1.1 探索勾股定理（十大题型）2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 聚焦勾股定理从基础应用到实际建模的全维度训练，题型覆盖解三角形、面积关系、证明方法及生活应用，逻辑递进且贴合中考命题趋势。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解三角形及直接应用|题型1-3（9题）|已知两边求第三边，结合简单图形|从勾股定理直接应用入手，培养几何直观| |面积关系探究|题型4-6（9题）|以直角三角形三边为边作图形（正方形、半圆等）求面积关系|通过面积关联深化对勾股定理本质的理解| |平方和差及证明|题型7-9（9题）|证明线段平方关系，结合垂美四边形等模型|发展推理能力，构建代数与几何的联系| |实际应用问题|题型10（3题）|秋千、旗杆、小鸟飞行等情境构建直角三角形|实现实际问题数学建模，强化应用意识|

1.1 探索勾股定理 题型一 用勾股定理解三角形 1．如图，在中，，若，，则的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．如图，A，B是池塘边上的两点，点C是与方向成直角的方向上一点，测得，，则A，B两点间的距离为___________． 3．课外活动上，老师带着科技小组进行滑轮实验．同学们将一根没有弹性的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验初始状态如图1所示（），物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离是，绳长（）为．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮A，滑块B和物体C的大小忽略不计，都看作一个点） (1)求实验初始状态下的长； (2)如图2，若物体C上升到达的高度时，滑块B水平向左滑动到，求的长． 题型二 以直角三角形三边为边长的图形面积 4．如图，在中，，以，，为边向外作正方形、正方形、正方形，它们的面积分别记为，，，点N在直线上，连接，．若，则的面积为（     ） A．3 B． C．5 D．7 5．如图，分别以直角三角形的三条边为一边作正方形，得到正方形，，C．若较小的两个正方形和的面积分别为和，则最大的正方形的面积为_________． 6．探究不同情境，回答下面问题： (1)【初步探究】如图①，分别以三条边为边向外作正方形，其面积分别用表示．请写出之间满足的等量关系，并说明理由． (2)【类比探究】如图②，分别以三条边为直径向外作半圆，其面积分别用表示，请写出之间满足的等量关系，并说明理由． (3)【探究应用】如图③，分别以三条边为斜边向外作等腰直角三角形，其面积分别用表示，则之间满足的等量关系是 ． (4)【拓展应用】如图④，在四边形中，，现以四边形的四条边为边向外作正方形，其面积分别为．请写出之间满足的等量关系，并说明理由． 题型三 利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 7．在直角三角形中，斜边，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图，四边形的对角线，相交于点．若，则______． 9．如图，在中，，，点在边上，连接，在的右侧作，，连接，． (1)猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由： (2)若，．求的长． 题型四 利用勾股定理证明线段平方关系 10．如图，在四边形中，于点，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 11．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则________________．    12．对角线互相垂直的四边形叫“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点O． (1)若，，，，请求出，，，的值； (2)若，，求的值． 题型五 勾股定理的证明方法 13．如图，在“剪拼正方形”的数学活动中，将两个边长分别为a，b（）的大小不相等的正方形纸片，通过分割、拼接组成一个边长为c的大正方形（无重叠、无空隙）．下列说法错误的是（     ） A．拼接前后图形的总面积保持不变 B．拼接后大正方形的边长为 C．拼接过程中，分割出的所有三角形一定都是全等的直角三角形 D．该剪拼过程可直观验证勾股定理 14．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．如图所示的长方形由两个这样的图形拼成，若，，则长方形的面积为________． 15．【背景介绍】 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，四个直角三角形的两条直角边长分别为，，小正方形的边长为，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】 (1)将两个全等的直角三角形按照图2所示摆放（，），使和在一条直线上，连接．请用，，分别表示出梯形，，，的面积，再探究这四个图形面积之间的关系，证明：． 【方法迁移】 (2)如图3，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 题型六 以弦图为背景的计算题 16．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上“生长”出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图所示的形状图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”．则“生长”了3次后形成的图形中所有正方形的面积和是（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 17．如图，“赵爽弦图”是我国著名数学家赵爽创制的，它以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形，该正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成．在一次数学实践活动中，某数学小组制作了“赵爽弦图”，其中，阴影部分的面积是49，，则大正方形的边长是______． 18．如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理． (1)请用图1推导勾股定理，并写出推导过程． (2)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若，，求空白部分的面积． (3)琪琪有一个和老师形状类似大小不同的图形，她把4个直角三角形剪下来紧密拼接成风车状，如图3．已知外围轮廓（实线）的周长为，，求该风车状图案的面积． 题型七 用勾股定理构造图形解决问题 19．明代数学家程大位在他的著作《算法统宗》中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺板高离地．．．算出索长有几？”译文为：“秋千静止的时候，踏板离地尺，将它往前推送两步（两步尺）后，此时踏板升高到离地尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”如图，若设秋千绳索长为尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 20．明朝数学家程大位在他的著作中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺，将它往前推进两步（两步尺），此时踏板升高离地五尺，求秋千绳索的长度为__________． 21．【综合与实践】小明同学在延时课上进行了实践探究，并绘制了如下表格： 课题 在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度 模型抽象 测绘数据（如图1） ①测得水平距离的长为15米 ②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线的长为17米 ③牵线放风筝的手到地面的距离为1.6米 说明 点在同一平面内 请根据表格信息，解答下列问题． (1)求线段的长； (2)如图2，若想要风筝沿方向再上升12米（即米），则在长度不变的前提下，求的长． 题型八 求旗杆高度（勾股定理的应用） 22．方圆同学测量旗杆的高度时发现系在旗杆的绳子垂到了地面，并多出了一段，经测量绳子垂直落地后还剩2米（如图1），绳子末端在地面上离旗杆底部的距离为6米（如图2），则旗杆的高度为（     ） A．8米 B．10米 C．12米 D．13米 23．我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题目：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”大意是：如图，木柱与地面互相垂直，绳索比木柱长3尺，将绳索拉直沿地面行走，当绳索刚好用完时，长为8尺，则绳索长_______尺． 24．如图1，用激光测距仪测量某建筑物的高度．位于地面上点处的激光测距仪先将激光射向楼底端的点，仪器显示；再将激光射向楼顶端的点，仪器显示；最后仪器会自动显示出楼的高度． (1)求仪器显示的楼的高度． (2)如图2，若将激光测距仪沿方向移动后到达点，将激光射向楼顶端的点，则仪器显示点，的距离是多少？ 题型九 求小鸟飞行距离（勾股定理的应用） 25．南昌市“盛世华彩，豫章欢歌”烟花晚会在赣江水域震撼上演．5000架无人机通过高精度集群控制技术呈现闪耀五星、千里江山图、梦想之翼等九幕动态画面．在彩排期间，小杨在平地上操控无人机，从点处起飞，先垂直爬升3米，后水平飞行4米到达点处，如图所示，则点与点之间的距离是（    ） A．5米 B．米 C．6米 D．7米 26．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行_____米． 27．如图，琪琪在离水面高度的岸边C处，用绳子拉停在B处的小船靠岸，开始时绳子的长为．    (1)开始时，小船距岸A的距离为_______； (2)若琪琪收绳后，船到达D处，求小船向岸A移动的距离的长． 题型十 求大树折断前的高度（勾股定理的应用） 28．如图，一根竹子高丈（丈尺），折断后竹子顶端落在离竹子底端尺处．则竹子折断处离地面的高度为（     ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 29．4月27日呼和浩特全域出现大风扬沙天气，瞬时最大阵风达到12级．如图，受大风影响，一棵树在离地面6米处断裂，树顶端落在离底部8米的地面上，大树底部与地面垂直，则树折断之前有_______米． 30．如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部处． (1)求旗杆从距地面多高处折断； (2)工人在修复旗杆的过程中，发现在折断点的下方的点处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的危险？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1 探索勾股定理 题型一 用勾股定理解三角形 1．如图，在中，，若，，则的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】解：在中，， 由勾股定理得：． 2．如图，A，B是池塘边上的两点，点C是与方向成直角的方向上一点，测得，，则A，B两点间的距离为___________． 【答案】15 【分析】利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴由勾股定理得， ∴A，B两点间的距离为． 3．课外活动上，老师带着科技小组进行滑轮实验．同学们将一根没有弹性的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验初始状态如图1所示（），物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离是，绳长（）为．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮A，滑块B和物体C的大小忽略不计，都看作一个点） (1)求实验初始状态下的长； (2)如图2，若物体C上升到达的高度时，滑块B水平向左滑动到，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，则，在中，利用勾股定理建立方程，求解即可； （2）由已知得，由（1）知，即可求出，再根据求出的长，在中，利用勾股定理求出，再根据即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：，， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 答：的长为； （2）解：∵物体上升到达的高度， ∴， ∵由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴； 在中，，， ∴， ∵， ∴， 即滑块水平向左滑动到的距离为． 题型二 以直角三角形三边为边长的图形面积 4．如图，在中，，以，，为边向外作正方形、正方形、正方形，它们的面积分别记为，，，点N在直线上，连接，．若，则的面积为（     ） A．3 B． C．5 D．7 【答案】B 【分析】根据勾股定理得出，根据正方形的性质得出，根据，求出， 根据三角形面积公式求出． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵正方形、正方形、正方形的面积分别记为，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵正方形中，，， ∴． 5．如图，分别以直角三角形的三条边为一边作正方形，得到正方形，，C．若较小的两个正方形和的面积分别为和，则最大的正方形的面积为_________． 【答案】13 【详解】解：设直角三角形较短的直角边长为，较长的直角边长为，斜边长为， 则， ，， ． 6．探究不同情境，回答下面问题： (1)【初步探究】如图①，分别以三条边为边向外作正方形，其面积分别用表示．请写出之间满足的等量关系，并说明理由． (2)【类比探究】如图②，分别以三条边为直径向外作半圆，其面积分别用表示，请写出之间满足的等量关系，并说明理由． (3)【探究应用】如图③，分别以三条边为斜边向外作等腰直角三角形，其面积分别用表示，则之间满足的等量关系是 ． (4)【拓展应用】如图④，在四边形中，，现以四边形的四条边为边向外作正方形，其面积分别为．请写出之间满足的等量关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3) (4)，理由见解析 【分析】（1）根据勾股定理，即可得、、之间的数量关系； （2）设，，，则，，，根据勾股定理，即可得、、之间的数量关系； （3）设，，，则，，，根据勾股定理，即可得、、之间的数量关系； （4）与的交点记为点，由勾股定理，结合正方形的面积，可得，，，，即可得、、、之间的数量关系． 【详解】（1）解：，理由如下： 在中，根据勾股定理得，， 又∵，， ∴； （2）解：，理由如下： 设，，， ∴，，， 在中，根据勾股定理得，， ∴， ∴； （3）解：如图， 设，，，则，，， ，，， 在中，根据勾股定理得，， ∴， ∴； （4）解：，理由如下： 如图，与的交点记为点， ∵， ∴ ， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ∴，， ∴． 题型三 利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 7．在直角三角形中，斜边，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】解：∵是直角三角形，是斜边，且， ∴． 8．如图，四边形的对角线，相交于点．若，则______． 【答案】40 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理得，进而可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ ． 故答案为：40． 9．如图，在中，，，点在边上，连接，在的右侧作，，连接，． (1)猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由： (2)若，．求的长． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】（1）利用可证，根据全等三角形的性质可证，，从而可得，利用勾股定理可得； （2）利用勾股定理可以求出，根据全等三角形的性质可知，利用勾股定理可以求出的长度． 【详解】（1）解：， 理由如下，， ， ， 又，， 在和中，， ， ，， ， ， 中，， ； （2）解：中，， ， ， ， ． 题型四 利用勾股定理证明线段平方关系 10．如图，在四边形中，于点，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ，， ， 只有C选项结论正确 11．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则________________．    【答案】17 【分析】根据垂直的定义和勾股定理解答即可； 【详解】解：∵， 由勾股定理得， 故答案为：17． 12．对角线互相垂直的四边形叫“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点O． (1)若，，，，请求出，，，的值； (2)若，，求的值． 【答案】(1)，，， (2)136 【分析】（1）由“垂美”四边形的定义得到，再由勾股定理即可求解； （2）由（1）可得，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是“垂美”四边形， ， ∴， ∴在中，， 在中，， 在中，， 在中，． （2）解：由（1）有，，，． ∴ ， ，， ． 题型五 勾股定理的证明方法 13．如图，在“剪拼正方形”的数学活动中，将两个边长分别为a，b（）的大小不相等的正方形纸片，通过分割、拼接组成一个边长为c的大正方形（无重叠、无空隙）．下列说法错误的是（     ） A．拼接前后图形的总面积保持不变 B．拼接后大正方形的边长为 C．拼接过程中，分割出的所有三角形一定都是全等的直角三角形 D．该剪拼过程可直观验证勾股定理 【答案】C 【分析】拼接前后图形的总面积不变，则边长为c的正方形面积为，即边长为c的正方形的边长为，则可证明，根据图形可知分割出的所有三角形不一定都是全等的直角三角形，据此可得答案． 【详解】解：A、由题意得，拼接前后图形的总面积保持不变，原说法正确，不符合题意； B、∵拼接后的大正方形面积等于两个正方形纸片的面积， ∴拼接后的大正方形的面积为， ∴拼接后大正方形的边长为，原说法正确，不符合题意； C、拼接过程中，分割出的所有三角形不一定都是全等的直角三角形，原说法错误，符合题意； D、∵拼接后大正方形的边长为，又为c， ∴，即，原说法正确，不符合题意； 14．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．如图所示的长方形由两个这样的图形拼成，若，，则长方形的面积为________． 【答案】30 【分析】本题考查了勾股定理的证明，根据勾股定理，设小正方形的边长为x，在直角三角形中，再建立x的方程即可解答． 【详解】解：如图： 设小正方形的边长为x，则，， ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴整理得， ∴长方形的面积为： ， 故答案为：30． 15．【背景介绍】 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，四个直角三角形的两条直角边长分别为，，小正方形的边长为，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】 (1)将两个全等的直角三角形按照图2所示摆放（，），使和在一条直线上，连接．请用，，分别表示出梯形，，，的面积，再探究这四个图形面积之间的关系，证明：． 【方法迁移】 (2)如图3，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据全等三角形的性质及直角三角形两锐角互余推出，再根据可得证； （2）在中得，在中得，据此得到关于的方程，求解后可得答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴，，，， 观察图形可知：， ∴， ∴； （2）解：∵是边上的高， ∴， ∵，，，设， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 即的值为． 题型六 以弦图为背景的计算题 16．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上“生长”出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图所示的形状图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”．则“生长”了3次后形成的图形中所有正方形的面积和是（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式，知“生长”1次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，即所有正方形的面积和是；“生长”2次后，所有的正方形的面积和是即可． 【详解】解：设直角三角形的三条边分别是a，b，c．根据勾股定理，得，即． ∴“生长”了3次后形成的图形中所有正方形的面积为； ∵，， 所以“生长”了2次后形成的图形中所有正方形的面积和是 ． 同理：“生长”了3次后形成的图形中所有正方形的面积和是4． 17．如图，“赵爽弦图”是我国著名数学家赵爽创制的，它以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形，该正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成．在一次数学实践活动中，某数学小组制作了“赵爽弦图”，其中，阴影部分的面积是49，，则大正方形的边长是______． 【答案】13 【分析】根据正方形面积公式求出阴影部分边长为7，结合图形得出与的数量关系，求出的长，再利用勾股定理计算的长即可． 【详解】解：阴影部分的面积是49， 中间小正方形的边长为， 由图可知，中间小正方形的边长等于， ， ， ， 在中，，由勾股定理得：， 大正方形的边长是13． 18．如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理． (1)请用图1推导勾股定理，并写出推导过程． (2)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若，，求空白部分的面积． (3)琪琪有一个和老师形状类似大小不同的图形，她把4个直角三角形剪下来紧密拼接成风车状，如图3．已知外围轮廓（实线）的周长为，，求该风车状图案的面积． 【答案】(1)证明：∵大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为， ∴， ∴， ∴． (2) (3) 【分析】（1）根据大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为，联立等式即可求解； （2）根据空白部分的面积=边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积，即可求解； （3）根据风车状图案的周长求出的长，在直角三角形中，利用勾股定理求出的长，进而确定出的长，求出三角形面积，即可确定出所求． 【详解】（1）略 （2）解：空白部分的面积边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积， ∵，， ∴空白部分的面积； （3）解：根据题意得：，，即， 在中，根据勾股定理得：，即， 解得：， ∴， ∴， ∴该风车状图案的面积． 题型七 用勾股定理构造图形解决问题 19．明代数学家程大位在他的著作《算法统宗》中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺板高离地．．．算出索长有几？”译文为：“秋千静止的时候，踏板离地尺，将它往前推送两步（两步尺）后，此时踏板升高到离地尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”如图，若设秋千绳索长为尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设秋千的绳索长为尺，根据题意可得尺，利用勾股定理即可得出方程． 【详解】解：设秋千的绳索长为尺，则尺， ∵秋千静止的时候，踏板离地尺，将它往前推送两步后，踏板升高到离地尺， ∴尺， ∵， ∴可列方程为． 20．明朝数学家程大位在他的著作中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺，将它往前推进两步（两步尺），此时踏板升高离地五尺，求秋千绳索的长度为__________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解决本题的关键． 设尺，用表示出的长，在中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】解：设尺， 尺，尺， 尺，尺， 在中，尺，尺，尺， 根据勾股定理得，， 解得：， 答：秋千绳索的长度是尺． 故答案为：． 21．【综合与实践】小明同学在延时课上进行了实践探究，并绘制了如下表格： 课题 在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度 模型抽象 测绘数据（如图1） ①测得水平距离的长为15米 ②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线的长为17米 ③牵线放风筝的手到地面的距离为1.6米 说明 点在同一平面内 请根据表格信息，解答下列问题． (1)求线段的长； (2)如图2，若想要风筝沿方向再上升12米（即米），则在长度不变的前提下，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）如图1，过点作于点，则，，利用勾股定理可求得，再利用线段的和差求解即可； （2）先利用线段的和差求得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图1，过点作于点，则，， 在中，，， 由勾股定理得：， ． （2）解：如图2：， ， ． 题型八 求旗杆高度（勾股定理的应用） 22．方圆同学测量旗杆的高度时发现系在旗杆的绳子垂到了地面，并多出了一段，经测量绳子垂直落地后还剩2米（如图1），绳子末端在地面上离旗杆底部的距离为6米（如图2），则旗杆的高度为（     ） A．8米 B．10米 C．12米 D．13米 【答案】A 【分析】设旗杆高度为米，根据题意表示出绳子的长度，在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设旗杆的高度为米， ∵绳子垂直落地后还剩2米， ∴绳子的长度为米， 在中，由勾股定理得：， 即， 整理得：， 解得：， ∴旗杆的高度为8米． 23．我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题目：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”大意是：如图，木柱与地面互相垂直，绳索比木柱长3尺，将绳索拉直沿地面行走，当绳索刚好用完时，长为8尺，则绳索长_______尺． 【答案】 【分析】设绳索长为x尺，则木柱长为尺，在中根据勾股定理构造方程，求解即可． 【详解】解：设绳索长为x尺，则木柱长为尺， ∵， ∴在中，， ∴， 解得， 答：绳索长为尺． 24．如图1，用激光测距仪测量某建筑物的高度．位于地面上点处的激光测距仪先将激光射向楼底端的点，仪器显示；再将激光射向楼顶端的点，仪器显示；最后仪器会自动显示出楼的高度． (1)求仪器显示的楼的高度． (2)如图2，若将激光测距仪沿方向移动后到达点，将激光射向楼顶端的点，则仪器显示点，的距离是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用勾股定理求解； （2）利用勾股定理求解． 【详解】（1）解：在中，， 由勾股定理得， 答：仪器显示的楼的高度为； （2）解：， 在中，， 由勾股定理得， 答：仪器显示点，的距离是． 题型九 求小鸟飞行距离（勾股定理的应用） 25．南昌市“盛世华彩，豫章欢歌”烟花晚会在赣江水域震撼上演．5000架无人机通过高精度集群控制技术呈现闪耀五星、千里江山图、梦想之翼等九幕动态画面．在彩排期间，小杨在平地上操控无人机，从点处起飞，先垂直爬升3米，后水平飞行4米到达点处，如图所示，则点与点之间的距离是（    ） A．5米 B．米 C．6米 D．7米 【答案】A 【详解】解：根据题意得，点与点之间的距离是（米）． 26．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行_____米． 【答案】 10 【分析】先求出两棵树的高度差，再结合两树的水平距离构造直角三角形，最后用勾股定理求出树梢间的直线距离，即小鸟飞行的最短距离． 【详解】解：两棵树的高度差为（米） 两树水平距离为8米，根据勾股定理，小鸟飞行的最短距离为: （米）. 故答案为：10． 27．如图，琪琪在离水面高度的岸边C处，用绳子拉停在B处的小船靠岸，开始时绳子的长为．    (1)开始时，小船距岸A的距离为_______； (2)若琪琪收绳后，船到达D处，求小船向岸A移动的距离的长． 【答案】(1)12 (2) 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是学握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． （1）在中，利用勾股定理计算出长； （2）根据题意可得长，然后再次利用勾股定理计算出长，再利用可得长． 【详解】（1）解：在中，， ， 故答案为：12； （2）∵琪琪收绳后，船到达处， ， ， ． 题型十 求大树折断前的高度（勾股定理的应用） 28．如图，一根竹子高丈（丈尺），折断后竹子顶端落在离竹子底端尺处．则竹子折断处离地面的高度为（     ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】B 【分析】设竹子折断处离地面的高度为尺，结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：设竹子折断处离地面的高度为尺， 由勾股定理可得， 解得：， ∴竹子折断处离地面的高度为尺． 29．4月27日呼和浩特全域出现大风扬沙天气，瞬时最大阵风达到12级．如图，受大风影响，一棵树在离地面6米处断裂，树顶端落在离底部8米的地面上，大树底部与地面垂直，则树折断之前有_______米． 【答案】 16 【分析】根据题意构建直角三角形模型，利用勾股定理求出折断部分的长度，再加上未折断部分的高度即可得出结果． 【详解】解：设树折断部分的长度为米． 由题意可知，未折断部分、折断部分与地面构成直角三角形， 其中一条直角边长为米，另一条直角边长为米． 根据勾股定理，得． 所以树折断之前的高度为米． 30．如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部处． (1)求旗杆从距地面多高处折断； (2)工人在修复旗杆的过程中，发现在折断点的下方的点处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的危险？ 【答案】(1) (2)周围范围内有被砸伤的风险 【分析】（1）利用勾股定理建立方程即可； （2）先画出图形，再求解，再利用勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：由题意知， ， 在中，， ， ， ，， 故旗杆在距地面处折断． （2）解：如图，点距地面， ， ， 在中，， 距离旗杆底部周围范围内有被砸伤的风险． 1 学科网（北京）股份有限公司 $