预习专题1.6 空间向量法求空间中的角度讲义-2026年暑期预习新高二数学人教A版选择性必修第一册

专题1.6 空间向量法求空间中的角度 【知识梳理】 1 【考点1：直线与直线所成角的向量求法】 2 【考点2：由异面直线的夹角求参】 7 【考点3：直线与平面所成角的向量求法】 13 【考点4：由直线与平面所成角求参】 20 【考点5：平面与平面所成角的向量求法】 29 【考点6：由平面与平面所成角求参】 37 【知识梳理】 1、直线与直线所成角的向量求法： 当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是此异面直线所成的角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线所成的角. 与的夹角为β l1与l2所成的角为θ 范围 求法 2、直线与平面所成角的向量求法： 设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线l与平面所成的角为，两向量与的夹角为，则有. 3、平面与平面所成角的向量求法： 如图①，AB，CD是二面角­l­两个半平面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小为＝〈，〉； 如图②③，，分别是二面角­l­的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足. 【考点1：直线与直线所成角的向量求法】 1．（25-26高一下·江苏连云港·期末）在正方体中，为的中点，则与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先设正方体棱长并建立空间直角坐标系，写出各点坐标得到两条直线的方向向量，通过向量点积公式求出向量夹角余弦，再取其绝对值得到异面直线夹角的余弦值． 【详解】 设正方体棱长为， 如图，以为原点，为轴，为轴，为轴建立坐标系， ，，，， ，， 所以， 所以与夹角的余弦值为． 2．（25-26高一下·天津红桥·期末）如图，直三棱柱，，点，分别是，的中点，若，则与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】使用向量法求解. 【详解】以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 设，则，，，， ，， 则与所成角的余弦值为：. 3．（25-26高一下·河南郑州·期末）如图，在直三棱柱中，，，，是的中点，求直线与直线所成角的余弦值（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用勾股定理逆定理证明，以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解异面直线夹角的余弦值. 【详解】在中，， 因为，所以. 因为三棱柱为直三棱柱，所以平面， 又平面平面，所以. 如图，以为原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系. 则. 因为是的中点，所以. 所以. 设直线与直线所成角为， 则 . 所以直线与直线所成角的余弦值为. 4．（25-26高一下·黑龙江·期末）如图，直三棱柱内接于一个圆柱，是底面圆的直径，. (1)求圆柱的表面积； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用直径所对的圆周角为直角和勾股定理求出的长度和柱体的高，再根据圆柱结构特征即可求其表面积； (2)法一：利用平行线转化，求出异面直线与所成角即为，再利用勾股定理的逆定理证明，然后通过余弦定理计算夹角即可求解； 法二：建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，再利用向量法求出异面直线所成的角的余弦值即可. 【详解】（1）因为AB是底面圆O的直径，所以.因为，，所以.因为，所以圆柱的侧面积为，故其表面积为. （2）（方法一）由三棱柱的性质可得，所以异面直线与所成的角即为.连接. 因为， 所以则，所以， 即异面直线与所成角的余弦值为. （方法二）以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示 由题意得，所以. 设异面直线与所成的角为，则， 即异面直线与所成角的余弦值为. 5．（24-25高二上·福建厦门·阶段检测）如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为4，且，求：    (1)的长； (2)直线与AC所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】选取基底向量 ，利用向量的数量积运算求解线段长度及异面直线夹角的余弦值. 【详解】（1）设，由题意可得，， 所以 ， 所以，即的长为； （2）因为， 所以 ， 又， 所以， 所以直线与所成角的余弦值为. 【考点2：由异面直线的夹角求参】 1．（25-26高二下·四川南充·期中）《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．在阳马中，若平面，且，异面直线与所成角的余弦值为，则AD的长度为______． 【答案】4 【分析】建立空间直角坐标系，利用异面直线向量公式列方程求解即可. 【详解】由题意，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系如图，    设，因为， 所以， ， 设异面直线与所成角为， 则， 解得，即. 2．（25-26高三下·山西晋城·开学考试）棱长为2的正方体中，是棱上的动点，是棱的中点，当直线与所成角最小时，的面积为________． 【答案】 【分析】根据给定的几何体，建立空间直角坐标系，利用线线角的向量求法求得点位置即可得解. 【详解】建立如图所示的空间直角生标系， 则，设， ，，设直线与所成的角为， 则 ，当时，， 当时，，函数在上单调递减， 则当时，，此时为最大，即角最小， 点与点重合，是以为直角的直角三角形，， 所以的面积为. 故答案为： 3．（25-26高三上·河北唐山·期末）如图，在四棱柱中，底面，且底面为菱形，，，，为的中点，在上，在平面内运动（不与重合），且平面，异面直线与所成角的余弦值为，则的最大值为___________. 【答案】/ 【分析】连接交于点，推导出平面，然后以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量法可求得的值，求出点的坐标为，求出的最小值，即可求得的最大值. 【详解】连接交于点，平面，平面，则， 因为四边形为菱形，则， ，、平面，平面， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、、， 易知平面的一个法向量为， 因为平面，所以，， 设点，其中，则， 由已知可得， 因为，解得，即点， 设点，则， 因为，则，可得，且，可得， 所以，点， 因为平面，、平面，，， 且， 所以，. 故答案为：. 4．（25-26高二下·江苏常州·期末）如图，在正三棱柱中，、分别是、的中点.设D是线段上的（包括两个端点）动点，当直线与所成角的余弦值为，则线段的长为_______. 【答案】 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，设，利用空间向量法计算异面直线所成角的余弦值，即可得到方程，解得，从而得解． 【详解】解：如图以为坐标原点建立空间直角坐标系： 则设， 则，设直线与所成角为 所以，即， 解得或（舍去），所以， 故答案为：． 5．（2025·四川·高考真题）如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点．设异面直线EM与AF所成的角为，则的最大值为 . 【答案】 【详解】建立坐标系如图所示.设，则.设，则， 由于异面直线所成角的范围为， 所以，， 令，则，当时取等号. 所以，当时，取得最大值. 考点：1、空间两直线所成的角；2、不等式. 【考点3：直线与平面所成角的向量求法】 1．（25-26高二下·甘肃定西·期末）如图，在三棱柱中，平面，，二面角的大小为． (1)若是的中点，证明：平面． (2)若，，求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1) 连接交于， 在三棱柱中，侧面是平行四边形， 所以是的中点， 又因为是的中点， 所以， 因为平面，平面， 所以平面； (2) 【分析】（1）借助三棱柱侧面平行四边形对角线中点性质，结合三角形中位线得到线线平行，再用线面平行判定定理完成证明； （2）由侧棱垂直底面确定二面角平面角，建立空间直角坐标系求出所有点坐标，利用线段比例算出坐标，求出平面法向量后，套用线面角向量公式计算出角度． 【详解】（1）略 （2） 因为平面，平面，平面， 所以，， 所以二面角的平面角， ，，， 在平面内作， 因为平面，平面， 所以，即两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴、轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， ，，即，，， 设， ， 由，得， 所以，解得，即， ，，， 设平面的法向量， 所以，即， 令，得， 设直线与平面所成角为， 所以， 因为，所以， 所以直线与平面所成角的大小为． 2．（25-26高二下·内蒙古赤峰·期末）如图，在中，，，D，E分别在，上，满足，，将沿折起到的位置，使.      (1)求证：平面； (2)若点M满足，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)因为，，所以， 又因为，则，所以，翻折后， 又因为，平面，所以平面， 又平面，所以， 又因为，平面， 所以平面. (2) 【分析】(1)折叠保垂直，依靠两组垂直交线证明出线面垂直； (2)依托第一问垂直条件建立空间直角坐标系，确定点坐标，求出平面法向量，套用线面夹角向量公式运算求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，建立如下所示空间直角坐标系，由几何关系知， 所以，则， 设平面的法向量，则， 令，则， 因为在线段上，且，则， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值为.    3．（25-26高二下·广东潮州·期末）四棱锥中，底面，，，且，，是的中点． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)取中点，连接，， 因为，，所以四边形为平行四边形，则， 因为，所以， 因为，为的中点，所以， 由勾股定理可得，同理可得， 所以，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，、平面，所以平面． (2) 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，结合线面垂直的性质及勾股定理逆定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据线面角的向量求法求解即可. 