专题14.1 全等三角形及其性质（暑假预习讲义）2026-2027学年人教版八年级数学上册

专题14.1 全等三角形及其性质 【本节预习目标】 1.理解全等形、全等三角形的概念，掌握平移、翻折、旋转三种全等变换的特征，发展空间观念。 2.能准确识别全等三角形的对应顶点、对应边、对应角，规范使用全等符号表示三角形全等。 3.掌握全等三角形的性质，能运用性质进行线段长度、角度大小的计算与推理，解决简单的几何问题。 4.能在网格、操作探究、实际情境中识别全等关系，体会几何直观与逻辑推理的结合，发展几何直观核心素养。 【前置旧知回顾】 知识模块 已学旧知内容 本节新知关联 三角形基础 三角形的边、角、顶点概念；三角形内角和为 全等三角形的对应元素识别依托三角形基本概念，角度计算依赖内角和定理 图形变换 平移、轴对称、旋转的基本特征，变换前后图形形状、大小不变 三种变换是得到全等三角形的重要途径，变换前后的三角形全等 线段与角 线段的和差计算、角的和差计算；平行线、垂线的判定 利用全等三角形性质得到等线段、等角，进而推导位置关系与数量关系 知识点1：全等形与全等三角形 1.全等形 文字定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形。 数学特征：形状相同、大小相等，与图形的位置、摆放方向无关。 几何变换结论：一个图形经过平移、翻折（轴对称）、旋转后，位置发生变化，但形状、大小完全不变，即变换前后的两个图形全等。 2.全等三角形 文字定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 核心概念（几何对应关系）： 对应顶点：互相重合的顶点，记作，，； 对应边：互相重合的边，记作，，； 对应角：互相重合的角，记作，，。 符号表示：全等用符号“”表示，读作“全等于”。 规范记法：表示两个三角形全等时，对应顶点的字母必须写在对应位置上。 示例：若与中，点与、与、与分别对应，则记作。 知识点2：全等三角形的对应元素确定 确定方法 具体说明 字母顺序法 根据全等符号的书写规范，按对应顶点顺序直接确定对应边、对应角 图形特征法 公共边、公共角、对顶角一定是对应元素；最长边对最长边，最短边对最短边；最大角对最大角，最小角对最小角 位置关系法 对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角 知识点3：全等三角形的性质 1.基本性质（核心性质，几何证明标准推理语言） 文字表述：全等三角形的对应边相等，对应角相等。 符号推理格式（几何书写规范）： 2.拓展性质（推导性质） 周长：全等三角形的周长相等。 符号表述：若，则。 面积：全等三角形的面积相等。 符号表述：若，则。 对应线段：全等三角形对应边上的高、对应边上的中线、对应角的角平分线分别相等。 【基础巩固题型】 【题型1】全等形与全等三角形的识别 1.核心知识点 全等形的定义；全等三角形的判定要素 2.解题方法技巧 ①判断全等形紧扣“形状相同、大小相等，能完全重合”两个标准，缺一不可； ②等边三角形、正方形等仅形状相同的图形不一定全等，需同时满足大小相等； ③经过平移、翻折、旋转变换得到的三角形与原三角形一定全等。 【例题1】.（25-26八年级上·全国·单元测试）下列各组中的两个图形属于全等形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了两个图形的全等：能够完全重合的两个图形；根据此概念进行判断即可． 【详解】解：由题意知，选项A、C、D中的两个图形不能重合，故不是全等图形，而选项B中的两个图形能够完全重合，是全等图形； 故选：B． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·江苏南京·期中）下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等 C．周长相等的两个三角形全等 D．全等三角形的对应边相等 【答案】D 【详解】本题考查全等三角形的定义、全等三角形的性质等知识点，掌握全等三角形要求形状和大小完全相同是解题的关键． 根据全等三角形的定义和性质逐项判断即可． 【分析】解：A．形状相同的三角形大小可能不相等，不不一定全等，该选项错误，不符合题意； B．面积相等的三角形不一定全等，故该选项错误，不符合题意； C．周长相等的三角形不一定全等，故该选项错误，不符合题意； D．全等三角形的对应边相等，故该选项正确，符合题意． 故选D． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·云南昆明·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．周长相等的两个三角形一定全等 B．全等的两个三角形周长一定相等 C．任意两个三角形一定不全等 D．等边三角形一定全等 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，只有三边长都相等的两个三角形全等（或满足其他全等条件），据此可判断A、C、D，根据全等三角形对应边相等即可判断B． 【详解】解：A、周长相等的两个三角形不一定全等，例如一个三角形的三边长为，另一个三角形的三边长为，但是这两个三角形不全等，原说法错误，不符合题意； B、全等的两个三角形周长一定相等，原说法正确，符合题意； C、任意两个三角形可能全等，原说法错误，不符合题意； D、只有边长相等的等边三角形才全等，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·北京·期中）下列四个选项中，与如图不是全等图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等图形的定义，熟练掌握全等图形的判断方法是解题的关键． 根据能够完全重合的两个图形是全等图形对各选项分析即可得解． 【详解】解：A、两个图形是全等图形，不符合题意； B、两个图形大小不同，不是全等图形，符合题意； C、两个是全等图形，不符合题意； D、两个图形是全等图形，不符合题意； 故选：B 【题型2】全等三角形的符号表示与对应元素识别 1.核心知识点 全等符号的规范书写；对应顶点、对应边、对应角的确定 2.解题方法技巧 ①书写全等式时严格按对应顶点顺序排列，根据字母顺序可快速定位对应元素； ②公共边、公共角、对顶角是天然的对应元素，可作为突破口； ③结合图形大小特征，用“大对大、小对小”辅助验证对应关系。 【例题2】.（25-26七年级下·全国·单元复习）如图，已知，指出它们的对应顶点、对应边和对应角． 【答案】解：对应顶点：点A与点C，点B与点D，点C与点A； 对应边：与，与，与； 对应角：与，与，与． 【详解】略． 【变式题2-1】.（24-25七年级上·广西南宁·阶段检测）如图，，点C和点B是对应顶点，则边的对应边是（　　） A． B． C． D．   【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的概念，根据点C和点B是对应顶点，可得A和D是对应顶点，据此可得答案． 【详解】解：∵，点C和点B是对应顶点， ∴边的对应边是， 故选：B． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·北京·课堂例题）如图所示，在两个全等三角形中，点A和点E是一组对应顶点，写出其余的对应顶点、对应边和对应角． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的有关概念，关键是掌握全等三角形的对应顶点，对应边，对应角的定义．由全等三角形的对应顶点，对应边、对应角的定义，即可得到答案． 【详解】解：对应顶点是点C和点C、点B和点D，对应边是和和和，对应角是和和和． 【变式题2-3】.（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，已知，试找出对应边，对应角． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的相关概念．把两个全等的三角形重叠到一起时，重合的顶点叫作对应顶点，重合的边叫作对应边，重合的角叫作对应角．据此即可解答． 【详解】解：对应边是与，与，与． 对应角是与，与，与． 【题型3】利用全等三角形性质求角度 1.核心知识点 全等三角形对应角相等；三角形内角和定理；角的和差计算 2.解题方法技巧 ①先根据全等关系找到已知角的对应角，将已知角度转移到目标三角形中； ②结合三角形内角和、外角性质，通过角的和差运算推导未知角； ③涉及角平分线、垂直等条件时，先推导特殊角度，再结合全等性质计算。 【例题3】.（25-26七年级下·海南儋州·期末）如图所示的两个三角形全等，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形中边的标记确定全等三角形的对应关系，找出，利用三角形内角和定理计算即可求解． 【详解】解：，且，，，， ， ，， ， ． 【变式题3-1】.（25-26七年级下·山西运城·阶段检测）如图，已知，若，则的度数为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先令与交于点，根据三角形内角和性质结合题意求出的值，再根据全等的性质，求出的值，最后根据是的外角，得，即可求解． 【详解】如图，与交于点， ∵的内角和为，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵是的外角， ∴． 【变式题3-2】.（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，，若，，且，则的度数为 _________ 度． 【答案】80 【分析】根据全等三角形的性质得出、，根据直角三角形的性质求出的度数，据此求解即可． 【详解】解：如图，交于点F， 、， 、， ， ， ， ， ， ． 【变式题3-3】.（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，已知，求的度数． 【答案】 【分析】根据全等三角形对应角相等，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 【培优提升题型】 【题型4】利用全等三角形性质求线段长度 1.核心知识点 全等三角形对应边相等；线段的和差计算 2.解题方法技巧 ①通过全等将未知线段转化为已知线段，或建立线段间的等量关系； ②共线线段问题可利用“和差法”，如； ③多组全等的图形中，逐步传递等量关系，最终求出目标线段。 【例题4】.（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，已知，且，，则的长为（     ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】D 【详解】解：， ， ． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·四川宜宾·期中）如图，已知，若，，，则的长为（     ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据全等三角形的对应边相等即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴． 【变式题4-2】.（25-26七年级下·江西抚州·期中）如图，且，，，则______． 【答案】7 【分析】由全等三角形的性质可得，推出，结合与的长度求出的长，最后利用线段的和差关系求解即可． 【详解】解：， ， ，即， ，， ， ． 【变式题4-3】.（25-26七年级下·河南周口·期末）如图，≌，，，，． (1)求的长度； (2)求的度数． 【答案】(1)7 (2) 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到即可求解； （2）根据全等三角形的性质得到，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：：∵， ∴， 在中，． 【题型5】全等三角形的周长与面积计算 1.核心知识点 全等三角形周长相等、面积相等的拓展性质 2.解题方法技巧 ①全等三角形周长、面积分别相等，无需单独计算即可直接等量代换； ②重叠部分面积问题，可利用“全等面积相等，同时减去公共部分，剩余部分面积仍相等”简化计算； ③周长问题常结合对应边相等，将分散的线段转化到同一直线上求和。 【例题5】.（25-26八年级上·河南周口·阶段检测）已知 的周长是15，那么的周长是______． 【答案】15 【分析】本题考查了全等三角形的性质． 根据全等三角形的性质，对应边相等，周长相等． 【详解】解：因为， 所以的周长等于的周长． 已知的周长为15， 因此的周长为15． 故答案为：15． 【变式题5-1】.（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在中，点，分别在边，上，连接，，若，，且的周长比的周长大，则的周长为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形全等的性质，熟练掌握该知识点是解题的关键．不妨设，，，根据全等，可得，那么的周长为：，的周长为：，然后根据周长差求得，从而得出答案． 【详解】解：， 设，，， ， ， 的周长为：， 的周长为：， 的周长比的周长大， ， ， 的周长为， 故选：C． 【变式题5-2】.（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图，三点在同一条直线上，的周长为． (1)求的长． (2)求梯形的面积． 【答案】(1)12 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质以及梯形面积的计算，解题的关键是利用全等三角形的性质得出对应边相等，再结合勾股定理和梯形面积公式进行求解． （1）根据全等三角形的性质得到，因为的周长为30 ，进而得出的长； （2）先求出梯形的上底、下底和高，再利用梯形面积公式计算面积． 【详解】（1）解：， ， 的周长为 ； （2）解：， ， ， 答：梯形的面积为． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·江西南昌·阶段检测）如图，在中，点D在边上，点E在边上，延长交于点F，且． (1)求证：为直角三角形； (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质： （1）根据全等三角形的性质可得，从而得到，再结合三角形内角和定理解答即可； （2）根据全等三角形的性质可得，再结合，，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴为直角三角形． （2）解∶ ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【压轴素养题型】 【题型6】利用全等性质判定直线的位置关系 1.核心知识点 全等三角形对应角相等；平行线、垂线的判定定理 2.解题方法技巧 ①证平行：通过全等得到同位角、内错角相等，或同旁内角互补，进而判定平行； ②证垂直：通过全等推导角的关系，证明两直线夹角为，或利用直角三角形两锐角互余转化； ③注意角度的转化，避免将非同位角、非内错角直接用于平行判定。 【例题6】.（25-26七年级上·山东淄博·期中）如图，，．试判断与的关系，并说明理由． 【答案】，；理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理应用，熟练掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等，是解题的关键．根据全等三角形的性质，得出，，证明，即可得出答案． 【详解】解：，；理由如下： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式题6-1】.（24-25八年级上·河南新乡·期中）如图，，．判断与的关系，并证明你的结论． 【答案】且．证明见解析． 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，熟知全等三角形的对应角相等是解答此题的关键． 先根据得出，再由可知，，由可知，故，由此可得出结论． 【详解】解：且，证明如下： ， ， ， ， ， ， ，即． 【变式题6-2】.（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在的正方形方格中，每个小正方形的边长都是1．已知，则和的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质定理即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 【变式题6-3】.（22-23七年级下·江苏苏州·阶段检测）如图所示，已知于点，．    (1)若，，求的长． (2)试判断和的关系，并说明理由 【答案】(1)3 (2)，，理由见解析 【分析】（1）根据，得出， ，根据即可求解； （2）根据全等的性质得出，，然后由即可得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ， ∵，， ∴， ∴； （2）∵ ∴，， ∵， ∴ ∴ ∴，且． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形的内角和，解题的关键是掌握全等三角形对应边相等，对应角相等． 【题型7】网格中的全等三角形作图与探究 1.核心知识点 全等三角形的定义；格点作图的方法 2.解题方法技巧 ①利用网格的边长与直角特征，通过平移、对称、旋转构造全等三角形； ②分割类问题可从对称、等分边长入手，保证分割后的图形能完全重合； ③作图后可通过三边长度验证三角形全等，确保作图准确。 【例题7】.（25-26七年级下·全国·课后作业）在如图所示的方格图中作出两个全等的四边形． 【答案】解：如图四边形，四边形即为所求（答案不唯一）． 【分析】根据全等图形的定义画出图形即可（答案不唯一）． 【详解】略． 【变式题7-1】.（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在由边长为1的小正方形构成的的网格中，的顶点，，均在格点上，请按要求完成作图：①仅用无刻度的直尺；②保留作图痕迹并标注相关字母． (1)如图1，在网格内找一点，使得，作出（与不重合）． (2)如图2，作边上的中线，并求出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析，7 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理找到符合要求的点P即可； （2）与中间格线的交点即为中点D，再利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，点P即为所求．（点P在点A右侧一个单位格点处）； （2）解：如图所示，线段即为所求． 的面积． 【变式题7-2】.（25-26七年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中，画图并回答下列问题． (1)画 其中，，点C 在y 轴正半轴上，且距离原点1个单位； (2)若点 D 满足 轴， 轴，则点 D 的坐标是 ； (3)若 与 全等，请写出所有满足条件的点 E 的坐标 ． 【答案】(1)图见解析 (2) (3) 、、 【分析】本题考查了平面直角坐标系、全等三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据题意先得到点，然后在坐标系中描点、连线即可； （2）根据平面直角坐标系中点的坐标特点进行解题； （3）根据图形全等的性质，即对应边相等，结合网格的特点，找到点E进行解题． 【详解】（1）解：由题意知，， 如图所示，即为所求： （2）解：∵轴，轴， ∴点的纵坐标与的纵坐标相同，为1；点的横坐标与的横坐标相同，为2； ∴； 故答案为：． （3）解：如图，满足条件的点有三个，坐标分别为、、． 故答案为：、、． 【变式题7-3】.（25-26八年级上·广西防城港·阶段检测）在如图的平面直角坐标系中，画图并回答问题： (1)画，其中，，． (2)若点D满足轴，轴，求点D的坐标． (3)若与全等，请画出，并写出点E的坐标（写出一种情况即可）． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析，或或． 【分析】本题考查坐标与图形，坐标与平移，全等三角形的性质， （1）根据题意，描点、连线，画出即可； （2）根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等，平行于y轴的直线上的点的横坐标相等，即可得解； （3）分情况画出图形，进行求解即可． 【详解】（1）解：（1）如图所示，即为所求． （2）由（1）可知，∵点D满足轴，轴， ∴点D的坐标为． （3）如图所示，∵与全等， ∴点E的坐标为：或或． 易错点 1、对应元素找错：未按对应顶点顺序识别对应边、对应角，或误将非对应边、非对应角当作相等元素；公共边、公共角的对应关系判断失误。 2、性质误用：误以为全等三角形的任意边、任意角都相等，忽略“对应”前提；错用“周长相等则三角形全等”“面积相等则三角形全等”等错误结论。 3、位置关系证明错误：由全等得到角相等后，未判断角的位置关系，错误用非同位角、非内错角证明平行；垂直推导时角度和差计算出错。 重点 1、全等三角形的概念与三种全等变换，能准确识别对应顶点、对应边、对应角。 2、全等三角形的性质，能熟练运用对应边相等、对应角相等进行线段与角度的计算推理。 3、平移、翻折、旋转背景下全等三角形的性质应用，能结合图形变换解决简单几何问题。 难点 1、复杂图形中全等对应关系的准确识别，以及多组全等下的等量代换与逻辑推导。 2、动点、探究类问题中的分类讨论思想，以及实际情境中的全等建模与综合应用。 一、单选题 1．如图，已知，，，则的长为（     ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】因为已知，根据全等三角形的性质，对应边相等，所以首先确定与所求线段相关的对应边关系．观察图形可知点E在上，所以，因此需要先求出的长度。根据全等三角形对应边相等的性质，找到的对应边，代入数值计算即可得到的长度． 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴ 2．如图，与交于点，，点，是对应点，下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“对顶角相等”判断A选项，再根据全等三角形的性质判断其余三项． 【详解】解：与交于点， 与是对顶角， ， 故A选项正确； ， 、、、， 故B、C选项正确，D选项错误． 3．如图，已知，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先由全等三角形的性质得到，，然后利用三角形内角和定理求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴． 二、填空题 4．如图，已知，顶点A，B，C分别与顶点D，E，F对应，则________，________°． 【答案】 【分析】根据全等三角形的性质，对应边相等，对应角相等，由可得，，再利用三角形内角和定理求出的度数即可求解． 【详解】解：因为，且顶点，，分别与顶点，，对应， 所以，， 由图可知， 所以， 在中，根据三角形内角和定理，， 因为，， 所以， 所以， 即． 5．如图，在中，于点，是上一点．若，，，则的周长为________． 【答案】12 【分析】先根据全等三角形的对应边相等得，，进而得的周长，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴的周长． 6．如图，在四边形中，点在边上，连接．已知，若，．记，则___________（填“”，“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形面积公式，过点作，交于点，由得到，再根据三角形面积公式求出，，即可得出结论，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：过点作，交于点，如图： ∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题 7．如图，，写出其中相等的角． 【答案】，，， 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴. 8．如图，已知，，与相等吗？为什么？ 【答案】相等；理由： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】根据全等三角形的对应边相等进行求解即可． 【详解】略 9．如图．，点在边上，与相交于点． (1)若，，求线段的长； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)4 (2) 【分析】（）根据全等三角形对应边相等求解即可； （）根据全等三角形对应角相等得，则可求，进而根据求解即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， 又， ， ． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14.1 全等三角形及其性质 【本节预习目标】 1.理解全等形、全等三角形的概念，掌握平移、翻折、旋转三种全等变换的特征，发展空间观念。 2.能准确识别全等三角形的对应顶点、对应边、对应角，规范使用全等符号表示三角形全等。 3.掌握全等三角形的性质，能运用性质进行线段长度、角度大小的计算与推理，解决简单的几何问题。 4.能在网格、操作探究、实际情境中识别全等关系，体会几何直观与逻辑推理的结合，发展几何直观核心素养。 【前置旧知回顾】 知识模块 已学旧知内容 本节新知关联 三角形基础 三角形的边、角、顶点概念；三角形内角和为 全等三角形的对应元素识别依托三角形基本概念，角度计算依赖内角和定理 图形变换 平移、轴对称、旋转的基本特征，变换前后图形形状、大小不变 三种变换是得到全等三角形的重要途径，变换前后的三角形全等 线段与角 线段的和差计算、角的和差计算；平行线、垂线的判定 利用全等三角形性质得到等线段、等角，进而推导位置关系与数量关系 知识点1：全等形与全等三角形 1.全等形 文字定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形。 数学特征：形状相同、大小相等，与图形的位置、摆放方向无关。 几何变换结论：一个图形经过平移、翻折（轴对称）、旋转后，位置发生变化，但形状、大小完全不变，即变换前后的两个图形全等。 2.全等三角形 文字定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 核心概念（几何对应关系）： 对应顶点：互相重合的顶点，记作，，； 对应边：互相重合的边，记作，，； 对应角：互相重合的角，记作，，。 符号表示：全等用符号“”表示，读作“全等于”。 规范记法：表示两个三角形全等时，对应顶点的字母必须写在对应位置上。 示例：若与中，点与、与、与分别对应，则记作。 知识点2：全等三角形的对应元素确定 确定方法 具体说明 字母顺序法 根据全等符号的书写规范，按对应顶点顺序直接确定对应边、对应角 图形特征法 公共边、公共角、对顶角一定是对应元素；最长边对最长边，最短边对最短边；最大角对最大角，最小角对最小角 位置关系法 对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角 知识点3：全等三角形的性质 1.基本性质（核心性质，几何证明标准推理语言） 文字表述：全等三角形的对应边相等，对应角相等。 符号推理格式（几何书写规范）： 2.拓展性质（推导性质） 周长：全等三角形的周长相等。 符号表述：若，则。 面积：全等三角形的面积相等。 符号表述：若，则。 对应线段：全等三角形对应边上的高、对应边上的中线、对应角的角平分线分别相等。 【基础巩固题型】 【题型1】全等形与全等三角形的识别 1.核心知识点 全等形的定义；全等三角形的判定要素 2.解题方法技巧 ①判断全等形紧扣“形状相同、大小相等，能完全重合”两个标准，缺一不可； ②等边三角形、正方形等仅形状相同的图形不一定全等，需同时满足大小相等； ③经过平移、翻折、旋转变换得到的三角形与原三角形一定全等。 【例题1】.（25-26八年级上·全国·单元测试）下列各组中的两个图形属于全等形的是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·江苏南京·期中）下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等 C．周长相等的两个三角形全等 D．全等三角形的对应边相等 【变式题1-2】.（25-26八年级上·云南昆明·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．周长相等的两个三角形一定全等 B．全等的两个三角形周长一定相等 C．任意两个三角形一定不全等 D．等边三角形一定全等 【变式题1-3】.（25-26八年级上·北京·期中）下列四个选项中，与如图不是全等图形的是（   ） A． B． C． D． 【题型2】全等三角形的符号表示与对应元素识别 1.核心知识点 全等符号的规范书写；对应顶点、对应边、对应角的确定 2.解题方法技巧 ①书写全等式时严格按对应顶点顺序排列，根据字母顺序可快速定位对应元素； ②公共边、公共角、对顶角是天然的对应元素，可作为突破口； ③结合图形大小特征，用“大对大、小对小”辅助验证对应关系。 【例题2】.（25-26七年级下·全国·单元复习）如图，已知，指出它们的对应顶点、对应边和对应角． 【变式题2-1】.（24-25七年级上·广西南宁·阶段检测）如图，，点C和点B是对应顶点，则边的对应边是（　　） A． B． C． D．   【变式题2-2】.（25-26八年级上·北京·课堂例题）如图所示，在两个全等三角形中，点A和点E是一组对应顶点，写出其余的对应顶点、对应边和对应角． 【变式题2-3】.（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，已知，试找出对应边，对应角． 【题型3】利用全等三角形性质求角度 1.核心知识点 全等三角形对应角相等；三角形内角和定理；角的和差计算 2.解题方法技巧 ①先根据全等关系找到已知角的对应角，将已知角度转移到目标三角形中； ②结合三角形内角和、外角性质，通过角的和差运算推导未知角； ③涉及角平分线、垂直等条件时，先推导特殊角度，再结合全等性质计算。 【例题3】.（25-26七年级下·海南儋州·期末）如图所示的两个三角形全等，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（25-26七年级下·山西运城·阶段检测）如图，已知，若，则的度数为（     ）． A． B． C． D． 【变式题3-2】.（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，，若，，且，则的度数为 _________ 度． 【变式题3-3】.（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，已知，求的度数． 【培优提升题型】 【题型4】利用全等三角形性质求线段长度 1.核心知识点 全等三角形对应边相等；线段的和差计算 2.解题方法技巧 ①通过全等将未知线段转化为已知线段，或建立线段间的等量关系； ②共线线段问题可利用“和差法”，如； ③多组全等的图形中，逐步传递等量关系，最终求出目标线段。 【例题4】.（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，已知，且，，则的长为（     ） A．10 B．8 C．6 D．4 【变式题4-1】.（25-26八年级上·四川宜宾·期中）如图，已知，若，，，则的长为（     ） A．2 B．3 C．5 D．6 【变式题4-2】.（25-26七年级下·江西抚州·期中）如图，且，，，则______． 【变式题4-3】.（25-26七年级下·河南周口·期末）如图，≌，，，，． (1)求的长度； (2)求的度数． 【题型5】全等三角形的周长与面积计算 1.核心知识点 全等三角形周长相等、面积相等的拓展性质 2.解题方法技巧 ①全等三角形周长、面积分别相等，无需单独计算即可直接等量代换； ②重叠部分面积问题，可利用“全等面积相等，同时减去公共部分，剩余部分面积仍相等”简化计算； ③周长问题常结合对应边相等，将分散的线段转化到同一直线上求和。 【例题5】.（25-26八年级上·河南周口·阶段检测）已知 的周长是15，那么的周长是______． 【变式题5-1】.（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在中，点，分别在边，上，连接，，若，，且的周长比的周长大，则的周长为（ ） A． B． C． D． 【变式题5-2】.（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图，三点在同一条直线上，的周长为． (1)求的长． (2)求梯形的面积． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·江西南昌·阶段检测）如图，在中，点D在边上，点E在边上，延长交于点F，且． (1)求证：为直角三角形； (2)若，求的面积． 【压轴素养题型】 【题型6】利用全等性质判定直线的位置关系 1.核心知识点 全等三角形对应角相等；平行线、垂线的判定定理 2.解题方法技巧 ①证平行：通过全等得到同位角、内错角相等，或同旁内角互补，进而判定平行； ②证垂直：通过全等推导角的关系，证明两直线夹角为，或利用直角三角形两锐角互余转化； ③注意角度的转化，避免将非同位角、非内错角直接用于平行判定。 【例题6】.（25-26七年级上·山东淄博·期中）如图，，．试判断与的关系，并说明理由． 【变式题6-1】.（24-25八年级上·河南新乡·期中）如图，，．判断与的关系，并证明你的结论． 【变式题6-2】.（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在的正方形方格中，每个小正方形的边长都是1．已知，则和的关系是（   ） A． B． C． D． 【变式题6-3】.（22-23七年级下·江苏苏州·阶段检测）如图所示，已知于点，．    (1)若，，求的长． (2)试判断和的关系，并说明理由 【题型7】网格中的全等三角形作图与探究 1.核心知识点 全等三角形的定义；格点作图的方法 2.解题方法技巧 ①利用网格的边长与直角特征，通过平移、对称、旋转构造全等三角形； ②分割类问题可从对称、等分边长入手，保证分割后的图形能完全重合； ③作图后可通过三边长度验证三角形全等，确保作图准确。 【例题7】.（25-26七年级下·全国·课后作业）在如图所示的方格图中作出两个全等的四边形． 【变式题7-1】.（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在由边长为1的小正方形构成的的网格中，的顶点，，均在格点上，请按要求完成作图：①仅用无刻度的直尺；②保留作图痕迹并标注相关字母． (1)如图1，在网格内找一点，使得，作出（与不重合）． (2)如图2，作边上的中线，并求出的面积． 【变式题7-2】.（25-26七年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中，画图并回答下列问题． (1)画 其中，，点C 在y 轴正半轴上，且距离原点1个单位； (2)若点 D 满足 轴， 轴，则点 D 的坐标是 ； (3)若 与 全等，请写出所有满足条件的点 E 的坐标 ． 【变式题7-3】.（25-26八年级上·广西防城港·阶段检测）在如图的平面直角坐标系中，画图并回答问题： (1)画，其中，，． (2)若点D满足轴，轴，求点D的坐标． (3)若与全等，请画出，并写出点E的坐标（写出一种情况即可）． 易错点 1、对应元素找错：未按对应顶点顺序识别对应边、对应角，或误将非对应边、非对应角当作相等元素；公共边、公共角的对应关系判断失误。 2、性质误用：误以为全等三角形的任意边、任意角都相等，忽略“对应”前提；错用“周长相等则三角形全等”“面积相等则三角形全等”等错误结论。 3、位置关系证明错误：由全等得到角相等后，未判断角的位置关系，错误用非同位角、非内错角证明平行；垂直推导时角度和差计算出错。 重点 1、全等三角形的概念与三种全等变换，能准确识别对应顶点、对应边、对应角。 2、全等三角形的性质，能熟练运用对应边相等、对应角相等进行线段与角度的计算推理。 3、平移、翻折、旋转背景下全等三角形的性质应用，能结合图形变换解决简单几何问题。 难点 1、复杂图形中全等对应关系的准确识别，以及多组全等下的等量代换与逻辑推导。 2、动点、探究类问题中的分类讨论思想，以及实际情境中的全等建模与综合应用。 一、单选题 1．如图，已知，，，则的长为（     ） A．4 B．5 C．6 D．8 2．如图，与交于点，，点，是对应点，下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 3．如图，已知，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．如图，已知，顶点A，B，C分别与顶点D，E，F对应，则________，________°． 5．如图，在中，于点，是上一点．若，，，则的周长为________． 6．如图，在四边形中，点在边上，连接．已知，若，．记，则___________（填“”，“”或“”） 三、解答题 7．如图，，写出其中相等的角． 8．如图，已知，，与相等吗？为什么？ 9．如图．，点在边上，与相交于点． (1)若，，求线段的长； (2)若，，求的度数． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $