1.1.2 空间向量的数量积运算（7大题型归纳）人教A版2026年选择性必修第一册新高二数学暑假预习讲义

2026年新高二数学上学期暑假常考题型归纳 【1.1.2 空间向量的数量积运算】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1．空间向量的夹角 定义 已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量，的夹角 记法 范围 通常规定：，当________时， 2．空间向量投影 （1）向量在向量方向上的投影向量如图，已知两个非零向量、，在空间任取一点，作，，过点作直线的垂线，垂足为点，称向量为向量在向量方向上的投影向量，则．    （2）向量在向量方向上的投影数量________称为投影向量的数量，简称为向量在向量方向上的投影数量．结合空间向量数量积的定义可知，向量在向量方向上的投影数量为． 3．空间向量的数量积 （1）定义______为与的数量积． 特别地，，，． （2）对于两个非零向量，，由得． （3）空间向量的数量积的运算律 数乘向量与数量积的结合律 ______， 交换律 分配律 ______ 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：求空间向量的数量积】 【练方法】 公式结论 1.定义式： 2.坐标式：设，，则 3.运算律：交换律；分配律；数乘结合律 4.特殊值：； 方法技巧 1.已知模长与夹角用定义式计算已知坐标直接代入坐标公式 2.向量线性组合求数量积先展开分配律再分项计算合并 3.几何图形类向量转化为有公共起点的向量结合边长夹角代入定义式 易错提醒 1.混淆数量积与数乘数量积运算结果为实数不是向量 2.展开分配律时漏乘项漏掉括号内某一向量与外向量的乘积 3.坐标相乘时分量对应错位求和时符号计算出错 （25-26高二下·江苏镇江·期末）正四面体的棱长为，为底面的中心，则______.经典例题1例题 【答案】 【详解】因为O为底面的中心，所以， ， ， （25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）在正三棱柱中，，则（    ）小试牛刀1 A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】借助空间向量线性运算与数量积公式，结合正三棱柱性质计算即可得. 【详解】 . （25-26高二上·福建莆田·期末）已知正四面体的棱长为2，F，G分别为的中点，则_____________．小试牛刀2 【答案】 【详解】因为，所以 . （25-26高二上·江苏南通·期末）在平行六面体中，，则__________.小试牛刀3 【答案】 【分析】设，则，再根据向量运算求解即可. 【详解】设，则， 所以 因为， 所以 故答案为： 【题型2：由数量积求模长】 【练方法】 公式结论 1.核心公式： 2.坐标模长：， 3.和差模长： 方法技巧 1.求单个向量模长先计算自身数量积再开算术平方根 2.求两向量和、差的模先平方展开数量积代入已知模长与数量积化简 3.含参数向量求模平方后转化为二次函数再分析取值 易错提醒 1.直接拆分模长仅同向向量成立不通用 2.平方展开和差模时符号写错加号写成减号 3.模长计算后忘记开平方直接保留平方数值作为模长 （25-26高二下·上海宝山·期末）已知是空间两两垂直的单位向量，空间向量，则向量的模为（     ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，结合向量数量积的运算即可求解. 【详解】因为是空间两两垂直的单位向量， 所以， 故. （25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）已知空间中的三个单位向量，，满足两两夹角是，则__________．小试牛刀1 【答案】 【分析】由题意得，，两两之间夹角都是，展开后利用数量积的定义直接运算再开方即可得解. 【详解】由题意得单位向量，，且两两之间夹角为， 所以， ， 所以. （25-26高二下·江苏盐城·期中）如图，在三棱柱中，与相交于点，，则线段的长度为__________．小试牛刀2 【答案】 【详解】是平行四边形，是对角线交点， 则， 已知， ， ． （25-26高二下·甘肃兰州·期中）如图，二面角的大小为，点分别在半平面内，于点，于点．若，则（   ）小试牛刀3 A． B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律求解. 【详解】依题意，，而， 所以. 【题型3：由数量积求夹角】 【练方法】 公式结论 1.夹角公式： 2.夹角范围： 3.特殊夹角判定：；同向；反向 方法技巧 1.先分别算出、、代入分式求出余弦值再反求角度 2.坐标题型先算出三个基础量再结合反三角函数写出夹角 3.判断锐角钝角：为锐角/同向；为钝角/反向；等于0垂直 易错提醒 1.忽略夹角范围把大于的角当成锐角 2.分母漏乘两个模长只除以单一向量模长 3.混淆向量夹角与异面直线夹角异面直线取 （2026高二·全国·专题练习）已知空间向量，，的长度均为2，且，，则与的夹角为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的数量积求向量的夹角. 【详解】因为，，即； 又，所以，， 设与的夹角为，则 ， 又，所以 . （25-26高二下·甘肃白银·期中）如图，在直三棱柱中， ，，则向量与的夹角的余弦值是（　　）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用直棱柱的结构特征及空间向量数量积求解. 【详解】在直三棱柱中，平面，平面，平面， 则，由，，得，则， 由，得E为的中点，则， 由，得，则， 因此＝， 所以向量与的夹角的余弦值是. （25-26高二上·江苏无锡·期末）正四面体（四个面都是正三角形）中，M，N分别是，的中点，直线与夹角的余弦值为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的数量积运算和夹角余弦公式计算即可. 【详解】由图可得，， 设正四面体的棱长为，则 , 结合题意可得. 因为两条异面直线的夹角的范围是， 故直线与夹角的余弦值为. 故选：D. （25-26高二上·四川成都·期末）在正四面体中，点分别是线段的中点，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的夹角余弦公式计算求解. 【详解】设的棱长为2，分别是的中点， 则，夹角为，所以， 则， 又为边长为2的等边三角形，， 故选:C． 【题型4：求投影向量】 【练方法】 公式结论 1.在上的投影数量： 2.在上的投影向量： 方法技巧 1.先区分求投影数量还是投影向量投影数量是实数投影向量含基底 2.已知坐标时代入数量积与模长公式分步计算系数 3.投影数量正负对应投影方向与同向、反向 易错提醒 1.求投影向量时分母误用正确分母为 2.混淆在上投影与在上投影分母向量模长颠倒 （25-26高二上·四川·阶段检测）在正方体中，向量在上的投影向量为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得正三角形，过点作，垂足为，从而得到向量在上的投影向量为. 【详解】因为在正方体中，, 所以正三角形，过点作，垂足为. 则，所以向量在上的投影向量为. 故选：B （25-26高二上·重庆九龙坡·期中）如图，在四棱锥中，平面，，若点为棱上靠近点的三等分点，则在上的投影向量为（    ）小试牛刀1    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出在上的投影向量，设，求出投影向量的长度，结合投影向量与的关系可得答案. 【详解】过点分别作垂直，垂足分别为， 因为平面，平面，所以， 所以在上的投影向量为，又，所以在上的投影向量为， 因为，所以， 设，则，所以， 又，点为棱上靠近点的三等分点，所以， 所以，所以. 故选：D    （25-26高二上·广西来宾·期中）如图，在长方体中，是的中点，，，则向量在向量上的投影向量为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据投影向量的概念，结合长方体的结构，可得答案. 【详解】如图，连接，取的中点，连接.易得， 则所求的投影向量为在上的投影向量，易得， 则，所以在上的投影向量为. 故选：C. （24-25高二下·江苏宿迁·期中）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量为（    ）小试牛刀3 A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】由投影向量的计算公式即可求解. 【详解】空间向量在向量方向上的投影向量为， 因为为单位向量，，， 所以， 所以， 故选：B 【题型5：由向量垂直求参数】 【练方法】 公式结论 1.垂直充要条件：（均为非零向量） 2.坐标表达：，则 方法技巧 1.设出参数向量坐标代入垂直数量积为0列一元/二元方程 2.多参数联立方程消元求解参数取值 3.解出参数后代回验算数量积是否等于0 易错提醒 1.仅判定坐标对应分量成比例混淆垂直与共线条件 2.解方程时分量乘积符号计算出错等式不成立 （25-26高二·全国·暑假作业）已知是异面直线，且，分别为直线的单位方向向量，且，，，则实数k的值为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，即， 所以，解得. （25-26高二·全国·暑假作业）已知，是异面直线，且，，分别为直线，的单位方向向量，且，，，则实数的值为（   ）小试牛刀1 A． B．6 C．3 D． 【答案】B 【分析】根据列方程，化简求得的值. 【详解】由于，所以， 即， 所以， 解得. （22-23高二上·北京·期中）在正四棱锥中，，为的中点，.若，则（    ）小试牛刀2 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据数量积的运算律，结合垂直关系即可求解. 【详解】由于，且是正四棱锥， 故，且侧面均为等边三角形， ， 故，则， 故选：C 已知空间向量满足，则向量的夹角为（ ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，求得，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】由向量， 因为，可得，解得， 所以. 又因为，所以. 故选：D． 【题型6：求数量积的最值与范围】 【练方法】 公式结论 1.设含参数向量，则整理为关于参数的一次/二次函数 2.余弦有界性：，即 方法技巧 1.把数量积表达式化简为单变量二次函数配方法求最值 2.无参数固定模长题型利用直接锁定数量积上下界 3.结合参数取值范围取舍二次函数端点、顶点最值 易错提醒 1.忽略余弦绝对值不大于1的约束算出超出的结果 2.二次函数求最值不看参数定义域直接取顶点值 （25-26高二上·浙江杭州·期中）在长方体中，，，点为线段上一动点，则的最小值为__________．经典例题1例题 【答案】 【详解】 如图所示，以为坐标原点，以为轴，建立空间直角坐标系， 则， 设点，即， 可得，即， 所以， 则， 根据二次函数性质可知当时取得最小值，此时最小值为. 所以的最小值为. （25-26高二上·广东茂名·期中）已知是棱长为1的正方体表面上不同的三点，则的最小值是________小试牛刀1 【答案】/ 【分析】方法一：利用极化恒等式把转化为，再利用正方体性质，先确定，再确定最小值，最大值，从而可求得最小值； 方法二：利用空间向量的坐标运算，先研究关于三元函数最小值，再求剩下变量构造成两点间距离的最大值，最后确保它们能同时取到最值的条件是三点共面即可. 【详解】法一： 根据正方体的性质，可不妨设在下底面的棱上动点，又设中点为， 则 当与中点重合时，取到最小值， 当为底面对角线的顶点时，取到最大值， 所以当为底面中心，为底面对角线的顶点时, 取到最小值； 法二、如图建立空间直角坐标系， 设，，，其中，，. 则，. 则 ， 当在正方体同一面上时，则当，，时，取得最小值， ， 即当为正方体一面的对角线，为对角线中点时，取得最小值； 当、、不在正方体同一面上时，由对称性，不妨设，，不同时为0， 此时 ； 因为，，，则， 所以， 综上，的最小值是. （25-26高二上·河南洛阳·期中）在棱长为4的正方体中，点在该正方体表面上运动，球为该正方体的内切球，为球的一条直径，则的取值范围是（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，，由空间向量的线性运算和数量积运算计算， 再由正方体的性质求得的范围即可求解. 【详解】因为球是棱长为的正方体的内切球，是球的直径， 所以，，， 因为 ， 又因为点是正方体表面上的一个动点， 所以当为正方体顶点时，有最大值为； 当为内切球与正方体的切点时，有最小值为， 即，，所以， 故选：B. （25-26高二上·广东深圳·阶段检测）在三棱锥中，和都是等边三角形，，，为棱上一点，则的最小值是______．小试牛刀3 【答案】/ 【分析】设，，根据向量的线性运算将用已知向量表示，再利用数量积运算得到的表达式，利用二次函数求出最小值. 【详解】如图，设，， 在中，， 所以 ，当且仅当时，等号成立. 故答案为：. 【题型7：求模长与夹角的最值】 【练方法】 公式结论 1.模长最值：，先求的最值再开平方 2.夹角最值转化：，余弦单调递减余弦最大则夹角最小 3.三角有界： 方法技巧 1.模长最值先平方去掉根号转化为二次函数求值域 2.夹角最值先分析的取值范围再结合余弦单调性判断角度变化 3.含参数向量分步拆分数量积、模长表达式统一变量后分析 易错提醒 1.直接对根号内函数求最值后忘记开平方得到模长 2.余弦越大误认为夹角越大忽略在单调递减 3.求夹角最值不检验余弦取值是否落在区间内 （25-26高二上·湖北·期末）已知是空间中3个两两垂直的单位向量，向量，（为正数）且，则的最小值为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以为单位正交基底建立空间直角坐标系，可得向量，，利用向量的数量积运算可得，代入所求式子结合二次函数求最值. 【详解】以为单位正交基底建立空间直角坐标系，可得向量，， 所以，可得， 所以， 当时，的最小值. 故选：D. （25-26高三上·上海·阶段检测）已知、、为空间三个向量，又且，向量满足，，，则对于任意实数的最小值为___________．小试牛刀1 【答案】 【分析】根据给定条件，利用向量数量积的运算律及数量积的定义化简，结合配方法求出最小值. 【详解】依题意， ，当且仅当时取等号， 所以当时，取得最小值. 故答案为： （2025·安徽安庆·模拟预测）在直棱柱中，，且，N是棱上的一点，且满足，则的最小值为（    ）小试牛刀2 A． B．6 C．3 D． 【答案】B 【分析】设，，，将向量分别用表示，代入，利用向量数量积的运算律化简，求得，借助于二次函数的性质即可求得的最小值. 【详解】    设，，， 则，， 由， 因，，则， 代入整理得，，显然，故， 因，故当时，取得最大值， 此时取得最小值为36，故的最小值为6. 故选：B. （23-24高二上·安徽合肥·周测）已知，是空间单位向量，，若空间向量满足 ，且对于任意的最小值为1，则______．小试牛刀3 【答案】 【分析】将平方后利用基本不等式和配方得最小值为，与已知最小值相等可得． 【详解】 ， 当且仅当时，取得最小值， 故，， 故答案为： 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高二上·浙江金华·阶段检测）在空间四边形中，已知，且，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在空间四面体中，用向量加法法则表示，再结合投影向量的计算方法求解. 【详解】由题意， 则，， 因为， 所以在上的投影向量为. 故选：C 2．（25-26高二上·浙江舟山·阶段检测）空间四边形中，，则的值是（   ） A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的定义及运算律列式计算，再利用空间向量夹角的定义求解. 【详解】在空间四边形中，， 则 ， 所以. 故选：D 3．（24-25高三·全国·二轮复习）如图所示，正方体的棱长为2，MN是它的内切球的一条弦（我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦），P为正方体表面上的动点，当弦MN的长度最大时，的取值范围是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知当弦MN的长度最大时，MN为内切球的直径，设内切球的球心为O，整理可得，进而分析求解. 【详解】由正方体的棱长为2，可得内切球的半径为1，正方体的体对角线长为． 当弦MN的长度最大时，MN为内切球的直径，设内切球的球心为O， 则． 由于P为正方体表面上的动点，则，所以． 故选：B. 4．（25-26高二上·北京·期中）三棱锥中，，，两两垂直，.则和的夹角为（   ） A． B． C． D．90° 【答案】C 【分析】根据数量积公式，代入向量夹角公式，即可求解. 【详解】设， ， , ， , 所以和的夹角为. 故选：C 5．（25-26高二上·天津静海·期中）已知四面体的各棱长均为1，E、F、G分别是、、的中点，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】设，，，可得，，然后利用数量积的定义及运算法则即可求. 【详解】因为四面体的各棱长均为1，则该四面体为正四面体， 如图，设，，，    则， 又， ， ∴. 故选：A. 6．（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）已知二面角的平面角为，，，，，，，若，则CD长为（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据式子，根据空间向量数量积的运算律即可求出的长． 【详解】如图； 因为，，所以， 因为二面角的余弦值是， 所以， 即， 所以 ， 所以，即的长为2． 故选：C． 7．（25-26高三上·陕西榆林·阶段检测）在正三棱柱中，，点为侧面内的一点，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】作出辅助线，利用极化恒等式得到，并求出的最小值，得到答案. 【详解】如图所示，取的中点，连接， 则，，两式平方后相减可得 ，即， 其中，故， 故当取得最小值时，取得最小值， 当位于矩形的中心时，取得最小值，最小值为等边的中线长，即， 故. 故选：B 8．（25-26高二上·海南·期末）已知空间向量，，的长度均为2，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的数量积求向量的夹角. 【详解】因为 ； 又，所以，， 设与的夹角为，则 ， 又，所以 . 故选：B 9．（25-26高三上·山东临沂·期末）如图，已知A，B，C是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点为平面外一点，且与，与的夹角均为，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以为基底向量，可得，结合空间向量的数量积运算求解即可. 【详解】由图可知：，且，则 由题意可得：， 因为， 则 ， 所以. 故选：B． 10．（25-26高二下·甘肃酒泉·期中）已知直四棱柱的棱长均为2，，则（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】B 【详解】 在直四棱柱中，，， , . 二、多选题 11．（25-26高二上·江西南昌·期中）关于空间向量，以下说法正确的是（   ） A．空间向量可以比较大小； B．若对空间中任意一点，有，则P，A，B，C四点共面； C．若空间向量满足，则与夹角为钝角； D．若已知空间向量和，则在上的投影向量为. 【答案】BD 【分析】A项，由空间向量的定义可知；B项，由系数和为即可判断；C项，由两向量共线且反向情况可判断；D项，由投影向量的定义可得. 【详解】A项，空间向量不能比较大小，故A错误； B项，由，可得，故四点共面，故B正确； C项，若与为两非零向量，共线且反向时，， 此时两向量的夹角为，不为钝角，故C错误； D项，由投影向量的定义知在上的投影向量为，故D正确. 故选： BD. 12．（25-26高二上·安徽蚌埠·期末）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为2，且，则下列说法中正确的有（   ） A． B． C．异面直线与所成的角为 D． 【答案】AD 【分析】根据空间向量线性运算判断A；结合A可得，再根据数量积的运算律判断B；根据，则为异面直线与所成的角，即可判断C；计算，即可判断D. 【详解】对于A：，故A正确； 对于B：因为， 所以 ， 所以，即，故B错误； 对于C：因为，，所以， 所以为异面直线与所成的角，即异面直线与所成的角为，故C错误； 对于D：因为，， 所以， 所以，即，故D正确. 故选：AD 13．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，在三棱柱中，与相交于点，，，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．与所成角的余弦值为 D． 【答案】ABD 【分析】对于A，根据空间向量的线性运算可得，，进而验证即可判断；对于BCD，根据空间向量的数量积的定义及运算律求解判断即可. 【详解】对于A，由题意，四边形为平行四边形，则为的中点， 因， ， 则 ， 则，即，故A正确； 对于B，由A知，， 则 ，即得，故B正确； 对于C，由A知，，， 则 ， 则， 即与所成角的余弦值为，故C错误； 对于D，由A项知，，， 则 ，故D正确. 三、填空题 14．（2026·广东佛山·一模）已知，，是空间中三个两两垂直的单位向量，则________． 【答案】 【详解】由题可知，，， 所以． 15．（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）已知向量，满足，且在上的投影向量为，则= ______． 【答案】 【分析】根据投影向量公式求得，利用数量积的运算律化简得，将已知条件代入得，最后利用数量积的定义求解即可. 【详解】由于在上的投影向量为， 则，即， 即，由，则，所以， 于是． 故答案为： 16．（25-26高二上·山东济南·阶段检测）已知空间向量，的夹角为，且，，则与的夹角___________. 【答案】 【分析】先由数量积的定义式结合运算律求出与的点积，再计算其模长，然后由夹角公式计算可得. 【详解】由，的夹角为，且，得， ， 设与的夹角为，则， 由于，故. 故答案为：. 17．（25-26高二上·山东潍坊·期末）已知二面角的棱上有两点，，若二面角的大小为，且，则__________. 【答案】 【分析】将向量分解为，利用向量模长公式展开计算，结合二面角的大小得到向量夹角，进而求出的长度. 【详解】由题意可知，且，，二面角的大小为， 故与的夹角为，与的夹角为，与的夹角为. 所以 因此. 故答案为： 18．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为2，且，则对角线长为_____ 【答案】 【详解】由题意得， 所以 ， 故对角线. 四、解答题 19．（25-26高二上·湖北荆州·期末）如图，在平行六面体中，底面为正方形，，设为的中点． (1)求的长； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用基底表示所求向量，然后将向量的模转化为数量积计算可得； （2）利用基底表示所求向量，根据数量积运算律计算可得. 【详解】（1）， ， ． （2）由题意得， 又由（1）可知， 则 又 ， ． 20．（25-26高二下·江苏扬州·期中）如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于为的中点，为线段上靠近的三等分点. (1)设，试用向量表示； (2)求线段的长度. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据空间向量的加减运算求解即可； （2）根据空间向量的数量积的运算律及数量积的定义运算求解， 【详解】（1） . （2）依题意，， 则 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年新高二数学上学期暑假常考题型归纳 【1.1.2 空间向量的数量积运算】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1．空间向量的夹角 定义 已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量，的夹角 记法 范围 通常规定：，当________时， 2．空间向量投影 （1）向量在向量方向上的投影向量如图，已知两个非零向量、，在空间任取一点，作，，过点作直线的垂线，垂足为点，称向量为向量在向量方向上的投影向量，则．    （2）向量在向量方向上的投影数量________称为投影向量的数量，简称为向量在向量方向上的投影数量．结合空间向量数量积的定义可知，向量在向量方向上的投影数量为． 3．空间向量的数量积 （1）定义______为与的数量积． 特别地，，，． （2）对于两个非零向量，，由得． （3）空间向量的数量积的运算律 数乘向量与数量积的结合律 ______， 交换律 分配律 ______ 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：求空间向量的数量积】 【练方法】 公式结论 1.定义式： 2.坐标式：设，，则 3.运算律：交换律；分配律；数乘结合律 4.特殊值：； 方法技巧 1.已知模长与夹角用定义式计算已知坐标直接代入坐标公式 2.向量线性组合求数量积先展开分配律再分项计算合并 3.几何图形类向量转化为有公共起点的向量结合边长夹角代入定义式 易错提醒 1.混淆数量积与数乘数量积运算结果为实数不是向量 2.展开分配律时漏乘项漏掉括号内某一向量与外向量的乘积 3.坐标相乘时分量对应错位求和时符号计算出错 （25-26高二下·江苏镇江·期末）正四面体的棱长为，为底面的中心，则______.经典例题1例题 （25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）在正三棱柱中，，则（    ）小试牛刀1 A．2 B．3 C．4 D．6 （25-26高二上·福建莆田·期末）已知正四面体的棱长为2，F，G分别为的中点，则_____________．小试牛刀2 （25-26高二上·江苏南通·期末）在平行六面体中，，则__________.小试牛刀3 【题型2：由数量积求模长】 【练方法】 公式结论 1.核心公式： 2.坐标模长：， 3.和差模长： 方法技巧 1.求单个向量模长先计算自身数量积再开算术平方根 2.求两向量和、差的模先平方展开数量积代入已知模长与数量积化简 3.含参数向量求模平方后转化为二次函数再分析取值 易错提醒 1.直接拆分模长仅同向向量成立不通用 2.平方展开和差模时符号写错加号写成减号 3.模长计算后忘记开平方直接保留平方数值作为模长 （25-26高二下·上海宝山·期末）已知是空间两两垂直的单位向量，空间向量，则向量的模为（     ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）已知空间中的三个单位向量，，满足两两夹角是，则__________．小试牛刀1 （25-26高二下·江苏盐城·期中）如图，在三棱柱中，与相交于点，，则线段的长度为__________．小试牛刀2 （25-26高二下·甘肃兰州·期中）如图，二面角的大小为，点分别在半平面内，于点，于点．若，则（   ）小试牛刀3 A． B．7 C．8 D．9 【题型3：由数量积求夹角】 【练方法】 公式结论 1.夹角公式： 2.夹角范围： 3.特殊夹角判定：；同向；反向 方法技巧 1.先分别算出、、代入分式求出余弦值再反求角度 2.坐标题型先算出三个基础量再结合反三角函数写出夹角 3.判断锐角钝角：为锐角/同向；为钝角/反向；等于0垂直 易错提醒 1.忽略夹角范围把大于的角当成锐角 2.分母漏乘两个模长只除以单一向量模长 3.混淆向量夹角与异面直线夹角异面直线取 （2026高二·全国·专题练习）已知空间向量，，的长度均为2，且，，则与的夹角为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高二下·甘肃白银·期中）如图，在直三棱柱中， ，，则向量与的夹角的余弦值是（　　）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高二上·江苏无锡·期末）正四面体（四个面都是正三角形）中，M，N分别是，的中点，直线与夹角的余弦值为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高二上·四川成都·期末）在正四面体中，点分别是线段的中点，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型4：求投影向量】 【练方法】 公式结论 1.在上的投影数量： 2.在上的投影向量： 方法技巧 1.先区分求投影数量还是投影向量投影数量是实数投影向量含基底 2.已知坐标时代入数量积与模长公式分步计算系数 3.投影数量正负对应投影方向与同向、反向 易错提醒 1.求投影向量时分母误用正确分母为 2.混淆在上投影与在上投影分母向量模长颠倒 （25-26高二上·四川·阶段检测）在正方体中，向量在上的投影向量为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高二上·重庆九龙坡·期中）如图，在四棱锥中，平面，，若点为棱上靠近点的三等分点，则在上的投影向量为（    ）小试牛刀1    A． B． C． D． （25-26高二上·广西来宾·期中）如图，在长方体中，是的中点，，，则向量在向量上的投影向量为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （24-25高二下·江苏宿迁·期中）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量为（    ）小试牛刀3 A．2 B． C． D． 【题型5：由向量垂直求参数】 【练方法】 公式结论 1.垂直充要条件：（均为非零向量） 2.坐标表达：，则 方法技巧 1.设出参数向量坐标代入垂直数量积为0列一元/二元方程 2.多参数联立方程消元求解参数取值 3.解出参数后代回验算数量积是否等于0 易错提醒 1.仅判定坐标对应分量成比例混淆垂直与共线条件 2.解方程时分量乘积符号计算出错等式不成立 （25-26高二·全国·暑假作业）已知是异面直线，且，分别为直线的单位方向向量，且，，，则实数k的值为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高二·全国·暑假作业）已知，是异面直线，且，，分别为直线，的单位方向向量，且，，，则实数的值为（   ）小试牛刀1 A． B．6 C．3 D． （22-23高二上·北京·期中）在正四棱锥中，，为的中点，.若，则（    ）小试牛刀2 A．2 B．3 C．4 D．5 已知空间向量满足，则向量的夹角为（ ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型6：求数量积的最值与范围】 【练方法】 公式结论 1.设含参数向量，则整理为关于参数的一次/二次函数 2.余弦有界性：，即 方法技巧 1.把数量积表达式化简为单变量二次函数配方法求最值 2.无参数固定模长题型利用直接锁定数量积上下界 3.结合参数取值范围取舍二次函数端点、顶点最值 易错提醒 1.忽略余弦绝对值不大于1的约束算出超出的结果 2.二次函数求最值不看参数定义域直接取顶点值 （25-26高二上·浙江杭州·期中）在长方体中，，，点为线段上一动点，则的最小值为__________．经典例题1例题 （25-26高二上·广东茂名·期中）已知是棱长为1的正方体表面上不同的三点，则的最小值是________小试牛刀1 （25-26高二上·河南洛阳·期中）在棱长为4的正方体中，点在该正方体表面上运动，球为该正方体的内切球，为球的一条直径，则的取值范围是（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高二上·广东深圳·阶段检测）在三棱锥中，和都是等边三角形，，，为棱上一点，则的最小值是______．小试牛刀3 【题型7：求模长与夹角的最值】 【练方法】 公式结论 1.模长最值：，先求的最值再开平方 2.夹角最值转化：，余弦单调递减余弦最大则夹角最小 3.三角有界： 方法技巧 1.模长最值先平方去掉根号转化为二次函数求值域 2.夹角最值先分析的取值范围再结合余弦单调性判断角度变化 3.含参数向量分步拆分数量积、模长表达式统一变量后分析 易错提醒 1.直接对根号内函数求最值后忘记开平方得到模长 2.余弦越大误认为夹角越大忽略在单调递减 3.求夹角最值不检验余弦取值是否落在区间内 （25-26高二上·湖北·期末）已知是空间中3个两两垂直的单位向量，向量，（为正数）且，则的最小值为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高三上·上海·阶段检测）已知、、为空间三个向量，又且，向量满足，，，则对于任意实数的最小值为___________．小试牛刀1 （2025·安徽安庆·模拟预测）在直棱柱中，，且，N是棱上的一点，且满足，则的最小值为（    ）小试牛刀2 A． B．6 C．3 D． （23-24高二上·安徽合肥·周测）已知，是空间单位向量，，若空间向量满足 ，且对于任意的最小值为1，则______．小试牛刀3 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高二上·浙江金华·阶段检测）在空间四边形中，已知，且，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·浙江舟山·阶段检测）空间四边形中，，则的值是（   ） A． B． C． D．0 3．（24-25高三·全国·二轮复习）如图所示，正方体的棱长为2，MN是它的内切球的一条弦（我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦），P为正方体表面上的动点，当弦MN的长度最大时，的取值范围是（   ）    A． B． C． D． 4．（25-26高二上·北京·期中）三棱锥中，，，两两垂直，.则和的夹角为（   ） A． B． C． D．90° 5．（25-26高二上·天津静海·期中）已知四面体的各棱长均为1，E、F、G分别是、、的中点，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D． 6．（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）已知二面角的平面角为，，，，，，，若，则CD长为（   ） A．4 B． C．2 D． 7．（25-26高三上·陕西榆林·阶段检测）在正三棱柱中，，点为侧面内的一点，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 8．（25-26高二上·海南·期末）已知空间向量，，的长度均为2，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高三上·山东临沂·期末）如图，已知A，B，C是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点为平面外一点，且与，与的夹角均为，，若，则（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高二下·甘肃酒泉·期中）已知直四棱柱的棱长均为2，，则（    ） A．4 B．2 C． D． 二、多选题 11．（25-26高二上·江西南昌·期中）关于空间向量，以下说法正确的是（   ） A．空间向量可以比较大小； B．若对空间中任意一点，有，则P，A，B，C四点共面； C．若空间向量满足，则与夹角为钝角； D．若已知空间向量和，则在上的投影向量为. 12．（25-26高二上·安徽蚌埠·期末）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为2，且，则下列说法中正确的有（   ） A． B． C．异面直线与所成的角为 D． 13．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，在三棱柱中，与相交于点，，，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．与所成角的余弦值为 D． 三、填空题 14．（2026·广东佛山·一模）已知，，是空间中三个两两垂直的单位向量，则________． 15．（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）已知向量，满足，且在上的投影向量为，则= ______． 16．（25-26高二上·山东济南·阶段检测）已知空间向量，的夹角为，且，，则与的夹角___________. 17．（25-26高二上·山东潍坊·期末）已知二面角的棱上有两点，，若二面角的大小为，且，则__________. 18．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为2，且，则对角线长为_____ 四、解答题 19．（25-26高二上·湖北荆州·期末）如图，在平行六面体中，底面为正方形，，设为的中点． (1)求的长； (2)求． 20．（25-26高二下·江苏扬州·期中）如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于为的中点，为线段上靠近的三等分点. (1)设，试用向量表示； (2)求线段的长度. 1 学科网（北京）股份有限公司 $