专题09 因式分解 暑假预习讲义 2025-2026学年人教版八年级数学上册

专题09因式分解暑假预习讲义 1. 概念区分：理解因式分解定义，明确其与整式乘法互为逆变形，能判断式子变形是否属于因式分解。 2. 提公因式法：掌握寻找公因式的方法，可顺利提取单项式、含负号的公因式，规范完成基础分解。 3. 公式法分解：熟记平方差、完全平方两个乘法公式的逆向形式，能快速匹配多项式结构并套用公式分解。 4. 分解步骤规范：牢记因式分解通用流程：先提公因式，再套用公式，结果务必分解至不能再分解为止。 5. 化简求值运算：利用因式分解对代数式变形，掌握整体代入求值、大数简便运算两类题型解法。 6. 简单题型应用：借助因式分解求解参数、判断代数式正负，解决图形面积相关列式问题。 7. 辨析避错：规避分解不彻底、漏提公因式、完全平方公式丢失2ab项、符号处理失误等常见错误。 8. 数学思维：培养逆向变形、转化思想，夯实代数恒等变形能力，为后续分式运算打好基础。 预习必备 知识梳理 1.因式分解基础概念 2.提公因式法 3.公式法 4.因式分解通用步骤 5.拓展：分组分解法 6.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.因式分解的判断 2.因式分解的参数问题 3.公因式 4.提公因式法分解因式 5.公式法分解因式判断 6.平方差公式分解因式 7.完全平方公式分解因式 8.综合运用公式法分解因式 9.综合法分解因式 10.因式分解在简算中的应用 11.十字相乘法 12.分组分解法 13.因式分解的应用 强化题型 解答题7题 知识点01：因式分解基础概念 1. 定义 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫分解因式。 2. 因式分解与整式乘法的关系（互逆变形） 整式乘法：几个整式相乘 → 多项式（积化和差） 因式分解：多项式 → 几个整式相乘（和差化积） 示例： 整式乘法： 因式分解： 3. 分解要求（必记四点，阅卷扣分点） （1）结果必须是乘积形式，不能还有加减； （2）每个因式必须是整式，不能出现分式； （3）分解要彻底：分解到每一个因式都不能再分解为止； （4）相同因式要写成幂的形式，如。 知识点02：提公因式法（最基础，优先使用） 1. 公因式定义 多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式 2. 公因式三步确定法 查找维度 规则 示例 系数 取各项系数的最大公约数 6x2-9x，系数 6、9，最大公约数为 3 字母 选取所有项共有的字母 a2b+ab2，公共字母为ab 指数 公共字母取最低次幂 x4、x2，取x2 3. 提公因式步骤 找出多项式各项公因式； 用多项式每一项除以公因式，得到另一个因式； 写成 “公因式 × 剩余多项式” 的形式。 4. 特殊符号处理 首项为负：提取负号，括号内各项全部变号 例：-2x2+4x=-2x(x-2) 互为相反数的多项式：(a-b)=-(b-a) 例：x(a-b)+y(b-a)=(a-b)(x-y)\) 5. 公式模板 ma+mb+mc=m(a+b+c) 知识点03：公式法 公式类型 适用形式 分解公式 结构特征 平方差公式 二项式 a2-b2=(a+b)(a-b) 两项、一正一负、两项均为完全平方式 完全平方和 三项式 a2+2ab+b2=(a+b)2 首尾项为正的平方项，中间项为两底数乘积的 2 倍 完全平方差 三项式 a2-2ab+b2=(a-b)2 首尾项为正的平方项，中间项为负的两底数乘积的 2 倍 补充说明：a、b可以是数字、单项式、多项式。 知识点04:因式分解通用四步骤 步骤 操作要求 一提 优先提取公因式（含负号），解题第一步必做 二套 两项套平方差公式，三项套完全平方公式 三查 检查每个因式能否继续分解 四整理 化简符号，规范书写结果 知识点 05 拓展：分组分解法（四项及以上多项式） 1. 适用场景：四项式，无整体公因式，分组后能提公因式 / 套公式 类型 1：分组提公因式 ax+ay+bx+by =a(x+y)+b(x+y) =(x+y)(a+b) 类型 2：分组套平方差 x2-y2+x+y\) =(x+y)(x-y)+(x+y) =(x+y)(x-y+1) 知识点 06 常考易错点汇总表 错误类型 错误写法 正确分解 错误原因 分解不彻底 x4-16=(x2+4)(x2-4) (x2+4)(x+2)(x-2) x2-4还能平方差分解 完全平方漏 2 倍项 x2-4x+4=(x-2)(x+2) (x-2)2 混淆平方差与完全平方 提公因式丢常数 1 5x-5xy=5x(-y) 5x(1-y) 第一项提取后剩余 1 首项负号不变号 -x2+4=-(x2+4) -(x+2)(x-2) 提取负号，平方差符号改变 混淆乘法与分解 (x+3)2=x2+6x+9\)（分解题写展开） x2+6x+9=(x+3)2 搞反互逆变形方向 分解结果含加减 x2-9=x(x-) (x+3)(x-3) 出现分式，不是整式积 知识点07：典型题型分类与解题思路 1.单纯提公因式：直接找公因式提取，注意符号； 2.两项多项式：优先判断平方差； 3.三项二次多项式：判断完全平方，否则十字相乘； 4.综合题型（提公因式 + 公式）：先提公因式，再套公式； 5.求值类题型：先因式分解，再代入数值简化计算。 题型1.因式分解的判断 【典例】下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】下列因式分解正确的是（     ） A． B． C． D． 题型2.因式分解的参数问题 【典例】已知多项式可分解成，则_________． 【跟踪专练1】若多项式可因式分解为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知可分解因式为，其中，均为整数，则________，________． 【跟踪专练3】关于的多项式可以分解为，则，的值为（     ） A．12，6 B．8，4 C．10，8 D．2，6 题型3.公因式 【典例】多项式中各项的公因式是_____． 【跟踪专练1】与的最大公因式是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】写出下列多项式的最大公因式： （1）：_____． （2）：_____． （3）：_____． 【跟踪专练3】把多项式，提取公因式后，余下的部分是（   ） A． B． C． D． 题型4.提公因式法分解因式 【典例】分解因式：___________． 【跟踪专练1】甲、乙两位同学分解因式的结果分别为和．下列说法正确的是（     ） A．甲错误，乙正确 B．甲乙都正确 C．甲正确，乙错误 D．甲乙都错误 【跟踪专练2】在有理数范围内分解因式：________________ ． 【跟踪专练3】下面是小明做的因式分解的题：，其中有一部分被墨汁遮盖住了，则被遮盖住的式子是（　　） A． B． C． D． 题型5.公式法分解因式判断 【典例】下列各式中，能用平方差公式因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】若多项式★可以因式分解，则★不能是（） A． B． C． D． 【跟踪专练2】下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型6.平方差公式分解因式 【典例】因式分解：_____． 【跟踪专练1】已知，，可得（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若，且，则代数式的值为________． 【跟踪专练3】下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 题型7.完全平方公式分解因式 【典例】分解因式：______． 【跟踪专练1】下列因式分解正确的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知，且，，则_____． 【跟踪专练3】下列各式中，加上，不能用完全平方公式分解因式的是（     ） A． B． C． D． 题型8.综合运用公式法分解因式 【典例】把因式分解的结果是________． 【跟踪专练1】下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若，则_____． 【跟踪专练3】下列分解因式正确的是（    ） A． B． C． D． 题型9.综合法分解因式 【典例】因式分解：__________． 【跟踪专练1】下列因式分解不正确的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】因式分解：________． 【跟踪专练3】将多项式因式分解，下面是甲、乙两位同学的解答过程： 甲：原式 乙：原式． 下列判断正确的是（     ） A．只有甲的结果正确 B．只有乙的结果正确 C．甲、乙的结果都正确 D．甲、乙的结果都不正确 题型10.因式分解在简算中的应用 【典例】．计算：_____ ． 【跟踪专练1】计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】利用因式分解计算：_____． 【跟踪专练3】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 题型11.十字相乘法 【典例】因式分解：_____． 【跟踪专练1】下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若，则代数式的值_____ ． 【跟踪专练3】若实数a、b满足，则的最小值为（    ） A．0 B．8 C．9 D．10 题型12.分组分解法 【典例】因式分解：________． 【跟踪专练1】用分组分解的因式，分组正确的是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】因式分解：________ 【跟踪专练3】用分组分解法将分解因式，下列分组不恰当的是（　　） A． B． C． D． 题型13.因式分解的应用 【典例】已知，那么的值是______． 【跟踪专练1】对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式．观察如图所示的长方形，可以得到的因式分解是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若一个长方形的长和宽分别为a，b，其周长为14，面积为12，则的值为______． 【跟踪专练3】利用因式分解可以生成密码，其方法为：先对给定多项式进行因式分解，再对各因式赋值得到因式码，最后将因式码按照从小到大的顺序排列即可得到密码．例如多项式，可分解因式得到．若取，，可得，，，其中12，17，13即为各因式对应的因式码，将这些因式码按从小到大排序后即可得到密码121317．现有多项式，当取，时，按照上述方法生成的密码是（     ） A．4840 B．4820 C．8420 D．4480 解答题 1．分解因式： (1) (2) 2．因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．将下列各式因式分解： (1)； (2)． 4．观察下面的因式分解过程： ． 利用这种方法解决下列问题： (1)因式分解：； (2)的三边，，满足，判断的形状． 5．计算与因式分解： (1)计算：． (2)因式分解：． 6．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知：二次三项式有一个因式是（），求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为（），得， ， 则， ， 解得，， ∴另一个因式为，的值为． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． (2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 7．【阅读与探究】 在“因式分解方法拓展”的数学探究课上，老师介绍了除提公因式法、公式法之外的新方法——配方法． 例如，对多项式因式分解时，我们可以先配方，再用平方差公式继续分解： ． (1)上述因式分解并未结束，请补全的因式分解； (2)【实践操作】 请用配方法对多项式进行因式分解； (3)【拓展创新】 在“多项式最值问题”的拓展任务中，需要分析多项式的取值情况，请回答：当x，y为何值时，该多项式有最小值？并求出这个最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09因式分解暑假预习讲义 1. 概念区分：理解因式分解定义，明确其与整式乘法互为逆变形，能判断式子变形是否属于因式分解。 2. 提公因式法：掌握寻找公因式的方法，可顺利提取单项式、含负号的公因式，规范完成基础分解。 3. 公式法分解：熟记平方差、完全平方两个乘法公式的逆向形式，能快速匹配多项式结构并套用公式分解。 4. 分解步骤规范：牢记因式分解通用流程：先提公因式，再套用公式，结果务必分解至不能再分解为止。 5. 化简求值运算：利用因式分解对代数式变形，掌握整体代入求值、大数简便运算两类题型解法。 6. 简单题型应用：借助因式分解求解参数、判断代数式正负，解决图形面积相关列式问题。 7. 辨析避错：规避分解不彻底、漏提公因式、完全平方公式丢失2ab项、符号处理失误等常见错误。 8. 数学思维：培养逆向变形、转化思想，夯实代数恒等变形能力，为后续分式运算打好基础。 预习必备 知识梳理 1.因式分解基础概念 2.提公因式法 3.公式法 4.因式分解通用步骤 5.拓展：分组分解法 6.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.因式分解的判断 2.因式分解的参数问题 3.公因式 4.提公因式法分解因式 5.公式法分解因式判断 6.平方差公式分解因式 7.完全平方公式分解因式 8.综合运用公式法分解因式 9.综合法分解因式 10.因式分解在简算中的应用 11.十字相乘法 12.分组分解法 13.因式分解的应用 强化题型 解答题7题 知识点01：因式分解基础概念 1. 定义 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫分解因式。 2. 因式分解与整式乘法的关系（互逆变形） 整式乘法：几个整式相乘 → 多项式（积化和差） 因式分解：多项式 → 几个整式相乘（和差化积） 示例： 整式乘法： 因式分解： 3. 分解要求（必记四点，阅卷扣分点） （1）结果必须是乘积形式，不能还有加减； （2）每个因式必须是整式，不能出现分式； （3）分解要彻底：分解到每一个因式都不能再分解为止； （4）相同因式要写成幂的形式，如。 知识点02：提公因式法（最基础，优先使用） 1. 公因式定义 多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式 2. 公因式三步确定法 查找维度 规则 示例 系数 取各项系数的最大公约数 6x2-9x，系数 6、9，最大公约数为 3 字母 选取所有项共有的字母 a2b+ab2，公共字母为ab 指数 公共字母取最低次幂 x4、x2，取x2 3. 提公因式步骤 找出多项式各项公因式； 用多项式每一项除以公因式，得到另一个因式； 写成 “公因式 × 剩余多项式” 的形式。 4. 特殊符号处理 首项为负：提取负号，括号内各项全部变号 例：-2x2+4x=-2x(x-2) 互为相反数的多项式：(a-b)=-(b-a) 例：x(a-b)+y(b-a)=(a-b)(x-y)\) 5. 公式模板 ma+mb+mc=m(a+b+c) 知识点03：公式法 公式类型 适用形式 分解公式 结构特征 平方差公式 二项式 a2-b2=(a+b)(a-b) 两项、一正一负、两项均为完全平方式 完全平方和 三项式 a2+2ab+b2=(a+b)2 首尾项为正的平方项，中间项为两底数乘积的 2 倍 完全平方差 三项式 a2-2ab+b2=(a-b)2 首尾项为正的平方项，中间项为负的两底数乘积的 2 倍 补充说明：a、b可以是数字、单项式、多项式。 知识点04:因式分解通用四步骤 步骤 操作要求 一提 优先提取公因式（含负号），解题第一步必做 二套 两项套平方差公式，三项套完全平方公式 三查 检查每个因式能否继续分解 四整理 化简符号，规范书写结果 知识点 05 拓展：分组分解法（四项及以上多项式） 1. 适用场景：四项式，无整体公因式，分组后能提公因式 / 套公式 类型 1：分组提公因式 ax+ay+bx+by =a(x+y)+b(x+y) =(x+y)(a+b) 类型 2：分组套平方差 x2-y2+x+y\) =(x+y)(x-y)+(x+y) =(x+y)(x-y+1) 知识点 06 常考易错点汇总表 错误类型 错误写法 正确分解 错误原因 分解不彻底 x4-16=(x2+4)(x2-4) (x2+4)(x+2)(x-2) x2-4还能平方差分解 完全平方漏 2 倍项 x2-4x+4=(x-2)(x+2) (x-2)2 混淆平方差与完全平方 提公因式丢常数 1 5x-5xy=5x(-y) 5x(1-y) 第一项提取后剩余 1 首项负号不变号 -x2+4=-(x2+4) -(x+2)(x-2) 提取负号，平方差符号改变 混淆乘法与分解 (x+3)2=x2+6x+9\)（分解题写展开） x2+6x+9=(x+3)2 搞反互逆变形方向 分解结果含加减 x2-9=x(x-) (x+3)(x-3) 出现分式，不是整式积 知识点07：典型题型分类与解题思路 1.单纯提公因式：直接找公因式提取，注意符号； 2.两项多项式：优先判断平方差； 3.三项二次多项式：判断完全平方，否则十字相乘； 4.综合题型（提公因式 + 公式）：先提公因式，再套公式； 5.求值类题型：先因式分解，再代入数值简化计算。 题型1.因式分解的判断 【典例】下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把一个多项式变形为几个整式的乘积形式叫做因式分解，据此可得答案． 【详解】解：A． ，从左到右的变形是整式乘法，不是因式分解； B． ，从左到右的变形是整式乘法，不是因式分解； C． ，从左到右将多项式化为几个整式的积的形式，属于因式分解； D． ，等式右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解． 【跟踪专练1】下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据因式分解的定义，即将多项式化为几个整式的乘积的形式，逐一判断选项即可得到答案． 【详解】解：A、是单项式，不是多项式，不符合因式分解的要求，因此A错误； B、展开右边得，与左边不相等，分解错误，因此B错误； C、左边是多项式，右边是整式的积的形式，且左右两边相等，符合因式分解的定义，因此C正确； D、变形是整式的乘法运算，是从积化为多项式，不属于因式分解，因此D错误． 【跟踪专练2】下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据因式分解的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、是整式乘法，不属于因式分解，故选项不符合题意； BC、选项等式右边均为和的形式，不是几个整式的积，不属于因式分解，故选项不符合题意； D、，属于因式分解，故选项符合题意． 【跟踪专练3】下列因式分解正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的定义和提公因式法因式分解，只需逐一验证每个选项的分解结果即可判断． 【详解】解：选项A：，所以选项A错误，不符合题意； 选项B：，所以选项B错误，不符合题意； 选项C：因式分解要求结果化为几个因式的积的形式，该式结果为和的形式，不符合因式分解要求，所以选项C错误，不符合题意； 选项D：，选项D正确． 题型2.因式分解的参数问题 【典例】已知多项式可分解成，则_________． 【答案】 【分析】本题先将因式分解的结果展开，再根据多项式相等对应项系数相等，即可求出的值，用到多项式乘多项式的运算法则． 【详解】解：由题意得展开右侧多项式： ， 对比等式两边对应项系数，可得 【跟踪专练1】若多项式可因式分解为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用多项式乘多项式法则展开因式分解后的式子，根据多项式相等对应系数相等求出和的值，再计算即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴，， ∴． 【跟踪专练2】已知可分解因式为，其中，均为整数，则________，________． 【答案】 56 【分析】首先提取公因式，进而合并同类项得出，的值，进而得出答案． 【详解】解：∵ ， ， ∴，， 故， ． 【跟踪专练3】关于的多项式可以分解为，则，的值为（     ） A．12，6 B．8，4 C．10，8 D．2，6 【答案】A 【分析】先展开分解后的因式乘积，根据多项式相等时对应项系数相等，列等式求解即可得到和的值． 【详解】解：∵，多项式可以分解为， ∴， ∴ ， 解得． 题型3.公因式 【典例】多项式中各项的公因式是_____． 【答案】 【分析】根据确定公因式的方法，先求多项式各项系数的最大公约数，再找各项含有的相同字母的最低次幂，将两者相乘即可得到公因式． 【详解】解：多项式的两项为和， 系数部分：5和10的最大公约数是5， 字母部分：两项都含有字母m和n，m的最低次幂是1，n的最低次幂是1， ∴公因式为． 【跟踪专练1】与的最大公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查单项式最大公因式的求解，需分别确定系数的最大公约数和相同字母的最低次幂，再将它们相乘得到最大公因式. 【详解】解：根据最大公因式的确定方法：①系数取最大公因数，②字母取公共的字母，③相同字母指数取最小的， ∴与的最大公因式是． 故选：C． 【跟踪专练2】写出下列多项式的最大公因式： （1）：_____． （2）：_____． （3）：_____． 【答案】 2 【分析】本题考查了多项式最大公因式的确定方法，掌握先找系数的最大公约数，再找各字母的最小指数的步骤是解题的关键． 对于每个多项式，先找出系数的最大公约数，再确定变量部分的最小指数，组合得到最大公因式． 【详解】解：（1）多项式的系数和的最大公约数为，变量和无公共变量，故最大公因式为； （2）多项式的系数、、的最大公约数为，变量的最小指数为，故最大公因式为； （3）多项式的系数、、的最大公约数为，变量的最小指数为，变量的最小指数为，故最大公因式为． 故答案为：；；． 【跟踪专练3】把多项式，提取公因式后，余下的部分是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了提公因式法分解因式，提取公因式即可得到所求结果．熟练掌握提公因式是解决问题的关键． 【详解】， 则余下的部分是x． 故选：C． 题型4.提公因式法分解因式 【典例】分解因式：___________． 【答案】 【详解】解： 【跟踪专练1】甲、乙两位同学分解因式的结果分别为和．下列说法正确的是（     ） A．甲错误，乙正确 B．甲乙都正确 C．甲正确，乙错误 D．甲乙都错误 【答案】A 【详解】解： ∵ ， ∴ 甲的分解错误； ∵ ， ∴ 乙的分解正确． 【跟踪专练2】在有理数范围内分解因式：________________ ． 【答案】 【详解】解： ． 【跟踪专练3】下面是小明做的因式分解的题：，其中有一部分被墨汁遮盖住了，则被遮盖住的式子是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将左边的式子提取公因式得，再通过对比即可求出被遮盖的式子． 【详解】解：， ∴被遮盖的式子为． 题型5.公式法分解因式判断 【典例】下列各式中，能用平方差公式因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据能用平方差公式因式分解的多项式的条件判断，条件为：多项式共两项，两项都可写成平方的形式，且两项符号相反; 【详解】解： A. ∵中两项符号相同，不符合平方差公式因式分解的要求，∴A错误； B. ∵，是两项，两项均为平方项，且符号相反，符合平方差公式因式分解的要求，∴B正确； C. ∵是三项多项式，不符合要求，∴C错误； D. ∵，两项符号相同，不符合要求，∴D错误; 【跟踪专练1】若多项式★可以因式分解，则★不能是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，多项式需能因式分解，选项A、B、C均可使多项式通过完全平方公式或平方差公式因式分解，而选项D引入四次项导致无法分解． 【详解】解：A、★=，多项式为，可分解． B、★=，多项式为，可分解． C、★=，多项式为，且，可分解． D、★=，多项式为，无法因式分解． 故选：D． 【跟踪专练2】下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了公式法分解因式，能用完全平方公式分解因式的式子的特点是：有三项；平方项的符号必须相同；有两底数积的2倍．据此逐个判断即可． 【详解】解：①，符合用完全平方公式分解因式； ②不符合用完全平方公式分解因式； ③符合用完全平方公式分解因式； ④不符合用完全平方公式分解因式； ⑤不符合用完全平方公式分解因式； ⑥符合用完全平方公式分解因式． 综上，能用完全平方公式分解因式有①③⑥，一共有3个． 故选：B． 题型6.平方差公式分解因式 【典例】因式分解：_____． 【答案】 【分析】运用平方差公式分解即可． 【详解】解： ． 【跟踪专练1】已知，，可得（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将所求式子用平方差公式变形后，代入已知条件计算即可得到结果． 【详解】解：∵，， ∴． 【跟踪专练2】若，且，则代数式的值为________． 【答案】 【分析】先对已知等式移项变形，再利用公式法和提取公因式法因式分解，结合的条件即可求出的值． 【详解】解：， 移项，得 ， 由平方差公式分解，得 ， 提取公因式，得 ， ， ， ，即． 【跟踪专练3】下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据提公因式法、完全平方公式、平方差公式对各选项逐一判断即可． 【详解】解：∵因式分解要求结果为整式乘积，且分解彻底， ∴、，原分解未分解彻底，故该选项错误，不符合题意； 、结果中是分式，不是整式，不符合因式分解定义，故该选项错误，不符合题意； 、，原式分解错误，不符合题意； 、，由平方差公式可得，分解正确，符合题意． 题型7.完全平方公式分解因式 【典例】分解因式：______． 【答案】 【分析】完全平方公式：． 【详解】解：． 【跟踪专练1】下列因式分解正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用提公因式法，平方差公式和完全平方公式，对各选项逐一分解验证，即可得到正确选项． 【详解】解：选项A：∵，与选项右边不相等，∴A错误； 选项B：∵，与选项右边不相等，∴B错误； 选项C：∵提取公因式得，与选项右边一致，∴C正确； 选项D：∵，与选项右边不相等，∴D错误． 【跟踪专练2】已知，且，，则_____． 【答案】 【分析】观察两个已知等式，将两式相减，对左边整理后可得到完全平方，结合确定的符号，即可求出结果． 【详解】解：∵①，②， ①②得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【跟踪专练3】下列各式中，加上，不能用完全平方公式分解因式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据完全平方公式，逐一验证各选项即可得到答案． 【详解】解：对选项A：，不符合要求； 对选项B：，，不符合要求； 对选项C：，不符合要求； 对选项D：无法利用完全平方公式分解因式，符合要求． 题型8.综合运用公式法分解因式 【典例】把因式分解的结果是________． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，将原式视为平方差形式，应用平方差公式分解，再对所得式子分别应用完全平方公式进行因式分解． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【跟踪专练1】下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据公式法分别判断即可． 【详解】A．，故原选项错误； B． ，故原选项错误； C． ，故原选项错误； D． ，故原选项正确； 故选D． 【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 【跟踪专练2】若，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，公式法进行因式分解，正确计算是解题的关键． 根据非负数的性质，绝对值和算术平方根均为非负数，它们的和为零，则每个部分均为零，从而求出 m 和 n 的值，然后利用公式法进行因式分解，代入数据进行求值即可． 【详解】解：， 且，， ∴，， 解得：，， 则 当，时， 原式 故答案为： ． 【跟踪专练3】下列分解因式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】因式分解是将一个多项式分解为几个整式的乘积形式，且每一个整式不能再分解．根据提公因式法、公式法分解因式，即可获得答案． 【详解】解：A. ，正确，符合题意； B. ，故该选项因式分解错误，不符合题意； C. ，不能再分解，故该选项错误，不符合题意； D. ，故该选项因式分解错误，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了因式分解的知识，熟练掌握因式分解的常用方法是解题关键． 题型9.综合法分解因式 【典例】因式分解：__________． 【答案】 【分析】先提取公因式，再用平方差公式分解彻底即可． 【详解】解： ． 【跟踪专练1】下列因式分解不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A、对提取公因式，得，因式分解正确； 选项B、是完全平方式，由完全平方公式得，因式分解正确； 选项C、的公因式为，，原式分解未提尽公因式，因式分解错误； 选项D、由平方差公式分解得，因式分解正确． 【跟踪专练2】因式分解：________． 【答案】 【分析】整理后提取公因式，再利用平方差公式因式分解即可． 【详解】解： ． 【跟踪专练3】将多项式因式分解，下面是甲、乙两位同学的解答过程： 甲：原式 乙：原式． 下列判断正确的是（     ） A．只有甲的结果正确 B．只有乙的结果正确 C．甲、乙的结果都正确 D．甲、乙的结果都不正确 【答案】C 【分析】运用提取公因式法和平方差公式分解原式，验证甲、乙两人的结果即可判断． 【详解】，与甲的结果一致，甲正确． ，与乙的结果一致，乙正确． 甲、乙的结果都正确． 题型10.因式分解在简算中的应用 【典例】．计算：_____ ． 【答案】 【详解】解 ． 【跟踪专练1】计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握利用平方差公式进行因式分解是解题的关键．利用平方差公式因式分解得，即可求解． 【详解】解：， 故选：D． 【跟踪专练2】利用因式分解计算：_____． 【答案】36 【分析】本题考查了因式分解的应用，利用因式分解可以简化计算，正确计算是解题的关键． 观察表达式，发现其符合完全平方公式的形式，通过完全平方公式进行因式分解简化计算． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【跟踪专练3】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是掌握因式分解的方法． 先利用平方差公式分解除第一项之后的每一项，再去括号，然后利用阶乘化简乘积，化简后计算即可． 【详解】解： ， 故选：A． 题型11.十字相乘法 【典例】因式分解：_____． 【答案】/ 【详解】解：． 【跟踪专练1】下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：选项A：∵将右侧整式展开得． ∴A错误． 选项B：∵由平方差公式可得分解正确且彻底， ∴B正确． 选项C：∵将右侧展开得． ∴C错误． 选项D：∵分解未彻底，可继续分解为，不符合因式分解要求， ∴D错误． 【跟踪专练2】若，则代数式的值_____ ． 【答案】 【分析】先将因式分解后，再把整体代入求值，即可解题． 【详解】解：， ． 【跟踪专练3】若实数a、b满足，则的最小值为（    ） A．0 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】先对已知等式移项凑因式分解形式，得到变量的约束条件，再分别代入目标式，结合平方的非负性找到最小值，确定最终答案． 【详解】解：∵， ∴，因式分解得， ∴或． 情况1：当时，， ∵， ∴ 表达式的最小值为； 情况2：当时，， ∵， ∴， 表达式的最小值为． 题型12.分组分解法 【典例】因式分解：________． 【答案】 【分析】此题主要考查了分组分解法分解因式，正确分组是解题关键．直接将原式重新分组进而利用提取公因式法分解因式即可． 【详解】解： . 故答案为 【跟踪专练1】用分组分解的因式，分组正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把二、三、四项作为一组，第一项作为一组，然后根据完全平方公式和平方差公式分解即可． 【详解】解： ． 故选：D． 【点睛】本题考查了分组分解法分解因式，正确分组是解答本题的关键． 【跟踪专练2】因式分解：________ 【答案】 【分析】本题考查分组分解法进行因式分解，通过重新分组并提取公因式后，再提取二次公因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【跟踪专练3】用分组分解法将分解因式，下列分组不恰当的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分组分解法，结合提公因式法，对选项一一进行分析，即可得出答案． 【详解】解：A． ，故选项A分组正确，不符合题意； B． ，故选项B分组正确，不符合题意； C．无法进行分组分解，故选项C分组错误，符合题意； D． ，故选项D分组正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了分组分解法、提公因式法分解因式，解本题的关键在熟练掌握相关的分解因式的方法． 题型13.因式分解的应用 【典例】已知，那么的值是______． 【答案】4 【详解】解：∵， ∴． 【跟踪专练1】对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式．观察如图所示的长方形，可以得到的因式分解是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用组合图形的思路求整体的面积，另直接求整体图形面积，进而得到因式分解． 【详解】解：运用组合图形的思路求整体的面积，直接求矩形面积 ∴． 【跟踪专练2】若一个长方形的长和宽分别为a，b，其周长为14，面积为12，则的值为______． 【答案】84 【分析】根据长方形的面积和周长得到，，再把因式分解，最后整体代入即可求出答案． 【详解】解：一个长方形的长和宽分别为a，b，其周长为14，面积为12， ∴，， ∴ 【跟踪专练3】利用因式分解可以生成密码，其方法为：先对给定多项式进行因式分解，再对各因式赋值得到因式码，最后将因式码按照从小到大的顺序排列即可得到密码．例如多项式，可分解因式得到．若取，，可得，，，其中12，17，13即为各因式对应的因式码，将这些因式码按从小到大排序后即可得到密码121317．现有多项式，当取，时，按照上述方法生成的密码是（     ） A．4840 B．4820 C．8420 D．4480 【答案】A 【分析】先对给定多项式用平方差公式因式分解，再代入p、q的值计算各因式的结果，将结果从小到大排序后拼接得到密码，即可选出正确选项． 【详解】解：对多项式因式分解 再对用平方差公式分解，得 将，代入各因式计算： 得到因式码为，按从小到大排序后拼接得密码． 解答题 1．分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先逆用完全平方公式，再利用平方差公式即可得到答案； （2）先提取公因式，再合并即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： 【点睛】本题考查了分解因式，熟练掌握分解因式的方法是解题关键． 2．因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用提取公因式法因式分解即可； （2）先利用平方差公式因式分解，再利用完全平方公式因式分解即可； （3）利用提取公因式法因式分解即可； （4）利用平方差公式因式分解即可． 【详解】（1）解：． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 3．将下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 4．观察下面的因式分解过程： ． 利用这种方法解决下列问题： (1)因式分解：； (2)的三边，，满足，判断的形状． 【答案】(1) (2)是等腰三角形 【分析】（1）将式子变形为，提取公因式分解因式即可； （2）参考（1）的方法，分解因式可得，则或，由此即可得． 【详解】（1）解： ． （2）解： ， ∵， ∴， ∴或， ∴或， ∴是等腰三角形． 5．计算与因式分解： (1)计算：． (2)因式分解：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接运用整式的四则混合运算法则计算即可； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可． 【详解】（1）解：       ． （2）解：    ． 6．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知：二次三项式有一个因式是（），求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为（），得， ， 则， ， 解得，， ∴另一个因式为，的值为． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． (2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 【答案】(1)另一个因式为，的值为 (2)另一个因式为，的值为 【分析】（1）设另一个因式为，结合整式的乘法与方程思想求解即可； （2）设另一个因式为，结合整式的乘法与方程思想求解即可. 【详解】（1）解：设另一个因式为，得 ， 则， ∴， 解得：， ∴另一个因式为的值为． （2）解：设另一个因式为，得 ， 则， ， 解得：， ∴另一个因式为的值为． 7．【阅读与探究】 在“因式分解方法拓展”的数学探究课上，老师介绍了除提公因式法、公式法之外的新方法——配方法． 例如，对多项式因式分解时，我们可以先配方，再用平方差公式继续分解： ． (1)上述因式分解并未结束，请补全的因式分解； (2)【实践操作】 请用配方法对多项式进行因式分解； (3)【拓展创新】 在“多项式最值问题”的拓展任务中，需要分析多项式的取值情况，请回答：当x，y为何值时，该多项式有最小值？并求出这个最小值． 【答案】(1) ； (2)解： ； (3)当，时，多项式有最小值，最小值为 【分析】（1）在已有配方结果基础上，利用平方差公式继续分解即可； （2）按照示例方法，先配方再用平方差公式完成因式分解．； （3）对多项式分组配方后，利用平方数的非负性即可求出最值及对应x，y的值． 【详解】（1）略 （2）略； （3）解： ； ，， 当且时，多项式取得最小值， 解得，， 此时多项式的最小值为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $