专题1 勾股定理与面积问题&专题2 勾股定理中的方程思想-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年新教材八年级上册数学（北师大版2024 江西专版）

BC=CD=AD=4a,∠B=∠C=∠D=90,所以CP=a,DF=3a,因为E是BC的中点，所以BE=CE=合BC=2a.在R△ABE 中，由勾股定理，得AE=AB2+BE=(4a)2+(2a)2=20a2.在Rt△EFC中，由勾股定理，得EF2=CE2+CF2=(2a)2十a2=5a2. 在Rt△ADF中，由勾股定理，得AF2=AD2+DF2=(4a)2+(3a)2=25a2,所以AE2+十EF=AF2.所以△AEF为直角三角形. 13.解：(1)④没有说明D,C,B三点在同一条直线上(2)证明如下：作CM⊥AC,垂足为C,在CM上截取CD=BC,连接AD.因 为∠ACD=90°，所以AC+CD2=AD2.因为AC+BC=AB2,CD=BC,所以AD=AB.所以AD=AB.在△ACD和△ACB中， (DC=BC, AC=AC,所以△ACD≌△ACB(SSS).所以∠ACB=∠ACD=90°.所以△ACB是直角三角形. AD-AB, 3勾股定理的应用 1.符合2.①③3.A4.C 5.解：设折断处离地面的高度为x尺.由勾股定理，得x2十62=(18-x)2,解得x=8.答：折断处离地面的高度为8尺 6.解：(1)在Rt△AOB中，由勾股定理，得AB2=AO十OB2=22+1.52=6.25,所以AB=2.5m.答：梯子的长为2.5m.(2)由题 意，得CD=AO十0.4=2.4m,BC=AB=2.5m.在Rt△BCD中，由勾股定理，得BD2=BC-CD2=2.52-2.42=0.49.所以BD =0.7m.所以OD=OB+BD=1.5+0.7=2.2(m). 7.158.4 9.解：(1)设AB=xdm,则BC=(16-x)dm.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC+BC2=AB2,所以82十(16-x)2=x2,解得x= 10.所以AB=10dm.所以绳子的总长度为AB+AC=10+8=18(dm).(2)若物体C升高7dm,则此时AB'=10+7=17(dm).在 Rt△AB'C中，由勾股定理，得B'C2=AB2-AC=172-82=225,所以B'C=15dm.由(1)，得BC=16-10=6(dm),所以BB= B'C-BC=15-6=9(dm).答：滑块B向左滑动的距离为9dm. 10.解：(1)能(2)能.乙组设计方案：在BC上量取BE=3cm,在AB上量取BF=4cm,再测量EF的长度.若EF=5cm,则边BC 垂直于边AB,否则就不垂直.（答案不唯一） 专题一勾股定理与面积问题【回归教材】 1.解：连接AC.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=AB2+BC=82+62=100,所以AC=10m.因为AC+CD2=102+242= 676,AD=676,所以AC+CD2=AD,所以△ACD是直角三角形，且∠ACD=90.所以S蒂n=SAD-S6Ae=?AC.CD -号AB·BC=合×10X24-号×8×6=96(m).答：这块地的面积为96m㎡. 2.解：连接AC.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=AB2+BC2=32+42=25,所以AC=5m.因为AC+AD2=52+122=169, CD=169,所以AC+AD=CD,所以△ADC是直角三角形，且∠CAD=90.所以SD=SaAc十Sc=号AB·BC+ 之AD·AC-号×3×4+合×12×5=36(m2).答：这块绿化地的面积是36m. 3.B4.645.66.20267.B 专题二勾股定理中的方程思想【回归教材·通性通法】 1.解：设OA=OB=x尺.因为EC=BD=5尺，AC=1尺，所以EA=EC-AC=4尺，OE=OA-EA=(x-4)尺.在Rt△OEB中， 由勾股定理，得OB2=OE2十EB2,即x2=(x-4)2+102,解得x=14.5.所以OB=14.5尺.答：秋千绳索OB的长为14.5尺. 2.华3是42566号【变式题27.10 问题解决策略：反思 【趣味情境引入】解：如图，作点B关于直线l的对称点B',连接AB,与直线交于点C,则点C就是饮马处，此时所走的路程之和 最短 B 【提出问题】解：如图，作点B关于点E的对称点B”,连接AB,与直线l交于点P,则点P就是新的饮马处，此时所走的路程之和最短. B专题一勾股定理与面积问题【回归教材】 类型1利用割补法求面积 3.如图，在四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC= 1.一块地如图所示，已知AB=8m,BC=6m, 90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个 ∠B=90°，AD=26m,CD=24m,求这块地 正方形，面积分别记为S1,S2,S3,S4.若S1= 的面积 36,S2=40,S4=58,则S3的值为( A.76 B.54 C.62 D.81 (第3题图) (第4题图) 4.如图，以Rt△ABC的两直角边为边向外分 别作两个正方形，以Rt△ABC的斜边为直 径向外作半圆.若半圆的面积为8π，则两个 正方形的面积之和为 2.如图，某小区计划对临街直角转弯处进行改 5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，分别以各 造，设计了一块绿化地（四边形ABCD),在 边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上 点D处放置一座雕像.已知AB=3m,BC= 称为“希波克拉底月牙”.若AC=3,BC=4, 4m,CD=13m,AD=12m,求这块绿化地 则阴影部分的面积为 的面积. 街 道 住宅 (第5题图) (第6题图) 6.规律探究新趋势如图，正方形ABCD的边长 B街道C 为a,其面积为S1,以CD为斜边作等腰直角 三角形，并以该等腰直角三角形的一条直角 边为边向外作正方形，其面积为S2…按照 此规律继续下去，若S.=2,则m的值为 类型3利用“赵爽弦图”求面积 类型2利用“勾股树”求面积（教材P20复习 7.数学文化新趋势(2024·南通中 题T3变式) 考)“赵爽弦图”巧妙地利用面积 基本模型：如图，沿着直角三角形的三边向外作正方 关系证明了勾股定理，如图所示 形、半圆、等腰直角三角形、等边三角形， 的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形 和中间的小正方形拼成的一个大正方形，设 直角三角形的两条直角边长分别为m,n (m>n).若小正方形的面积为5，(m十n)2= 21,则大正方形的面积为 () 结论：S1十S2=S3, A.12 B.13 C.14 D.15 9数学八年级上册配BSD版 专题二 勾股定理中的方程思想【回归教材·通性通法】 类型1单勾股列方程 4.如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸 名师点拨：单勾股列方程：在同一个三角形中，已知 片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上 一边长和另外两边之间的关系，据此关系设未知数， 的点B'处，点A的对应点为点A',且BC= 并分别表示出另外两边长，利用勾股定理构造方程 3,则AM的长是.（提示：连接BM,BM) 解题 (一)非折叠问题（教材P22复习题T11变式） 1.数学文化新趋势《西江月》中描述：平地秋千 未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺 B 板高离地…翻译为：如图，秋千OA静止的 (第4题图) (第5题图) 时候，踏板离地高一尺(AC=1尺)，将它往 类型2双勾股列方程 前推进两步(EB=10尺)，此时踏板升高，离 名师点拨：双勾股列方程：当两个直角三角形具有公共 地五尺(BD=5尺)，求秋千绳索OB的长， 边或相等的边时，利用其为中间桥梁构建方程（如图）. AB2-BD2=AC2-CD2 5.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D,AB= 17,AC=10.若BC=21,则CD的长为 6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是BC上 一点.若AB=8,AD=BD=5,则CD的长 为 (二)折叠问题（教材P13“尝试·思考”变式） 2.如图，在直角三角形纸片ABC中，∠C= 90°，AC=6cm,BC=8cm.将△ABC折叠， B (第6题图) (变式题图) 使点B与点A重合，折痕为DE,则BD的长 【变式题】如图，在△ABC中，AB=20,AC= 为 cm. 15,BC=7,则点A到BC的距离为 7.如图，露在水面上的鱼线BC的 长为6m,钓鱼者想看看鱼钩上 B (第2题图) (第3题图) 的情况，把鱼竿AC转动到AC 3.如图，在长方形纸片ABCD中，AB=4,AD=3, 的位置，此时露在水面上的鱼线 折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕 B'C'的长为8m.若BB的长为2m,则钓鱼 为DG,则AG的长为 竿AC的长为m, 第一章勾股定理10