6.3.1 平面向量基本定理专项训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 以基底概念为起点，通过“概念辨析-定理应用-参数求解-共线证明”四级递进训练，系统构建平面向量基本定理的方法体系与逻辑链条，培养数学抽象与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量|方法提炼|知识逻辑| |----|----|----|----| |基底的概念及辨析|4|共线向量判定法、基底不共线准则|从基底定义出发，通过反例辨析巩固概念本质| |平面向量基本定理|6|向量分解法、图形转化技巧|以定理为核心，结合三角形和平行四边形进行向量线性表示| |利用定理求参数|6|方程思想、系数对应法则|通过基底表示建立参数方程，强化定量计算能力| |共线定理证明点共线|6|向量共线定理、公共点判定法|从向量共线到点共线，构建几何位置关系的代数证明路径| |共线定理证明线平行|4|向量平行判定、方向相同性分析|延伸共线定理应用，实现线线位置关系的向量论证| |共线定理的应用|6|三点共线系数关系、基本不等式求最值|综合应用定理解决复杂图形中的参数与最值问题，提升数学思维|

6.3.1 平面向量基本定理 知识点一 基底的概念及辨析 1．若是平面内一组不共线的非零向量，则下列也可以作为一组基底向量的为（    ） ①和 ②和 ③               ④和 A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 2．向量，，若可以构成一个基底，则不可能是（     ） A．2 B．1 C． D． 3．已知单位向量，的夹角为60°，给出以下结论：（1）可以作为平面内的一个基底；（2）；（3）若与的夹角为，则；（4）.其中正确结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（ ） A． B． C． D． 知识点二 平面向量基本定理 5．中，是边上的中线，为中点，则（    ） A． B． C． D． 6．在中，点满足，点满足，则（ ） A． B． C． D． 7．为缅怀革命先烈，传承红色精神，学校组织学生前往刘胡兰纪念馆开展研学活动，研学路线可抽象为平面几何图形，如图所示，在中，点是线段的中点，，以，为基底，则（    ） A． B． C． D． 8．如图，平行四边形中，，，为线段上的点，且满足，则（     ） A． B． C． D． 9．在中，已知为边上的中线，则（    ） A． B． C． D． 10．在中，点，分别在边，上，且，，若与相交于点，则（    ） A． B． C． D． 知识点三 利用平面向量基本定理求参数 11．在中，均在上，，则（    ） A． B． C． D． 12．在中，为边上靠近点的三等分点，，则（   ） A． B． C． D． 13．在中，点D满足，且线段DB上存在一点E，使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 14．在平行四边形中，为的中点，若，则（     ） A． B． C． D． 15．在中，，是线段上的一点，若，则（  ） A． B． C． D． 16．已知G是的重心，过点G的一条直线分别交边于点M，交边于点N，满足，则下列等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 知识点四 平面向量共线定理证明点共线问题 17．已知，则下列一定共线的三点是（   ） A．A，B，C B．A，B，D C．B，C，D D．A，C，D 18．设为平面上四点，，且，则下列结论正确的是（   ） A．点在线段上 B．点在线段上 C．点在线段上 D．四点共线 19．已知是不共线的向量，且，则（   ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 20．已知向量与不共线，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 21．满足下列条件，能说明空间不重合的A、B、C三点共线的是（　　） A． B． C． D． 22．，是平面内不共线两向量，已知，，若，，三点共线，则的值为（   ） A． B． C．-4 D．4 知识点五 平面向量共线定理证明线平行问题 23．已知，是两个不共线的向量，且，，，则四边形的形状是（    ） A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．无法构成四边形 24．已知为非零向量，则“存在实数，使”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 25．已知，是同一平面内两个不共线的向量，则的是（   ） A．， B．， C．， D．， 26．在四边形中，对角线与交于点，若，则四边形一定是（   ） A．矩形 B．梯形 C．平行四边形 D．菱形 知识点六 平面向量共线定理的应用 27．如图，在中，，，与的交点为M，过M作动直线分别交线段，于E，F两点. (1)用，表示. (2)设，. ①求的值， ②求的最小值. 28．在中，已知，，其中边上的两条中线相交于点． (1)设，求的值． (2)求． 29．如图，在中，，点O在边BC上，且，过点O的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N． (1)设，，试用表示； (2)设，，求的最小值． 30．已知两个不共线的向量，，设，，． (1)若，求实数，的值； (2)设，且，，三点共线，其中，，，为坐标原点，求实数的值． 31．如图，设、是平面内相交成角的两条数轴，、分别是轴、轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标．假设． (1)设、，若、、三点共线，求实数的值； (2)设，求的面积． 32．设，是两个不共线的向量，． (1)已知，，，若A，B，C三点在同一直线上，求； (2)若，且与的夹角为，求的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D C C B A B C D A 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 B A A C C A B B B B 题号 21 22 23 24 25 26 答案 C A A B A B 1．B 【详解】对于①：由和，可得， 所以和是共线向量，不能作为一组基底向量； 对于②：设，可得，方程组无解， 所以和不共线，可以作为一组基底向量； 对于③：设，可得，方程组无解， 所以和不共线，可以作为一组基底向量； 对于④：设，可得，解得， 所以和是共线向量，不能作为一组基底向量. 故选：B. 2．D 【详解】由于可以构成一个基底，故向量与不共线， 故，解得． 3．C 【详解】由向量的加减运算可知，与不共线，可以作为平面内的一个基底， 所以（1）正确； 因为，所以，所以， 所以（2）正确； 因为，所以，所以（3）错误； 因为，所以，故（4）正确. 4．C 【详解】对于选项A，，两向量共线，不符合基底的定义，故A错误； 对于选项B，，两向量共线，不符合基底的定义，故B错误； 对于选项C，不存在实数，使得，故C正确； 对于选项D，，两向量共线，不符合基底的定义，故D错误. 5．B 【详解】如图所示，因为是边上的中线，为中点， 则.    6．A 【分析】根据题意结合平面向量基本定理即可求解. 【详解】已知且， 所以， 则. 7．B 【详解】由题意可知： 8．C 【详解】因为， 所以， 所以. 9．D 【详解】由向量加法的平行四边形法则可得，， 所以. 10．A 【分析】考查平面向量的线性运算及共线向量基本定理的应用，将向量利用条件分别用与来表示，利用系数相等求解即可. 【详解】因，所以， 可设； 设，则，则，解得， 所以. 11．B 【分析】根据平面向量共线定理可设，，再结合已知条件即可求解. 【详解】 设，， 则，则， 所以，即，故B正确. 12．A 【详解】由题意得， 所以，因此. 13．A 【分析】设，，，结合平面向量基本定理得到，再由二次函数单调性即可求解. 【详解】不妨设，，， 则， 则， 即， 则， 由平面向量基本定理得： 则，由二次函数性质可知，其在单调递减， ∴． 14．C 【分析】根据向量的线性运算法则，求得，即可求解. 【详解】如图所示，根据向量的线性运算法则，可得， 因为，所以. 15．C 【分析】根据题意，设，且，化简得到，结合，列出方程组，即可求解. 【详解】如图所示，因为点是线段上的一点，设，且， 可得，即 又因为，可得，解得. 16．A 【分析】首先利用重心的性质得到关于和的表达式，再结合已知条件将和用和表示，最后根据三点共线的性质列出等式求解. 【详解】设的中点为，因为是的重心，根据重心的性质可知， 又因为是的中点，所以，则， 代入条件可得：， 根据三点共线，则，故. 17．B 【分析】先考虑向量共线时，的位置关系，再考虑向量不共线时，利用向量共线定理和平面向量基本定理逐项判断即可. 【详解】若向量共线，则共线，此时共线， 当向量不共线时， 对于A选项，设 ，则 ，即 无解，A错误； 对于B选项， ，所以三点共线，B正确； 对于C选项，设 ，则 ，即 ，无解，C错误； 对于D选项， ，设 ， 即 ，即 ，无解，D错误． 18．B 【分析】对已知向量表达式变形推导得到三点共线，结合λ的取值范围判断点的位置，再结合点位置不确定的特点判断各选项即可. 【详解】由，移项可得，即，所以三点共线， 已知，因此与方向相同，且，故点在线段上， 对于A，若点在线段上，需满足，与题设矛盾，故A错误； 对于B，由上述推导可知，点在线段上，故B正确； 对于C，若点在线段上，需满足，与题设范围矛盾，故C错误； 对于D，题干未给出与直线的位置关系，无法判定四点共线，故D错误. 19．B 【分析】利用平面向量共线定理依次判断即可. 【详解】对于A，若共线，则存在实数使得，所以， 由于是不共线的向量，因此对应系数必须相等，即且，矛盾，因此不共线，故A错误； 对于B，，因此， 又因为向量与有一个公共点，因此三点共线，故B正确； 对于C，若共线，则存在实数使得，所以， 由于是不共线的向量，因此对应系数必须相等，即且，矛盾，因此不共线，故C错误； 对于D，， 若共线，则存在实数使得，所以， 由于是不共线的向量，因此对应系数必须相等，即且，矛盾，因此不共线，故D错误； 20．B 【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算，结合共线向量定理逐项判断即可得解. 【详解】对于A，因为，所以不存在常数，使得，即三点不共线，故A错误； 对于B，因为，所以，又， 所以，且点为公共点，故三点共线，故B正确； 对于C，因为，所以，又， 所以不存在常数，使得，即三点不共线，故C错误； 对于D，因为，所以不存在常数，使得，即三点不共线，故D错误. 21．C 【分析】利用空间向量共线的判定、空间共线向量定理的推论及应用逐一考查所给的说法是否正确即可. 【详解】对于空间中的任意三点，都有 ，说法A错误； 若，则，而， 据此可知，即两点重合，选项B错误； ，则A、B、C三点共线，选项C正确； ，则线段的长度与线段的长度相等， 不一定有A、B、C三点共线，选项D错误； 故选：C. 22．A 【分析】根据给定条件，利用向量共线列式求解即得. 【详解】由，，三点共线，得，又，，，不共线， 则，所以. 故选：A 23．A 【分析】根据题意求出，结合与的关系分析判断即可. 【详解】， 所以，且， 所以四边形是梯形. 24．B 【分析】根据共线向量定理及相关性质、充分必要条件的定义求解判断即可. 【详解】若存在实数，使，则共线； 若，则同向； 所以“存在实数，使”是“”的必要不充分条件. 25．A 【分析】根据，则，依次验证在每个选项的条件下，若，是否有解即可. 【详解】若，则， 选项A：若，则，解得，选项A正确； 选项B：若，则，无解，选项B错误； 选项C：若，则，无解，选项C错误； 选项D：若，则，无解，选项D错误. 故答案为：A. 26．B 【分析】利用向量判断四边形形状首先考虑判断对边的位置与大小关系，根据变形可得，可得四边形为梯形. 【详解】由，得， 所以， 可得且. 所以四边形一定是梯形． 故选：B 27．(1) (2)①；② 【分析】（1）利用三点共线列出方程，求解即可； （2）①利用三点共线，结合（1）的结论可得；②利用基本不等式1的妙用即可求解. 【详解】（1）因为三点共线，所以可设， 又， 所以. 因为三点共线，所以， 解得. 所以. （2）设，， 则. 由（1）知，， 所以. 又三点共线，所以， ① ②， 当且仅当，即，时，等号成立. 所以当时，取得最小值，最小值为. 28．(1) (2)3 【分析】（1）利用向量共线的推论求解； （2）用作基底表示，利用向量的数量积及运算律求解. 【详解】（1）因为是的中点，所以， 又，所以， 因为是的中点，所以， 所以， 因为三点共线，所以，所以. （2）已知，， . 29．(1) (2) 【分析】（1）根据平面向量线性运算法则和平面向量基本定理，用基底表示出向量即可； （2）根据向量共线时系数的关系，以及基本不等式，求出最小值即可. 【详解】（1）由题意可知. （2）由（1）可知， 因为三点共线，所以， 则， 可知，当且仅当时，即时取等号， 所以 30．(1) , . (2) . 【分析】（1）根据向量的运算以及平面向量基本定理运算求解即可； （2）根据三点共线的推论结合平面向量基本定理运算求解即可. 【详解】（1）由已知得 结合与不共线，得， 解得，. （2）由 三点共线，存在实数使， 即. 因不共线，得，故. 31．(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件表示，根据求出，根据三点共线得出，进而利用平面向量基本定理构造方程组求解； （2）根据平面向量数量积的定义求出，进而求出，进而利用向量夹角余弦公式计算求出，进而求出，再利用三角形面积公式计算求解． 【详解】（1）已知、， 则，， 又， ，， 又、、三点共线，则存在实数使得， 即， 由平面向量基本定理得，解得， 实数的值． （2）由平面向量数量积的定义可得， 由题意可得， ， 同理， ， ， 又， ， ． 32．(1) (2) 【分析】（1）由三点在同一条直线上，可知任意两个向量共线，利用向量共线定理与平面向量基本定理，建立方程组求出参数； （2）要求的最小值，可先计算其平方，结合向量数量积公式化简，将求向量模长问题转化为二次函数求最值的问题. 【详解】（1）由，，三点共线，则，即， 所以， 因为，不共线，所以，解得， 因此，当时，三点在同一直线上． （2）因为，且与的夹角为， 所以， 即，所以当时，取最小值为， 因此，当时，的最小值为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $