外接球、内切基础训练----2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦外接球与内切球计算，覆盖正方体、正三棱柱等基础几何体及鳖臑、阳马等特殊几何体，结合数学文化，构建从基础到综合的知识逻辑。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础几何体|第1-2题|直接计算半径与表面积体积|体对角线/中心距与球半径关系| |特殊几何体|第3-4题|直角/特殊三棱锥外接球|补形法与球心定位| |数学文化与综合应用|第5-9题|古代数学术语情境与最值问题|空间观念与推理能力综合应用|

外接球、内切球基础训练 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.体积为的正方体的内切球的体积是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查多面体的内切球，考查正方体体积与球体积的求法，是基础题． 由已知求出正方体的棱长，可得正方体内切球的半径，代入球的体积公式得答案． 【解答】 解：设正方体的棱长为，则，可得， 其内切球的半径为，则正方体内切球的体积为． 故选：． 2.已知正三棱柱的所有棱长都为，则其外接球的表面积为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查多面体的外接球，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，属于中档题． 利用外接球球心为上下底面中心的中点，由已知求解三角形求得三棱柱外接球的半径，即可求得三棱柱外接球的表面积． 【解答】 解：如图，，分别为下底面与上底面正三角形的中心， 为的中点，则为正三棱柱外接球的球心， 在中，求得， 而， ， ， 故选：． 3.已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，且，，，则球的体积是 (    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题主要考查对棱相等的三棱锥的外接球的体积问题，属于中档题． 此三棱锥对棱相等，可将其补成长方体，其外接球即为长方体的外接球，进而可求外接球体积． 【解答】 解：由题意可将三棱锥放入长方体中，如图所示，则三棱锥的外接球即长方体的外接球． 设长方体的长、宽、高分别为，，，则有，则， 所以长方体的外接球的半径， 由球的体积公式得． 故选D． 4.据九章算术记载，“鳖臑”为四个面都是直角三角形的三棱锥．如图所示，现有一个“鳖臑”，底面，，且，三棱锥外接球表面积为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题主要考查了三棱锥外接球问题，将三棱锥放入正方体中是本题的解题关键，是基础题． 将三棱锥放入正方体中，则三棱锥的外接球即为正方体的外接球，外接球的半径为正方体体对角线的一半，求出外接球半径，再利用球的表面积公式即可求出结果． 【解答】 解：因为底面，，，故可将三棱锥放入正方体中， 如图所示： ， 则三棱锥的外接球即为正方体的外接球，设外接球的半径为， 则， 解得：， 所以外接球的表面积为． 故选：． 5.我国古代数学名著九章算术对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥，“鳖臑”指的是四个面都是直角三角形的三棱锥。“斜解立方，得两堑堵。斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑。阳马居二，鳖臑居一，不易之率也。合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣。”现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱，其中，若，当“阳马”即四棱锥体积最大时，“堑堵”即三棱柱外接球的表面积为 (    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查了棱柱体积和利用不等式求最值以及球的体积求解． 利用棱柱的体积计算公式，结合不等式求最值，即可得到外接球的半径和表面积． 【解答】 解：由题意三棱柱是直三棱柱，且， 又因为， 所以令，则． 因此， 要最大，则． 所以此时直三棱柱是长方体的一部分， 外接球的半径满足， 解得，即， 所以外接球的表面积为． 故选B． 6.已知直三棱柱存在内切球，若，则该三棱柱外接球的表面积为 (    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查三棱柱及球的基本概念，涉及球的切、接问题，属于较难题． 求出直三棱柱的高后可求其外接球的半径，从而可求外接球的表面积． 【解答】 解：因为  ，故  ， 故  的内切圆的半径为  ． 因为直三棱柱  存在内切球，故直三棱柱的高即为内切球的直径． 而内切球的半径即为底面三角形内切圆的半径，故内切球的半径为， 故直三棱柱的高为． 将直三棱柱补成如图所示的长方体，则外接球的直径即为该长方体的体对角线， 故外接球的半径为  ， 故外接球的表面积为  ． 故选：． 7.已知正三棱锥中，，其内切球半径为，外接球半径为，则(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径． 设出边长，找到外接球的球心位置，利用勾股定理得到方程，求出，再找到内切球球心位置，利用三角形相似求出，得到答案． 【解答】 解：因为正三棱锥中，，不妨设， 由勾股定理得，故， 取中点，连接， 过点作平面于点，则点落在上，且， 故，由勾股定理得， 由对称性可知外接球的球心在上，连接，则，， 在中，由勾股定理得，即， 解得， 设内切球球心为，则在上，取的中点，连接，则切点在上， 且，由重心性质可得， 因为，故， 因为∽，所以，即，解得， 故． 故选： 8.已知棱长为的正四面体的外接球表面积为，内切球表面积为，则(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查正四面体的定义，正四面体与球的位置关系，球的表面积，属于中档题． 如图所示，设点是内切球的球心，正四面体棱长为，由图形的对称性知，点也是外接球的球心设内切球半径为，外接球半径为根据勾股定理即可解答． 【解答】 解：如图所示，设点是内切球的球心，正四面体棱长为， 由图形的对称性知，点也是外接球的球心设内切球半径为，外接球半径为． 在中，，即 ， 又， 可得， ． 故选A． 二、填空题：本题共1小题，每小题5分，共5分。 9.在九章算术中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，若四棱锥为阳马，侧棱底面，且，，设该阳马的外接球半径为，内切球半径为，则          ；内切球的体积          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了空间几何体外接球和内切球求解问题，属于中档题． 四棱锥补成长方体，长方体的外接球就是四棱锥的外接球，求长方体的外接球外接球半径即为所求，用等体积法可求得内切球的半径． 【解答】解：在四棱锥中，侧棱底面，且底面为矩形， 将该“阳马”补成长方体， 则， 因此． 四棱锥的体积为， 四棱锥的五个面的面积分别为，，，，， 由等体积法可得，解得， 则内切球的体积为 故答案为：； 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 姓名： 班级： 外接球、内切球基础训练 一、单选题： 1.体积为的正方体的内切球的体积是(    ) A. B. C. D. 2.已知正三棱柱的所有棱长都为，则其外接球的表面积为(    ) A. B. C. D. 3.已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，且，，，则球的体积是(    ) A. B. C. D. 4.据九章算术记载，“鳖臑”为四个面都是直角三角形的三棱锥．如图所示，现有一个“鳖臑”，底面，，且，三棱锥外接球表面积为(    ) A. B. C. D. 5.我国古代数学名著九章算术对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥，“鳖臑”指的是四个面都是直角三角形的三棱锥。“斜解立方，得两堑堵。斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑。阳马居二，鳖臑居一，不易之率也。合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣。”现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱，其中，若，当“阳马”即四棱锥体积最大时，“堑堵”即三棱柱外接球的表面积为(    ) A. B. C. D. 6.已知直三棱柱存在内切球，若，则该三棱柱外接球的表面积为 (    ) A. B. C. D. 7.已知正三棱锥中，，其内切球半径为，外接球半径为，则(    ) A. B. C. D. 8.已知棱长为的正四面体的外接球表面积为，内切球表面积为，则(    ) A. B. C. D. 二、填空题 9.在九章算术中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，若四棱锥为阳马，侧棱底面，且，，设该阳马的外接球半径为，内切球半径为，则          ；内切球的体积          ． 第2页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $