第六十二讲 外接球与内切球（一）导学案-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习学案系统梳理了外接球与内切球核心考点，从基本概念出发，通过正方体、长方体、三棱锥等多面体模型及补形法、坐标法等方法构建知识体系，引导学生自主归纳题型规律，形成空间几何的整体认知框架。 亮点在于诊断性题型分类和进阶式方法指导，如补形法构造长方体解决三棱锥外接球问题，坐标法建立方程组求半径，培养数学思维与空间观念。每个题型配例题和巩固题，帮助学生自主诊断薄弱点，教师可精准指导，提升备考实效。

2027届高三数学一轮复习 第六十二讲 外接球与内切球（一） 【学习目标】1.会找一些简单多面体的外接球和内切球球心. 【学习重点】简单多面体的外接球和内切球半径的求解. 【学习难点】简单多面体的外接球和内切球半径的求解. 必掌握知识点： 一 基本概念 1.球的定义：空间中到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)叫球面，简称球. 2.外接球的定义：若一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上，则称多面体是球的内接多面体，球是多面体的外接球． 3.多面体的外接球的性质： 性质1.多面体的每个顶点到球心的距离都相等，且等于球半径． 性质2.多面体的每个面都有外接圆，且外接圆圆心与球心的连线垂直于这个面． 性质3.外接圆圆心到球心的距离、圆的半径与球半径的关系：． 二 正方体、长方体外接球 1、正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半． 2、长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半． 3、补成长方体 （1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示． （2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示． （3）正四面体可以补形为正方体且正方体的棱长，如图3所示． （4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示 图1 图2 图3 图4 三 正四面体外接球 如图，设正四面体的的棱长为，将其放入正方体中，则正方体的棱长为，显然正四面体和正方体有相同的外接球．正方体外接球半径为，即正四面体外接球半径为． 四 对棱相等的三棱锥外接球 四面体中，，，，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题． 如图，设长方体的长、宽、高分别为，则，三式相加可得而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为，则，所以． 五 直棱柱外接球 如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形） 图1 图2 图3 第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面； 第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）； 第三步：勾股定理：，解出 六：侧棱为外接球直径模型 方法：找球心，然后作底面的垂线，构造直角三角形． 七：共斜边拼接模型 如图，在四面体中，，，此四面体可以看成是由两个共斜边的直角三角形拼接而形成的，为公共的斜边，故以“共斜边拼接模型”命名之．设点为公共斜边的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的结论可知，，即点到，，，四点的距离相等，故点就是四面体外接球的球心，公共的斜边就是外接球的一条直径． 八：垂面模型 如图1所示为四面体，已知平面平面，其外接球问题的步骤如下： （1）找出和的外接圆圆心，分别记为和． （2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为． （3）过作的垂线，垂足记为，连接，则． （4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径． 图1 图2 九 二面角模型 如图1所示为四面体，已知二面角大小为，其外接球问题的步骤如下： （1）找出和的外接圆圆心，分别记为和． （2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为． （3）过作的垂线，垂足记为，连接，则． （4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径． 十：坐标法 对于一般多面体的外接球，可以建立空间直角坐标系，设球心坐标为，利用球心到各顶点的距离相等建立方程组，解出球心坐标，从而得到球的半径长．坐标的引入，使外接球问题的求解从繁琐的定理推论中解脱出来，转化为向量的计算，大大降低了解题的难度． 十一 内切球半径的求法： 1.内切球半径核心公式： 公式说明： 为几何体体积， 为几何体表面积，适用于棱锥、棱柱、棱台、正四面体、正方体等所有存在内切球的多面体。 2. 正四面体内切球、外接球半径： 设正四面体棱长为：内切球半径：外接球半径：比例关系： 3. 正方体内切球半径： 设正方体棱长为，内切球直径等于棱长： 必考题型全归纳： 题型一、补形法（长方体 、 正方体）求三棱锥外接球 1．在四面体中，，则四面体外接球表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用割补法及勾股定理，结合长方体的体对角线是外接球的直径及球的表面积公式即可求解. 【详解】由题意可知，此四面体可以看成一个长方体的一部分，长方体的长、宽、高分别为，，，四面体如图所示， 所以此四面体的外接球的直径为长方体的体对角线，即,解得. 所以四面体外接球表面积是.故答案为：B. 2．已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为2的正三角形，分别是，的中点，，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先证得平面，再求得，从而得为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解. 【详解】设，，分别为，中点，，且，为边长为2的等边三角形，，又，，， 在中，由余弦定理， 作于，，为中点， 又，，解得， ， 又，，，两两垂直， 即三棱锥是以，，为棱的正方体的一部分； 所以球的直径，解得， 则球的体积，故选：A. 3．数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“等腰四面体”就是其中之一，它是三组对棱分别相等的四面体．已知等腰四面体ABCD中，三组对棱长分别是，，，则对该等腰四面体的叙述正确的是（    ） A．该四面体ABCD的体积是． B．该四面体ABCD的外接球表面积是32π C． D．一动点P从点B出发沿四面体ABCD的表面经过棱AD到点C的最短距离是 【答案】ABD 【分析】将等腰四面体放入长方体中，即可由长方体的性质求解AB,利用三角形全等即可判断C，由展开图，利用两点距离最小即可判断D. 【详解】如图，将等腰四面体补成长方体， 设该长方体的长、宽、高分别是，，， 则解得，，， 则该等腰四面体的体积为：．故A正确， 由于，，，所以,,故 所以,故C错误， 由于等腰四面体的三条棱分别是长方体的三条面对角线，所以长方体的外接球即为等腰四面体的外接球，而长方体的体对角线长度为，故外接球的半径为，故表面积为，故B正确， 将平面和平面沿着翻折到一个平面 内，连接,则 即为最短距离，由于，，，则四边形为平行四边形，设 与交于点 ,则为 与的中点， 在中，,故在中， 故D正确，故选：ABD． 题型二、面面垂直（垂面模型）外接球 4．数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“等腰四面体”就是其中之一，它是三组对棱分别相等的四面体．已知等腰四面体ABCD中，三组对棱长分别是，，，则对该等腰四面体的叙述正确的是（    ） A．该四面体ABCD的体积是． B．该四面体ABCD的外接球表面积是32π C． D．一动点P从点B出发沿四面体ABCD的表面经过棱AD到点C的最短距离是 【答案】ABD 【分析】将等腰四面体放入长方体中，即可由长方体的性质求解AB,利用三角形全等即可判断C，由展开图，利用两点距离最小即可判断D. 【详解】如图，将等腰四面体补成长方体， 设该长方体的长、宽、高分别是，，，则解得，，，则该等腰四面体的体积为：．故A正确， 由于，，，所以,,故 所以,故C错误， 由于等腰四面体的三条棱分别是长方体的三条面对角线，所以长方体的外接球即为等腰四面体的外接球，而长方体的体对角线长度为，故外接球的半径为，故表面积为，故B正确， 将平面和平面沿着翻折到一个平面 内，连接,则 即为最短距离，由于，，，则四边形为平行四边形，设 与交于点 ,则为 与的中点， 在中，, 故在中， 故D正确，故选：ABD． 5．（2016届河北省邯郸市一中高三下学期研六考试理科数学试卷（带解析））在菱形中，，将折起到的位置，若二面角的大小为，则三棱锥的外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设菱形中心为，则为等边三角形，利用球的对称性可知，利用等边三角形的性质和勾股定理求出球的半径可得答案. 【详解】过球心作平面，平面，则为等边三角形的中心， 为等边三角形的中心，， ∵四边形是菱形，，∴、都是边长为等边三角形， 连接，，所以， 设，交于点，则，，， 则，∴. ∵，∴，∴，， ∴，∴球的半径， ∴三棱锥的外接球体积为．故选:C． 题型三、直径模型（侧棱为球直径、共斜边直角三角形） 6．已知四面体四个顶点都在球O的球面上，若平面ABC，，且，，则球O的表面积为______． 【答案】 【分析】由PB⊥平面ABC，AB⊥AC可得四个直角三角形，可知PC的中点O为外接球球心，不难求解． 【详解】：由PB⊥平面ABC，AB⊥AC，可得图中四个直角三角形， 且PC为△PBC，△PAC的公共斜边，故球心O为PC的中点， 由AC＝1，AB＝PB＝2， PC＝3，∴球O的半径为，其表面积为：9π．故答案为9π．    【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径 ． 7．如图，已知球O的面上四点，DA⊥平面ABC．AB⊥BC，DA=AB=BC=，则球O的体积等于________． 【答案】 【详解】由题意，三角形DAC,三角形DBC都是直角三角形，且有公共斜边， 所以DC边的中点就是球心（到D、A、C、B四点距离相等）， 所以球的半径就是线段DC长度的一半，即，所以球的体积.故答案为：. 题型四、线面垂直型三棱锥外接球 8．已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，证明平面，再确定球心O的位置，求出球半径作答. 【详解】在三棱锥中，如图，，则，同理， 而平面，因此平面， 在等腰中，，则，， 令的外接圆圆心为，则平面，， 有，取中点D，连接OD，则有，又平面，即， 从而，四边形为平行四边形，，又， 因此球O的半径， 所以球的表面积.故选：A 题型五、直棱柱外接球模型 9．直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝120°，则此球的表面积等于（　　） A．20π B．10π C．5π D．5π 【答案】A 【分析】底面三角形ABC的外心是，球心为O，由正弦定理求得底面三角形外接圆半径，然后由勾股定理求得三棱柱外接球半径，从而可得球表面积． 【详解】如图底面三角形ABC的外心是，， 在△ABC中AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，由余弦定理得BC2， 由正弦定理可得△ABC外接圆半径， 设球心为O，则平面，平面，所以，在'中， ，，故此球的表面积为．故选：A． 10．直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若，，90°，则此球的表面积等于______． 【答案】 【分析】首先根据几何体的特征找到球的球心，再求半径和球的表面积. 【详解】如图，取的中点，由条件可知，，是和的外接圆的圆心，连接，取的中点,连接，是直三棱柱外接球的球心，，，， ,此球的表面积等于. 故答案为： 【点睛】本题考查三棱柱外接球的表面积，意在考查空间想象能力，数形结合分析问题和解决问题的能力，属于中档题型. 题型六、外接球截面面积最值 11．已知三棱锥的四个顶点在球O的球面上，，是边长为的正三角形，，，，过点E作球O的截面，截面面积最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知可得为正三棱锥，再由线面垂直的判定定理可得为正方体的一部分，求得外接球的半径，取的中点可得，过点E作球O的截面，当OE垂直平面时截面面积最小，此时即为截面圆的圆心，求出截面圆半径可得答案. 【详解】∵，为边长为的等边三角形，∴为正三棱锥，    取的中点，连接，则，， 平面，所以平面，平面，所以， 又，，∴，∴，又，， 平面PAC，∴平面PAC，平面PAC， ∴，∴，∴为正方体的一部分， 可得外接球的半径为，取的中点，连接， 可得，，所以， 过点E作球O的截面，设截面与棱的交点分别为， 当OE垂直时截面面积最小，此时即为截面圆的圆心， 截面圆半径为，截面面积为.故选：A．    【点睛】本题的关键点是判断出为正三棱锥，当OE垂直时截面面积最小时即为截面圆的圆心，考查了学生的空间想象能力、运算能力. 题型七、棱台外接球（正四棱台、正三棱台） 12．已知正四棱台的体积为，上、下底面边长分别为，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据台体体积公式可得台体的高，即可利用勾股定理列方程求解半径. 【详解】在正四棱台中，，，体积为， 故，则，， 连接、相交于点，、相交于点， 设外接球的球心为，若在台体外，设到底面的距离为， 则半径为，即，解得， 若在台体内，到底面的距离为，则半径为， 即，解得，舍去， 综上所述，，所以.故选：A. 13（多选）．已知正四棱台的上、下底面边长分别为2，3，该正四棱台的所有顶点都在球的球面上，且球心是下底面的中心，则该正四棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合图象作出正四棱台的高，根据边长及点为正四棱台外接球的球心利用勾股定理可求正四棱台的高，再根据棱台的体积公式即可求解. 【详解】 如图，正四棱台，分别为上下底面的中心. 由题意知正四棱台的上、下底面边长分别为2，3，则. 又因为该四棱台的所有顶点都在球的球面上，且球心是下底面的中心， 可知，得，即正四棱台的高为. 又上底面的面积，下底面的面积， 则该四棱台的体积为.故选：D. 故选：AD. 题型八、内切球（体积法求半径、棱台内切球、内外切半径比） 14．如图，正四棱台的上､下底面边长分别为分别为，的中点，8个顶点构成的十面体恰有内切球，则该内切球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】该十面体及内切球的正投影为等腰梯形与内切圆，设内切圆的半径为，求出即得解. 【详解】解：该十面体及内切球的正投影为等腰梯形与内切圆，设内切圆的半径为， 如图所示，， 所以， 可得， 故该内切球的表面积为. 故选：A 15（多选）．（辽宁省辽阳市2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷）如图，在正四棱锥中，分别是的中点，则下列结论正确的是（    ） A．设平面，则 B．三棱锥与正四棱锥的体积之比为 C．若，则正四棱锥内切球与外接球的半径之比为 D．正四棱锥被平面分成的上、下两部分的体积之比为 【答案】ABD 【分析】利用空间向量四点共面的结论判断A的真假；利用棱锥的体积公式判断B的真假；分别求内切球和外接球半径，判断C的真假；利用B选项的结论，可以判断D的真假. 【详解】对A：取为空间向量的基底. 则. 设. 因为四点共面，所以. 所以，即，故A正确； 对B：如图： 连接，交于，连接. 因为四棱锥为正三棱锥，所以平面平面，平面. 又分别为中点，为中点，所以， 所以，同理， 所以，即，故B正确； 对C：若，不妨设，,则，. 所以. 又， 设内切球的半径为，则， 即. 设外接球球心为，则在上，设外接球半径为， 则. 所以.故C错误； 对D：由B选项可知：， 且,所以， 又，所以， 所以. 所以正四棱锥被平面分成的上、下两部分的体积之比为，故D正确. 故选：ABD 题型九、正四面体综合（内外接球、体积、二面角、异面直线距离） 16．棱长为的正四面体，下列说法不正确的是（    ） A．正四面体的体积是 B．二面角的平面角的余弦值是 C．正四面体内切球与外接球半径之比是 D．异面直线与的距离等于 【答案】D 【分析】根据正四面体的几何特征依次判断即可。 【详解】设平面，垂足为，连接，分别是的中点，. 则，则. 正四面体的体积，故A正确； 因为，，所以就是二面角的平面角，，则，故B正确； 设为正四面体的内切球（外接球）的球心，则在上，则，所以内切圆半径，则外接圆半径，所以正四面体内切球与外接球半径之比是，故C正确；因为，则即为异面直线与的距离，故D错误.故选：D. 题型十、正方体综合（内外接球、截面、动点轨迹、体积） 17（多选）．（广东省广州市天河区2024届高三上学期普通高中毕业班综合测试）如图，在棱长为1的正方体中，下列命题正确的是（    ）    A．平面平面，且两平面的距离为 B．当点在线段上运动时，四面体的体积恒等于四面体的体积 C．与正方体所有棱都相切的球的体积为 D．若是正方体的内切球的球面上任意一点，是外接圆的圆周上任意一点，则的最小值是 【答案】BCD 【分析】根据面面平行的判定以及空间点面以及面面距离的求解判断A；根据三棱锥的体积计算判断B；确定球的半径即可求得球的体积，判断C；将的最小值转化为正方体的外接球和内切球半径之差，判断D. 【详解】对于A，正方体中，， 即四边形为平行四边形，故， 平面，平面，故平面， 同理可证平面，而平面，故平面平面；    设B到平面的距离为d，，则, 即，则；同理求得到到平面的距离为； 连接，则，由于平面平面， 故，平面， 故平面，平面，故， 同理可证，而平面， 故平面，而平面平面，则平面， 又，故平面和平面之间的距离为，A错误； 对于B，当点在线段上运动时，四面体的体积为； 而四面体的体积， 即当点在线段上运动时，四面体的体积恒等于四面体的体积，B正确； 对于C，与正方体所有棱都相切的球的直径为正方体面对角线长, 故该球体积为，C正确； 对于D，正方体的内切球球心和正方体外接球球心是同一个点，即为正方体的中心， 外接球直径为，内切球直径为1； 而外接圆为正方体外接球的一个小圆， 故由是正方体的内切球的球面上任意一点，是外接圆的圆周上任意一点， 得的最小值为正方体的外接球半径减去正方体球内切球半径，即，D正确， 故选：BCD 【点睛】：解答本题的关键在于要发挥空间想象能力，明确空间的点线面的位置关系，特别是选项D的求解，求解两个动点之间的距离的最小值，要能想象出两动点分别在正方体的内切球和外接球上运动，从而可求得距离的最小值. 18（多选）．（河南商丘市商师联盟2025-2026学年高一下学期）如图，正方体的棱长为2，，分别是棱，的中点，点是正方形内一动点（含边界），则下列结论正确的是（    ） A．若该正方体的顶点都在球的球面上，则球的体积为 B．若∥平面，则点的轨迹长度是 C．若，则点的轨迹长度为 D．过点，，的平面截正方体所得的截面图形的面积为 【答案】AC 【分析】对于A：利用正方体外接球直径为体对角线，套球体体积公式；对于B：面面平行判定找底面内动点轨迹线段，对比长度；对于C：线面垂直推导线线垂直，在底面作垂线求轨迹线段长；对于D：找到截面图形，计算面积验证. 【详解】正方体棱长 ， 分别为 中点。 选项 A ，正方体外接球的直径等于正方体的体对角线长，棱长为 2，面对角线长 ，体对角线长：， 所以外接球半径 ，球体积，A 正确； 选项 B，取 中点 ，连接 ，，则∥，平面，平面， 所以∥平面， ∥，平面，平面，所以∥平面， 因为平面 所以平面 ∥ 平面 ， 点在底面 内，满足 ∥ 平面 的点轨迹是线段 ，，B错误； 选项 C ，取 中点 ，连接，设，在正方体中，平面，平面， 所以 ，在直角中，， 同理，在直角中，，所以， 所以，所以，所以, 因为平面，所以平面 ， 因为平面 ，所以， 若，点是正方形内一动点（含边界）,则点的轨迹为， ，则点的轨迹长为，C 正确； 选项 D， 延长，过点作∥交于，此时, 连接交于，连接, 延长到，使得，连接，则三点共线，连接 ,连接，因为∥，∥，所以∥， 所以过点，，的平面截正方体所得的截面图形为五边形， 因为，所以，同理得， 由面面平行的性质，平面与上下底面的交线互相平行，故∥， 在中，，得 由相似比例可得 ，， 将五边形拆分为梯形和等腰两部分： 梯形的高（两平行线与的距离）： 梯形面积： 底边，底边上的高 三角形面积： 截面面积，D 错误. 19．棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上，则球的表面积是_______；设分别是该正方体的棱，的中点，则直线被球截得的线段长为_______． 【答案】 【详解】由正方体的性质可知正方体的体对角线就是球的直径，求出对角线的长可得球的直径，求出半径，即可求出球的表面积；如图所示，是球的半径，是棱长的一半，求出的2倍，即可求出直线被球截得的线段长. 正方体的体对角线为球直径，， ，所以球的表面积为， 设为的中点，则 ， ，故答案为. 本题主要考球的性质及正方体的性质以及球的表面积公式，属于难题.球内接多面体问题是将多面体和旋转体相结合的题型，既能考查旋转体的对称形又能考查多面体的各种位置关系，做题过程中主要注意以下两点：①多面体每个面都分别在一个圆面上，圆心是多边形外接圆圆心；②注意运用性质. 题型十一、一般四面体外接球（坐标法、多条件综合） 20．在四面体中，已知，，.则四面体的外接球的半径为______. 【答案】 【详解】易知，为正三角形，且CA=CB. 如图，设P、M分别为AB、CD的中点，联结PD、PC. 则平面平面PDC. 设的外心为N，四面体ABCD的外接球的球心为O. 则，.可求得， 由题意知，.在中， 由余弦定理得 又因为D、M、O、N四点在以DO为直径的圆上所以 21．已知正三棱台(由正三棱锥截得的棱台)的高为3，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_____________. 【答案】 【分析】根据正三棱台性质找出其外接球球心所在位置即可求得其半径，再由球的表面积公式计算可得结果. 【详解】如下图所示： 在正三棱台中，取上、下底面中心分别为，外接球球心为， 由正三棱台性质可知在上， 易知上、下底面边长分别为和的正三角形，其外接圆半径分别为； 可得，即； 即，又，设，则，解得； 所以外接球半径为，可得则该球的表面积为.故答案为： 巩固提升： 1．正三棱锥P﹣ABC的三条棱两两互相垂直，则该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为（　　） A．1：3 B．1： C． D． 【答案】D 【分析】设侧棱长为，用补形法求得外接球的半径，用体积法求得内切球的半径后即可得． 【详解】三棱锥扩展为长方体（本题实质上是正方体），它的对角线的长度，就是球的直径， 设侧棱长为a，则它的对角线的长度为a，外接球的半径为， 再设正三棱锥内切球的半径为r，正三棱锥底面边长为，设是内切球球心，则到棱锥四个面的距离都等于， 根据三棱锥的体积的两种求法，得， ， ∴该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为． 故选：D． 2（多选）．（山西省太原师范学院附属中学等2023-2024学年高一下学期5月质量检测数学试卷）已知三棱锥P-ABC的所有顶点都在球O的球面上，是等边三角形，，，点D是棱PB的中点，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．点D到平面ABC的距离为 D．球O的表面积为 【答案】ABD 【分析】对于A选项，证明，即可用勾股定理求解； 对于B选项，证明线面垂直即可求解； 对于C选项，过点D作AB的垂线，垂足为E，证明，求出长度即可； 对于D选项，结合正弦定理，求外接圆半径r，外接球半径R与r构造直角三角形，利用勾股定理即可求出外接球的半径，从而得表面积. 【详解】如图， 对于A选项，因为点D是棱PB的中点，所以，又，， 所以，所以，所以，故A正确； 对于B选项，因为，， 所以，，又，， 所以，又，所以，故B正确； 对于C选项，在平面PAB内，过点D作AB的垂线，垂足为E，又，， 所以，又，，， 所以，所以点D到平面ABC的距离为DE， 又，故C错误； 对于D选项，设球O的半径为R，的外接圆的半径为r， 所以 ，解得，所以， 所以球O的表面积，故D正确, 故选：ABD． 3（多选）．（云南省2025届高中毕业生第一次复习统一模拟检测数学试题卷（七））已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，，，.则（    ） A．球的表面积为 B．异面直线与所成角的正切值为 C．平面截球所得截面的面积为 D．点到平面的距离为 【答案】AD 【分析】将三棱锥放入长方体中，即可根据长方体的体对角线求解球半径，即可求解A，根据垂直即可求解B，根据余弦定理以及正弦定理求解外接圆半径即可求解C，利用等体积法即可求解D. 【详解】因为，，所以的外接圆的半径， 又平面，， 将三棱锥放入长方体中，    对于A，长方体的体对角线长为， 故外接球的半径为，故表面积为，A正确， 对于B，或其补角为异面直线与所成角， 由于平面，平面，故，故，故B错误， 对于C，，， ， 故的外接圆半径为， 故的外接圆的面积为，故C错误， 对于D，设点到平面的距离为， 则 ，故D正确 故选：AD. 4（多选）．（浙江省十校联盟2022-2023学年高三上学期10月联考数学试题）如图，已知正四棱台的上、下底面边长分别为，，其顶点都在同一球面上，且该球的表面积为，则侧棱长为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据球的表面积公式可求得球的半径；作出截面，设外接球球心为，棱台底面的中心分别为，分别讨论在四边形内和在四边形外两种情况，结合勾股定理可求得棱台的高，进而可得侧棱长. 【详解】正四棱台的外接球表面积，解得：，即球的半径为； ，， 作出截面，设外接球球心为，棱台底面的中心分别为， 若在四边形内，如下图所示， ，， ， ，即棱台侧棱长为； 若在四边形外，如下图所示， ，， ， ，即棱台侧棱长为； 综上所述：侧棱长为或. 5（多选）．（湖南长沙市第一中学2025-2026学年高二下学期5月期中数学试题）数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“等腰四面体”就是其中之一，所谓等腰四面体，就是指三组对棱分别相等的四面体．关于“等腰四面体”，以下结论正确的是（   ） A．三组对棱长度分别为5，6，7的“等腰四面体”的体积为 B．“等腰四面体”的四个面均为全等的锐角三角形 C．三组对棱长度分别为a，b，c的“等腰四面体”的外接球直径为 D．“等腰四面体”的外接球与内切球的球心重合 【答案】ABD 【分析】将“等腰四面体”放入长方体内，分别对选项进行一一求解. 选项A，长方体的三条面对角线分别为，设长方体的长宽高分别为，列出关于的方程组，从而求出的值，则“等腰四面体”的体积，代入数值得解；选项B，用表示“等腰四面体”的每个面的三条棱长，得到四个面全等，求出任意两条边的平方和大于第三边的平方，从而得到“等腰四面体”的每个面均为锐角三角形，从而得到结论；选项C，球的直径计算得解；选项D，“等腰四面体”的外接球球心为体对角线的中点，由四面体是全等的四面体，得到到面，面，面的距离相等，从而得到也为“等腰四面体”的内切球球心，从而得到结论． 【详解】如图所示，可将“等腰四面体”放入长方体内， 选项A，长方体的三条面对角线分别为， 设长方体的长宽高分别为，所以有， 累加得，解得， 所以“等腰四面体”的体积，故A正确； 选项B，“等腰四面体”的每个面的三条棱长分别为， 故四个面全等， 又， “等腰四面体”的每个面均为锐角三角形，故B正确； 选项，可知，累加得， 球的直径，故C错误； 选项D，因为“等腰四面体”的外接球球心为体对角线的中点， 故（为外接球的半径）， 从而四面体是全等的四面体， 故到平面，平面，平面的距离相等， 故也为“等腰四面体”的内切球球心，故D正确． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三数学一轮复习 第六十二讲 外接球与内切球（一） 【学习目标】1.会找一些简单多面体的外接球和内切球球心. 【学习重点】简单多面体的外接球和内切球半径的求解. 【学习难点】简单多面体的外接球和内切球半径的求解. 必掌握知识点： 一 基本概念 1.球的定义：空间中到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)叫球面，简称球. 2.外接球的定义：若一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上，则称多面体是球的内接多面体，球是多面体的外接球． 3.多面体的外接球的性质： 性质1.多面体的每个顶点到球心的距离都相等，且等于球半径． 性质2.多面体的每个面都有外接圆，且外接圆圆心与球心的连线垂直于这个面． 性质3.外接圆圆心到球心的距离、圆的半径与球半径的关系：． 二 正方体、长方体外接球 1、正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半． 2、长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半． 3、补成长方体 （1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示． （2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示． （3）正四面体可以补形为正方体且正方体的棱长，如图3所示． （4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示 图1 图2 图3 图4 三 正四面体外接球 如图，设正四面体的的棱长为，将其放入正方体中，则正方体的棱长为，显然正四面体和正方体有相同的外接球．正方体外接球半径为，即正四面体外接球半径为． 四 对棱相等的三棱锥外接球 四面体中，，，，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题． 如图，设长方体的长、宽、高分别为，则，三式相加可得而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为，则，所以． 五 直棱柱外接球 如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形） 图1 图2 图3 第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面； 第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）； 第三步：勾股定理：，解出 六：侧棱为外接球直径模型 方法：找球心，然后作底面的垂线，构造直角三角形． 七：共斜边拼接模型 如图，在四面体中，，，此四面体可以看成是由两个共斜边的直角三角形拼接而形成的，为公共的斜边，故以“共斜边拼接模型”命名之．设点为公共斜边的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的结论可知，，即点到，，，四点的距离相等，故点就是四面体外接球的球心，公共的斜边就是外接球的一条直径． 八：垂面模型 如图1所示为四面体，已知平面平面，其外接球问题的步骤如下： （1）找出和的外接圆圆心，分别记为和． （2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为． （3）过作的垂线，垂足记为，连接，则． （4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径． 图1 图2 九 二面角模型 如图1所示为四面体，已知二面角大小为，其外接球问题的步骤如下： （1）找出和的外接圆圆心，分别记为和． （2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为． （3）过作的垂线，垂足记为，连接，则． （4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径． 十：坐标法 对于一般多面体的外接球，可以建立空间直角坐标系，设球心坐标为，利用球心到各顶点的距离相等建立方程组，解出球心坐标，从而得到球的半径长．坐标的引入，使外接球问题的求解从繁琐的定理推论中解脱出来，转化为向量的计算，大大降低了解题的难度． 十一 内切球半径的求法： 1.内切球半径核心公式： 公式说明： 为几何体体积， 为几何体表面积，适用于棱锥、棱柱、棱台、正四面体、正方体等所有存在内切球的多面体。 2. 正四面体内切球、外接球半径： 设正四面体棱长为：内切球半径：外接球半径：比例关系： 3. 正方体内切球半径： 设正方体棱长为，内切球直径等于棱长： 必考题型全归纳： 题型一、补形法（长方体 、 正方体）求三棱锥外接球 1．在四面体中，，则四面体外接球表面积是（    ） A． B． C． D． 2．已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为2的正三角形，分别是，的中点，，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 3．数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“等腰四面体”就是其中之一，它是三组对棱分别相等的四面体．已知等腰四面体ABCD中，三组对棱长分别是，，，则对该等腰四面体的叙述正确的是（    ） A．该四面体ABCD的体积是． B．该四面体ABCD的外接球表面积是32π C． D．一动点P从点B出发沿四面体ABCD的表面经过棱AD到点C的最短距离是 题型二、面面垂直（垂面模型）外接球 4．数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“等腰四面体”就是其中之一，它是三组对棱分别相等的四面体．已知等腰四面体ABCD中，三组对棱长分别是，，，则对该等腰四面体的叙述正确的是（    ） A．该四面体ABCD的体积是． B．该四面体ABCD的外接球表面积是32π C． D．一动点P从点B出发沿四面体ABCD的表面经过棱AD到点C的最短距离是 5．（2016届河北省邯郸市一中高三下学期研六考试理科数学试卷（带解析））在菱形中，，将折起到的位置，若二面角的大小为，则三棱锥的外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 题型三、直径模型（侧棱为球直径、共斜边直角三角形） 6．已知四面体四个顶点都在球O的球面上，若平面ABC，，且，，则球O的表面积为______． 7．如图，已知球O的面上四点，DA⊥平面ABC．AB⊥BC，DA=AB=BC=，则球O的体积等于________． 题型四、线面垂直型三棱锥外接球 8．已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 题型五、直棱柱外接球模型 9．直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝120°，则此球的表面积等于（　　） A．20π B．10π C．5π D．5π 10．直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若，，90°，则此球的表面积等于______． 题型六、外接球截面面积最值 11．已知三棱锥的四个顶点在球O的球面上，，是边长为的正三角形，，，，过点E作球O的截面，截面面积最小值为（    ） A． B． C． D． 题型七、棱台外接球（正四棱台、正三棱台） 12．已知正四棱台的体积为，上、下底面边长分别为，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 13（多选）．已知正四棱台的上、下底面边长分别为2，3，该正四棱台的所有顶点都在球的球面上，且球心是下底面的中心，则该正四棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 题型八、内切球（体积法求半径、棱台内切球、内外切半径比） 14．如图，正四棱台的上､下底面边长分别为分别为，的中点，8个顶点构成的十面体恰有内切球，则该内切球的表面积为（    ） A． B． C． D． 15（多选）．（辽宁省辽阳市2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷）如图，在正四棱锥中，分别是的中点，则下列结论正确的是（    ） A．设平面，则 B．三棱锥与正四棱锥的体积之比为 C．若，则正四棱锥内切球与外接球的半径之比为 D．正四棱锥被平面分成的上、下两部分的体积之比为 题型九、正四面体综合（内外接球、体积、二面角、异面直线距离） 16．棱长为的正四面体，下列说法不正确的是（    ） A．正四面体的体积是 B．二面角的平面角的余弦值是 C．正四面体内切球与外接球半径之比是 D．异面直线与的距离等于 题型十、正方体综合（内外接球、截面、动点轨迹、体积） 17（多选）．（广东省广州市天河区2024届高三上学期普通高中毕业班综合测试）如图，在棱长为1的正方体中，下列命题正确的是（    ）    A．平面平面，且两平面的距离为 B．当点在线段上运动时，四面体的体积恒等于四面体的体积 C．与正方体所有棱都相切的球的体积为 D．若是正方体的内切球的球面上任意一点，是外接圆的圆周上任意一点，则的最小值是 18（多选）．（河南商丘市商师联盟2025-2026学年高一下学期）如图，正方体的棱长为2，，分别是棱，的中点，点是正方形内一动点（含边界），则下列结论正确的是（    ） A．若该正方体的顶点都在球的球面上，则球的体积为 B．若∥平面，则点的轨迹长度是 C．若，则点的轨迹长度为 D．过点，，的平面截正方体所得的截面图形的面积为 19．棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上，则球的表面积是_______；设分别是该正方体的棱，的中点，则直线被球截得的线段长为_______． 题型十一、一般四面体外接球（坐标法、多条件综合） 20．在四面体中，已知，，.则四面体的外接球的半径为______. 21．已知正三棱台(由正三棱锥截得的棱台)的高为3，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_____________. 巩固提升： 1．正三棱锥P﹣ABC的三条棱两两互相垂直，则该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为（　　） A．1：3 B．1： C． D． 2（多选）．（山西省太原师范学院附属中学等2023-2024学年高一下学期5月质量检测数学试卷）已知三棱锥P-ABC的所有顶点都在球O的球面上，是等边三角形，，，点D是棱PB的中点，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．点D到平面ABC的距离为 D．球O的表面积为 3（多选）．（云南省2025届高中毕业生第一次复习统一模拟检测数学试题卷（七））已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，，，.则（    ） A．球的表面积为 B．异面直线与所成角的正切值为 C．平面截球所得截面的面积为 D．点到平面的距离为 4（多选）．（浙江省十校联盟2022-2023学年高三上学期10月联考数学试题）如图，已知正四棱台的上、下底面边长分别为，，其顶点都在同一球面上，且该球的表面积为，则侧棱长为（    ） A． B． C． D． 5（多选）．（湖南长沙市第一中学2025-2026学年高二下学期5月期中数学试题）数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“等腰四面体”就是其中之一，所谓等腰四面体，就是指三组对棱分别相等的四面体．关于“等腰四面体”，以下结论正确的是（   ） A．三组对棱长度分别为5，6，7的“等腰四面体”的体积为 B．“等腰四面体”的四个面均为全等的锐角三角形 C．三组对棱长度分别为a，b，c的“等腰四面体”的外接球直径为 D．“等腰四面体”的外接球与内切球的球心重合 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $