第一章 专题3 线段的垂直平分线与角平分线的给合&专题4 &问题解决策略：反思-【中考123】2025-2026学年八年级下册数学全程导练(北师大版·新教材)

全程导练·数学·北师版·八年级·下册 专题3 线段的垂直平 类型1利用角平分线与线段的垂直平分线的性质 进行计算 1.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC,线段BC的垂 直平分线交BC于点E,交BD于点F,连接CF. (1)若∠A=60°，∠ABD=24°，求∠ACF的度数； (2)若BC=5,BF:FD=5:3,SABCF=10,求点D到 边AB的距离. D 1题图 类型2利用尺规作图解决问题 2.如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=40° (1)利用直尺和圆规作图（要求：保留作图痕迹， 不写作法)： ①在BC上求作一点D,使得AD+DC=BC; ②连接AD,在DC上找一点E,使得点E到 AD,AC的距离相等； (2)在(1)所作的图中，求∠DAE的度数. 2题图 26 见此图标照微信打码进人初中智慧学园自 分线与角平分线的综合[答案四] 类型3利用角平分线与线段的垂直平分线的性质 进行证明 3.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,DG垂直平分 BC,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F. (1)求证：BE=CF; (2)如果AB=5,AC=3,求AE,BE的长 3题图 4.如图，已知在△ABC中，BC边的垂直平分线DE 与∠BAC的平分线交于点E,EF⊥AB交AB的延 长线于点F,EGLAC交AC于点G.求证： (1)BF=CG; (2)AF-(AB+AC). 4题图 第一章三角形的证明及其应用又 专题4构造等腰三角形的常用方法 [答案P10] 类型1利用平行线构造等腰三角形 类型3利用截长补短法构造等腰三角形 1.如图，在△ABC中，AB=AC,在AC上取点E,在3.如图，∠BAD=120°，BD=DC,AB+AD=AC.求 AB的延长线上取点D,使BD=EC,连接DE交 证：AC平分∠BAD. BC于点F.求证：DF=EF 3题图 D 1题图 类型2角平分线+垂线→等腰三角形 4.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D, 2.如图，在△ABC中，∠ABC=3∠C,AD平分∠BAC, 且∠B=2∠C.求证：AB+BD=AC BE1AD于点E求证：BE=7(AC-AB). D 4题图 2题图 见此图标器微信打码进人初中智慧学园自 27 又全程导练·数学·北师版·八年级·下册 ☆问题解决 知识要点分类练华' 餐知识点■等腰三角形中的相等线段 1.（教材母题变式)如图，在△ABC中，若AB=AC, BD,CE分别平分∠ABC和∠ACB,BD与CE交于 点O,则下列结论不一定正确的是 A.∠ABD=∠ACE B.BD=CE C.OC=DC D.AE=AD 1题图 2.在等腰三角形ABC中，AB=AC,下列说法不一定 正确的是 A.BC边上的高和中线互相重合 B.AB,AC边上的中线相等 C.在△ABC中，顶点B处的角平分线和顶点C处 的角平分线相等 D.AB,BC边上的高相等 3.如图，在△ABC中，AB=AC,CD⊥AB于点D, BE⊥AC于点E.若BC=13,BE=12,则BD的长 为 B 3题图 4.如图，在△ABC中，已知AB=AC,AD平分∠BAC, 点M,N分别在边AB,AC上，AM=2MB,AN= 2NC.求证：Dm=DN. 4题图 28 见此图标器微信打码进人初中智慧学园自 策略：反思 [答案P11] 5.求证：等腰三角形两底角的平分线相等， 根据条件和结论，结合图形，写出“已知”“求证” 和证明过程 【探究】 (1)等腰三角形两腰上的高相等吗？还有其他的 结论吗？（不需要证明) 【拓展】 (2)已知：如图，在△ABC中，AB=AC,点D,E分 别在边AC和AB上. ①如果∠ABD=号∠ABC,∠ACE=写∠ACB, 那么BD=CE吗？如果∠ABD=子∠ABC, ∠ACE=4∠ACB呢？由此你能得到一个 什么结论？ ②如果AD=AC,AB=}AB,那么BD=CE 吗？如果AD=了4C,AB=兮4B呢？由此 你能得到一个什么结论？（不需要证明) B 5题图·AB=AC,AO为∠BAC的平分线， ∴AO也是底边BC上的垂直平分线. 又.·DO是AB的垂直平分线， ·.O是△ABC三边垂直平分线的交点， ∴.0B=0C,∠0CB=LOBC=36. 将∠C沿EF折叠，点C与点O恰好重合， ∴.0E=CE,∴.∠C0E=∠OCB=36 在△0CE中，∠0EC=180°-∠C0E-∠0CB=180°- 36°-36°=108°. 第2课时三角形三条内角平分线 【知识要点分类练】 1.A2.A3.125 4.证明：过点P作PD⊥BA交BA延长线于点D,PE⊥AC交 AC于点E,PF⊥BC交BC延长线于点F, AP是△ABC的外角平分线，PD⊥BA,PE⊥AC, .∴.PD=PE :CP是△ABC的外角平分线，PE⊥AC,PF⊥BC, ∴.PE=PF,∴.PD=PF 又：PD⊥BA,PF⊥BC,∴.BP为∠MBN的平分线. 5.(1)证明：如答图，过点E作EH⊥AB交BA的延长线于点 H,EF⊥BC于点F,EG⊥AD于点G. AD平分∠BAC,LBAC=120°， ∴，∠BAD=∠CAD=60. .*∠CAH=180°-120°=60°， .AE平分∠HAD,.EH=EG .·BE平分∠ABC,EH⊥AB,EF⊥BC, ∴.EH=EF,∴.EF=EG ∴点E到DA,DC的距离相等 ⊙ E FD B 5题答图 (2)解：由(1)知DE平分∠ADC,∠BAD=60°， ∠EDC=∠CD1, :子∠CDA=LDEB+7LABC, ∠DEB=7(LCDA-∠ABC)=2∠BAD=30 6.C 7.解：如答图，分别作三角形绿地两个内角的平分线，交点P 即为小亭的位置 7题答图 【能力提升综合练】 8.B9.C10.2:3:4 参考答案及解析 11.解：如答图，连接OC,过点O作OE⊥AB于点E,0F⊥AC 于点F .O是△ABC的角平分线AO和BO的交点，OD⊥BC,OE ⊥AB,OF⊥AC, .OD=OE =OF. 0D=4,∴.0E=0F=4. ,AB=15,BC=14,AC=13, 5SMc=7×15x4+7×14x4+号x13x4=84 B D 11题答图 【素养探究创新练】 12.(1)证明：B0平分∠ABC, .∴.∠OBC=∠OBE. EF∥BC,.∠EOB=∠OBC, ·.∠EOB=∠OBE,∴.△BEO是等腰三角形. (2)解：∠EOB=∠OBE,∴.BE=OE.同理，CF=OF, .△AEF的周长=AE+OE+AF+OF=AE+BE+AF+CF =AB+AC=5+4=9. (3)解：如答图，过点O作OM⊥AB于点M,ON LAC于点N B0平分∠ABC,C0平分∠ACB,OG⊥BC, .0M=0G,0W=0G,.0M=0N. OM⊥AB,ON⊥AC,∴.AO平分∠BAC, ∠0AB=号∠BAC=子×60°=30 M E 0.- F G C 12题答图 微专题4与角平分线有关的面积问题 【例】6：7：5 【变式训练】1.6cm2.2 专题3线段的垂直平分线与角平分线的综合 1.解：(1)BD平分∠ABC, ∴.∠CBA=2∠CBD=2∠ABD=48°， .∠ACB=180°-60°-48°=72°. ·线段BC的垂直平分线交BC于点E, ∴.∠BEF=∠CEF=90°，FB=FC. 在Rt△BEF和Rt△CEF中， BF=CF, EF=EF, 9… 全程导练·数学·北师版·八年级·下册 ∴.Rt△BEF≌Rt△CEF(HL), .∠FCB=∠FBC=24°， .∴.∠ACF=∠ACB-∠FCB=72°-24°=48°. (2)如答图，过点D作DG⊥BC于点G,DH⊥AB于点H. .·BD平分∠ABC,DG⊥BC,DH⊥AB, .∴.DH=DG BF:FD=5:3,S△BCr=10, .S△Dcr=6, ∴.S△BCD=S△BCR+S△DCr=16. c=500.5=16, DG=32 .DH=DG 32 , 即点D到边AB的距离为32 E GC 1题答图 2.解：(1)①如答图，点D即为所求 ②如答图，点E即为所求 B D为 2题答图 (2):DF垂直平分AB, ∴.DB=DA,.∠DAB=∠B=30°. ∠C=40°，.∠BAC=180°-30°-40°=110°， ∴.∠DAC=110°-30°=80° A5平分∠DAC,∠DAE=分LDAC=40 3.(1)证明：连接BD,CD. ,·AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC ∴.DE=DF,∠BED=∠CFD=90° DG垂直平分BC,∴.BD=CD. 在RL△BED和RL△CFD中， BD=CD, DE =DF, .Rt△BED≌Rt△CFD(HL),∴.BE=CF. (2)解：在△AED和△AFD中， r∠AED=∠AFD, ∠EAD=∠FAD, LAD=AD, .△AED≌△AFD(AAS),∴AE=AF. ·10. 设BE=x,则CF=x .AB=5,AC=3,AE=AB-BE,AF=AC+CF, ∴.5-x=3+x, 解得x=1, .BE =1,AE =AB-BE=5-1=4. 4.证明：(1)连接BE,CE,如答图. :AE平分∠BAC,EF⊥AB,EG⊥AC, .EF =EG. B D DE垂直平分BC, ∴.EB=EC. 在Rt△EFB和Rt△EGC中， E [EB=EC, 4题答图 EF=EG, .∴.Rt△EFB≌Rt△EGC(HL), .BF=CG. (2).BF=CG, .AB +AC=AB+AG+GC=AB+AG+BF=AF+AG. 在R△AEF和RL△AEG中， 「AE=AE, EF=EG, .∴.Rt△AEF≌Rt△AEG(HL), .AF=AG. .AF-(F+AG)B+AC). 专题4构造等腰三角形的常用方法 1.证明：如答图，过点E作EG∥AB,交BC于点G,则∠CGE= ∠ABC,∠GEF=∠D,∠DBF=∠EGF AB=AC,.∠ABC=∠C, .LC=LEGC,..CE =EG. ,CE=BD,∴.BD=GE. 在△DBF和△EGF中， r∠DBF=∠EGF, BA DB=EG, ∠D=∠GEF, D .∴.△DBF≌△EGF(ASA), 1题答图 .DF=EF. 2.证明：延长BE交AC于点F,如答图 ,·BF⊥AD,∴.∠AEB=∠AEF AD平分∠BAC, ∴.∠BAE=∠FAE B 在△ABE和△AFE中， LAEB=∠AEF, AE=AE. L∠BAE=∠FAE, 2题答图 .△ABE≌△AFE(ASA), ∴.∠ABF=∠AFB,AB=AF,BE=EF ∠C+∠CBF=∠AFB=∠ABF, ∠ABF+∠CBF=∠ABC=3∠C, ∴.∠C+2∠CBF=3∠C, .∠CBF=∠C,.BF=CF, .BE=BF-2CF. 2 .·CF=AC-AF=AC-AB. .BE(AC-AB). 3.证明：如答图，延长BA到点E,使AE=AD,连接DE. AB+AD=AC, ∴，BE=AB+AE=AB+AD=AC. ∠BAD=120°，∴.∠DAE=60°， .△ADE是等边三角形， .DE=AD,∠E=60° 又BD=DC, ∴.△BDE≌△CDA, C ∴.∠CAD=∠E=60°， 3题答图 .∠BAC=∠BAD-∠CAD=60°， .AC平分∠BAD. 4.证明：在边AC上截取AP=AB,连接PD. ·AD是∠BAC的平分线， ∴.∠BAD=∠PAD 在△ABD和△APD中， rAB=AP, ∠BAD=∠PAD. LAD=AD, .△ABD≌△APD(SAS), ∴.∠APD=∠B,.PD=BD .·∠B=2∠C,∠APD=∠PDC+∠C, ∴.∠PDC=∠C,∴.PD=PC,∴.BD=PC, .AB+BD=AP+PC=AC. ☆问题解决策略：反思 【知识要点分类练】 1.C2.D3.5 4.证明：：AM=2MB,AN=2NC, 六M=号a,aw=子C 3 又，'AB=AC,∴.AM=AN. AD平分∠BAC,∴.∠MAD=∠NAD. 又.AD=AD,∴.△AMD≌△AND,.DM=DN 5.解：已知：在△ABC中，AB=AC,BD和CE分别是∠ABC和 ∠ACB的平分线. 求证：BD=CE. 证明：，AB=AC,∴.∠ABC=∠ACB. ·BD和CE分别是∠ABC和LACB的平分线， ∠DBC=7∠ABC,∠BcB=3∠ACB, ∴.∠DBC=∠ECB. 在△DBC和△ECB中， ∠DCB=∠EBC, BC=CB, L∠DBC=∠ECB, .△DBC≌△ECB(ASA),.BD=CE, 即等腰三角形两底角的平分线相等。 参考答案及解析 (1)等腰三角形两腰上的高相等. 其他结论：两腰上的中线与其底边的夹角相等；两腰上的高 与其底边的夹角相等.（答案不唯一) (2)①.AB=AC,∴.∠ABC=∠ACB :∠ABD=号∠ABC,∠ACE=号∠ACB, ∴.∠ABD=∠ACE. 又∠A=∠A,.△ABD≌△ACE,BD=CE. 同理可证，当∠ABD=子∠ABC,LACB=4LACB时，BD =CE. 结论：在△ABC中，AB=AC,点D,E分别在边AC和AB上， 当∠ABD=元∠ABC,LACE=∠ACB(n为正整数，且n ≥2)时，BD=CE. ②如果AD=子4C,AB=号AB,那么BD=CE 如果AD=号AC,AB=号AB,那么BD=CE 结论：在△ABC中，AB=AC,点D,E分别在边AC和AB上， 当0=六4C,能=8n为正整数，且≥2)时，B0=CE 第一章易错强化训练 1.A2.A3.D4.D5.D 6.247.13或√/1198.20°或70 9.解：(1)若∠A为顶角，则∠B=之(180°-∠A)=50: 若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B=180°-2×80°=20°； 若∠A为底角，∠B为底角，则∠B=∠A=80. 综上，∠B的度数为50°，20°或80°. (2)分两种情况： ①当90°≤x<180时，∠A只能为顶角， ·∠B的度数只有一个； ②当0°<x<90时，若LA为顶角，则∠B=180°-￥， 2 若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B=180°-2x: 若∠A为底角，∠B为底角，则∠B=x ·∠B有三个不同的度数， 1800-*≠180°-2x且1800-2x≠x且1809-￥≠x, 2 2 .x≠60° 综上，当∠B有三个不同的度数时，x的取值范围是0°<x< 90°且x≠60°. 第一章章未复习 【知识体系构建】 ①180°②和③大于④n-2）·180° ⑤360。 n ⑥等角对等边⑦一半⑧互余⑨相等0相等 【常考题型训练】 1.D2.C3.144° 4.解：(1)：∠BAC=80°，∠C=40°， .∠ABC=180°-∠BAC-∠C=60°. 11·