微专题10 空间几何体的外接球与内切球 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦空间几何体的外接球与内切球高考核心考点，按可放入正方体/长方体型、不可放入型（柱体、锥体、台体）及内切球分类梳理，通过补形法、球心定位等方法建立知识联系，结合考点解析、方法总结、真题训练环节，帮助学生构建解题框架，突破空间想象与运算难点。 讲义特色在于分类建模与方法提炼，如用补形法转化三棱锥为长方体求外接球，等体积法推导内切球半径，培养数学思维与空间观念。设置基础例题与跟踪训练分层练习，配合即时解析，确保高效复习，助力学生掌握通法，提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

微专题10　空间几何体的外接球与内切球 视角一　可放入正方体、长方体型外接球问题 例1 (1)(2026·楚雄模拟)在三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝2，SA＝，则三棱锥S-ABC外接球的体积为(　　) A．　　B．　　C．　　D． (2)已知四面体PABC中，PA＝BC＝，则该四面体外接球的表面积为________． [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：(1)正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半． (2)长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半． 三棱锥特征 三条侧棱两两互相垂直 四个面均是直角三角形 相对棱相等的三棱锥 图示 三棱锥特征 正四面体 3个直角三角形＋1个普通三角形 图示 　跟踪训练　(1)“阳马”，是底面为矩形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥，《九章算术》总结了先秦时期数学成就，是我国古代内容极为丰富的数学巨著，对后世数学研究产生了广泛而深远的影响．书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺，问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为(　　)平方尺． A．149π B．140π C．138π D．128π (2)(2026·孝感模拟)如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥AD，AB＝BD＝，已知动点E从C点出发，沿四棱锥的外表面经过棱AD上一点到点B的最短距离为，则该棱锥的外接球的表面积为________. 视角二　不可放入正方体、长方体型外接球问题 题型1　柱体的外接球问题 例2 已知直三棱柱A1B1C1-ABC的顶点均在球面上，且AA1＝2，∠BAC＝30°，BC＝1，则该球的表面积为(　　) A．16π B． C．4π D． [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：直棱柱(圆柱) 球心位置：在上下底面外心连线中点处． 半径公式：R2＝r2＋2，R为外接球半径，r为底面外接圆半径，h为棱柱的高． 　跟踪训练　已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为(　　) A．4π B．6π C．8π D．10π 题型2　锥体的外接球 例3 (2026·大庆一模)已知正三棱锥A-BCD的底面边长为6，二面角A-BC-D的余弦值为，则正三棱锥A-BCD外接球的表面积为(　　) A．π B．π C．π D．π [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：正棱锥(圆锥) 球心位置：在其顶点与底面外心连线上． 半径公式：R2＝(h－R)2＋r2，R为外接球半径，r为底面外接圆半径，h为棱锥的高． 　跟踪训练　已知正三棱锥P-ABC，PA＝3，AB＝6，则该三棱锥的外接球的表面积为(　　) A．54π B．48π C．36π D．63π 题型3　台体的外接球 例4 (2026·上饶模拟)已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，体积为，则该圆台的外接球表面积为(　　) A． B． C． D． [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记： 球心位置：在上底面与下底面的中心连线上． 半径公式：. 跟踪训练　正四棱台下底面边长为4，上底面边长为2，高为3，则该正棱台的外接球的表面积为(　　) A．27π B．31π C．33π D．35π 视角三　几何体的内切球 例5 正四棱锥P-ABCD的各条棱长均为2，则该四棱锥的内切球的表面积为________． [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：(1)内切球等体积法 如图，在四棱锥P-ABCD中，内切球为球O，求球半径r，方法如下： VP-ABCD＝VO-ABCD＋VO-PBC＋VO-PCD＋VO-PAD＋VO-PAB，即VP-ABCD＝S△PAB·r，可求出r. (2)内切球独立截面法 ①画出过球心和切点的大圆的截面图； ②在截面中，找到和球半径相关的直角三角形； ③利用相似、全等、勾股定理等平面几何知识求出内切球半径． 　跟踪训练　某圆锥的底面半径与高之比为3∶4，其内切球与圆锥的体积之比为(　　) A． B． C． D． 微专题10　空间几何体的外接球与内切球 例1　解析：(1) AB⊥BC，AB＝BC＝2，SA＝2且SA⊥平面ABC，可将三棱锥S-ABC补形为长方体，如图，则长方体的体对角线SC即三棱锥S-ABC的外接球的直径，因为SC＝＝ ＝4，则三棱锥S-ABC的外接球半径为R＝SC＝2.故外接球的体积为πR3＝π×23＝.故选A. (2) 在四面体PABC中，PA＝BC＝，PB＝AC＝2，PC＝AB＝，则该四面体的相对棱可为某个长方体三组相对面的面对角线，长方体的外接球即为四面体的外接球．设长方体的共点的三条棱长依次为a，b，c，外接球半径为R，则所以4R2＝a2＋b2＋c2＝18，所以该四面体外接球的表面积为4πR2＝18π. 答案：(1)A　(2)18π 跟踪训练　解析：(1) 如图所示，这个四棱锥的外接球和长方体的外接球相同，所以外接球的半径为R＝＝，外接球的表面积S＝4πR2＝138π.故选C. (2) 三棱锥A-BCD的部分平面展开图如图所示，设CD＝x，由题意得C′D＝CD＝x，C′B＝，在△C′BD中，由余弦定理得C′B2＝C′D2＋BD2－2C′D·BD·cos 135°，即()2＝x2＋()2－2x··(－)，即x2＋2x－15＝0，解得x＝3或x＝－5(舍去)，如图所示， 该棱锥的外接球即为长方体的外接球，则外接球的半径为R＝＝，所以该棱锥的外接球的表面积为4πR2＝13π. 答案：(1)C　(2)13π 例2　解析：在△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝1，利用正弦定理可得△ABC外接圆的半径AE＝＝＝1，又AA1＝2，所以直三棱柱A1B1C1-ABC的外接球的半径为OA＝＝2，所以该球的表面积为4π·OA2＝16π.故选A. 答案：A 跟踪训练　解析：由题意可知该球为圆柱的外接球，所以球心为圆柱的中心，设球半径为r，则r＝＝，故该球的表面积为4πr2＝8π.故选C. 答案：C 例3　解析：如图所示，正三棱锥A-BCD，作AH⊥平面BCD于点H，则H为正△BCD的中心，取BC的中点E，连接DE，AE，设外接球心为O，则O在AH上，连接OD. 由已知△BCD的边长为6，由于AE⊥BC，DE⊥BC，∠AED即二面角A-BC-D的平面角，则cos ∠AED＝.因为DE＝＝＝3，所以EH＝DE＝×3＝，所以AE＝＝＝4，AH＝＝＝.设外接球O的半径为r，则OA＝OD＝r，OH＝|AH－r|＝|－r|，又DH＝DE＝×3＝2，OD2＝DH2＋OH2，所以r2＝(2)2＋(－r)2，解得r＝.故正三棱锥A-BCD外接球的表面积S＝4πr2＝4π×()2＝π.故选C. 答案：C 跟踪训练　解析：根据正三棱锥的性质，可知外接球球心O必在正三棱锥的高线PD上，连接OB，BD，△ABC为等边三角形，其边长AB＝6，可知BD＝×(6×)＝2，再由勾股定理得PD＝＝＝.设外接球半径为R，结合勾股定理OB2＝OD2＋BD2可得R2＝(－R)2＋(2)2，解得R＝＝，由于<R，所以外接球的球心在高线PD的延长线上，但仍然满足上述方程，故该外接球的半径仍为R＝，所以该外接球的表面积为4πR2＝4π×＝54π.故选A. 答案：A 例4　解析：根据题意可知，圆台上底面面积为S1＝π，下底面面积为S2＝4π，设圆台的高为h，由体积可得h(S1＋S2＋)＝，解得h＝2， 圆台的轴截面如图所示，上底面圆心为O1，下底面圆心为O2，设球心O在直线O1O2上，连接OD，OF，设OO2＝x，则OO1＝2－x，则该圆台的外接球半径为R＝OD＝OF，由勾股定理可得R2＝12＋(2－x)2＝22＋x2，解得x＝，所以R＝，则该圆台的外接球表面积为4πR2＝4π×＝.故选C. 答案：C 跟踪训练　 解析：如图所示，因为正四棱台下底面边长为4，上底面边长为2，高为3，可得上、下底面正方形的对角线长为2和4，可得A1O2＝，AO1＝2，根据几何体的对称性，可得正四棱台ABCD-A1B1C1D1的外接球的球心在上下底面中心的连线上．设外接球的球心为O，设球心到下底面的距离为d，外接球的半径为R，因为正四棱台的高为3，则解得d＝，所以R2＝＝，所以该正四棱台的外接球的表面积为S＝4πR2＝33π.故选C. 答案：C 例5　 解析：设底面的中心为E，连接CE，PE，则CE＝，PE＝，设四棱锥的内切球的半径为r，球心为O，连接OA，OB，OC，OD，OP得到四个三棱锥和一个四棱锥，它们的高均为r，∴VP-ABCD＝VO-ABCD＋VO-PAB＋VO-PBC＋VO-PCD＋VO-PAD，即×2×2×＝×2×2r＋4×r，解得r＝，∴该四棱锥的内切球的表面积为4πr2＝(8－4)π. 答案：(8－4)π 跟踪训练　 解析：设圆锥的底面半径为R，高为h，体积为V1，内切球的半径为r，体积为V2，则＝，所以R＝h，所以PO＝h－r，PB＝，由△POD∽△PBC有＝，即＝，所以()2＝，又R＝h，化简整理得16r2＋18hr－9h2＝0，解得r＝h(r＝－h舍)，所以＝＝＝.故选A. 答案：A 学科网（北京）股份有限公司 $