精品解析：山东烟台市蓬莱区2025-2026学年八年级下学期期末教学质量监测数学试卷

蓬莱区八年级下学期期末教学质量监测 数 学 试 卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各式中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A．是不等式，不是方程，故A不符合要求． B．分母含有未知数，是分式方程，不是整式方程，故B不符合要求． C．整理后为，未知数最高次数为2，是一元二次方程，故C符合要求． D．含有两个未知数，是二元一次方程，故D不符合要求． 2. 已知（a，b，c，d均不为0），则下列各式不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查比例的基本性质与合比性质，通过交叉相乘或比例性质验证选项是否与已知条件等价即可判断 【详解】解：A、交叉相乘得，与已知一致，故A成立； B、交叉相乘得，与已知一致，故B成立； C、交叉相乘得，展开得，两边减得，与已知一致，故C成立； D、交叉相乘得，展开得，∵，∴化简得，故D不成立． 故选：D． 3. 关于反比例函数，下列说法中错误的是（ ） A. 当时，随的增大而减小 B. 图象位于第一、三象限 C. 点在函数图象上 D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】先由解析式得，再结合反比例函数的性质逐一判断选项，找出错误说法即可． 【详解】解：∵ 反比例函数中，， ∴ 函数图象位于第一、三象限，选项B正确； 且在每个象限内，随的增大而减小， ∵ 对应第三象限， ∴ 当时，随的增大而减小，选项A正确； 将代入解析式，得 ，与点的纵坐标一致， ∴ 点 在函数图象上，选项C正确； 当时，， ∵ 时，随的增大而减小， ∴ 当时，， 因此D错误选项． 4. 若实数满足，化简的结果是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据二次根式的性质确定的取值范围，再根据绝对值的化简规则去掉绝对值符号，合并得到结果． 【详解】解：根据二次根式的性质得 ， ， ， 由绝对值的性质可得，即， ， ，， ， ， ． 5. 已知线段，求作线段，使，下列作图中均作出一组平行线，其中正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将已知等式变形为比例式，根据平行线分线段成比例定理，分析各选项中线段的比例关系即可． 【详解】解：∵， ∴， A．根据平行线分线段成比例定理可得，即，故本选项错误； B．根据平行线分线段成比例定理可得，即，故本选项错误； C．根据平行线分线段成比例定理可得，即，故本选项错误； D．根据平行线分线段成比例定理可得，即，故本选项正确． 6. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半．”意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学过的东西就会遗忘部分．假设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】理解题意，找到剩余知识量的等量关系．每天遗忘百分比为，剩余知识量每天在上一天剩余的基础上按比例衰减，据此列出方程即可． 【详解】解：设原始知识量为， ∵每天遗忘的百分比为， ∴第一天后剩余的知识量为， 第二天后剩余的知识量为， 又∵两天不练丢一半，即两天后剩余知识量为原来的， ∴． 7. 黄金分割是汉字结构最基本的审美规律．如图汉字“十”端庄稳重、舒展美观．横竖笔画交点恰好是线段的黄金分割点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由黄金分割的定义求出，再由计算即可得出结果． 【详解】解：∵点恰好是线段的黄金分割点，， ∴， ∴． 8. 如图，在矩形中，平分，交于点，连接，点为的中点，连接，若．则的长为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】由矩形的性质和平分，容易证得，则．运用勾股定理求出，最后用直角三角形的性质求出． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 在直角中，， ∴， ∵为的中点， ∴． 9. 如图，在菱形中，点P是边的中点，点Q是边上一点，且，、相交于点O，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】延长，交于点H，根据菱形的性质得出，，，设，证明，得出，求出，证明，得出，设，则，证明，得出，求出，，最后求出结果即可． 【详解】解：延长，交于点H，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴，，， 设， ∵，点P是边的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 10. 如图1，在矩形中，，E是边上的一个动点，，交于点F，设，，图2是点E从点B运动到点C的过程中，y关于x的函数图象，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图象，确定当时，，即有，再证明，即可作答． 【详解】解：根据函数图象有：当时，， 此时：， ∵， ∴， ∴， ∵矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 函数中，自变量的取值范围是___________． 【答案】且 且 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件、零指数幂的定义，分别列出关于的不等式，求解后取公共部分，即可得到自变量的取值范围． 【详解】解：要使函数有意义，需同时满足： ， 解得且且． 12. “赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中，，则中间小正方形的边长____． 【答案】 【解析】 【分析】由四个全等的直角三角形可知，已知，，先根据勾股定理求出，再求出的长度即可求解． 【详解】解：根据题意得，，，， ∴， ∴． 13. 已知实数a，b满足，则关于x的方程根的情况是_____． 【答案】没有实数根 【解析】 【分析】先根据二次根式有意义的条件求出的值，再代入求出的值，最后计算一元二次方程的根的判别式，根据判别式的符号判断根的情况． 【详解】解：∵， ∴，解得， ∴． ∴一元二次方程为， ∵． ∴该一元二次方程没有实数根． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，的顶点的坐标为．以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧；以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧……按照以上规律作图，点的坐标为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了位似的性质，根据位似比等于变换后与变换前的图形的对应线段的比，根据两点距离得出进而得出，求得直线的解析式，根据，即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴， 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴ 设 ∴ 解得：（舍去） ∴ 故答案为：． 15. 如图，菱形的顶点在轴负半轴上，，反比例函数的图象过点和菱形的对称中心，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先证明，，设，可得，，求得，过点作于，再利用勾股定理求得，从而可求得点的坐标，再求出即可． 【详解】解：∵菱形的顶点在轴负半轴上，， ∴，， ∴， 设， ∴， ∴， 解得：， 过点作于， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查了中点坐标，求反比例函数解析式，用勾股定理解三角形，利用菱形的性质求线段长等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 16. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为．点在轴上，若，则点的坐标为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】先求出，，，再分两种情况：当点在点左侧时，当点在点的右侧时，通过构造全等三角形求解． 【详解】解：在中，当时，，即， 当时，，解得，即， ∵， ∴， 当点在点左侧时， ∵，， ∴， 过点作，交直线于点，过点作轴，过点作于，过点作于，则， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形，， ∴， ∴，， 设， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得， ∴直线的解析式为， 将代入可得， 解得， ∴； 当点在点的右侧时， 作点关于直线的对称点，连接，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得， ∴， 综上所述，点D的坐标为或． 三、计算题：本大题共2小题，共12分． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）化为最简二次根式，合并被开方数相同的最简二次根式即可得出答案． （2）二次根式的混合运算按照：先乘方，再乘除，最后加减依次计算，将二次根式化为最简形式，再计算有理数加减法即可． 【小问1详解】 解：， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ． 18. 解方程： （1）； （2）； 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：， 移项得：， 分解因式得：， 解得：，； 【小问2详解】 解：， 原方程可变为：， ， ∴， 解得：，． 四、解答题：本题共7小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 在物理实验课上，小明用滑动变阻器设计了一个电路给一个小灯泡供电，在实验中，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，当时，． （1）写出关于的函数解析式； （2）完成下表，并在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； … 3 4 5 6 8 9 10 12 … … … （3）当电流超过10A时，小灯泡会损坏，那么滑动变阻器的阻值应控制在什么范围内？ 【答案】（1） （2）完成表格如下： … 3 4 5 6 8 9 10 12 … … 8 6 4.8 4 3 2.4 2 … 函数的图象为： （3）不低于 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）首先把表格中自变量的值分别代入（1）中的函数解析式，求出对应的函数值，然后描点连线可得函数的图象； （3）由题意可知电流的值满足小于等于10A，据此列不等式即可求解． 【小问1详解】 解：∵电流是电阻的反比例函数， ∴设， ∵时，， ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴滑动变阻器的阻值应控制在不低于的范围内． 20. 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式计算即可得出结果； （2）由一元二次方程根与系数的关系可得，，代入计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：由题意可得：，， ∵， ∴， ∴， 解得：或， 由（1）可得， ∴． 21. 【观察思考】 【规律发现】请用含的式子填空： （1）第个图案中“”的个数为 ； （2）第1个图案中“★”的个数可表示为，第2个图案中“★”的个数可表示为，第3个图案中“★”的个数可表示为，第4个图案中“★”的个数可表示为…，第个图案中“★”的个数可表示为 ． 【规律应用】 （3）结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数，使得连续的正整数之和等于第个图案中“”的个数的3倍． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过观察图形中“”的数量规律，求出表达式即可； （2）通过观察图形中“★”的数量规律，求出表达式即可； （3）根据题意，列出一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解：第1个图案中“”的个数为， 第2个图案中“”的个数为， 第3个图案中“”的个数为， 第4个图案中“”的个数为， 第个图案中“”的个数为． 【小问2详解】 解：第1个图案中“★”的个数可表示为， 第2个图案中“★”的个数可表示为， 第3个图案中“★”的个数可表示为， 第4个图案中“★”的个数可表示为 … 第个图案中“★”的个数可表示为． 【小问3详解】 解：由（2）得，，，，， 则， 由题意可得，， 即，化简可得， 解得或， 为正整数， ． 22. 为了丰富学生的课余生活，学校计划在校园内建造一个活动区域（长方形），两面靠墙（位置的墙最大可用长度为，位置的墙最大可用长度为），另两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留宽的门（不用栅栏）．建成后栅栏总长． （1）若活动区域（长方形）的一边长为，则另一边            ． （2）若活动区域（长方形）的面积为，求边的长． 【答案】（1） （2）边的长为． 【解析】 【分析】（1）由栅栏总长为，即可求出的长； （2）设，则，根据活动区域的面积为，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：设，则，依题意得： ， 解得：， ∵， ∴， ∴， 当时，，符合题意． 答：边的长为． 23. 如图，矩形中，点分别从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向点运动，两点到达两点时停止运动，已知．设运动时间为秒． （1）①当四边形为矩形时，求的值； ②当四边形为菱形时，求的值； （2）当以为对角线的正方形面积是矩形的面积的一半时，直接写出此时的值． 【答案】（1）①；② （2）或 【解析】 【分析】（1）①根据题意得到，求出，当时，四边形为矩形，据此列方程即可求出答案；②根据菱形的性质和勾股定理列方程并解方程即可； （2）过点Q作，证明四边形为矩形，根据勾股定理得到，因为以为对角线的正方形面积是矩形的面积的一半，据此列方程并解方程即可． 【小问1详解】 解：①根据题意得：， ∵矩形，，， ∴，， ∴， 当时，四边形为矩形， ∴， 解得：； ②∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， 解得： 【小问2详解】 解：过点Q作，如图所示： ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵以为对角线的正方形面积是矩形的面积的一半， ∴， 即， 解得：或． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点． （1）求一次函数及反比例函数的表达式； （2）当时，请直接写出的取值范围； （3）若为直线上一动点，当时，求点的坐标． 【答案】（1）一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为 （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据A、B两点都在反比例函数的图象上，把其坐标分别代入反比例函数解析式即可求得m与n的值，再利用待定系数法求出一次函数的解析式； （2）观察图象即可求解； （3）分两种情况：在线段上；在线段的延长线上，利用相似三角形的判定与性质即可求解． 【小问1详解】 解：一次函数与反比例函数的图象交于点， ， ， 反比例函数的表达式为． 把点，点的坐标分别代入得：， 解得：， 一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：时,表明一次函数的图象位于反比例函数的图象下方， 由图象得：当或时，； 【小问3详解】 解：①当在线段上时，如图1，过点作轴，过点作于点，过点作于点． 则， 设， ∵， ， ， ， ， ， 解得：， 点的坐标为； ②当点在延长线时，如图2，过点作轴，过点作于点，过点作于点． 则， 设， ∵， ， ， ， ， ， 解得：， 经检验是分式方程的解，且符合题意， 点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或； 25. 【问题提出】 对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究． （1）如图1，在正方形中，，交于点G，则______（填比值）； 【探究证明】 （2）如图2，在矩形中，，分别交于点E、F，分别交于点G、H，求证：； 为了解决这个问题，经过思考，大家给出了以下两个方案： 甲方案：过点A作交于点M，过点B作交于点 乙方案：过点E作交于点M，过点G作交于点 请在甲、乙两个方案中任选一个加以证明． 【结论应用】 （3）如图3，将矩形沿折叠，使得点B和点D重合．若，，求折痕的长； 【拓展运用】 （4）如图4，在四边形中，，，，点E、F分别在线段上，且，求的值． 【答案】（1）1 （2）证明：甲方案：如图2，过点A作交于点M，过点B作交于点N； 四边形是矩形， ，，， 四边形均为平行四边形，， ，， ， ， ， ， 又， ， ， ； 乙方案：如图2，过点E作交于点M，过点G作交于点N，交于点O， 四边形是矩形， ，，， 四边形均为矩形， ， ， ，， ，， ， ， 又， ， ， ∴． （3）折痕的长为 （4）的值为 【解析】 【分析】（1）证明，则，即可得到答案； （2）甲方案：如图2，过点A作交于点M，过点B作交于点N；证明， ，，再证明，根据相似三角形的性质进行解答即可；乙方案：如图2，过点E作交于点M，过点G作交于点N，交于点O，证明，，再证明，根据相似三角形的性质即可得到结论； （3）由矩形的性质可得，，由勾股定理得，由（2）可知，，即可得到答案； （4）过点D作，交的延长线于，过点A作交EF于点，连接AC，过点F作于点，过点E作于点，证明，则，证明，最后证明 ，利用相似三角形的性质进行解答即可． 【小问1详解】 解：四边形是正方形， ，， 又， ， ， 在和中， ， ， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由矩形的性质可得，， 由勾股定理得， 由（2）可知，， ， ， 即折痕的长为； 【小问4详解】 解：如图4，过点D作，交的延长线于，过点A作于点，连接，过点F作于点，过点E作于点， ， ，， 四边形是矩形， ∴， ，，， ， ， ∴， ∵ ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ， ， （不合题意舍去）或 ， ， 同（2）知， ， 又， ∴ ， ， ， ， ， 即的值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 蓬莱区八年级下学期期末教学质量监测 数 学 试 卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各式中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知（a，b，c，d均不为0），则下列各式不成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 关于反比例函数，下列说法中错误的是（ ） A. 当时，随的增大而减小 B. 图象位于第一、三象限 C. 点在函数图象上 D. 当时， 4. 若实数满足，化简的结果是（ ） A. B. C. 1 D. 5. 已知线段，求作线段，使，下列作图中均作出一组平行线，其中正确的是（ ）． A. B. C. D. 6. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半．”意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学过的东西就会遗忘部分．假设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程（ ） A. B. C. D. 7. 黄金分割是汉字结构最基本的审美规律．如图汉字“十”端庄稳重、舒展美观．横竖笔画交点恰好是线段的黄金分割点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，平分，交于点，连接，点为的中点，连接，若．则的长为（ ） A. B. C. D. 3 9. 如图，在菱形中，点P是边的中点，点Q是边上一点，且，、相交于点O，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，在矩形中，，E是边上的一个动点，，交于点F，设，，图2是点E从点B运动到点C的过程中，y关于x的函数图象，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 函数中，自变量的取值范围是___________． 12. “赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中，，则中间小正方形的边长____． 13. 已知实数a，b满足，则关于x的方程根的情况是_____． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，的顶点的坐标为．以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧；以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧……按照以上规律作图，点的坐标为______． 15. 如图，菱形的顶点在轴负半轴上，，反比例函数的图象过点和菱形的对称中心，则的值为___________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为．点在轴上，若，则点的坐标为___________． 三、计算题：本大题共2小题，共12分． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解方程： （1）； （2）； 四、解答题：本题共7小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 在物理实验课上，小明用滑动变阻器设计了一个电路给一个小灯泡供电，在实验中，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，当时，． （1）写出关于的函数解析式； （2）完成下表，并在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； … 3 4 5 6 8 9 10 12 … … … （3）当电流超过10A时，小灯泡会损坏，那么滑动变阻器的阻值应控制在什么范围内？ 20. 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 21. 【观察思考】 【规律发现】请用含的式子填空： （1）第个图案中“”的个数为 ； （2）第1个图案中“★”的个数可表示为，第2个图案中“★”的个数可表示为，第3个图案中“★”的个数可表示为，第4个图案中“★”的个数可表示为…，第个图案中“★”的个数可表示为 ． 【规律应用】 （3）结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数，使得连续的正整数之和等于第个图案中“”的个数的3倍． 22. 为了丰富学生的课余生活，学校计划在校园内建造一个活动区域（长方形），两面靠墙（位置的墙最大可用长度为，位置的墙最大可用长度为），另两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留宽的门（不用栅栏）．建成后栅栏总长． （1）若活动区域（长方形）的一边长为，则另一边            ． （2）若活动区域（长方形）的面积为，求边的长． 23. 如图，矩形中，点分别从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向点运动，两点到达两点时停止运动，已知．设运动时间为秒． （1）①当四边形为矩形时，求的值； ②当四边形为菱形时，求的值； （2）当以为对角线的正方形面积是矩形的面积的一半时，直接写出此时的值． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点． （1）求一次函数及反比例函数的表达式； （2）当时，请直接写出的取值范围； （3）若为直线上一动点，当时，求点的坐标． 25. 【问题提出】 对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究． （1）如图1，在正方形中，，交于点G，则______（填比值）； 【探究证明】 （2）如图2，在矩形中，，分别交于点E、F，分别交于点G、H，求证：； 为了解决这个问题，经过思考，大家给出了以下两个方案： 甲方案：过点A作交于点M，过点B作交于点 乙方案：过点E作交于点M，过点G作交于点 请在甲、乙两个方案中任选一个加以证明． 【结论应用】 （3）如图3，将矩形沿折叠，使得点B和点D重合．若，，求折痕的长； 【拓展运用】 （4）如图4，在四边形中，，，，点E、F分别在线段上，且，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $