课时规范练33 平面向量基本定理及向量坐标运算-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦平面向量基本定理与坐标运算，通过基础巩固与综合提升两级训练，系统覆盖坐标运算、基底表示、共线条件等核心考点，强化运算能力与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固练|10题|坐标运算、共线参数求解、基底表示|从代数运算到几何应用，构建“概念-运算-应用”逻辑链条| |综合提升练|5题|向量与三角综合、几何图形动态问题、多知识点交汇|深化基底思想与坐标法，培养推理意识与模型观念|

课时规范练33　平面向量基本定理及向量坐标运算 (分值:76分) (单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分) 基础巩固练 1.(2025·吉林长春期中)已知向量a=(-1,2),b=(1,0),则3a+b=(　　) A.(-2,6) B.(-2,-6) C.(2,6) D.(2,-6) 2.(2026·天津和平期末)已知向量a=(1,2),b=(4,3),c=(k,2),若3a-b与c共线,则实数k的值为(　　) A. B.- C.- D. 3.(2025·河南周口模拟)在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段AB上靠近点A的三等分点,F为线段OE的中点,设=a,=b,则=(　　) A.a+b B.a+b C.a+b D.a+b 4.(2026·安徽蚌埠期中)已知向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,则向量c用基底{a,b}表示为(　　) A.3a+b B.a+3b C.3a+b D.a+3b 5.(2026·福建宁德期中)已知{e1,e2}是平面内的一个基底,=4e1+3e2,=2e1+ke2,=5e1-3e2.若A,B,C三点共线,则实数k的值为(　　) A.9 B.13 C.15 D.18 6.(2026·河南郑州期中)已知△ABC的边BC的中点为D,点E在△ABC所在平面内,且=3-2.若=x+y,则x+y=(　　) A.7 B.9 C.11 D.13 7.(2026·湖南长沙期末)如图,扇形的半径为1,圆心角∠BAC=150°,点P在上运动,=λ+μ,则λ-μ的最小值是(　　) A.2 B. C.- D.-1 8.已知M(-2,5),N(10,-1),P是线段MN的一个三等分点且靠近点M,则点P的坐标为　　　　　.  9.(2026·北京顺义期末)在△ABC中,点P,Q满足=3=4.若=λ+μ,则=　　　　.  10.(2025·福建厦门期中)在平面直角坐标系中,A(1,m),B(-2,2m+1),=(-1,m-1),若A,B,C三点能构成三角形,则实数m的取值范围为　　　　　　　.  综合提升练 11.(2025·湖北仙桃模拟)已知向量m=(cos θ,sin θ),n=(1,2),若m∥n,则sin 2θ+cos2θ=(　　) A.2 B. C.1 D.0 12.(2026·湖南衡阳期中)如图,在△ABC中,PC=2BP,过点P的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N.设AB=mAM,AC=nAN,则的最小值为(　　) A. B. C.3 D.4 13.(多选题)(2025·山东泰安模拟)已知在等腰梯形ABCD中,AB=2CD=4,AD=BC=,点P,Q分别是AB,BC所在直线上的动点,且=λ(λ∈R),=μ(μ∈R),连接PQ并延长与DC的延长线交于点M,则下列说法正确的有(　　) A.若,则λ+μ=-1 B.若,则λ+μ= C.若四边形ADMP为平行四边形,则μ=2λ D.若2,则=1 14.(2026·广东广州期末)如图,在四边形ABCD中,=3=3.若=2+m,则实数m=　　　　. 15.在△ABC中,已知点O(0,0),A(0,5),B(4,3),,AD与BC交于点M,则点M的坐标为　　　　　.  参考答案 课时规范练33　平面向量基本定理及向量坐标运算 1.A　解析 因为a=(-1,2),b=(1,0),所以3a+b=(-2,6).故选A. 2.C　解析 因为a=(1,2),b=(4,3),所以3a-b=(-1,3).又c=(k,2),3a-b与c共线,所以(-1)×2=3×k,所以k=-.故选C. 3.D　解析 由题意,)+a+b.故选D. 4.D　解析 由题图可设a=(2,0),b=(-1,1),c=(2,3),设c=xa+yb=(2x-y,y)=(2,3),则故c=a+3b.故选D. 5.C　解析 因为=4e1+3e2,=2e1+ke2,=5e1-3e2,所以=(2e1+ke2)-(4e1+3e2)=-2e1+(k-3)e2,=(5e1-3e2)-(4e1+3e2)=e1-6e2.又因为A,B,C三点共线,所以存在实数λ,使得=λ,即-2e1+(k-3)e2=λ(e1-6e2).因为{e1,e2}是平面内的一个基底,所以由平面向量基本定理可得解得故选C. 6.C　解析 由=3-2,得=-.又=x+y,则,则=(,则=(=(,故,-=-,解得x=5,y=6,则x+y=11.故选C. 7.D　解析 以点A为坐标原点,AB所在直线为x轴,过点A且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(1,0),C(-).设点P(cos θ,sin θ),其中0≤θ≤,由=λ+μ可得(cos θ,sin θ)=λ(1,0)+μ(-),即λ-μ=(λ-μ)+μ=cos θ+sin θ=2sin(θ+).因为0≤θ≤,所以≤θ+,故当θ+时,λ-μ取最小值2sin=-1.故选D. 8.(2,3)　解析 由题可知=3=(12,-6),设P(x,y),则=(x+2,y-5),3=(3x+6,3y-15), ∴⇒P(2,3). 9.　解析 由=4,得,由=3,得,则)-,得λ=,μ=,则. 10.(-∞,2)∪(2,+∞)　解析 因为A,B,C三点能构成三角形,所以不共线.而=(-3,m+1),若共线,则有-3(m-1)=-(m+1),解得m=2,所以若A,B,C三点能构成三角形,则m≠2,即实数m的取值范围为(-∞,2)∪(2,+∞). 11.C　解析 因为m∥n⇒sin θ=2cos θ⇒tan θ=2,所以sin 2θ+cos2θ=2sin θcos θ+cos2θ==1.故选C. 12.B　解析 )=.因为AB=mAM,AC=nAN,所以.又M,P,N三点共线,所以=1.所以=()()=+2,当且仅当且m>0,n>0,=1,即m=,n=时,等号成立.故的最小值为.故选B. 13.BC　解析 =-=-,若,则-=-1,=1,则λ=-1,μ=1,λ+μ=0,故A错误;,若,则λ=,μ=1,λ+μ=,故B正确;过点D作DE⊥AB,在等腰梯形ABCD中,AD=,AE=1,所以∠DAB=∠CBA=45°,当四边形ADMP为平行四边形时,∠QPB=∠DAB=∠CBA=45°,即∠BQP=90°,所以BP=BQ,即λ||=μ||,又||=2|,所以μ=2λ,故C正确;当2时,C是DM的中点,则,因为点P,Q,M共线,所以=1,故=2,故D错误.故选BC. 14.-3　解析 因为,由=3=3,可得=-2=-2,所以=-2-2=-2()+.又因为,即,所以=-2()+=-3+2.又因为=2+m,所以m=-3. 15.(,2)　解析 因为点O(0,0),A(0,5),B(4,3),, 所以C(0,),D(2,). 设M(x,y),则=(x,y-5). 而=(2,-),因为A,M,D三点共线,所以共线,所以-x-2(y-5)=0,即7x+4y=20. 而=(x,y-),=(4,), 因为C,M,B三点共线, 所以共线, 所以x-4(y-)=0, 即7x-16y=-20. 由 所以点M的坐标为(,2). 学科网（北京）股份有限公司 $