3.1锐角三角函数第一课时正切 课件 2026-2027学年青岛版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦九年级上册锐角三角函数第一课时“正切”，以冬奥首钢滑雪大跳台为情境导入，通过“助滑道与着陆坡哪个更陡”等问题引发思考，借助相似三角形证明比值不变，结合实例归纳正切定义，构建从实际到抽象的学习支架。 其亮点在于融合真实情境与身份体验，以“工程测量员”视角探究坡度问题，用数学眼光发现陡缓与对边邻边比值的关系，通过数学思维推理正切定义，以数学语言表达坡度（i=tanα）。实例如计算滑雪下降高度、测量楼梯坡度，培养学生模型意识与应用能力，教师可借助此资料提升教学的实践性与趣味性。

课 前 准 备 1.一副三角板，练习本，双色笔，铅笔，橡皮。 2.身份定位：工程测量员。 冬奥之约，数学之美 助滑道 着陆坡 首钢滑雪大跳台结构示意图 跳起台 问题1:观察助滑道和着陆坡，哪个更陡?你的判断依据是什么? 问题2:这两个坡的倾斜程度有差别吗?差别有多大? 问题3:怎样用数学的语言精确描述“陡”的程度? 情 境 导 入 第3章 锐角三角函数 青岛版 九年级上册 内容提要 锐角三角函数 30°，45°，60° 角的三角函数 解直角三角形与实际问题 第一课时 正 切 1.经历正切概念的探究过程，会正确叙述正切定义，清晰区分对边、邻边，正确表示锐角的正切，理解正切值与角的关系； 2.能根据定义求锐角的正切值，解题步骤规范，提升运算能力； 3.初步会将坡度实际问题转化为直角三角形模型，会用正切值比较坡面陡缓，初步建立应用模型观念。 学 习 目 标 助滑道 着陆坡 30m 40m A B M 12m 15m C D N 首钢滑雪大跳台结构示意图 任务一：锐角正切概念 ∟ ∟ 为放大△CDN，延长 DC，交MA 的延长线于点C1。可知，∠CDN＝∠C1DM。 = 相等吗？为什么？ 在△CDN和△C1DN中， ∵∠CDN=∠C1DM，∠CND=∠C1MD=90°， ∴△CND∽△C1ND。 ∴ = 。 归纳：在直角三角形中,当锐角的大小确定时,这个锐角的对边与邻边的比值随之确定。 任务一：锐角的正切概念 在Rt△ABC 中，∠C=90°，锐角A 的对边与邻边的比叫作∠A 的正切 (tangent)， 记作tanA，即tanA= 1.正切是在直角三角形中定义的，∠A是一个锐角； 2.tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切，不表示“tan”乘以“A ”。但∠BAC的正切表示为:tan∠BAC.∠1的正切表示为:tan∠1(单个字母或用希腊字母表示的角，可直接省略∠，如 tanA,tanβ) ； 3.tanA是一个比，没有单位，即直角三角形中锐角∠A的对边与邻边的比； 4.tanA的大小只与∠A的大小有关，与所在直角三角形的大小无关. 概 括 与 表 达 注意事项： 例1：在Rt△ABC 中, ∠C=90°,AB=13,BC=12。求tanA 和tanB 的值。 解：在 Rt△ABC 中, ∠C =90°，AB=13，BC=12。 由勾股定理,得： AC＝＝＝5 所以 tanA= = , tanB= = 任务二：会求锐角的正切值 1.在Rt△ABC 中,∠C=90°,AB=2,AC=1。求tanA 和tanB 的值。 2.在Rt△ABC 中,∠C=90°,BC=3,tanA=。求AC 和tanB 的值。 2.解：因为在Rt△ABC 中,∠C=90°， 所以tanA= 。 因为tanA= 所以 = 。 所以5AC=36。 所以AC=。 所以tanB= = 。 所以AC的值是，tanB 的值是 课堂训练： 1.解：因为在Rt△ABC 中,∠C=90°，AB=2,AC=1， 所以由勾股定理的：BC=== 因为在Rt△ABC 中, ∠A的对边是BC，邻边是AC, ∠B的对边是AC，邻边是BC, 所以tanA==， tanB= = 如图是斜坡横断面示意图。把斜坡起止点A,B 的高度差h与它们的水平距离 的比叫作坡度(或坡比),通常用字母 i 表示,即i= =tanα。 任务三：认识坡度（坡比）及应用 例2：北京成功举办第24届冬奥会后,很多学校都开展了冰雪项目的学习活动。如图, 一位同学乘滑雪板沿坡度为i=1∶2.4的斜坡滑行65米,求他下降的高度。 例2：北京成功举办第24届冬奥会后,很多学校都开展了冰雪项目的学习活动。如图, 一位同学乘滑雪板沿坡度为i=1∶2.4的斜坡滑行65米,求他下降的高度。 A ∟ C B 解：如图同学在斜坡上点A处，过点A作AB垂直于水平面于点B，设他下降的高度AB=x米。 因为坡度 i=1∶2.4， 所以水平距离BC=2.4x米。 由勾股定理得：x2+(2.4x)2=362。 解得x=25 (舍去负值)。 答：他下降得高度是25米。 学以致用：解密“雪飞天”的坡度 tan∠ABM= = ∟ A B M 40m 30m ∟ C D N 12cm 15cm tan∠CDN= = < 归纳： 坡的倾斜程度可以用角的正切值来表示，坡的坡度等于坡角的正切值，坡度越大，坡越陡峭；坡度越小，坡越平缓。 0.75 0.8 课堂小结 一个核心概念: 正切定义解析 一个重要关系: 坡度数学转化 一种解决思路: 量化比较陡缓 一种数学模型 直角三角形 必做实践作业： 回家用卷尺测量家里楼梯 / 阳台斜坡，记录垂直高度、水平长度，计算坡度；思考：家里楼梯适合老人吗？如何改造能变平缓?下节课课堂分享。 拓展题：小区两个车库坡道：A 坡高 2m，水平长 5m；B 坡高 3m，水平长 8m。哪个坡道更容易打滑？结合坡度说明理由。 作 业 布 置 $