【详解】（1）略 （2）因为平面，， 如图，以点为原点，以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， ，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，可得， 设直线与平面所成角为， 则， 所以，直线与平面所成角的正弦值为． 4．（25-26高二下·江西南昌·期末）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，E为的中点． (1)证明：平面平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)底面为矩形，，又平面，平面， ，又，，平面，平面，又平面， 可知平面平面； (2) 【分析】（1）由线面垂直证明面面垂直即可； （2）建立空间直角坐标系，由线面角的向量公式求解． 【详解】（1）略 （2）由（1）可知，，两两垂直，以A为坐标原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 易知，，，，，， 则，，， 设平面的法向量为， 则，令，可得，，可得， ； 因此直线与平面所成角的正弦值为，即余弦值为． 5．（25-26高二下·贵州贵阳·期末）如图，已知三棱锥与都是边长为2的等边三角形，是中点. (1)证明:平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)由题意，是边长为2的等边三角形， 过点作于点，连接， 则，又，则，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. (2) 【分析】（1）作，证明，从而证明平面，再根据面面垂直的判定，证明两平面垂直； （2）在第（1）问的基础上，建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，两两互相垂直， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，得， 所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为，则. 【考点4：由直线与平面所成角求参】 1．（2026·山东聊城·二模）如图，在六面体中，底面是边长为2的菱形，，平面，是的中点. (1)证明：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长. 【答案】(1)取的中点，连接，. 因为分别为的中点， 所以，且. 又，所以，， 所以四边形是平行四边形， 所以. 又平面平面，所以平面. (2) 【分析】（1）取的中点，连接，，结合中点性质和线面平行的判定定理即可证明. （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解. 【详解】（1）略 （2）连接， 因为底面是菱形，，所以和均为等边三角形. 因为是的中点， 所以，即, 又平面， 则以为坐标原点，分别以，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设， 则由题意知，，， 所以，. 设平面的法向量为， 则令， 则. 因为直线与平面所成角的正弦值为， 设直线与平面所成的角为， 则， 解得，所以. 2．（25-26高二下·北京·阶段检测）如图，在四棱锥中，，，，，，．E是棱上一点，平面． (1)求证：E为的中点； (2)若直线与平面所成的角为，求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明：如图在中，过点作交于点，连接. 因为，所以.所以，，，四点共面. 因为平面，平面，平面平面， 所以. 所以四边形是平行四边形. 所以. 所以为的中点. (2) 【分析】（1）在中，过点作交于点，利用平面证明即可. （2）取中点，以为原点建立空间直角坐标系，设点的坐标，利用直线与平面所成的角为即可求解点的坐标，从而可计算四棱锥的体积． 【详解】（1）略 （2）取中点，连接. 因为，所以. 因为，，所以四边形为正方形. 所以，. 因为，所以. 又因为，平面，平面， 所以平面.因为平面，所以. 如图，以为原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. ，，，， 设，. ，，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，所以. 直线与平面所成角为， 所以. 解得. 所以. 所以四棱锥的体积为. 3．（2026·北京朝阳·模拟预测）在四棱锥中，侧面底面，底面是正方形，，，点是棱上一点． (1)当点是棱中点时，求证：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 【答案】(1)证明：连接，交于点，连接． 因底面是正方形，则点是中点，又因点是棱中点， 所以． 又因为平面，平面， 所以平面. (2)或． 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可； （2）由面面垂直的性质得到平面，即可得到，再证，进而建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法可得的坐标，即可得解. 【详解】（1）略 （2）因为侧面底面，平面底面， 因，平面,则平面． 又因平面,则． 因为，，满足,则得． 故可以点为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系． 则，，，，． 设，则,且， 则,,, 设平面的法向量为． 由,故可取． 因为直线与平面所成角的正弦值为， 所以． 整理得，解得或,经检验均符合题意. 故线段的长为或． 4．（2026·云南·三模）如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，平面平面， (1)证明：平面； (2)线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)因为四边形是正方形，所以， 因为平面平面，且平面平面平面， 所以平面，又因为平面，所以， 在中，， 因为，所以， 又因为，且平面，所以平面. (2)存在 【分析】（1）通过面面垂直可以证明平面，从而得到，再使用勾股定理证明，最后证明平面； （2）通过建立空间直角坐标系，求出平面法向量，使用空间向量表示出直线BP的方向向量，求出是否存在直线与平面所成角的正弦值为. 【详解】（1）略 （2）如图，过点作， 因为平面平面，所以， 所以，又，所以两两垂直， 如图，以为原点，分别以为轴建立 空间直角坐标系， ，， ， 设，因此的坐标为， 所以. 因为平面，所以是平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为，则， 即，解得（舍去）， 因此存在，使得直线与平面所成角的正弦值为. 5．（2026·安徽滁州·三模）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，侧面为等边三角形，且平面平面，为的中点． (1)证明:; (2)点在棱上（含端点），且直线与平面所成角的正弦值为，求出所有满足条件的点，指出其位置． 【答案】(1)如下图，连接，因为为等边三角形，为的中点， 所以．连接，， 因为四边形是菱形，所以，又， 所以为等边三角形，则．             因为，所以平面． 又因为平面，所以． (2)满足条件的点Q只有一个，即与点P重合 【分析】（1）要证明线线垂直，则需要通过证明线面垂直得到线线垂直，即证明  平面 ; （2）先建立空间直角坐标系，列出各个点的坐标，求出平面的法向量坐标和的坐标，根据线面角的正弦值计算结果即可. 【详解】（1）略 （2）因为，平面平面，平面平面，所以平面． 如图，以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系． 由已知可得，，，，，，．             设平面的法向量为， 由，得，取．     ，，设，， 则．        （10分） 设直线与平面所成的角为， 则， 由题意得，整理得 ，因为，所以， 即满足条件的点Q只有一个，即与点P重合. 【考点5：平面与平面所成角的向量求法】 1．（25-26高一下·辽宁大连·期末）如图,正四棱柱中，，点为的中点．    (1)求证：平面平面； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)由正四棱柱的性质，可知两两垂直. 所以以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系.   ， ， 设平面法向量为，则 ， 取其中一组解得. 设平面法向量为，则 取其中一组解得. 因为， 所以，即平面平面. (2) 【分析】(1)利用正四棱柱的性质建立空间直角坐标系，求出平面与平面法向量，然后利用证明平面平面. (2)分别求出平面与平面法向量，然后利用向量夹角公式求二面角的余弦值即可. 【详解】（1）略. （2）因为， 设平面法向量为，则 ， 取其中一组解得. 由题可知二面角所夹角为锐角，故二面角的余弦值大于0. 所以二面角的余弦值为. 2．（25-26高二下·西藏昌都·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，与相交于点O，平面，，，点E为线段中点．    (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的大小． 【答案】(1)因为平面ABCD，平面ABCD，所以， 底面ABCD为正方形，，，平面PBD，平面PBD， 所以平面PBD，平面PBD，所以， 平面ABCD，平面ABCD，所以， 在中，，，又点E为线段PO中点，所以， 因为，平面PAC，平面PAC，所以平面PAC； (2) 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理以及性质证明即可. （2）建立空间直角坐标系，根据向量法求解即可. 【详解】（1）略 （2）如图所示，建立空间直角坐标系，    则，，，，， 则，，，， 设平面PBC的一个法向量为， 则，即，令，则，所以． 由（1）可知，为平面PAC的法向量， 设平面PAC与平面PBC夹角为，则， 又，所以，即平面PAC与平面PBC夹角为． 3．（25-26高二下·福建漳州·期末）在正三棱柱中，已知分别是棱的中点． (1)证明：平面平面； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)如图： 在矩形中，分别为的中点，连接，则， 平面，平面，所以平面. 在与中，因为，，因为，所以， 因为平面，平面，所以平面. 因为平面，且，所以平面平面． (2) 【分析】（1）根据面面平行的判定定理进行证明. （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的余弦. 【详解】（1）略 （2）以中点为坐标原点，所在直线为x轴正方向，所在直线为y轴正方向， 过点和平面垂直的直线为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 因， 则，即. 令，则， 设平面的法向量为， 所以， 所以所求二面角的余弦值为． 4．（25-26高二下·河南洛阳·期末）如图，在三棱锥中，平面，，，D是的中点，于E. (1)求证：平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)平面，平面， ，又，，平面， 平面，平面，从而， 又，D是的中点，则， 由，平面，则平面， 由平面，则， 又，，平面， 平面； (2) 【分析】（1）根据已知条件，由线面垂直的性质、判定定理证明结论即可； （2）构建合适空间直角坐标系，标出相关点坐标，进而求出两个平面的法向量，应用向量法求面面角的余弦值. 【详解】（1）略 （2）由平面，平面，则， 由平面，平面，则， 在中，即， 所以，，以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 依题意，得，，，，， 即，，设平面的法向量， 由，得，令，得， 由（1）知平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为，则， 即平面与平面夹角的余弦值为. 5．（25-26高二下·河南·阶段检测）如图1，在平面四边形中，是以为斜边的等腰直角三角形，，是边长为2的等边三角形．现将沿翻折至的位置，使得，如图2． (1)设为的中点，证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)因为为的中点，是边长为2的等边三角形，所以，且. 如图，连接，在等腰中，，又， 满足，所以，即. 又，且平面，平面，所以平面. (2) 【分析】（1）根据等边三角形的性质以及勾股定理证明，再利用线面垂直的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面的夹角的余弦值. 【详解】（1）略 （2） 由(1)知平面，以为坐标原点，分别以的方向为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示， 则 因为平面位于平面内，易知平面的一个法向量为 又. 设平面的法向量为，则， 得，令，得， 即平面的一个法向量为. 设平面与平面的夹角为. 因为， ， 所以. 故平面与平面夹角的余弦值为. 【考点6：由平面与平面所成角求参】 1．（25-26高二下·河南信阳·期末）如图，在四棱锥中，，，，，平面． (1)求证：； (2)若平面与平面夹角的余弦值为，求． 【答案】(1)连接，，， 所以，均在的垂直平分线上，即垂直平分． 又平面，平面，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以． (2)． 【分析】（1）求证平面，再利用线面垂直的定义即可； （2）以为坐标原点建系，利用法向量计算面面角即可. 【详解】（1）略 （2）设，交于，，，为正三角形， ，， 又，所以． 以为坐标原点，分别以，为，轴，以平行于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 设，则， 因为，所以，则，， 设平面的法向量为， 则，设，则． 又，， 设平面的法向量为， 则，设，则． 因为平面与平面夹角的余弦值为， 所以，解得． 故． 2．（2026·广西·模拟预测）如图，在三棱柱中，侧面底面，为中点，过点，，的平面与交于点，，，．    (1)求证：为的中点； (2)设是线段上一点（不包含线段端点），若平面与平面所成的角是60°，求的值． 【答案】(1)在三棱柱中，平面平面， 而平面平面，平面平面， 得. ，， 为中点， 为中点． (2) 【分析】（1）由面面平行的性质得到，即可求证； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，，求出平面和平面的法向量，再由两平面所成的角为，结合向量的夹角公式列方程可求出，进而可求出结果． 【详解】（1）略 （2）连接，且为中点，. 在 中，由余弦定理可知. 故在中，，即. 平面 平面，且平面平面，平面， 得平面， 故，，两两垂直，如图建立空间直角坐标系， 则. 平面的一个法向量， 设，其中. ，. 设平面的法向量 . 令，， . 故 ，. 即，解得，故．    3．（25-26高一下·河北承德·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，．    (1)证明：平面平面； (2)求三棱锥的体积； (3)在棱上是否存在点，使得平面与平面的夹角为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由． 【答案】(1)设中点，连接， ，，，所以， 因为，所以有，则， 因为，为中点，所以， 因为平面平面，平面平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，所以平面， 因为平面，所以平面平面. (2) (3)在棱上存在点，为上靠近的三等分点. 【分析】(1) 依托面面垂直性质得到高线，结合勾股逆定理证，证明垂直平面内两条相交直线，使用面面垂直判定定理完成证明； (2) 利用等体积转换，作为三棱锥的高，求出底面三角形面积后代入锥体体积公式直接计算； (3)建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，设，分别求出平面与平面的法向量，利用向量夹角公式列出方程，求得即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知，平面，因为，所以， 则. （3）在棱上存在点，使得平面与平面的夹角为30°，为上靠近的三等分点.，证明如下： 由（1）得平面，因为平面，则， 过作的平行线，则以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图，    由题意得，则, 因，则，故， 则， 设，由题可知， ， 设平面法向量为， 则，令，则，， 设平面的法向量为， 则， 令，则，， 因为平面与平面的夹角为30°， 所以， 化简得，即，又，则， 所以为上靠近的三等分点. 4．（25-26高一下·吉林长春·期末）如图，在四棱锥中，，，，，，点为棱上一点．    (1)证明：平面平面； (2)当点为棱的中点时，求直线与平面所成角的正弦值； (3)当平面与平面的夹角的余弦值为时，求． 【答案】(1)证明：因为， 所以，，所以 又，且平面， 所以平面，又因为平面，所以平面平面. (2)； (3). 【分析】（1）由勾股定理证得，再由线面垂直的判定定理即可证得； （2）由条件如图建立空间直角坐标系，先求平面的法向量，再利用公式求解； （3）设 ，分别求平面的法向量是和平面的法向量，利用公式，求点的位置. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知两两垂直，以为原点，以所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系． 则， 当点为棱的中点时，． 设平面的一个法向量，    则即取， 设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为． （3）由（2）可知， 设，则， 设平面的一个法向量， 则，即 令，解得，故， 设平面的一个法向量为， 由，得令，解得， 故， 所以， 即，整理，得， 解得或（舍去）． 故． 5．（25-26高一下·浙江温州·期末）已知等边的边长为3，，分别是，上的点，且，将沿折起到的位置，使得平面平面，得到四棱锥．    (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得二面角的大小为？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)等边的边长为3，，. ，. 由余弦定理得，解得； ，，； 为直角三角形，即. . 平面平面，平面平面，平面 平面； 平面，. (2) (3) 【分析】（1）由余弦定理求出，根据三角形三边满足勾股定理，证得，由面面垂直得到线面垂直，再由线面垂直证得线线垂直； （2）由面面垂直得到线面垂直，从而确定线面的夹角，根据直角三角形的边的关系，求得线面夹角的正弦值； （3）以为原点，分别以，，所在的直线为，，轴建立空间直角坐标系，分别求出两平面的法向量，根据异面夹角的计算公式即可求得. 【详解】（1）略 （2）由（1），得. 由折叠得，. 平面平面，平面平面，平面 平面. 为直线与平面所成的角. ，，，，，. 在中，. 即直线与平面所成角的正弦值为 （3）线段上存在一点，使得二面角的大小为，且线段的长度为，理由如下： 平面，平面，平面，，. 平面，平面，. 以为原点，分别以，，所在的直线为，，轴建立空间直角坐标系，    则，，，. . 点在线段上，设，得. ，. 平面，平面的法向量可取. 设平面的法向量为，则，即； 令，则，. 平面的一个法向量为. 二面角的大小为， ，解得或. ，. ，则. 即线段的长度为. 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $专题1.6空间向量法求空间中的角度 【知识流理】…1 【考点1：直线与直线所成角的向量求法】 .2 【考点2：由异面直线的夹角求参】.4 【考点3：直线与平面所成角的向量求法】。 .5 【考点4：由直线与平面所成角求参】… 8 【考点5：平面与平面所成角的向量求法】.… .12 【考点6：由平面与平面所成角求参】.15 【知识梳理】 1、直线与直线所成角的向量求法： 当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是此异面直线所成的角；当异面直线的方向向量的夹角 为钝角时，其补角才是异面直线所成的角 a与b的夹角为B 4与2所成的角为0 范围 [o,π] 0 a-b a-b 求法 cos B= cos=cos B 2、直线与平面所成角的向量求法： 设直线1的方向向量为e,平面a的法向量为n,直线1与平面a所成的角为P,两向量e与n的夹角为8 e.n sin=cos 则有 e n 3、平面与平面所成角的向量求法： 如图①，AB,CD是二面角Q1P两个半平面内与棱1垂直的直线，则二面角的大小为日=(AB,CD》: 如图②③，川，几分别是二面角aP的两个半平面a,B的法向量，则二面角的大小0满足 cos0=cos(,n2)或cos0=-cos(元，乃 第1页共19页 a ni 个n2 ◆n2 B A B ⊙ ① ② ③ 【考点1：直线与直线所成角的向量求法】 BCD-AB,CD中，M为A的中点，则BM与 AA AC 1.(25-26高一下江苏连云港·期末)在正方体 夹角 的余弦值为() 5 √10 V15 2V5 A.5 B.5 c.5 D.5 BC-ABG,∠BC1=90,点D,F分别是48， AB 2.(25-26高一下·天津红桥期末)如图，直三棱柱 AC的中点，若 C=CM=CC,则BD与AF所成角的余弦值是（） D B 30 V30 15 1 A.10 B.2 C.15 D.10 BC-ABC中， AC=AA=2 BC=2V3 3.(25-26高一下河南郑州期末)如图，在直三棱柱 AB=4,D是4B的中点，求直线1C与直线 DB 所成角的余弦值() 第2页共19页 C B B 5 A. 10 C. 0. 2 ABP-ABP 4.(25-26高一下·黑龙江期末)如图，直三棱柱 内接于一个圆柱 0,AB是底面圆°的直 径， AP=3,BP=1,AA=AB 0 B B 00. (1)求圆柱的表面积： 2求异面直线4B与8R 与所成角的余弦值 5.(24-25高二上福建厦门阶段检测)如图，在平行六面体ABCD-AB'CD'中，底面ABCD是边长为1 的正方形，侧棱AA的长为4，且∠AAB=∠AAD=120,求： 第3页共19页 D - (1)BD'的长： (2)直线BD'与AC所成角的余弦值. 【考点2：由异面直线的夹角求参】 1.(25-26高二下四川南充期中)《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥 称之为阳马.在阳马P-ABCD中，若PA⊥平面ABCD,且PA=AB=2,异面直线PD与AC所成角的余 4 弦值为5，则AD的长度为 2.(25-26高三下山西晋城开学考试)棱长为2的正方体ABCD-AB'CD中，E是棱AD'上的动点，F 是棱BC的中点，当直线EF与A'C所成角最小时，△AEF的面积为 ABCD-AB,CD.AA 3.(25-26高三上河北唐山期末)如图，在四棱柱 中， 底面ABCD 且底面 ABCD M=3AB=2.∠ABC=I20,P为BC的中点，M在A上，P在平面 ABCD 为菱形， 内运动 5 (不与p重合)，且Pg1平面A4CC,异面直线Pg与B,M所成角的余弦值为5，则tan∠AQM的最大 值为 第4页共19页 D C A B M B ABC-ABC AB=AA=2.E F 4.(25-26高二下·江苏常州期末)如图，在正三棱柱 分别是 BC 中， 10 AC的中点设D是线段B,C上的（包括两个端点）动点，当直线BD与EF所成角的余弦值为4，则线 段BD的长为 B F B 5.(2025四川高考真题)如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M 在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点.设异面直线EM与AF所成的角为日，则©os日的最大值为_： M Q D 第5页共19页 【考点3：直线与平面所成角的向量求法】 1.(25-26高二下·甘肃定西·期末)如图，在三棱柱 48C-4BG中，CG1平面4BC,CC=2BC=4, 7 二面角A-CC-B的大小为3· B 6 C --M A 喏M是4C的中点，证明：MB平面MCB AC 平面 2)若MC=8.AM=3MC ,求直线BC与平面 MCB 所成角的大小 2.(25-26高二下内蒙古赤峰期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=3,D,E分别在AC, AB上，满足D-号C.正-0，格。4De沿pE折起到△ADE的位置，使4C1CD, 第6页共19页 B D E M.jC.. ---------->B D A E AC⊥BCDE (1)求证： 一平面 若点M满足4M-号4D,求直线Cy与平面ABE所成角的正弦件 3.(25-26高二下广东潮州期末)四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,AB/IDC,AB⊥AD,且 PA=AD=DC=1,AB=2,M是PB的中点. D C (1)证明：BC⊥平面PAC: (2)求直线PB与平面AMC所成角的正弦值. 4.(25-26高二下江西南昌期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD, PA=AB=2,BC=3,E为AD的中点 第7页共19页 A E---D (1)证明：平面PAD⊥平面PAB: (2)求直线PC与平面PBE所成角的余弦值. 5.(2526有二下贵州费阳期末)如图，已知三楼链P-ABC,PC=V6A1BC与AP1B都是边长为2的等 边三角形，Q是BC中点. (1)证明：平面ABP⊥平面ABC: (2)求直线PQ与平面PAC所成角的正弦值， 【考点4：由直线与平面所成角求参】 第8页共19页 1.(2026山东聊城二模)如图，在六面体ABCDMN中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠DAB=60°， DM上平面 ABCD,DM//CNCN=2DM,P BC 是的中点 M D (1)证明：DP平面BMWN: 2 (2)若直线DP与平面ABM所成角的正弦值为4，求DM的长. 2.(25-26高二下·北京阶段检测)，如图，在四棱锥P-ABCD中，AD/BC,AB⊥AD,PA=PD, AB⊥PA,AD=2,AB=BC=1.E是棱PD上一点，CE∥平面PAB. D (1)求证：E为PD的中点； (2)若直线DC与平面PAB所成的角为6，求四棱锥P-ABCD的体积. 第9页共19页 3.(2026北京朝阳模拟预测)在四棱锥P-ABCD中，侧面PAB⊥底面ABCD,底面ABCD是正方形， PB=AB=2PA=2N2Q。 2,点2是棱PB上一点 B ----二A (1)当点是棱PB中点时，求证：PD/平面QAC: 6 (2)若直线PD与平面QAC所成角的正弦值为9，求线段P2的长， 第10页共19页 4.(2026云南三模)如图，在四棱锥C-ABED中，四边形ABED是边长为2的正方形，平面ABC⊥平 面ABED,BC=l,AC=V5 E M (1)证明：AC⊥平面EBC: 2√11 CP (2)线段CD上是否存在一点P,使得直线BP与平面ABC所成角的正弦值为11？若存在，求出CD的 值；若不存在，说明理由 第11页共19页 5.(2026·安徽滁州三模)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°， 侧面PAD为等边三角形，且平面PAD⊥平面ABCD,M为AD的中点， M…方 B (1)证明：AD⊥PB; 5 (2)点在棱PC上（含端点），且直线M№与平面PAB所成角的正弦值为5，求出所有满足条件的点Q, 指出其位置. 第12页共19页 【考点5：平面与平面所成角的向量求法】 1.(25-26高一下辽宁大连期末)如图，正四棱柱 BCD-48CD中.B=lM=2,点P为DD 中， 的中 点 D A 6 Pi ; D PAC⊥ BDD B (1)求证：平面 平面 P-AC-B (2)求二面角 的余弦值。 2.(25-26高二下西藏昌都期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，AC与BD相交 于点0.PDL平面4BCD,PD=25,MB=4,点五为线段P0中点 PO D D B 第13页共19页 (1)求证：DE⊥平面PAC: (2)求平面PAC与平面PBC夹角的大小. AB=2,AA =1,D,E,D,E 3.(25-26高二下·福建漳州期末)在正三棱柱 BC-AB,C中，己知 分别是棱 AC,BC,AC,BC 的中点 D A1 C B D E B CDE//ABE D (1)证明：平面 平面 C-DE-C (2)求二面角 的余弦值， 4.(25-26高二下·河南洛阳期末)如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,AC⊥CB, AP=AC=2,D是PC的中点，DE⊥PB于E. 第14页共19页 (1)求证：PB⊥平面ADE; (2)若PB=4PE,求平面ADE与平面ADB夹角的余弦值. 5.(25-26高二下河南阶段检测)如图1，在平面四边形ABCE中，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三 角形，∠ABC=90°，△ACE是边长为2的等边三角形.现将△ACE沿AC翻折至△ACD的位置，使得 BD=2,如图2. D(E) B B 图1 图2 (1)设O为AC的中点，证明：DO上平面ABC: (2)求平面ACD与平面BCD夹角的余弦值， 第15页共19页 【考点6：由平面与平面所成角求参】 1.(25-26高二下河南信阳期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，AB=AD=6,CB=CD=√21， ∠DAB=60°，BE=2EP,PD⊥平面ABCD」 C (1)求证：AC⊥DE: V33 (2)若平面EDC与平面PAD夹角的余弦值为22，求PD. 2.(2026广西模拟预测)如图，在三棱 ABC-AB,C中，侧 面4CC底面BC,D为4C中点，过 .8,D的平周与8C交于点￡，4C=M=之，4C=60,B=Bc=万 点 第16页共19页 B 的 (1)求证：E为BC的中点： AG 2)设G是线段4B上一点（不包含线段端点），若平面AGC与平面4BC所成的角是60°，求4B的值， 3.(25-26高一下河北承德期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PDC⊥平面ABCD, PC=PD=CD=2N2AD=2BC=2AB=4 ADIIBC∠BAD=90° D (1)证明：平面PAC⊥平面PCD: (2)求三棱锥B-PAD的体积： (3)在棱PA上是否存在点M,使得平面PCD与平面CDM的夹角为30°？若存在，求出点M的位置；若不 存在，说明理由. 第17页共19页 4.(25-26高一下·吉林长春期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AD,CD⊥AD, AB=D=PD=CD=1,PA=N2,PC=5,点Q为棱pC上-点. 2 ○ (1)证明：平面PCD⊥平面ABCD: (2)当点O为棱PC的中点时，求直线PB与平面BD所成角的正弦值： 31 PO (3)当平面BDP与平面BDg的夹角的余弦值为T时，求PC. 第18页共19页 5.(25-26高一下浙江温州期末)已知等边△ABC的边长为3，E,F分别是AB,AC上的点，且 AE=CF=I,将△AEF沿EF折起到△A'EF的位置，使得平面AEF⊥平面BCFE,得到四棱锥A'-BCFE - (1)求证：A'F⊥BE: (2)求直线AF与平面BCFE所成角的正弦值： (3)线段AB上是否存在一点P,使得二面角P-EF-B的大小为45°？若存在，求出线段BP的长度；若不 存在，请说明理由。 第19页共19页