第16讲 双曲线及其标准方程（培优讲义）新高二数学人教A版

第16讲 双曲线及其标准方程（暑假培优讲义） 析知识·讲要点 2 知识点01 双曲线的定义 2 知识点02 双曲线的标准方程 3 知识点03 双曲线的焦点三角形 4 剖题型・讲技巧 5 题型1 双曲线的定义 5 题型2 判断方程是否表示双曲线 8 题型3 根据方程表示椭圆、双曲线求参数 10 题型4 双曲线方程的求解 13 题型5 双曲线中的焦点三角形问题 15 释疑惑·重难拓展 19 题型1 双曲线中线段和差的最值问题 19 题型2 双曲线的轨迹问题 21 知高考•真题探源 24 练好题·提分培优 25 课标要点 1．掌握双曲线定义，明确的限制条件，能区分单支轨迹、射线与无轨迹的情况。 2．熟记焦点在x、y轴上的双曲线标准方程，理清a、b、c三者关系，会判断焦点位置。 3．理解双曲线焦点三角形概念，能结合双曲线定义、余弦定理推导并运用焦点三角形面积公式求解相关问题。 知识点01 双曲线的定义 一般地,我们把平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 注意：（1）距离的差要加绝对值,否则只有双曲线的一支,若分别表示双曲线的左、右焦点,则有以下两种情形： ①若点P满足,则点P在左支上,如图（1） ②若点P满足,则点P在右支上,如图（2） （2）注意定义中的“小于”这一限制条件,其根据是“三角形两边之差小于第三边”． ①若,即,根据平面几何知识知,当时,动点轨迹是以F2为端点向右延伸的一条射线；当时,动点轨迹是以F1为端点向左延伸的一条射线． ②若,即,根据平面几何知识知,动点轨迹不存在． （3） 注意定义中的“非零”这一限制条件,若差的绝对值等于零,则动点轨迹是线段的垂直平分线． 练习 1．已知，，动点满足，则点的轨迹是（     ） A．双曲线的一支 B．双曲线 C．椭圆 D．射线 2．是双曲线 上一点，点，分别是双曲线左右焦点，若 ，则______． 知识点02 双曲线的标准方程 标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 焦点 的关系 练习 3．已知双曲线的一个焦点坐标为，则（   ） A．5 B．10 C．25 D．50 4．双曲线的一个焦点坐标为，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D． 知识点03 双曲线的焦点三角形 双曲线上任意一点与双曲线两个焦点连接形成的三角形，叫做双曲线的焦点三角形。设点（）为双曲线上一点，、为双曲线左右焦点，则为焦点三角形，记。 常用解题依据： 1、双曲线定义 双曲线上任意一点到两焦点距离之差的绝对值为，即。 2、余弦定理 在中，焦距，满足： 3、三角形基础面积公式： 4.三角形面积公式： 推导过程：①.对两边平方： ②结合余弦定理，两式相减消去平方项，解得： ③将乘积代入面积公式： 练习 5．已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与双曲线的左支交于，两点，若，则的周长为__________. 6．设为双曲线：的右支上一点，的左、右焦点分别为，，且，若为坐标原点，为线段的中点，则（   ） A． B． C． D．1 题型1 双曲线的定义 【例1】到两定点的距离之差为定值的点的轨迹一定不是（   ） A．一条直线 B．双曲线的一支 C．一条射线 D．双曲线 【例2】已知点为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点，则（ ） A． B．4 C． D．16 【变式1-1】已知双曲线的两个焦点为，双曲线上有一点，若，则（    ） A．10 B．2 C．2或10 D．14 【变式1-2】已知平面上的动点与点，满足，则点的轨迹方程为_____. 【变式1-3】已知F是双曲线的左焦点，P是C上的一点，是的中点，O为坐标原点，若，则_____. 题型2 判断方程是否表示双曲线 【例3】方程表示的轨迹图形是（   ） A．抛物线 B．半个圆 C．半个椭圆 D．双曲线的一支 【例4】（多选）已知，关于曲线，下列说法正确的是（    ） A．曲线可能是直线 B．曲线可能是椭圆 C．曲线可能是圆 D．曲线可能是双曲线 【变式2-1】已知，为两个不相等非零实数，则方程，与所表示的曲线可能是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（多选）方程表示的曲线可以为（   ） A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 【变式2-3】当从0到逐渐变大时，方程表示的曲线依次为（    ） A．圆，椭圆，两条直线，双曲线 B．圆，椭圆，双曲线 C．椭圆，一条射线，双曲线，圆 D．圆，椭圆，一条直线，双曲线 题型3 根据方程表示椭圆、双曲线求参数 【例5】下列双曲线的焦点必在y轴上的是（    ） A． B． C． D． 【例6】“曲线C：（）为双曲线”是“”的（     ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-1】（多选）已知曲线，则下列说法正确的有（   ） A．曲线可能是圆 B．曲线可能是等轴双曲线 C．若曲线是焦点在轴上的椭圆，则 D．若曲线是焦点在轴上的双曲线，则 【变式3-2】（多选）已知方程所表示的曲线为，则下列说法中正确的有（   ） A．曲线可以是圆 B．当时，曲线可以是焦点在轴上的椭圆 C．当时，曲线可以是焦点在轴上的双曲线 D．当曲线是椭圆或双曲线时，其焦距均为5 【变式3-3】（多选）是关于的方程，则（　　） A．方程可以表示半径为的圆 B．当时方程表示焦点在轴上的椭圆 C．是方程表示焦点在轴上的椭圆的必要不充分条件 D．是方程表示双曲线的充要条件 题型4 双曲线方程的求解 【例7】已知双曲线的焦点为和，虚半轴长为，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【例8】已知曲线是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的等轴双曲线，点在上，则的实轴长为（     ） A．10 B．9 C．8 D．6 【变式4-1】以椭圆长轴的两个端点为焦点，以椭圆的焦点为顶点的双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)焦点为，，且经过点； (2)焦点在y轴上，经过点，. 【变式4-3】已知双曲线的中心在原点，两个焦点分别为和，点在双曲线上，且，的面积为1，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 题型5 双曲线中的焦点三角形问题 【例9】已知为双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上，且，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【例10】双曲线的左右焦点分别为、，过的直线与双曲线的右支交于、两点，且、、成等差数列，则等于（   ） A．16 B．8 C．4 D．2 【变式5-1】已知双曲线C:=1的左、右焦点分别为，，P为C的右支上一点，且，则的面积为______. 【变式5-2】已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线上的一点满足，则点的坐标为______． 【变式5-3】已知，是双曲线的两个焦点，且，过的直线交双曲线一支于A，B两点，当，的周长等于26时，则此双曲线的标准方程为________． 释疑惑·重难拓展 题型1 双曲线中线段和差的最值问题 【例1】已知双曲线的右焦点为F，P为双曲线右支上一动点，，则的最小值为（     ） A． B． C．5 D．10 【例2】已知点是双曲线的右支上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为（     ） A．12 B．15 C．16 D．18 【变式1-1】已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，点为右支上一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知，点A在椭圆上，点B在双曲线上，则周长的最小值是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式1-3】已知点、分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上任意一点，点的坐标为，则的最小值为________. 题型2 双曲线的轨迹问题 【例3】在平面内动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是.则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【例4】设点，为动点，已知直线与直线的斜率之积为定值，点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知动圆P与圆M：，圆N：均外切，记圆心P的运动轨迹为曲线C，则C的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】在平面直角坐标系中，已知定点、，平面内两个动点、满足，，且点在的平分线上，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 1．（2024·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为点在双曲线右支上，直线的斜率为2．若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 2．（2020·全国I卷·高考真题）设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（    ） A． B．3 C． D．2 一、单选题 1．双曲线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 2．已知双曲线的一个焦点坐标为，则（   ） A．3 B．6 C． D．9 3．过椭圆与双曲线四个交点的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 4．已知双曲线C：，则（   ） A． B．C的焦点在x轴上 C． D．C的焦点在y轴上 5．已知双曲线的右焦点为F，动点M在双曲线右支上，点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 6．双曲线的左、右焦点分别为．是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2，是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 7．已知，是双曲线：的两个焦点，为上一点，且，若的面积是，则（   ） A． B． C．3 D．4 二、多选题 8．已知曲线C的方程为，其中k为实数，则下列结论正确的是（   ） A．当时，曲线C是圆 B．当时，曲线C是焦点在y轴上的椭圆 C．当时，曲线C是焦点在轴上的椭圆 D．当时，曲线C是双曲线 9．已知点P是双曲线 左支上一点，分别为双曲线的左右焦点，的面积为20，则下列说法正确的是（    ） A．点P的横坐标为 B．的周长为 C．大于 D．的内切圆半径为 三、填空题 10．已知点到点的距离减去它到点的距离之差是2，则点的轨迹方程为____________． 11．已知双曲线的左、右焦点分别为，，是右支上一点，，则_____． 12．已知、分别是双曲线的左、右焦点，动点在双曲线的左支上，点为圆上一动点，则的最小值为_______． 四、解答题 13．求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)与椭圆有公共焦点，且离心率为； (2)经过、两点. 14．已知：点不在圆的内部，：“曲线表示焦点在轴上的椭圆”，：“曲线表示双曲线”． (1)若和都成立，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求的取值范围． 15．已知双曲线的左、右焦点分别是，. (1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离； (2)如图，若P是双曲线左支上的点，且，求的面积. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第16讲 双曲线及其标准方程（暑假培优讲义） 析知识·讲要点 2 知识点01 双曲线的定义 2 知识点02 双曲线的标准方程 3 知识点03 双曲线的焦点三角形 4 常用解题依据： 4 剖题型・讲技巧 5 题型1 双曲线的定义 5 题型2 判断方程是否表示双曲线 8 题型3 根据方程表示椭圆、双曲线求参数 10 题型4 双曲线方程的求解 13 题型5 双曲线中的焦点三角形问题 15 释疑惑·重难拓展 19 题型1 双曲线中线段和差的最值问题 19 题型2 双曲线的轨迹问题 21 知高考•真题探源 24 练好题·提分培优 25 课标要点 1．掌握双曲线定义，明确的限制条件，能区分单支轨迹、射线与无轨迹的情况。 2．熟记焦点在x、y轴上的双曲线标准方程，理清a、b、c三者关系，会判断焦点位置。 3．理解双曲线焦点三角形概念，能结合双曲线定义、余弦定理推导并运用焦点三角形面积公式求解相关问题。 知识点01 双曲线的定义 一般地,我们把平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 注意：（1）距离的差要加绝对值,否则只有双曲线的一支,若分别表示双曲线的左、右焦点,则有以下两种情形： ①若点P满足,则点P在左支上,如图（1） ②若点P满足,则点P在右支上,如图（2） （2）注意定义中的“小于”这一限制条件,其根据是“三角形两边之差小于第三边”． ①若,即,根据平面几何知识知,当时,动点轨迹是以F2为端点向右延伸的一条射线；当时,动点轨迹是以F1为端点向左延伸的一条射线． ②若,即,根据平面几何知识知,动点轨迹不存在． （3） 注意定义中的“非零”这一限制条件,若差的绝对值等于零,则动点轨迹是线段的垂直平分线． 练习 1．已知，，动点满足，则点的轨迹是（     ） A．双曲线的一支 B．双曲线 C．椭圆 D．射线 【答案】A 【详解】由题意可知， 因为， 所以点的轨迹是双曲线的一支. 2．是双曲线 上一点，点，分别是双曲线左右焦点，若 ，则______． 【答案】 【详解】由双曲线，得，. 若在左支上，则，此时，故； 若在右支上，则，这与矛盾， 所以． 知识点02 双曲线的标准方程 标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 焦点 的关系 练习 3．已知双曲线的一个焦点坐标为，则（   ） A．5 B．10 C．25 D．50 【答案】C 【详解】因为双曲线的一个焦点坐标为， 所以 4．双曲线的一个焦点坐标为，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】将双曲线化为标准方程得： 所以双曲线的焦点在轴上，且， 因为双曲线的一个焦点坐标为， 所以，即，解得 故选：C 知识点03 双曲线的焦点三角形 双曲线上任意一点与双曲线两个焦点连接形成的三角形，叫做双曲线的焦点三角形。设点（）为双曲线上一点，、为双曲线左右焦点，则为焦点三角形，记。 常用解题依据： 1、双曲线定义 双曲线上任意一点到两焦点距离之差的绝对值为，即。 2、余弦定理 在中，焦距，满足： 3、三角形基础面积公式： 4.三角形面积公式： 推导过程：①.对两边平方： ②结合余弦定理，两式相减消去平方项，解得： ③将乘积代入面积公式： 练习 5．已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与双曲线的左支交于，两点，若，则的周长为__________. 【答案】34 【详解】由题知，由双曲线的定义，知， 故的周长为. 6．设为双曲线：的右支上一点，的左、右焦点分别为，，且，若为坐标原点，为线段的中点，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】本题考查双曲线的定义与几何性质，考查直观想象与数学运算的核心素养. 依题意得. 因为， 所以，故. 故选：C    题型1 双曲线的定义 【例1】到两定点的距离之差为定值的点的轨迹一定不是（   ） A．一条直线 B．双曲线的一支 C．一条射线 D．双曲线 【答案】D 【详解】设两定点分别为和，设， 当时为双曲线的一支， 当时为一条射线， 当时，为的垂直平分线，一条直线， 无论为何值时，都不会是双曲线. 【例2】已知点为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点，则（ ） A． B．4 C． D．16 【答案】B 【详解】点为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点， ， ， 则． 故选：B． 【变式1-1】已知双曲线的两个焦点为，双曲线上有一点，若，则（    ） A．10 B．2 C．2或10 D．14 【答案】C 【详解】因为双曲线方程为，所以， 所以，所以， 由双曲线的定义可得，即， 可得或， 又当点在双曲线左支上时，， 当点在双曲线右支上时，， 所以或. 故选：C 【变式1-2】已知平面上的动点与点，满足，则点的轨迹方程为_____. 【答案】 【详解】由点，，可得， 因为，即，可得点三点共线， 且点的轨迹方程为. 故答案为： 【变式1-3】已知F是双曲线的左焦点，P是C上的一点，是的中点，O为坐标原点，若，则_____. 【答案】 【详解】，， ，， 设是C的右焦点，则， 因为是的中点，O为的中点，且， 所以由中位线性质得， 如图，当P在C的左支上时， ，，不符合题意. 如图，当P在C的右支上时， ，， 此时符合题意，故. 题型2 判断方程是否表示双曲线 【例3】方程表示的轨迹图形是（   ） A．抛物线 B．半个圆 C．半个椭圆 D．双曲线的一支 【答案】D 【详解】由题意，得把式子左右同时平方，得，即，， 又， 方程表示的轨迹图形是双曲线的一支. 故选：D. 【例4】（多选）已知，关于曲线，下列说法正确的是（    ） A．曲线可能是直线 B．曲线可能是椭圆 C．曲线可能是圆 D．曲线可能是双曲线 【答案】BC 【详解】对A：由，故，， 故曲线为二次方程，曲线不可能为直线，故A错误； 对B：当，即时，曲线是椭圆，故B正确； 对C：当时，有，此时， 即曲线可能是圆，故C正确； 对D：要想曲线为双曲线，则需， 由，，故无解， 故曲线不可能是双曲线，故D错误. 故选：BC. 【变式2-1】已知，为两个不相等非零实数，则方程，与所表示的曲线可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】方程变形为， A选项，双曲线交点在轴上，，此时应该经过第一，二，四象限，A不可能； B选项，椭圆焦点在轴上，，此时经过第一，二，三象限，B不可能； C选项，双曲线交点在轴上，，此时应该经过第一，三，四象限，C可能； D选项，椭圆焦点在轴上，故，此时经过第一，二，三象限，D不可能. 【变式2-2】（多选）方程表示的曲线可以为（   ） A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 【答案】BCD 【详解】因为二元二次方程不能转化为两个二元一次因式之积，故A不正确； 当时，该方程表示以原点为圆心的圆，故B正确； 当，，且时，该方程表示以原点为中心的椭圆，故C正确； 当时，该方程表示以原点为中心的双曲线，故D正确. 故选：BCD. 【变式2-3】当从0到逐渐变大时，方程表示的曲线依次为（    ） A．圆，椭圆，两条直线，双曲线 B．圆，椭圆，双曲线 C．椭圆，一条射线，双曲线，圆 D．圆，椭圆，一条直线，双曲线 【答案】A 【详解】①当时，，曲线，表示圆； ②当时，，曲线表示椭圆； ③当时，，曲线即，表示两条直线； ④当时，，曲线表示双曲线. 故选：A. 题型3 根据方程表示椭圆、双曲线求参数 【例5】下列双曲线的焦点必在y轴上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A：当时，该双曲线的焦点在y轴上， 当时，该双曲线的焦点在x轴上，所以本选项不符合题意； B：当该选项方程表示双曲线时，则有，或， 由， 由， 综上所述：该选项方程表示双曲线时，则有， 此时有，所以该选项表示的双曲线的焦点必在x轴上，不符合题意； C：因为该选项方程表示双曲线，所以， 因为， 所以该选项方程表示双曲线的焦点必在x轴上，不符合题意； D：当该选项方程表示双曲线时，则有，或， 由， 由， 综上所述：该选项方程表示双曲线时，则有， 此时有，所以该选项表示的双曲线的焦点必在y轴上，符合题意. 【例6】“曲线C：（）为双曲线”是“”的（     ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】曲线C：（）为双曲线，则，解得或， m可能取的值，无法推出一定成立，故充分性不成立； 若成立，则，，方程表示焦点在x轴上的双曲线， 可推出“曲线C为双曲线”成立，故必要性成立， 综上，“曲线C：（）为双曲线”是“”的必要不充分条件. 【变式3-1】（多选）已知曲线，则下列说法正确的有（   ） A．曲线可能是圆 B．曲线可能是等轴双曲线 C．若曲线是焦点在轴上的椭圆，则 D．若曲线是焦点在轴上的双曲线，则 【答案】ACD 【详解】对于A，曲线表示圆，则，解得，故A正确； 对于B，曲线表示等轴双曲线，则，方程无解，故B错误； 对于C，曲线表示焦点在轴上的椭圆，则， 解得，故C正确； 对于D，曲线表示焦点在轴上的双曲线，则，且，解得，故D正确. 故选：ACD. 【变式3-2】（多选）已知方程所表示的曲线为，则下列说法中正确的有（   ） A．曲线可以是圆 B．当时，曲线可以是焦点在轴上的椭圆 C．当时，曲线可以是焦点在轴上的双曲线 D．当曲线是椭圆或双曲线时，其焦距均为5 【答案】BC 【详解】对于A，当方程表示圆时，，无解，故A错误； 对于B，当时，，则表示焦点在轴上的椭圆，故B正确； 对于C，当时，，则表示焦点在轴上的双曲线，故C正确； 对于D，当，即，此时方程表示焦点在轴上的双曲线， 故，所以，焦距为6； 当时，，方程表示焦点在轴上的椭圆， 故，所以，焦距为6．故D错误． 故选：BC． 【变式3-3】（多选）是关于的方程，则（　　） A．方程可以表示半径为的圆 B．当时方程表示焦点在轴上的椭圆 C．是方程表示焦点在轴上的椭圆的必要不充分条件 D．是方程表示双曲线的充要条件 【答案】ABD 【详解】方程表示圆的条件是，即， 此时方程为，即，半径为，故A正确； 当时，，则，所以， 表示焦点在轴上的椭圆，故B正确； 方程表示焦点在x轴上的椭圆的条件是， 得到，所以是表示焦点在轴上的椭圆的充分不必要条件，故C错误； 方程表示双曲线的条件是，即， 所以，所以是方程表示双曲线的充要条件，故D正确. 故选：ABD. 题型4 双曲线方程的求解 【例7】已知双曲线的焦点为和，虚半轴长为，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为双曲线的焦点为和，虚半轴长为， 所以设双曲线方程为：，其中， 因为，所以， 所以双曲线方程为：. 【例8】已知曲线是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的等轴双曲线，点在上，则的实轴长为（     ） A．10 B．9 C．8 D．6 【答案】D 【详解】由等轴双曲线的性质，设曲线的方程为， 将点代入方程，得， 可得， 因此，双曲线的标准方程为， 可得，即， 因此，实轴长. 【变式4-1】以椭圆长轴的两个端点为焦点，以椭圆的焦点为顶点的双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】椭圆长轴的两个端点为，，焦点为，， 所以双曲线的焦点坐标为，，顶点为，， 则双曲线的焦点在轴上，且，，所以， 所以双曲线的方程为. 故选：C. 【变式4-2】求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)焦点为，，且经过点； (2)焦点在y轴上，经过点，. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为双曲线的焦点为，， 则焦点在上，且， 方程可设为 又经过点， 则， 又，则， 所以双曲线方程为 （2）因为焦点在y轴上， 可设方程为， 又经过点，， 则，解得， 所以双曲线方程为. 【变式4-3】已知双曲线的中心在原点，两个焦点分别为和，点在双曲线上，且，的面积为1，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】不妨设点在第一象限. 设，， 根据题意：， 所以，即，所以，， 所以双曲线的方程为：. 故选：D 题型5 双曲线中的焦点三角形问题 【例9】已知为双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上，且，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为双曲线，则，所以. 因为点在双曲线右支上，所以. 令，则，又因为，， 所以由余弦定理得，即， 即，因为，解得，即，所以， 则的周长为. 【例10】双曲线的左右焦点分别为、，过的直线与双曲线的右支交于、两点，且、、成等差数列，则等于（   ） A．16 B．8 C．4 D．2 【答案】B 【详解】由题知， 因为、、成等差数列，所以， 由双曲线的定义得：①，②， 得， 又因为， 所以 故选：B 【变式5-1】已知双曲线C:=1的左、右焦点分别为，，P为C的右支上一点，且，则的面积为______. 【答案】48 【详解】由可得，，， ， ， 方法一：过点作的垂线交于，则， ， 所以的面积为. 方法二：在中，. 因为，所以， 所以. 方法三:根据海伦公式，，其中是三角形的三边长，得 . 【变式5-2】已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线上的一点满足，则点的坐标为______． 【答案】 【详解】由题意得，， 由双曲线定义知，联立，解得， 设，因为，所以点在双曲线的右支上，则， 因为，所以①， 又因为点在双曲线上，则②， 联立①②解得或. 所以． 【变式5-3】已知，是双曲线的两个焦点，且，过的直线交双曲线一支于A，B两点，当，的周长等于26时，则此双曲线的标准方程为________． 【答案】或 【详解】 当双曲线的焦点在x轴上时，设，分别是双曲线的左、右焦点， 的周长等于26，所以有， 由双曲线的定义可知，，两式相加得， ， 即，而， 因此可得，所以. 因为，所以， 于是， 所以双曲线方程为. 当双曲线的焦点在y轴上时，同理可得双曲线方程为， 综上所述，双曲线方程为或. 释疑惑·重难拓展 题型1 双曲线中线段和差的最值问题 【例1】已知双曲线的右焦点为F，P为双曲线右支上一动点，，则的最小值为（     ） A． B． C．5 D．10 【答案】B 【详解】设双曲线的左焦点为，则，所以，. 则由题意可得，，即. 所以， 当且仅当三点共线时，等号成立. 即的最小值为. 【例2】已知点是双曲线的右支上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为（     ） A．12 B．15 C．16 D．18 【答案】B 【详解】 在双曲线中，，，， 所以双曲线的焦点，，， 因为，， 所以. 【变式1-1】已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，点为右支上一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由双曲线，得，，即， 则， 当且仅当三点共线时，即时取等号，所以的最大值为. 【变式1-2】已知，点A在椭圆上，点B在双曲线上，则周长的最小值是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【详解】取，则，为椭圆和双曲线的公共焦点. 根据椭圆和双曲线的定义，可得， 即. 又，当三点共线时取等号. 所以，即周长的最小值为4. 【变式1-3】已知点、分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上任意一点，点的坐标为，则的最小值为________. 【答案】 【详解】由题可知双曲线的实半轴长，设左焦点为， 由双曲线定义，，得， 所以， ， 当且仅当、、三点共线且在点和点之间时取等号． 题型2 双曲线的轨迹问题 【例3】在平面内动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是.则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设动点的坐标为， 则点到定点的距离为， 点到定直线的距离为, 由题意得， 化简得：，即. 【例4】设点，为动点，已知直线与直线的斜率之积为定值，点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设， 则，整理可得， 所以点的轨迹方程是. 故选：B. 【变式2-1】若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由圆，可得标准方程为， 所以圆心，半径为， 若圆上恰有三个点到直线的距离为， 则满足圆心到直线的距离恰好为，即，即， 设，则， 代入，可得， 整理得，即点的轨迹方程为. 故选：A. 【变式2-2】已知动圆P与圆M：，圆N：均外切，记圆心P的运动轨迹为曲线C，则C的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由圆M：，得圆心，半径， 由圆N：，得圆心，半径． 设圆P的半径为r，则有，． 两式相减得， 所以圆心P的运动轨迹为以、为焦点的双曲线的左支， 又，所以C的方程为． 故选：B． 【变式2-3】在平面直角坐标系中，已知定点、，平面内两个动点、满足，，且点在的平分线上，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】易知点不在轴上，由知动点在单位圆上， 设点在轴右侧，如图，延长交于点． 因为点在的平分线上，且， 所以为等腰三角形，则，且为的中点，所以， 因此． 同理，当点在轴左侧时，． 故点在以、为焦点的双曲线上， 则该双曲线实轴长为，焦距，虚轴长为， 所以双曲线方程为． 1．（2024·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为点在双曲线右支上，直线的斜率为2．若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如下图：由题可知，点必落在第四象限，，设， ，由，求得， 因为，所以，求得，即， ，由正弦定理可得：， 则由得， 由得， 则， 由双曲线第一定义可得：，， 所以双曲线的方程为. 故选：A 2．（2020·全国I卷·高考真题）设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】B 【详解】由已知，不妨设， 则，因为， 所以点在以为直径的圆上， 即是以P为直角顶点的直角三角形， 故， 即，又， 所以， 解得，所以 故选：B 【点晴】本题考查双曲线中焦点三角形面积的计算问题，涉及到双曲线的定义，考查学生的数学运算能力，是一道中档题. 一、单选题 1．双曲线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据双曲线的定义可得，，，且焦点在轴上， 方程可化为. 此时，，则， 所以该双曲线的焦点为. 2．已知双曲线的一个焦点坐标为，则（   ） A．3 B．6 C． D．9 【答案】D 【详解】双曲线的标准方程为其中 设双曲线的焦距参数为 ，则 已知一个焦点坐标为 ，所以 因此 3．过椭圆与双曲线四个交点的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】联立方程，消去得，所以，， 则交点坐标为，，，， 不妨设圆的标准方程为：，代入得：， 所以圆的标准方程为：. 4．已知双曲线C：，则（   ） A． B．C的焦点在x轴上 C． D．C的焦点在y轴上 【答案】D 【详解】由方程表示双曲线，可得二次项分母异号， 即， 解得. 因此，，，将方程化为双曲线标准形式， 可得双曲线的焦点在轴上. 对于选项A：与矛盾，故A错误. 对于选项B：双曲线焦点在轴上，故B错误. 对于选项C：的完整取值范围为，仅为其子集，故C错误. 对于选项D：由上述推导，双曲线的焦点在轴上，故D正确. 5．已知双曲线的右焦点为F，动点M在双曲线右支上，点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由双曲线得，，所以. 则右焦点，设左焦点为. 点M在双曲线右支上，所以，即. 所以. 因为，当且仅当三点共线时，且在延长线与双曲线右支交点时取等号. 又， 所以的最大值为. 6．双曲线的左、右焦点分别为．是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2，是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图， 点必落在第四象限，， 设，，， 由，则， 因为，所以，则， 所以，则， 由正弦定理可得， 由，得，， 由，得， 所以，，，， 由双曲线的定义可得，，， 所以双曲线的方程为. 7．已知，是双曲线：的两个焦点，为上一点，且，若的面积是，则（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【详解】法1：由双曲线焦点三角形的面积公式可知，解得，即. 法2：由双曲线定义， 在焦点三角形中，由余弦定理得 , 即，所以， 又，所以， 整理得，解得. 故选：A. 二、多选题 8．已知曲线C的方程为，其中k为实数，则下列结论正确的是（   ） A．当时，曲线C是圆 B．当时，曲线C是焦点在y轴上的椭圆 C．当时，曲线C是焦点在轴上的椭圆 D．当时，曲线C是双曲线 【答案】ABD 【详解】当时，曲线C的方程为，故曲线C是圆，故A正确； 当时，且曲线C的方程为， 故曲线是焦点在y轴上的椭圆，故B正确； 当时，且曲线的方程为， 故曲线是焦点在轴上的椭圆，故C错误； 当时，曲线的方程为，故曲线C是双曲线，故D正确； 故选：ABD 9．已知点P是双曲线 左支上一点，分别为双曲线的左右焦点，的面积为20，则下列说法正确的是（    ） A．点P的横坐标为 B．的周长为 C．大于 D．的内切圆半径为 【答案】BD 【详解】如图，由可得，双曲线的离心率为. 对于A，因，则的面积为， 解得，代入，因，则，故A错误； 对于B，因，， 又的周长为.故B正确； 对于C，由余弦定理可得，， 因，则，故C错误； 对于D，设的内切圆半径为， 则，解得，故D正确. 故选：BD. 三、填空题 10．已知点到点的距离减去它到点的距离之差是2，则点的轨迹方程为____________． 【答案】 【详解】由题意，点的轨迹是以为焦点的双曲线的上支，其方程形如 其中，则， 故点的轨迹方程为. 11．已知双曲线的左、右焦点分别为，，是右支上一点，，则_____． 【答案】5 【详解】由题知，， 在中，， 由得，， 所以． 12．已知、分别是双曲线的左、右焦点，动点在双曲线的左支上，点为圆上一动点，则的最小值为_______． 【答案】6 【详解】双曲线，则，，，，，圆的圆心为，半径，在双曲线的左支上，，， 所以，根据几何性质可知，,故的最小值是2，当且仅当四点共线，且位于之间时，取到等号， 所以的最小值是． 故答案为：6．    四、解答题 13．求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)与椭圆有公共焦点，且离心率为； (2)经过、两点. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）根据题意，椭圆焦点坐标为， 又双曲线离心率为，所以，则， 所以双曲线的标准方程为； （2）不妨设满足题意的双曲线的标准方程为， 双曲线经过、两点， 则由题意有，解得，显然有， 所以满足题意的双曲线的标准方程为. 14．已知：点不在圆的内部，：“曲线表示焦点在轴上的椭圆”，：“曲线表示双曲线”． (1)若和都成立，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】 【详解】（1）解：当为真时，则有， 整理得：，解得或； 当为真时，则有，解得或； 又因为和都为真， 所以，解得或， 所以实数的取值范围为； （2）解：当为真时，则有，解得， 又因为是的必要不充分条件， 所以或， 所以或， 解得或， 所以的取值范围. 15．已知双曲线的左、右焦点分别是，. (1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离； (2)如图，若P是双曲线左支上的点，且，求的面积. 【答案】(1)10或22 (2) 【分析】 【详解】（1）双曲线的标准方程为， 故，，， 由双曲线的定义得， 又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16， 假设点M到另一个焦点的距离等于x， 则，解得或. 故点M到另一个焦点的距离为10或22. （2）由双曲线的定义和余弦定理得， ， 所以， 所以， 所以. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $