课时四十一 函数模型的应用 课后练习-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦函数模型应用，通过基础巩固、情境提升、综合建模三层设计，实现从概念理解到实际问题解决的递进，培养数学建模与运算能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一函数模型（指数、对数、分段）|题1-2直接应用概念，题9-10强化公式运算，夯实基础| |提升|综合模型与复杂情境|题6-7结合茶文化、考古碳14检测，需选择模型并进行对数计算，提升应用能力| |综合|实际问题建模与求解|题13需根据条件选择对数模型并解决评分问题，体现数学眼光与模型意识|

本资料分享自千人教师QQ群323031380 期待你的加入与分享 课时四十一　函数模型的应用 课后练习 一、选择题 1.若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%,设质量为1的镭经过x年后剩留量为y,则y与x的函数关系是(　　) A.y=0.957 B.y=0.957 6100x C.y= D.y=1-0.042 2.若抽气机每次可抽出容器内空气的60%,要使容器内的空气少于原来的0.1%,则至少要抽(参考数据:lg 2≈0.301)(　　) A.6次 B.7次 C.8次 D.9次 3.某学校要召开学生代表大会,规定各班每10人推选一名代表,当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么,各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为(　　) A.y= B.y= C.y= D.y= 4.某同学最近5年内的学习费用y(单位:千元)与时间x(单位:年)的关系如图所示,则可选择的函数模型是(　　) A.y=ax+b B.y=ax2+bx+c C.y=aex+b D.y=aln x+b 5.当生物死亡后,其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时,用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到,则它需要经过的“半衰期”个数至少是(　　) A.8 B.9 C.10 D.11 6．茶文化起源于中国，中国饮茶据说始于神农时代．现代研究结果显示，饮茶温度最好不要超过60 ℃.一杯茶泡好后置于室内，1分钟、2分钟后测得这杯茶的温度分别为80 ℃，68 ℃，给出三个茶温T(单位：℃)关于茶泡好后置于室内时间t(单位：分钟)的函数模型：①T＝at＋b(a<0)；②T＝logat＋b(0<a<1)；③T＝20＋b·at(b>0，0<a<1).根据生活常识，从这三个函数模型中选择一个，模拟茶温T(单位：℃)关于茶泡好后置于室内时间t(单位：分钟)的关系，并依此计算该杯茶泡好后到饮用至少需要等待的时间为(参考数据lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)(　　) A.2.72分钟 B．2.82分钟 C．2.92分钟 D．3.02分钟 7．2026年，考古学家对某一古城水利系统中一条水坝的建筑材料(草裹泥)上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的57.4%.若碳14的初始量为k，衰减率为p(0<p<1)，经过x年后，残留量为y满足函数为y＝k(1－p)x，已知碳14的半衰期为5 730年，则可估计该建筑大约是哪一年建成．(参考数据lg 0.574≈－0.241，lg 2≈0.301)(　　) A.公元前1217年 B．公元前1423年 C．公元前2562年 D．公元前2913年 8．(多选)假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如图所示，横轴为投资时间，纵轴为回报，根据以上信息，若使回报最多，下列说法正确的是(　　) A．投资3天以内(含第3天)，采用方案一 B．投资4天，不采用方案三 C．投资6天，采用方案二 D．投资10天，采用方案二 二、填空题 9.某制药厂研制出一种新型药剂,投放市场后其广告投入x(单位:万元)与药品利润y(单位:万元)的关系为y=xα(α为常数).已知去年投入广告费用3万元时,药品利润为27万元,若今年投入广告费用5万元,则预计今年药品利润为　　　　　万元.  10.已知地震的震级R与地震释放的能量E的关系为R=(lg E-11.4),则9.0级地震释放的能量是7.1级地震释放的能量的　　　　　倍.(参考数据:102.85≈708)  11.一个人喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL,在停止喝酒后,血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少,为了保障交通安全,某地根据《道路交通安全法》规定:驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL,那么,一个喝了少量酒后的驾驶员,至少经过　　　　　小时才能开车.(精确到1小时,参考数据:lg 3≈0.477,lg 4≈0.602)  三、解答题 12.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述,设物体的初始温度是T0,经过一定时间t后的温度是T,则T-Ta=(T0-Ta)×,其中Ta表示环境温度,h称为半衰期.现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡,放在24 ℃的房间中,如果咖啡降温到40 ℃需要20 min,那么降温到32 ℃时,需要多长时间? 13．学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，每天能用于锻炼的课余时间有60分钟，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分y与当天锻炼时间x(单位：分)的函数关系．要求及图示如下：(1)函数是区间[0，60]上的增函数；(2)每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分；(3)每天运动时间为20分钟时，当天得分为3分；(4)每天最多得分不超过6分． 现有以下三个函数模型供选择：①y＝kx＋b(k>0)，②y＝k·1.2x＋b(k>0)，③y＝k·log2(＋2)＋n(k>0). (1)请你从中选择一个合适的函数模型并说明理由，再根据所给信息求出函数的解析式； (2)求每天得分不少于4.5分，至少需要锻炼多少分钟．(注：≈1.414，结果保留整数). 课时四十一　函数模型的应用 课后练习（答案） 一、选择题 1.若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%,设质量为1的镭经过x年后剩留量为y,则y与x的函数关系是(　　) A.y=0.957 B.y=0.957 6100x C.y= D.y=1-0.042 解析:由题意可知y=(95.76%,即y=0.957 . 答案:A 2.若抽气机每次可抽出容器内空气的60%,要使容器内的空气少于原来的0.1%,则至少要抽(参考数据:lg 2≈0.301)(　　) A.6次 B.7次 C.8次 D.9次 解析:设至少抽x次可使容器内的空气少于原来的0.1%,则(1-60%)x<0.1%,即0.4x<0.001,故xlg 0.4<-3,解得x>≈7.5,故选C. 答案:C 3.某学校要召开学生代表大会,规定各班每10人推选一名代表,当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么,各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为(　　) A.y= B.y= C.y= D.y= 答案:B 4.某同学最近5年内的学习费用y(单位:千元)与时间x(单位:年)的关系如图所示,则可选择的函数模型是(　　) A.y=ax+b B.y=ax2+bx+c C.y=aex+b D.y=aln x+b 答案:B 5.当生物死亡后,其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时,用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到,则它需要经过的“半衰期”个数至少是(　　) A.8 B.9 C.10 D.11 解析:设该死亡生物体内原有的碳14含量为1,则经过该n(n∈N)个“半衰期”后的含量为,由得n≥10.所以,若探测不到碳14含量,则至少需要经过10个“半衰期”. 答案:C 6．茶文化起源于中国，中国饮茶据说始于神农时代．现代研究结果显示，饮茶温度最好不要超过60 ℃.一杯茶泡好后置于室内，1分钟、2分钟后测得这杯茶的温度分别为80 ℃，68 ℃，给出三个茶温T(单位：℃)关于茶泡好后置于室内时间t(单位：分钟)的函数模型：①T＝at＋b(a<0)；②T＝logat＋b(0<a<1)；③T＝20＋b·at(b>0，0<a<1).根据生活常识，从这三个函数模型中选择一个，模拟茶温T(单位：℃)关于茶泡好后置于室内时间t(单位：分钟)的关系，并依此计算该杯茶泡好后到饮用至少需要等待的时间为(参考数据lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)(　　) A.2.72分钟 B．2.82分钟 C．2.92分钟 D．3.02分钟 解析：依据生活常识，茶温一般不会低于室内温度，因此选择模型③， 得到解得 因此20＋75·()t≤60⇒()t≤ ⇒t≥≈2.814. 答案：B 7．2026年，考古学家对某一古城水利系统中一条水坝的建筑材料(草裹泥)上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的57.4%.若碳14的初始量为k，衰减率为p(0<p<1)，经过x年后，残留量为y满足函数为y＝k(1－p)x，已知碳14的半衰期为5 730，则可估计该建筑大约是哪一年建成．(参考数据lg 0.574≈－0.241，lg 2≈0.301)(　　) A.公元前1217年 B．公元前1423年 C．公元前2562年 D．公元前2913年 解析：由题意可得57.4%＝(1－p)x，50%＝(1－p)5730，则＝＝⇒x≈4 588， 则4 588－2 026＝2 562. 答案：C 8．(多选)假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如图所示，横轴为投资时间，纵轴为回报，根据以上信息，若使回报最多，下列说法正确的是(　　) A．投资3天以内(含第3天)，采用方案一 B．投资4天，不采用方案三 C．投资6天，采用方案二 D．投资10天，采用方案二 解析：由图可以看出，从每天回报看，在第一天到第三天，方案一最多，故A正确；在第四天，方案一、二一样多，方案三最少，故B正确；在第五天到第八天，方案二最多，故C正确；第九天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，故D不正确．故选ABC. 答案：ABC 二、填空题 9.某制药厂研制出一种新型药剂,投放市场后其广告投入x(单位:万元)与药品利润y(单位:万元)的关系为y=xα(α为常数).已知去年投入广告费用3万元时,药品利润为27万元,若今年投入广告费用5万元,则预计今年药品利润为　　　　　万元.  解析:由题意,知3α=27,解得α=3,所以函数解析式为y=x3,所以当x=5时,y=53=125. 答案:125 10.已知地震的震级R与地震释放的能量E的关系为R=(lg E-11.4),则9.0级地震释放的能量是7.1级地震释放的能量的　　　　　倍.(参考数据:102.85≈708)  解析:设9.0级地震释放的能量为E1,7.1级地震释放的能量为E2,由9.0=(lg E1-11.4),得lg E1=×9.0+11.4=24.9.同理可得lg E2=×7.1+11.4=22.05,从而lg E1-lg E2=24.9-22.05=2.85,故lg=2.85,则=102.85≈708,即9.0级地震释放的能量是7.1级地震释放的能量的708倍. 答案:708 11.一个人喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL,在停止喝酒后,血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少,为了保障交通安全,某地根据《道路交通安全法》规定:驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL,那么,一个喝了少量酒后的驾驶员,至少经过　　　　　小时才能开车.(精确到1小时,参考数据:lg 3≈0.477,lg 4≈0.602)  解析:设至少经过x小时才能开车,由题意得0.3(1-25%)x≤0.09,即0.75x≤0.3,解得x≥log0.750.3≈4.2. 答案:5 三、解答题 12.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述,设物体的初始温度是T0,经过一定时间t后的温度是T,则T-Ta=(T0-Ta)×,其中Ta表示环境温度,h称为半衰期.现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡,放在24 ℃的房间中,如果咖啡降温到40 ℃需要20 min,那么降温到32 ℃时,需要多长时间? 解:先设定半衰期h,由题意知40-24=(88-24)×,即,解得h=10.故原式可化为T-24=(88-24)×. 当T=32时,代入上式,得32-24=(88-24)×,即,解得t=30. 因此,需要30 min,可降温到32 ℃. 13．学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，每天能用于锻炼的课余时间有60分钟，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分y与当天锻炼时间x(单位：分)的函数关系．要求及图示如下：(1)函数是区间[0，60]上的增函数；(2)每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分；(3)每天运动时间为20分钟时，当天得分为3分；(4)每天最多得分不超过6分． 现有以下三个函数模型供选择：①y＝kx＋b(k>0)，②y＝k·1.2x＋b(k>0)，③y＝k·log2(＋2)＋n(k>0). (1)请你从中选择一个合适的函数模型并说明理由，再根据所给信息求出函数的解析式； (2)求每天得分不少于4.5分，至少需要锻炼多少分钟．(注：≈1.414，结果保留整数). 解：(1)对于模型①，y＝kx＋b(k>0)，当满足同时过点(0，0)，(20，3)时， b＝0，k＝，即y＝x，当x＝60时，y＝9>6，不合题意；由图可知，该函数的增长速度较慢， 对于模型②y＝k·1.2x＋b(k>0)，是指数型的函数，其增长是爆炸型增长，故②不合适； 对于模型③y＝k·log2(＋2)＋n(k>0)，对数型的函数增长速度较慢，符合题意，故选项模型③， 此时，所求函数过点(0，0)，(20，3)， 则解得k＝3，n＝－3， 故所求函数为y＝3log2(＋2)－3，经检验，当x＝60时，y＝3log2(＋2)－3＝6，符合题意， 综上所述，函数的解析式为y＝3log2(＋2)－3. (2)∵每天得分不少于4.5分， ∴3log2(＋2)－3≥4.5，即log2(＋2)≥， ∴＋2≥2＝4 ，即x≥40 －20≈40×1.414－20＝36.56，∴至少需要锻炼37分钟． 本资料分享自千人教师QQ群323031380 期待你的加入与分享 学科网（北京）股份有限公司 $