1.1一元二次方程 课件 2026-2027学年青岛版九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程，涵盖概念、一般形式及解的定义，课堂导入通过芯片点阵、显示屏尺寸等现实问题，衔接整式方程等旧知，搭建从实际到抽象的学习支架。 其亮点是以现实情境为起点，通过观察方程共同特点抽象概念，培养数学眼光与思维。例题含概念辨析、形式转化等，小结系统梳理知识，助力学生提升建模能力与应用意识，也为教师提供逻辑清晰的教学资源。

内容提要 ◆ 一元二次方程 ◆ 一元二次方程的解法 ◆ 一元二次方程根的判别式 ◆ 一元二次方程根与系数的关系 ◆ 一元二次方程与实际问题 第1章 一元二次方程 青岛版 九年级上册 章前言 2020 年，我国成功发射了北斗三号全球卫星导航系统的最后一颗组网卫星，自此建成了独立运行、自主可控的全球卫星导航系统。芯片是卫星导航系统的核心组件之一。 某芯片上有一片矩形金属点阵区域，已知矩形点阵的总点数是276，点阵的行数与列数之和是35。它共有多少行、多少列？ 如果设矩形点阵的行数为x,那么列数为(35-x)。 x(35-x)=276。 由题意得 一元二次方程是刻画现实问题的一种重要数学模型。本章从实际问题入手，引入一元二次方程的概念，探索一元二次方程的解法，研究根与系数的关系。一元二次方程是今后学习其他方程和二次函数的基础，也是解决其他学科问题的一种重要工具。 学习本章内容，能帮助我们掌握因式分解、二次根式等知识，还能促进我们对相关知识的理解和应用。在应用一元二次方程解决实际问题的过程中，体会方程思想的意义，提升数学建模能力，增强应用意识。 方程 整式方程 分式方程 一元一次方程 二元一次方程 还有什么方程？ 分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 只含有一个未知数并且未知数的次数是一次的整式方程叫做一元一次方程. 含有两个未知数并且未知项的次数是一次的整式方程叫做二元一次方程. 温故而知新 一元二次方程 青岛版数学 九年级上册 第1章 一元二次方程 1.1 一次二次方程 (1)矩形显示屏的尺寸通常是指其对角线的长度。某矩形显示屏的尺寸为25cm,相邻两边之差为5cm。求它的两边长。 列方程解下面的问题： 设显示屏的较短边长为mcm,则它的较长边长为(m+5)cm, 由题意列出方程得： m2+(m+5)2=252。 (2)某产品原来每件售价2元,经过两次涨价后每件售价3元。求该产品售价的平均增长率。 设该产品售价的平均增长率为a, 由问题中的等量关系,可以列出方程： 2(1+a)2=3。 整理上述所得的方程, x(35-x)=276。 m2+(m+5)2=252。 2(1+a)2=3。 2a2+4a-1=0。③ x2-35x+276=0,① m2+5m-300=0,② 思考:上述整理后的方程有什么共同特点？ ①等号两边都是整式； ②只含有一个未知数； ③化简整理后未知数的最高次数是2。 特点: x2-35x+276=0,① m2+5m-300=0,② 2a2+4a-1=0。 ③ 像这样等号两边都是整式, 只含有一个未知数(一元)，并且化简整理后未知数的最高次数是2(二次)的方程叫做一元二次方程。 注意：概念中的三个条件。 一元二次方程的概念： 12 ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数, a≠０) a, b分别称为二次项系数和一次项系数． 一元二次方程的一般形式： 其中ax２ , bx , c分别称为二次项、一次项和常数项， 13 一元二次方程的解： 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是这个方程的解,一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根。 14 例题讲解 A 其中,一元二次方程的个数有（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 例1、下列方程中 ①3x+1=0; ②3x2-1=0; ③2x2+1=(x-1)(x-2) ④（5x+2)(3x-7)=15x2; ⑤3x2+y=2x; ⑥x2+=0 1.判断下列方程是不是一元二次方程,并说明理由: (1)x2-9=0; (2)x2=(x-2)(x+1); (3)2y2-7y=6-3y; (4) +3=4t2; (5)x2-y=0; (6)(3x-2)(x-1)=x(x-1)。 跟踪练习 B 例2、方程(m-1)x|m|+1-3x=7是关于x的一元二次方程， 则( ) A.m=1 B.m=-1 C.m=±1 D.m≠±1 例题讲解 2.已知方程x2-(k+1)x-1=0是关于x的 一元二次方程，则k的取值是 。 k＜ 跟踪练习 例3、把方程3(x-2)2=x(x+5)化为一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。 方程的二次项系数为2,一次项系数为-17,常数项为12。 解:去括号,得 3x2-12x+12=x2+5x。 移项,合并同类项,得 2x2-17x+12=0。 例题讲解 3.将下列一元二次方程化为一般形式,并指出二次项系数、一次项系数和常数项: (1)3x2=x+2; (2)(2x-1)(x-1)=0; (3)(2x+1)2=(x+1)(x-1); (4) - =4x2。 跟踪练习 例4、判断下列各数是否为一元二次方程x2-2x-3=0的根。 (1)x=-1; (2)x=1; (3)x=3。 ∴x=-1是一元二次方程x2-2x-3=0的根。 解:(1)当x=-1时, 左边=(-1)2-2×(-1)-3=0=右边, 例题讲解 (2)当x=1时, 左边=12-2×1-3=-4≠右边。 所以x=1不是一元二次方程x2-2x-3=0的根。 (3)当x=3时, 左边=32-2×3-3=0=右边。 所以x=3是一元二次方程x2-2x-3=0的根。 4.判断下列方程后面括号里的两个数是否为该方程的根: (1)x2-6x+5=0 (5,-3); (2)2x2-3x+1=0 （，1）; (3)x2-2x+3=0 (,-); (4)(2x-1)2=3 （ ，）。 跟踪练习 例5、某种课桌的桌面为矩形,面积为2400cm2,周长为 200cm。设桌面的长为xcm, 列出关于x的方程,并化为一般形式。 化为一般形式：x2-100x+2400=0 解：设桌面的长为xcm，则宽为(100-x）cm 由题意得 x(100-x)=2400 答：关于x的方程为x(100-x)=2400。 例题讲解 为什么一元二次方程一般形式中ax2+bx+c=0要限制a≠0，b、c 可以为零吗？ 当 a = 0 时， bx＋c = 0 当 a ≠ 0 ， b = 0时 ， ax2＋c = 0 当 a ≠ 0 ， c = 0时 ， ax2＋bx = 0 当 a ≠ 0 ，b = c =0时 ， ax2 = 0 总结：只要满足a ≠ 0 ，b ， c 可以为任意实数. 例6、a为何值时，方程ax2-x = 2x2-ax-3是一元 二次方程? a为何值时，是一元一次方程? 当方程为一元二次方程时，二次项系数不为0,即a-2≠0，解得a≠2 解：将方程ax2-x = 2x2-ax-3移项整理得： (a-2)2+(a-1)x+3=0 例题讲解 当方程为一元一次方程时，二次项系数为0且 一次项系数不为0，即 ∴当a≠2时是一元二次方程，当a=2时是一元一 次方程。 a-2=0 a-1≠0 解得a=2 1、一元二次方程的概念： 像这样等号两边都是整式, 只含有一个未知数(一元)， 并且化简整理后未知数的最高次数是2(二次)的方程 叫做一元二次方程。 ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数, a≠０) 2、一元二次方程的一般形式： 其中ax２ , bx , c分别称为二次项、一次项和常数项， a, b分别称为二次项系数和一次项系数． 课堂小结 B 1.若2是方程x2-3x+k=0的一个根,则常数k的值为（ ） A.1 B.2 C.-1 D.-2 2.若x=-2是一元二次方程ax2+bx-2=0的一个根,则代数式2026+2b-4a的值为（ ） A.2026 B.2025 C.2024 D.2023 C 当堂检测 D 3.关于x的一元二次方程(m-3)x2+m2x=9x+5，化为一 般形式后不含x的一次项，则m的值为( ) A.0 B.3 C.±3 D.-3 4.将下列方程化为一般形式，并分别指出它的 二次项、一次项和常数项及它们的系数： (2)2t(2t+3)=(t+5)(t+1)。 (1)y2+(y-2)2=4; $