣） ＝﹣×× ＝﹣； （3）﹣25×（﹣）+13×（﹣）﹣3×（﹣） ＝（﹣25+13﹣3）×（﹣） ＝﹣15×（﹣） ＝7； （4）[×（﹣）+（﹣0.4）÷（﹣）]× ＝（﹣×+×）× ＝（﹣+）× ＝﹣×+× ＝﹣2+3 ＝1． 5.计算： （1）0÷（﹣）；（2）； （3）；（4）． 【答案】解：（1）原式＝0； （2）原式＝﹣（×××）， ＝﹣； （3）原式＝81××× ＝1； （4）原式＝（﹣+）×（﹣） ＝×（﹣）﹣×（﹣）+×（﹣） ＝﹣2+3﹣ ＝． 6.计算： （1）375÷（﹣）÷（﹣）；（2）3×（﹣4）+（﹣28）÷7； （2）42×（﹣）+（﹣）÷（﹣0.25）； （4）（﹣1155）÷[（﹣11）×（+3）×（﹣5）]． 【答案】解：（1）原式＝375×（﹣）×（﹣）＝； （2）原式＝﹣12﹣4＝﹣16； （3）原式＝﹣28+3＝﹣25； （4）原式＝﹣1155÷165＝﹣7． 7.计算： （1）；（2）． 【答案】解：（1）原式＝×（﹣）×× ＝﹣； （2）原式＝（﹣+﹣）×（﹣42） ＝﹣35+18﹣14+27 ＝﹣4． 题型06 数轴与有理数的混合运算 1.如图，已知a，b是数轴上的两个数，下列不正确的式子是（　　） A．a+b＜0 B．a﹣b＞0 C．ab＜0 D． 【答案】D． 2.有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　） A．a+b＜0 B．ab＜0 C．|a|＞|b| D． 【答案】B． 3.有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论错误的是（　　） A．a+b＜0 B．a﹣2b＜0 C．a＜|b| D． 【答案】B． 4.有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列结论中：①ab＜0；②；③a+b＜0；④a﹣b＜0；⑤a＜|b|； ⑥﹣a＞﹣b．正确的有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D． 5.若有理数a、b在数轴上表示的点的位置如图所示，下列结论：①﹣a＞b；②ab＞0；③a﹣b＜0；④|a|＞|b|；⑤a+b＞0；⑥．其中正确结论的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2有理数的乘法与除法知识归纳与题型突破2026-2027学年人教版七年级上册（六题型） 知识归纳 知识点1. 有理数乘法 1. 有理数乘法法则 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. （2）任何数同0相乘，都得0. 2.有理数乘法的运算律 （1）乘法交换律: 两个数相乘,交换两个因数的位置,积相等.ab＝ba （2）乘法结合律: 三个数相乘,先把前两个数相乘,或先把后两个数相乘,积相等.(ab)c ＝ a(bc) （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,再把积相加. a(b＋c)=ab＋ac 根据分配律可以推出：一个数同几个数的和相乘,等于把这个数分别同这几个数相乘,再把积相加. a(b＋c＋d )＝ab＋ac＋ad 知识点2. 有理数除法 1.倒数的定义：乘积是1的两个有理数互为倒数。 2.互为倒数： 乘积为1的两个数互为倒数； 注意：0没有倒数； 若 a≠0，那么的倒数是； 若ab=1 a、b互为倒数. 3. 有理数除法法则 （1）有理数除法法则（一） 除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数. 用字母表示为 （2）有理数除法法则（二） 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数，都得0 4.有理数的除法及乘除混合运算. 乘除混合运算往往先将除法化为乘法，然后确定积的符号，最后求出结果（乘除混合运算按从左到右的顺序进行计算） 【要点总结归纳】 A. 有理数的乘法 （1）几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数个数决定。 （2）当负因数有奇数个时，积为负。 （3）当负因数有偶数个时，积为正。 （4）几个数相乘,如果其中有因数为0，积等于0。 B. “×”号写法 注意:用字母表示乘数时,“×”号可以写成“·”或省略, 如a×b可以写成a·b或ab. C. 有理数混合运算 （1）有理数除法化为有理数乘法以后，可以利用有理数乘法的运算律简化运算 （2）乘除混合运算往往先将除法化为乘法，然后确定积的符号，最后求出结果（乘除混合运算按从左到右的顺序进行计算） （3）有理数混合运算的顺序： 先算乘除，再算加减，同级运算从左往右依次计算，如有括号，先算括号内的. 题型突破 题型01 有理数的乘法计算及其简便运算 1.计算： （1）（﹣13）×（﹣6） （2）﹣×0.15 （3）（+1）×（﹣1） （4）3×（﹣1）×（﹣） （5）﹣2×4×（﹣1）×（﹣3） （6）（﹣2）×5×（﹣5）×（﹣2）×（﹣7） 2.计算： （1）﹣2×7×（﹣4）×（﹣2.5）．（2）×（﹣）×（﹣24）×（+1）． （3）（﹣4）×499.7××0×（﹣1）． 3.计算（1）； （2）； （3）； （4）（﹣8）×（﹣12）×（﹣0.125）×（﹣）×（﹣0.1）． 4.计算． （1）（﹣10）×（﹣）×（﹣0.2）×9； （2）（﹣1.2）×0.75×（﹣1.25）； （3）﹣×3.59﹣×2.41+×（﹣3）； （4）（）×（﹣24）． 5.选择适当方法，简便计算： （1） （2） （3）﹣15×24+15×13+15． （4）． （5）． 题型02 绝对值与有理数的乘法 1.已知|a|＝3．|b|＝4，且a＞b，则ab的值为（　　） A．±12 B．±1 C．1或﹣7 D．7或﹣1 2.若|x|＝3，|y|＝5，且xy＜0，求x﹣y的值． 3.已知|x|＝5，|y|＝9． （1）求x，y的值； （2）若xy＜0，求x+y的值． 4.已知|a|＝5，|b|＝7． （1）若ab＜0，求|a﹣b|的值． （2）若|a﹣b|＝﹣（a﹣b），求a•b的值． 5.已知有理数a，b，c满足，求的值． 题型03 有理数乘法中的新定义运算 1.若定义新运算：a△b＝（﹣2）×a×3×b，请利用此定义计算：（1△2）△（﹣3）＝　 　． 2.若“！”是一种数学运算符号，并1！＝1，2！＝2×1＝2，3！＝3×2×1＝6，4！＝4×3×2×1＝24，…，则的值为（　　） A．0.2！ B．2450 C． D．49！ 3.若定义一种新的运算“*”，规定有理数a*b＝4ab，如2*3＝4×2×3＝24． （1）求3*（﹣4）的值； （2）求（﹣2）*（6*3）的值． 题型04 求有理数的倒数及其性质应用 1.写出下列各数的倒数： （1）﹣5；（2）﹣；（3）0.25；（4）1；（5）﹣1.4． 2.下列各对数中，互为倒数的一对是（　　） A．4和﹣4 B．﹣2和﹣ C．﹣3和 D．0和0 3.如果一个数的倒数等于它本身，那么这个数一定是（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D．1或﹣1 4.若a、b互为倒数，则2ab+5的值为（　　） A．1 B．7 C．﹣3 D．﹣5 5.若a，b互为倒数，则﹣ab﹣2026的值为 　 　． 6.若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2． （1）直接写出a+b，cd，m的值； （2）求m+cd+的值． 题型05 有理数的除法、乘除法以及加减乘除混合运算 1.计算： （1）（﹣18）÷0.6；（2）﹣25.6÷（﹣0.064）；（3）÷（﹣1）； （4）﹣3÷；（5）﹣0.25÷；（6）﹣÷（﹣1.5）． 2.计算： （1）0.9÷；（2）（﹣）÷5；（3）﹣18÷（﹣）； （4）÷（﹣8）；（5）÷（﹣）；（6）2÷÷（﹣）． 3.计算： （1）（﹣6）÷（﹣4）÷（﹣）；（2）（﹣16）÷[（﹣）÷（﹣）]； （3）（﹣5）÷（﹣）××（﹣）÷7． 4.计算： （1）[（﹣）÷]×（﹣）；（2）﹣0.25÷（﹣）×（﹣）； （3）﹣25×（﹣）+13×（﹣）﹣3×（﹣）； （4）[×（﹣）+（﹣0.4）÷（﹣）]×． 5.计算： （1）0÷（﹣）；（2）； （3）；（4）． 6.计算： （1）375÷（﹣）÷（﹣）；（2）3×（﹣4）+（﹣28）÷7； （2）42×（﹣）+（﹣）÷（﹣0.25）； （4）（﹣1155）÷[（﹣11）×（+3）×（﹣5）]． 7.计算： （1）；（2）． 题型06 数轴与有理数的混合运算 1.如图，已知a，b是数轴上的两个数，下列不正确的式子是（　　） A．a+b＜0 B．a﹣b＞0 C．ab＜0 D． 2.有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　） A．a+b＜0 B．ab＜0 C．|a|＞|b| D． 3.有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论错误的是（　　） A．a+b＜0 B．a﹣2b＜0 C．a＜|b| D． 4.有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列结论中：①ab＜0；②；③a+b＜0；④a﹣b＜0；⑤a＜|b|； ⑥﹣a＞﹣b．正确的有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 5.若有理数a、b在数轴上表示的点的位置如图所示，下列结论：①﹣a＞b；②ab＞0；③a﹣b＜0；④|a|＞|b|；⑤a+b＞0；⑥．其中正确结论的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 学科网（北京）股份有限公司 $