1.1 探索勾股定理 练习题 2026--2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 课程：初中数学；资料类型：同步练；知识点：勾股定理。以勾股定理为核心，通过基础巩固、情境应用、拓展探究三层设计，实现从概念理解到综合运用的递进，培养数学抽象、几何直观与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|勾股定理基本计算与概念辨析|直接应用公式（如选择1求边长、3判断直角边/斜边），强化运算能力| |情境应用|图形与简单实际问题应用|结合生活场景（如选择6大树折断、填空14红莲湖水深度），发展几何直观| |拓展探究|综合证明与跨情境拓展|涉及赵爽弦图（选择10）、定理证明（解答23），培养推理能力与创新意识|

1.1 探索勾股定理 一、选择题： 1.在中，，，，则等于(    ) A. B. C. D. 2.如图，直线，垂足为点，线段，，以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点，则的长为(    ) 第2、4、5、6题图 A. B. C. D. 3.一个直角三角形三边长分别是，，，那么以为边长的正方形的面积为  (    ) A. B. C. 或 D. 4.如图，带阴影的矩形面积是(    ) A. 平方厘米 B. 平方厘米 C. 平方厘米 D. 平方厘米 5.如图，已知两个正方形的面积分别为，，则字母所代表的正方形的面积为  (    ) A. B. C. D. 6.如图，一棵高为的大树被台风刮断若树在离地面的点处折断，则树顶端落在离树底部(    ) A. 处 B. 处 C. 处 D. 处 7.下列说法中正确的是(    ) A. 已知，，是三角形的三边长，则 B. 在直角三角形中，两边和的平方等于第三边的平方 C. 在中，，所以 D. 在中，，所以 8.如图，在中，分别以这个三角形的三边为边向外侧作正方形，面积分别记为，，若，则图中阴影部分的面积为(    ) 第8、9、10、11题图 A. B. C. D. 9.用四个边长均为，，的直角三角板，拼成如图所示的图形，则下列结论中正确的是(    ) A. B. C. D. 10.赵爽弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，图中包含四个全等的勾股形和一个小正方形，其面积称为朱实和黄实如图，设每一个勾股形的两条直角边长分别为和若，且，则黄实为(    ) A. B. C. D. 二、填空题： 11.如图，在中，，，点为的中点，，垂足为点，则          ． 12.根据勾股定理知识迁移，解决下列问题． 第12、13、14题图 如图，分别以直角三角形的三边为直径向外侧作半圆，则它们的面积，，之间满足的等量关系是          ； 应用：如图，直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，分别以三边为直径作半圆，若，，则图中阴影部分的面积为          ． 13.如图，等腰三角形中，，，于点，且，则          ． 14.图中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图，其中，于点，尺，尺设的长度为尺，可列方程为          ． 15.如图，起重机吊运物体，若，，则           三、解答题： 16.如图，在中，，，，求的面积． 17.如图，在中，，，，的对边分别为，，．若，，求，的值若，，求的面积． 18.如图是某公园的一角，有人为了抄近道而避开横平竖直的路的拐角，而走“捷径”，于是在草坪内走出了一条不该有的“路”已知米，米，则他们踩坏了多少米的草坪 19.如图是某小区一健身中心的平面图，活动区是面积为的长方形，休息区是直角三角形且，请你求出半圆形餐饮区的面积． 20.如图，甲、乙两船从港口同时出发，甲船以的速度向北偏东方向航行，乙船匀速向南偏东方向航行，后，甲船到达岛，乙船到达岛，若，两岛相距，求乙船的航速． 21.如图，在海上观察所处，边防海警发现正北方向的处有一可疑船只正在向正东方向距处的处行驶，边防海警立刻派船前往处拦截若可疑船只的行驶速度为，则边防海警船的速度为多少时，才能恰好在处将可疑船只截住    22.在中，，，，且 当是锐角三角形时，小明猜想：以下是他的猜想过程： 如图，过点作，垂足为设． 因为在中，， 在中，          ， 所以          ． 化简，得． 因为，，所以         ． 所以． 所以． 其中，是          是          ． 如图，当是钝角三角形时，猜想与之间的关系并说明理由． 23.两个边长分别为，，的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成如图所示的图形，用两种不同的计算方法计算这个图形的面积可验证勾股定理，请说明理由． 1.1 探索勾股定理课时作业参考答案和解析 1. 2. 3. 【解析】若为直角边长，根据勾股定理得，此时以为边长的正方形的面积为；  若为斜边长，根据勾股定理得，此时以为边长的正方形的面积为． 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.【小题】【小题】  【解析】 由题图可知阴影部分的面积为两个小半圆的面积直角三角形的面积大半圆的面积．由可知两个小半圆的面积之和与大半圆的面积相等，故阴影部分的面积即为直角三角形的面积．因为，，所以，  则负值已舍，  所以直角三角形的面积为，  所以阴影部分的面积为． 13. 14.  15.  16.解：过点作于点在中，由勾股定理，得在中，由勾股定理，得．，即，．，．．  17.【小题】， 【小题】 18.解：在中，米，米， 由，可得米． 答：他们踩坏了米的草坪． 19.解：的长为在中，由勾股定理，得，，半圆形餐饮区的面积答：半圆形餐饮区的面积为．  20.解：由题意，得，，． 在中，由勾股定理，得 ． ． 答：乙船的航速是． 21.解：在中，，由勾股定理，得，即所以所以答：边防海警船的速度为时，才能恰好在处将可疑船只截住．  22.【小题】 【小题】理由略 23.解：根据题意得， ，，  即，整理得．  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $