1.2　集合的基本关系 课件-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修 第一册

该高中数学课件聚焦集合的基本关系，涵盖子集、真子集、集合相等及空集等核心知识点。通过草原马群情境导入，以问题引导学生思考集合元素关系，衔接集合概念，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于情境化设计激发兴趣，分层训练（自我诊断、典型例题、跟踪训练）巩固知识，通性通法总结提炼方法。借助Venn图、数轴培养直观想象，例题解析提升逻辑推理，助力学生深化理解，教师可高效开展教学。

1.2　集合的基本关系 新课程标准解读 核心素养 1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集 合的子集 数学抽象、逻 辑推理 2.在具体情境中，了解空集的含义 数学抽象 3.能使用Venn图表达集合的基本关系，体会图形对 理解抽象概念的作用 数学抽象、直 观想象 目录 数学·必修第一册（BSD） 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 草原上，蓝蓝的天上白云飘，白云下面马儿跑.如果草原上的枣红马组成集合 A ，草原上的所有马组成集合 B . 【问题】　（1）集合 A 中的元素与集合 B 中的元素的关系是怎样的？ （2）集合 A 与集合 B 又存在什么关系？ ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ 目录 数学·必修第一册（BSD） 知识点　集合的基本关系 1. Venn图 定义：用平面上 的内部表示集合，称为Venn图. 封闭曲线　 目录 数学·必修第一册（BSD） 2. 子集 （2）规定：空集是任何集合的子集.也就是说，对于任意一个集合 A ，都有 ⁠. 提醒　“ A 是 B 的子集”的含义：集合 A 中的任何一个元素 都是集合 B 中的元素，即若 A ⊆ B ，则由 x ∈ A ，能推出 x ∈ B . ∅⊆ A 　 目录 数学·必修第一册（BSD） 3. 集合相等 目录 数学·必修第一册（BSD） 4. 真子集 提醒　（1） A 是 B 的真子集的含义： A ， B 首先要满足 A ⊆ B ，其 次至少有一个 x ∈ B ，但 x ∉ A ；（2）集合间关系的性质：①任何 一个集合都是它本身的子集，即 A ⊆ A ；②对于集合 A ， B ， C ， 若 A ⊆ B ，且 B ⊆ C ，则 A ⊆ C ；若 A ⫋ B ， B ⫋ C ，则 A ⫋ C . 目录 数学·必修第一册（BSD） 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）空集没有子集. （　×　） （2）任何集合至少有两个子集. （　×　） （3）空集是任何一个集合的真子集. （　×　） （4）若集合 A 是集合 B 的子集，集合 B 是集合 C 的子集，则集合 A 是集合 C 的子集. （　√　） × × × √ 目录 数学·必修第一册（BSD） 2. 已知集合 M ＝{1}， N ＝{1，2，3}，能够准确表示集合 M 与 N 之间 关系的是（　　） A. M ＜ N B. M ⊈ N C. N ⊆ M D. M ⫋ N 解析：　∵集合 M 中的元素都在集合 N 中，但是 M ≠ N . ∴ M ⫋ N ，故选D. 3. 设 a ∈R，若集合{2，9}＝{1－ a ，9}，则 a ＝ ⁠. 解析：因为{2，9}＝{1－ a ，9}，则2＝1－ a ，所以 a ＝－1. －1　 目录 数学·必修第一册（BSD） 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 集合间关系的判断 【例1】　判断下列集合的关系： （1） A ＝{1，2，3}， B ＝{ x ｜（ x －1）（ x －2）（ x －3）＝0}； 解： B ＝{ x ｜（ x －1）（ x －2）（ x －3）＝0}＝{1，2，3}＝ A . 目录 数学·必修第一册（BSD） （2） A ＝{ x ｜－1＜ x ＜4}， B ＝{ x ｜ x －5＜0}； 解：集合 B ＝{ x ｜ x ＜5}，用数轴表示集合 A ， B 如图所示，由 图可知 A ⫋ B . 目录 数学·必修第一册（BSD） （3） A ＝{ x ｜ x 是文学作品}， B ＝{ x ｜ x 是散文}， C ＝{ x ｜ x 是叙 事散文}. 解：画出Venn图，可知 C ⫋ B ⫋ A . 目录 数学·必修第一册（BSD） 通性通法 判断集合间关系的常用方法 目录 数学·必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 1. （多选）下列关系中，正确的有（　　） A. 0∈{0} B. ∅⫋{0} C. {0，1}⫋{（0，1）} D. {（1，2）}＝{（2，1）} 解析：　对于A，集合{0}中含有1个元素0，所以0∈{0}正确； 对于B，由于空集是任何非空集合的真子集，所以∅⫋{0}正确；对 于C，{0，1}是数集，{（0，1）}是点集，所以C错误；对于D， {（1，2）}与{（2，1）}是不同的点集，所以D错误. 目录 数学·必修第一册（BSD） 2. 已知集合 A ＝{ x ｜ x2－3 x ＋2＝0}， B ＝{1，2}， C ＝{ x ｜ x ＜8， x ∈N}，用适当的符号填空： （1） A B ；（2） A C ； （3）{2} C ；（4）2 C . 解析：集合 A 为方程 x2－3 x ＋2＝0的解集，即 A ＝{1，2}， 而 C ＝{ x ｜ x ＜8， x ∈N}＝{0，1，2，3，4，5，6，7}.故 （1） A ＝ B ；（2） A ⫋ C ；（3）{2}⫋ C ；（4）2∈ C . ＝　 ⫋　 ⫋　 ∈　 目录 数学·必修第一册（BSD） 题型二 确定有限集合的子集、真子集及其个数 【例2】　填写下表，回答后面的问题： 集合 元素个数 所有子集 子集个数 真子集个数 { a } 1 { a ， b } 2 { a ， b ， c } 3 { a ， b ， c ，d } 4 目录 数学·必修第一册（BSD） （1）你能找出“元素个数”与“子集个数”之间关系的规律吗？ 解：填表： 集合 元素个 数 所有子集 子集 个数 真子集个 数 { a } 1 ∅，{ a } 2 1 { a ， b } 2 ∅，{ a }，{ b }，{ a ， b } 4 3 目录 数学·必修第一册（BSD） 集合 元素个数 所有子集 子集 个数 真子集个数 { a ， b ， c } 3 ∅，{ a }，{ b }，{ c }，{ a ， b }， { b ， c }，{ a ， c }，{ a ， b ， c } 8 7 { a ， b ， c ， d } 4 ∅，{ a }，{ b }，{ c }，{ d }，{ a ， b }，{ a ， c }{ a ， d }，{ b ， c }，{ b ， d }，{ c ， d }，{ a ， b ， c }，{ a ， b ， d }，{ a ， c ， d }，{ b ， c ， d }，{ a ， b ， c ， d } 16 15 “子集个数”是2的“元素个数”次方. 目录 数学·必修第一册（BSD） （2）如果一个集合中有 n 个元素，你能用 n 表示出这个集合的子集、 真子集个数吗？ 解：能，这个集合的子集个数为2 n .真子集个数为2 n －1. （3）设集合 A 满足{1，2}⊆ A ⊆{1，2，3，4，5}，那么满足条件的 集合 A 有多少个？ 解： A 的个数是集合{3，4，5}的子集的个数，即23＝8个. 目录 数学·必修第一册（BSD） 通性通法 求集合子集、真子集个数的3个步骤 提醒　（1）要注意两个特殊的子集：∅和自身； （2）含有几个元素的集合，它的所有子集共有2 n 个，真子集有2 n －1 个，非空子集有2 n －1个，非空真子集有2 n －2个. 目录 数学·必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 　已知集合 M ＝{0，1}， N ＝{－1，0，1}. （1）写出集合 M 的子集、真子集； 解： M的子集为∅，{0}，{1}，{0，1}；其中真子集为：∅， {0}，{1}. （2）求集合 N 的子集数、真子集数和非空真子集数. 解： N 的子集为：∅，{－1}，{0}，{1}，{－1，0}，{－1， 1}，{0，1}，{－1，0，1}. 所以 N 的子集数为8个，真子集数为7个，非空真子集数为6个. 目录 数学·必修第一册（BSD） 题型三 由集合间的关系求参数值（或范围） 【例3】　已知集合 A ＝{ x ｜－2≤ x ≤5}， B ＝{ x ｜ m －6≤ x ≤2 m －1}，若 A ⊆ B ，求实数 m 的取值范围. 解：∵ A ⊆ B ， ∴解得故3≤ m ≤4. ∴实数 m 的取值范围是{ m ｜3≤ m ≤4}. 目录 数学·必修第一册（BSD） 【母题探究】 1. （变条件）本例中若将“ A ⊆ B ”改为“ B ⊆ A ”，其他条件不 变，求 m 的取值范围. 解：当 B ＝∅时， m －6＞2 m －1，即 m ＜－5. 当 B ≠∅时，即 m ∈∅. 故实数 m 的取值范围是{ m ｜ m ＜－5}. 目录 数学·必修第一册（BSD） 2. （变条件）本例若将集合 A ， B 分别改为 A ＝{－1，3，2 m －1}， B ＝{3， m2}，且 B ⊆ A ，求实数 m 的值. 解：因为 B ⊆ A ，所以 m2＝2 m －1，即（ m －1）2＝0，所以 m ＝ 1，当 m ＝1时， A ＝{－1，3，1}， B ＝{3，1}，满足 B ⊆ A . 所以 m 的值为1. 目录 数学·必修第一册（BSD） 通性通法 由集合间的包含关系求参数的方法 （1）当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方 程求解，此时应注意分类讨论； （2）当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，应注 意端点处是实点还是虚点. 提醒　（1）不能忽视集合为∅的情形； （2）当集合中含有字母参数时，一般要分类讨论. 目录 数学·必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 　已知集合 A ＝{ x ｜ x ＞4}，非空集合 B ＝{ x ｜2 a ≤ x ≤ a ＋3}，若 B ⊆ A ，求实数 a 的取值范围. 解：因为 B ≠∅，根据题意作出如图所示的数轴， 则解得2＜ a ≤3. 所以实数 a 的取值范围为{ a ｜2＜ a ≤3}. 目录 数学·必修第一册（BSD） 1. 设集合 M ＝{1，2，3}， N ＝{1}，则下列关系正确的是（　D　） A. N ∈ M B. N ∉ M C. N ⊇ M D. N ⊆ M D 目录 数学·必修第一册（BSD） 2. 下列各组两个集合 A 和 B ，表示相等集合的是（　　） A. A ＝{π}， B ＝{3.141 59} B. A ＝{2，3}， B ＝{（2，3）} D. A ＝{ x ｜－1＜ x ≤1， x ∈N}， B ＝{1} 目录 数学·必修第一册（BSD） 解析：　集合相等，两集合中的元素完全相同.选项A， ∵π≠3.141 59，∴ A ≠ B ；选项B，∵2，3表示两个实数，而 （2，3）表示一个点，∴ A ≠ B ；选项C，∵｜－ ｜＝ ，∴ A ＝ B ；选项D，∵ A ＝{ x ｜－1＜ x ≤1， x ∈N}＝{0，1}≠ B ＝ {1}，∴ A ≠ B . 目录 数学·必修第一册（BSD） 3. 已知集合 A ＝{ x ｜ x ＝3 k ， k ∈Z}， B ＝{ x ｜ x ＝6 k ， k ∈Z}，则 A 与 B 之间最适合的关系是（　　） A. A ⊆ B B. A ⊇ B C. A ⫋ B D. B ⫋ A 解析：　集合 A 是能被3整除的整数组成的集合，集合 B 是能被6 整除的整数组成的集合，所以 B ⫋ A . 4. 集合 A ＝{ x ｜ x ≥1，或 x ≤－2}， B ＝{ x ｜ x ≥ a }，若 B ⫋ A ，则 实数 a 的取值范围是 ⁠. 解析：如图， ，若 B ⫋ A ，则 a ≥1. [1，＋∞）　 目录 数学·必修第一册（BSD） 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 集合的子集个数为（　　） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 解析：　易知，则集合子集个数为个. 故答案为：D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册（BSD） 2. 下列四个集合中，是空集的是（　　） A. { x ｜ x ＋3＝3} B. {（ x ， y ）｜ y2＝－ x2， x ， y ∈R} C. { x ｜ x2≤0} D. { x ｜ x2－ x ＋1＝0， x ∈R} 解析：　∵ x2－ x ＋1＝0，Δ＝1－4＝－3＜0，方程无解， ∴{ x ｜ x2－ x ＋1＝0， x ∈R}＝∅，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册（BSD） 3. 设集合 A ＝{0，－ a }， B ＝{1， a －2，2 a －2}，若 A ⊆ B ，则 a ＝（　　） A. 2 B. 1 D. －1 解析：　由题意，得0∈ B . 又 B ＝{1， a －2，2 a －2}，所以 a － 2＝0或2 a －2＝0.当 a －2＝0时， a ＝2，此时 A ＝{0，－2}， B ＝ {1，0，2}，不满足 A ⊆ B ，舍去.当2 a －2＝0时， a ＝1，此时 A ＝{0，－1}， B ＝{1，－1，0}，满足 A ⊆ B . 综上所述， a ＝1.故 选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册（BSD） 4. （多选）已知集合 A ＝{－1，0}，若集合 B 满足{0}⊆ B ⊆ A ，则集 合 B ＝（　　） A. {－1，0} B. {0} C. {－1} D. ∅ 解析：　∵集合 B 满足{0}⊆ B ⊆ A ，∴ B ＝{0}或 B ＝{－1，0}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册（BSD） 5. 设集合 A ＝{ x ｜ x ＝ ， n ∈Z}， B ＝{ x ｜ x ＝ n ＋ ， n ∈Z}，则 下列图形能表示 A 与 B 关系的是（　　） 解析：　对于集合 A ： x ＝ ＝ ，对于集合 B ： x ＝ n ＋ ＝ ＝ ，因为2 n 代表偶数，2（3 n ＋1）＋1代表奇 数，所以集合 A 和集合 B 没有相同元素. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册（BSD） 6. 集合 A ＝{ x ｜（ a －1） x2＋3 x －2＝0}有且仅有两个子集，则 a ＝ ⁠. 解析：由集合 A 有两个子集可知，该集合是单元素集，当 a ＝1 时，满足题意.当 a ≠1时，由Δ＝9＋8（ a －1）＝0可得 a ＝－ . － 或1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册（BSD） 7. （多选）设 S 为实数集R的非空子集，若对任意 x ， y ∈ S ，都有 x ＋ y ， x － y ， xy ∈ S ，则称 S 为封闭集，则下列说法中正确的是 （　　） B. 若 S 为封闭集，则一定有0∈ S C. 封闭集一定是无限集 D. 若 S 为封闭集，则满足 S ⊆ T ⊆R的任意集合 T 也是封闭集 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册（BSD） 解析：　A对，任取 x ， y ∈ S ，不妨设 x ＝ a1＋ b1 ， y ＝ a2 ＋ b2 （ a1， a2， b1， b2∈Z），则 x ＋ y ＝（ a1＋ a2）＋（ b1＋ b2） ，其中 a1＋ a2， b1＋ b2均为整数，即 x ＋ y ∈ S ，同理可得 x － y ∈ S ， xy ∈ S ；B对，当 x ＝ y 时，0∈ S ；C错，当 S ＝{0} 时， S 是封闭集，但不是无限集；D错，设 S ＝{0}⊆ T ＝{0，1}， 显然 S 是封闭集， T 不是封闭集.因此，说法正确的是A、B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册（BSD） 谢 谢 观 看！ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 $