第一章 勾股定理复习课-练习题 2026-2027学年北师版八年级数学上册

**基本信息** 初中数学单元复习同步练，分层设计清晰，以勾股定理为核心，从基础概念到综合应用递进，融入数学文化与实际情境，培养几何直观、推理意识与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|勾股定理及逆定理、基本计算|选择题1-6直接考查概念辨析，如古埃及画直角原理（勾股定理逆定理）| |能力提升|综合计算与几何变换|填空题11-15结合《九章算术》古算题、折叠问题，培养数学眼光| |综合应用|实际问题解决与拓展探究|解答题17-23涉及台风影响、云梯长度等生活情境，强化模型意识与推理能力|

复习课 一、选择题： 1.古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的个结，然后以个结间距、个结间距、个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角是直角，这样做的道理是(    ) 第1、2、3、4、7题图 A. 直角三角形两个锐角互余B. 三角形的稳定性C. 勾股定理D. 勾股定理的逆定理 2.如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形已知正方形，，，的面积分别是，，，，则正方形的面积是(    ) A. B. C. D. 3.如图，我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形如果大正方形的面积是，小正方形的面积是，直角三角形的两直角边长分别为，，那么的值是(    ) A. B. C. D. 4.如图，在水塔的东北方向处有一抽水站，在水塔的东南方处有一建筑工地，在间建一条直水管，则水管的长为(    ) A. B. C. D. 5.已知直角三角形的两条边长分别是和，那么这个三角形的第三条边长的平方为(    ) A. B. C. D. 或 6.以下列各组数据为三角形的三边，能构成直角三角形的是(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 7.如图，折叠长方形，点落在边上的点处，折痕为，已知，，则的长为(    ) A. B. C. D. 8.勾股定理的验证方法很多，用面积拼图证明是最常见的一种方法一个直立的长方体在桌面上慢慢地倒下，其示意图如图所示，启发人们想到勾股定理的证明方法设，，，证明中用到的面积相等关系是(    ) A. B. C. D. 第8、9、11、12、13题图 9.如图，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使点落在直角边的延长线上的点处，折痕为，则的长为(    ) A. B. C. D. 10.已知的三个内角分别为，，，三边分别为，，，下列条件不能判定是直角三角形的是(    ) A. B. C. D. 二、填空题： 11.九章算术是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈问户高、广各几何”其意思为：今有一门，高比宽多尺寸，门对角线的长恰好为丈问门的高、宽各是多少丈尺，尺寸如图，设门高为尺，根据题意，可列方程为             ． 12.如图，分别以此直角三角形的三边为直径在三角形外部画半圆．已知，，则          ． 13.如图，正方体的棱长为，点为一条棱的中点，蚂蚁在正方体侧面爬行，从点爬到点的最短路程是          ． 14.明明同学在帮妹妹完成折纸手工作业的时候，发现其中蕴含着数学问题：如图，在中，，，，沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，再次折叠，使点与点重合，折痕交于点，则的长为          ． 第14、15题图 15.如图，小明按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：一脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯屈，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳长即合适长度．将图抽象成图，若两手握住的绳柄两端距离约为，小臂到地面的距离约，则适合小明的绳长为           三、解答题： 16.阅读与思考：请阅读下列材料，完成相应任务． 从勾股定理的“无字证明”谈起 在勾股定理的学习过程中，我们已经学会运用一些几何图形验证勾股定理如图是古印度的一种证明方法：过正方形的中心，作两条互相垂直的直线，将正方形分成份，所分成的四部分和一小正方形恰好能拼成一个大正方形这种方法，不用运算，单靠移动部分图形就直观地证出了勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，被誉为“无字证明”． 意大利著名画家达芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理，其中图的空白部分由两个正方形和两个直角三角形组成，图的空白部分由两个直角三角形和一个正方形组成设图中空白部分的面积为，图中空白部分的面积为． 任务： 下面是小亮利用图验证勾股定理的过程，请你帮他补充完整． 解：根据题意，得          ，． 因为，即          ，所以          ． 我国是最早了解勾股定理的国家之一数学家刘徽在为九章算术作注时依据割补术创造了勾股定理的无字证明“青朱出入图”，如图．如图，若记朱方对应正方形，其边长为，青方对应正方形，其边长为，已知，，则图中的阴影部分面积为          ． 实际上，我们已经学过了用其他的数形结合的方法验证勾股定理，请你尝试举出与上述不同的可用“无字证明”验证勾股定理的例子，画出图形． 17.台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点与监测点所在的直线由东向西移动，已知点为一海港，且点与，两点的距离分别为，，且，过点作于点，以台风中心为圆心，半径为的圆形区域内为受影响区域．求监测点与监测点之间的距离；请判断海港是否会受此次台风的影响，并说明理由；若台风的速度为，则台风影响该海港多长时间？ 18.如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是，点，，均在格点上．图中线段          ，          ，          判断的形状，并说明理由若于点，求的长． 19.勾股定理神秘而美妙，探索方法多样、巧妙，各有不同，其中的面积法给了小聪灵感，他惊喜地发现，当两个完全一样的直角三角形如图或图摆放时，都可以用面积法来说明勾股定理下面是小聪利用图说明勾股定理的过程：如图，其中，试说明． 解：如图，连接，，过点作边上的高，易得． ， ， ， ． 请参照上述方法，利用图说明勾股定理． 20.如图，某校高的教学楼楼顶上有一块高的校训宣传牌为安全起见，对校训宣传牌进行维护一辆高的工程车在教学楼前点处，伸长的云梯云梯的最大长度为刚好接触到的底部点处问工程车向教学楼方向行驶多少米，长的云梯刚好接触到的顶部点处 21.某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一片绿地阴影部分如图，已知，，，，技术人员通过测量确定了．小区内部分居民每天必须从点经过点再到点位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点直通点的小路，请问如果方案落实，那么居民从点到点将少走多少路程？这片绿地的面积是多少？ 22.某市为了创建文明城市，采用移动宣讲的形式进行宣传动员如图，笔直公路的一侧点处有一学校，学校到公路的距离若宣讲车周围以内能听到广播宣传，宣讲车在公路上沿到的方向行驶． 请问学校能否听到广播宣传请说明理由如果能听到，已知宣讲车的速度是，求学校总共能听到多长时间的广播宣传． 23.国务院关于印发全民健身计划年的通知文件提出，加大全民健身场地设施供给，进一步增加全民健身的热情我市某健身广场为方便群众夜间健身活动，在广场部分位置加装照明灯，向阳兴趣小组利用课余时间测量照明灯灯板的长，因不方便直接测量，设计方案如下： 课题 测量照明灯灯板的长 方案及说明 工具 竹竿、米尺 方案及图示 相关数据及说明 竹竿长度为，灯板垂直地面于点，线段，表示同一根竹竿第一次将竹竿的一个端点与点重合，另一个端点落在地面的点处，第二次将竹竿的一个端点与点重合，另一个端点落在地面的点处已知． 计算过程 请根据上述方案中的内容，计算的长． 答案和解析 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 【解析】门高为尺，则门宽为尺，丈尺，，． 12. 13. 14. 15. 16.【小题】 【小题】 【小题】答案不唯一，如图：   17.【小题】解：在中，，， ，  答：监测点与监测点之间的距离为． 【小题】解：海港会受台风影响，理由如下： ，， ， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， 海港会受到此次台风的影响． 【小题】解：如图，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，，  则时，正好影响港口，  在中， ， ， 台风的速度为，   答：台风影响该海港持续的时间为． 18.【小题】  【小题】 是直角三角形，理由如下： 由得，，， ， 即，， 是直角三角形． 【小题】， ， ． 19.解：连接，，过点作边上的高，易得． ， ， ，． 20.解：如图，过点作交于点，则点，，在同一直线上， 由题意，得，， 在中，由勾股定理得，， 在中，由勾股定理得，， ． 答：工程车向教学楼方向行驶米，长的云梯刚好接触到的顶部点处．   21.【小题】解：连接． ，，， ． ． ． 答：居民从点到点将少走的路程． 【小题】，，， ． 是直角三角形，． ，． ． 答：这片绿地的面积是． 22.【小题】学校能听到广播宣传，理由如下：学校到公路的距离为，学校能听到广播宣传 【小题】 如图， 假设宣讲车行驶到点时学校开始听到，离开点后不再听到，则，． 由勾股定理，得，，．，学校总共能听到的广播宣传  23.解：由题意可知，． 在中，，， 由勾股定理，得，． 在中，，， 由勾股定理，得，． ． 答：的长为．  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $