1.1 探究勾股定理 课后作业 2026-2027学年 北师大版数学八年级上册

**基本信息** 聚焦勾股定理，通过基础巩固、情境应用到综合拓展的三层设计，实现从概念理解到创新应用的递进，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|勾股数、基本计算|选择1-5直接考查概念辨析，填空9-10强化直角三角形性质| |中档|情境应用、逆定理|选择6-8结合最短路径等实际问题，填空11-12融入几何图形计算| |提升|综合证明、创新探究|作图13培养空间观念，综合14-17通过"奇妙三角形"等拓展模型意识|

1.1 探究勾股定理 课后作业 一、选择题 1．下列各组3个整数是勾股数的是（　　） A．4，5，6 B．6，8，9 C．13，14，15 D．8，15，17 2．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为（　　） A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米 3．如图，正方形ABCD的边长为10，AG=CH=8，BG=DH=6，则线段GH的长为（　　） A． B． C． D． 4．意大利文艺复兴时期的著名画家达•芬奇利用两张一样的纸片拼出不一样的“空洞”，从而巧妙的证明了勾股定理.小明用两张全等的的纸片①和②拼成如图1所示的图形，中间的六边形 由两个正方形和两个全等的直角三角形组成.已知六边形 的面积为28， .小明将纸片②翻转后拼成如图2所示的图形，其中 ，则四边形 的面积为（　　） A．16 B．20 C．22 D．24 5．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（　　） A．，，2 B．1，2， C．1，， D．4，5，6 6．数形结合是数学的重要思想和解题方法，如：“当0＜x＜12时，求代数式 的最小值”，其中 可看作两直角边分别为x和2的Rt△ACP的斜边长， 可看作两直角边分别是12-x和3的Rt△BDP的斜边长.于是将问题转化为求AP+BP的最小值，如图所示，当AP与BP共线时，AP+BP为最小.请你解决问题：当0＜x＜4时，则代数式 的最小值是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 7．如图所示，已知△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2-MB2等于（　　） A．9 B．35 C．45 D．无法计算 8．如图，在底面半径为2，（π取3）高为8的圆柱体上有只小虫子在A点，它想爬到B点，则爬行的最短路程是（　　） A．10 B．8 C．5 D．4 二、填空题 9．已知两边长为5和12，则其斜边上的中线为　 　. 10．如图是一个滑梯示意图，左边是楼梯，右边是滑道，已知滑道与的长度相等，滑梯的高度，.则滑道的长度为　 　m. 11．如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中，底边BC的长，那么衣架的高　 　. 12．如图四边形中，，则四边形面积为　 　. 三、作图题 13．如图所示为有16个边长为1的小正方形拼成的网格图，每个小正方形的顶点叫做格点，请按照要求画图. （1）在图1中画出1个面积为3的，顶点C在格点上； （2）在图2中画出2个以为腰的等腰、，且这两个三角形不全等，点C、D都在格点上； （3）在图3中画出2个以为斜边的直角三角形，，点C、D均在格点上. 四、综合题 14．△ABC中，AB=AC，E为AC中点，F为BE上一点，且CE=CF．若△ABC的三条边长均为偶数，且BF与BE两条线段长度的乘积为20. 求△ABC的周长． 15．如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，已知米，米，，米，米，小区为美化环境，欲在空地上铺草坪. （1）是直角三角形吗？为什么？ （2）小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，试问铺满这块空地共需花费多少元？ 16．如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“奇妙三角形”. （1）如图，在中，，，求证：是“奇妙三角形”； （2）在中，，，若是“奇妙三角形”，求的长. 17． （1）【证明体验】如图1，在中，为边上的中线，延长至E，使，连接.求证：. （2）【迁移应用】 如图2，在中，，，为的中点，.求面积. （3）【拓展延伸】 如图3，在中，，是延长线上一点，，F是上一点，连接交于点E，若，，求的长. 答案解析部分 1．【答案】D 【知识点】勾股数 【解析】【解答】解：A、42+52=41≠62，故不是勾股数； B、62+82=100≠92，故不是勾股数； C、132+142=365≠152，故不是勾股数； D、82+152=289=172，故是勾股数； 故选D． 【分析】满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数．依此判断即可． 2．【答案】C 【知识点】勾股定理 【解析】【解答】在Rt△ACB中， ∵∠ACB=90°，BC=0.7米，AC=2.4米，∴AB2=0.72+2.42=6.25． 在Rt△A′BD中，∵∠A′DB=90°，A′D=2米，BD2+A′D2=A′B′2，∴BD2+22=6.25，∴BD2=2.25，∵BD＞0，∴BD=1.5米，∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米．故答案为：C． 【分析】在Rt△ACB中，根据勾股定理算出AB的长，题中抓住AB=A'B，在Rt△A′BD中，根据勾股定理算出BD，再根据线段的和差即可算出答案。 3．【答案】A 【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；勾股定理的逆定理 【解析】【解答】解：如图，延长BG交CH于点E， ∵AB＝CD＝10，BG＝DH＝6，AG＝CH＝8， ∴AG2+BG2＝AB2， ∴△ABG和△DCH是直角三角形， 在△ABG和△CDH中， ， ∴△ABG≌△CDH（SSS）， ∴∠1＝∠5，∠2＝∠6， ∴∠1+∠2＝90°，∠5+∠6＝90°， 又∵∠2+∠3＝90°，∠4+∠5＝90°， ∴∠1＝∠3＝∠5，∠2＝∠4＝∠6， 在△ABG和△BCE中， ， ∴△ABG≌△BCE（ASA）， ∴BE＝AG＝8，CE＝BG＝6，∠BEC＝∠AGB＝90°， ∴GE＝BE-BG＝8-6＝2， 同理可得HE＝2， 在Rt△GHE中，GH2. 故答案为：A. 【分析】延长BG交CH于点E，利用勾股定理逆定理得△ABG和△DCH是直角三角形，由SSS证明△ABG≌△CDH，得到∠1＝∠5，∠2＝∠6，进而推出∠1＝∠3＝∠5，∠2＝∠4＝∠6，由ASA证明△ABG≌△BCE，得到BE＝AG＝8，CE＝BG＝6，GE＝BE-BG＝2，同理可得HE＝2，然后利用勾股定理进行计算. 4．【答案】B 【知识点】勾股定理的证明 【解析】【解答】解：∵ ∴可设BG=2a，CG=a， ∵六边形 的面积为28， ∴4a2+a2+ =28 解得a=2，a=-2(舍去)， 根据图形及勾股定理的验证得到BC2=BG2+CG2, ∴四边形 的面积=四边形 的面积加上四边形 的面积=4a2+a2=5×4=20 故答案为：B. 【分析】根据图形及勾股定理的验证得到BC2=BG2+CG2,故四边形 的面积等于四边形 的面积加上四边形 的面积,再根据六边形 的面积为28， 即可求解. 5．【答案】C 【知识点】勾股定理的逆定理 【解析】【解答】解：A、，故此选项中的三条线段不能构成直角三角形； B、，故此选项中的三条线段不能构成直角三角形； C、，故此选项中的三条线段能构成直角三角形； D、，故此选项中的三条线段不能构成直角三角形. 故答案为：C. 【分析】如果一个三角形的三边满足较小两边的平方和等于最大边长的平方，则该三角形就是直角三角形，据此一一判断得出答案. 6．【答案】B 【知识点】勾股定理的应用 【解析】【解答】解：依题意如图，AC＝1，DB＝2，CD＝4，CP＝x，PD＝4-x， ∴AE＝1+2＝3，BE＝4， ∴AB ＝5， ∴代数式 的最小值是5. 故答案为：B. 【分析】依题意可得：AC＝1，DB＝2，CD＝4，CP＝x，PD＝4-x，则AE=AC+CE=3，BE=4，利用勾股定理求出AB，进而可得代数式的最小值. 7．【答案】C 【知识点】勾股定理的应用 【解析】【解答】解：在Rt△ABD和Rt△ADC中， BD2＝AB2-AD2，CD2＝AC2-AD2， 在Rt△BDM和Rt△CDM中， BM2＝BD2+MD2＝AB2-AD2+MD2，MC2＝CD2+MD2＝AC2-AD2+MD2， ∴MC2-MB2＝（AC2-AD2+MD2）-（AB2-AD2+MD2） ＝AC2-AB2 ＝45. 故答案为：C. 【分析】在Rt△ABD、Rt△ADC、Rt△BDM、Rt△CDM中，根据勾股定理可得BD2=AB2-AD2，CD2=AC2-AD2，BM2=BD2+MD2=AB2-AD2+MD2，MC2=CD2+MD2=AC2=AD2+MD2，然后作差即可. 8．【答案】A 【知识点】平面展开﹣最短路径问题 【解析】【解答】解：底面周长的一半为：2π≈6， ∴高等于8， ∴最短路程为：=10， 故选：A． 【分析】A、B之间的最短路程为两直角边分别为圆柱的高，底面周长的一半的直角三角形的斜边长． 9．【答案】6.5或6 【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线 【解析】【解答】解：如图：分为两种情况： ① 当 AC=5，BC=12时， 由勾股定理得： ∵CD 是斜边AB上的中线， ； ② 当AC=5，AB=12时， ∵CD 是斜边AB上的中线， ； 即 或6， 故答案为：6.5或6. 【分析】此题分为两种情况：① 当AC=5，BC=12时，根据勾股定理算出AB的长，进而根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半直接得出答案；当AC=5，AB=12时，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半直接得出答案. 10．【答案】10 【知识点】勾股定理 【解析】【解答】解：设， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， 即，解得， 故答案为：10. 【分析】设AC=AE=xm，则AB=(x-2)m，接下来在Rt△ABC中，利用勾股定理计算即可. 11．【答案】7 【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理 【解析】【解答】解：∵，， ∴，， 在中，由勾股定理得， 故答案为：7. 【分析】根据等腰三角形的性质可得BD=CD=BC=24cm，∠ADB=90°，然后利用勾股定理进行计算. 12．【答案】36 【知识点】三角形的面积；勾股定理 【解析】【解答】解：如图所示，连接， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：36. 【分析】连接BD，设BC=x，则CD=12-x，根据勾股定理可得BD2、BD2=2AB2，表示出AB2，然后根据S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD进行计算. 13．【答案】（1）解：如图所示，的底边，高为3，则面积为，则即为所求； （2）解：如图所示， ∴、是等腰三角形， （3）解：如图所示， ∵， ，则是直角三角形，且是斜边 ∵， ∴，则是直角三角形，且是斜边 【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定；勾股定理；勾股定理的逆定理；作图-三角形 【解析】【分析】（1）取点C，使BC=2，高为3，则面积为3； （2）由勾股定理可得AB=BC=BD=，则△ABC、△ABD为等腰三角形； （3）根据勾股定理可得AB、AC、BC、CD、BD的值，然后根据勾股定理逆定理知△ABD、△ABC为直角三角形，且AB为斜边. 14．【答案】解：由题意可设AB=AC=2x（x为正整数），BC=2y（y为正整数），BF=m，EF=2n， 过C作CD⊥BE于D ∵CE=CF ∴ED=DF=n ∵△ABC的三条边长均为偶数 ∴（2y+x）（2y-x）=20 【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理 【解析】【分析】由题意设AB=AC=2x（x为正整数），BC=2y（y为正整数），BF=m，EF=2n，过C作CD⊥BE于D，由等腰三角形的三线合一得ED=DF=n，在Rt△BDC与Rt△CDE中用勾股定理分别表示出CD2，从而建立方程并整理得4y2-x2=m（m+2n），结合BF×BE=20得m（m+2n）=20，从而得（2y+x）（2y-x）=20，根据三角形三边都是偶数可得方程组，求解即可解决问题. 15．【答案】（1）解：是直角三角形， 理由：连接， 在中，，米，米，由勾股定理得：米， ，， ， ， 是直角三角形； （2）解：该空地面积平方米， 即铺满这块空地共需花费元. 【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理 【解析】【分析】（1）连接，由勾股定理求出AC=5米，再根据勾股定理的逆定理可求出△ABC为直角三角形； （2）由该空地面积先求出其面积，再乘以草坪每平方米的价格即得结论. 16．【答案】（1）证明：过点A作于D， ，， ， 由勾股定理得，， ， 即是“奇妙三角形”； （2）解：如图2：当边上的中线等于时，， 当边上的中线等于时， ，即， 解得. 综上所述，的长是6或8. 【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理 【解析】【分析】（1） 过点A作AD⊥BC于D ，根据等腰三角形的三线合一得BD=4，利用勾股定理算出AD，从而即可根据 “奇妙三角形” 定义进行判断； （2）分类讨论：① 当AC边上的中线BD等于AC时 ，②当BC边上的中线AE等于BC时 ，分别利用勾股定理求解即可. 17．【答案】（1）证明：如图1中， 在 和 中， ， ； （2）解：如图2中，延长 到T，使得 ，连接 . 由（1）可知 ， ， ， ， ， ； （3）解：如图3中，延长 到R，使得 ，连接 . 由（1）可知， ， ， ， ， ， ， ， ， 设 ，则 ， ， 在 中， ， ， ， . 【知识点】勾股定理；三角形全等的判定（SAS） 【解析】【分析】（1）根据SAS可证△ACD≌△EBD； （2）如图2中，延长CD到T，使得DT=CD ，连接BT，同（1）可得△ADC≌△BDT，根据全等三角形的性质得AC=BT，∠ACD=∠T=90°，利用勾股定理算出CT，再根据S△ACB=S△ADC+S△CDB即可算出答案； （3） 延长AC到R，使得CR=CA，连接DR，同（1）得△ACB≌△RCD，根据全等三角形的性质得AB=DR，∠A=∠R，根据等边对等角得∠A=∠AEF，再结合对顶角相等及等量代换得∠DER=∠R，根据等角对等边得DE=DR=AB，设DE=DR=AB=x，则BF=x-2，DF=x+2，在Rt△DBF中，利用勾股定理建立方程，求解可得DE的长. 1 学科网（北京）股份有限公司 $