精品解析：山东省烟台市蓬莱市2024—2025学年下学期八年级期末数学试卷（五四学制）

2024-2025学年山东省烟台市蓬莱市八年级（下）期末数学试卷（五四学制） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义逐一判断即可，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：A、在中，当时，不是一元二次方程，故选项不符合题意； B、是一元二次方程，故选项符合题意； C、是分式方程，故选项不符合题意； D、整理后为，不是一元二次方程，故选项不符合题意； 故选：B． 2. 已知，下列变形错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．根据比例的性质进行变形即可． 【详解】解：， ，，， 故不符合题意， 故选A． 3. 化简二次根式结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，掌握是解题的关键． 先判断a的正负，再根据二次根式的性质化简． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：B． 4. 当时，反比例函数的图象可能经过点（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象、点所在的象限，熟练掌握反比例函数的图象是解题关键．先判断出反比例函数的图象在第一、三象限，再根据点所在的象限逐项判断即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴反比例函数的图象在第一、三象限． A、点位于第二象限，则此项不符合题意； B、点位于第四象限，则此项不符合题意； C、点位于第二象限，则此项不符合题意； D、点位于第一象限，则此项符合题意； 故选：D． 5. 如图，已知，．将沿图中的剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定逐一判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴， 故A不符合题意； B、∵， ∴， 故B不符合题意； C、由图形可知，，， ∵，， ∴， 又∵ ， ∴， 故C不符合题意； D、由已知条件无法证明 与相似，故D符合题意， 故选：D． 6. 观察下列表格，可知一元二次方程的一个近似解是（ ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的解． 利用表格中的数据得到时，，时，；于是可判断一元二次方程的一个解在与之间，更接近，故可得解． 【详解】解：∵时，，时，； ∴一元二次方程的一个解为，更接近， ∴方程的一个近似解是． 故选：C． 7. 如图，一张矩形报纸的长，宽 ，E、F分别是，的中点，将这张报纸沿着直线 对折后，矩形与矩形相似，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知，, ,根据矩形与矩形相似，可得矩形的长与宽之比等于矩形的长与宽之比，列比例式求解即可． 本题主要考查了相似多边形的性质．熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，, , ∵矩形的长与宽之比等于矩形的长与宽之比，即, 得， ∴ ， ∴ ． 故选：D． 8. 在 世纪 年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作 将矩形窗框分为上下两部分，其中为边的黄金分割点，即．已知为米，则线段 的长为（ ）． A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，黄金分割．设，则，根据求出 的值，即可求解． 【详解】解析：∵， 设，则， ∵ ， ∴， 即， 解得：，（舍去）， ∴线段 的长为米． 故选：B． 9. 若，两点分别是双曲线和图象上的点．若，且，则和的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握知识点是解题的关键． 将，两点分别代入和得到，，再由，根据，，即可判断，继而即可求解． 【详解】解：将，两点分别代入和 得：，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 10. 我国古代的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成．如图，正方形与正方形是由四个全等的直角三角形拼成的，连结．若，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 由正方形和全等三我的性质求得，，，再由勾股定理求得，，即可求解． 【详解】解：∵正方形， ∴，， ∴， 由题意，得， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 实数a，b在数轴上对应的点如图所示，化简：_______． 【答案】a 【解析】 【分析】本题考查了数轴的相关知识及二次根式的化简．掌握二次根式的性质是解决本题的关键． 根据数轴上点的位置，确定a、b的正负，判断出，再化简给出的代数式，合并后得结果； 【详解】解：由数轴可知，且，则， ， 故答案为：a． 12. 如图，在中，点在线段上，添加一个条件，使得，则添加的条件是________．（只填一个） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查添加条件使两个三角形相似，涉及两个三角形相似的判定定理，根据图形，结合两个三角形相似的判定定理添加条件即可得到答案，熟记两个三角形相似的判定定理是解决问题的关键． 【详解】解：①两角对应相等的两个三角形相似： ， 当时，； 当时，； ②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似： ， 当时，； 综上所述，添加或或，使得， 故答案为：（答案不唯一）． 13. 等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于 的方程的两根，则_____． 【答案】6或 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根与系数的关系．熟练掌握等腰三角形的两腰相等，以及，方程有两个相等的实数根，是解题的关键． 分3是底边和3是腰长，两种情况进行讨论． 【详解】解：当3是底边时，另两边为腰，长度相等，则有两个相等的实数根， ∴， ∴， 方程为：，解得， ，满足题意； 当3是腰长时，则3是的一个根，设另一个根为， 则：， ∴ ，； ，满足题意； 故6或． 故答案为：6或 14. 如图，在中，，两个顶点在 轴的上方，点的坐标是，以点为位似中心，在 轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍得到 ．设点的横坐标是 ，则点的对应点的横坐标是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，坐标与图形的性质，根据位似比的定义，利用两点间的横坐标的距离等于对应边的比列出方程是解题的关键．设点的横坐标为 ，然后表示出点，的横坐标的差与点，的横坐标的差，再根据位似比列式计算，即可得解． 【详解】解：设点的横坐标为 ， 则点，的横坐标的差为，点，的横坐标的差为， 将放大到原来的2倍得到 ， ， 解得． 故答案为：． 15. 如图，点在双曲线上，连接 并延长，交双曲线于点，点为 轴上一点，且，连接，若的面积是12，则的值为______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义．过点A作轴，过点B作轴，根据相似三角形的判定和性质得出，确定，然后结合图形及面积求解即可． 【详解】解：过点A作轴，过点B作轴，如图所示： ， ， ∵点A在双曲线上，点B在， ，， ， ， ， ， ，轴， ， ， ， ， ， ， 故答案为：8． 16. 如图，矩形中， ，将 以 为折痕对折，使点的对应点落在线段 上， 与折痕 的交点为点 ，其中 ，，则线段的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了翻折变换折叠问题 、矩形的性质，解题时要熟练掌握能灵活运用折叠的性质得到边相等是关键． 依据题意，连接，由折叠可得，，，然后先求出，再设，故，最后根据建立方程，求解即可． 【详解】解：如图所示，连接． 由折叠可得， ，． ，， ． 又∵ ， ∴． 设， ∴． 又∵， ∴． ，即． 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算或用适当的方法解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及解一元二次方程，熟练掌握二次根式混合运算的法则以及解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）先化简，再去括号后合并即可； （2）先根据乘法法则，除法法则以及幂的乘方与积的乘方的运算法则和平方差公式计算，最后合并即可； （3）利用一元二次方程的公式法求解即可； （4）利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：， ，， ， ， ， ； 【小问4详解】 解：， ， 或， ． 18. 如图，在中， ，是边上的中线，过点C作 的平行线 ，且 ，连接． （1）求证：四边形 是菱形． （2）连接 交于F，若 ，求的长． 【答案】（1） 证明：∵在中， ，是边上的中线， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴四边形 是平行四边形， ∵ ， ∴四边形 是菱形； （2）2 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质、菱形的判定与性质、相似三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由直角三角形的性质可得 ，推出 ，结合 得出四边形 是平行四边形，再结合 即可得证； （2）由直角三角形的性质可得 ，由（1）可得：四边形 是菱形，得出 ， ，进而得出 ，由相似三角形的性质可得，推出 ，即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵在中， ，是边上的中线， ∴ ， 由（1）可得：四边形 是菱形， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ． 19. 阳春三月，春意盎然！到处是芬芳宜人的花香，到处是千姿百态的花影，樱花、桃花、杏花争相绽放，宛如天然的锦绣画卷．刘玮和李悦某次春游期间，想运用所学知识测量一棵樱花树的高度，如图，他们先在地面上的点G处测得樱花树最高点的仰角，然后刘玮在地面上的点E处竖立一根标杆 ，李悦站在点C处，眼睛位于点D处时，恰好看到樱花树的最高点A和标杆顶端F在一条直线上，已知米，米，米，米，B、E、C、G在一条水平直线上，，，图中所有的点都在同一平面内．请你根据上述测量结果，计算这棵樱花树的高度． 【答案】15.6米 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，先证明，过点作于点，交 于点 ，如图，则四边形均为矩形，证明，再进一步利用相似三角形的性质解题即可． 【详解】解：， 为等腰直角三角形， ． 过点作于点，交 于点 ，如图． 则四边形均为矩形， 米，米， 米，． ， ， ， 即， 解得， 这棵樱花树的高度为15.6米． 20. 如果关于 的一元二次方程的两个实数根分别为，，且，求 的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，． 先根据根的判别式得到，解不等式得，再根据根与系数的关系得到，，接着变形已知条件得到，所以，然后解关于 的方程得到满足条件的 的值． 【详解】解：根据题意得 解得， 关于 的一元二次方程的两个实数根分别为，， ，， ，． ∴ ∴， 整理得， 解得（舍去 ，， 的值为 ． 21. 四边形为正方形，点为线段上一点，连接，过点作，交射线于点，以， 为邻边作矩形 当点落在线段时，如图所示；当点落在线段的延长线上时，请在备用图中按照题意画出图形，判断此时四边形 的形状，并证明． 【答案】图形见解答过程；四边形 是正方形，证明见解答过程 【解析】 【分析】此题主要考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，理解矩形的性质，熟练掌握正方形的判定和性质，全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． 当点落在线段的延长线上时，作出矩形 即可，过作于 点，于 点，证明四边形为正方形得，，根据四边形 是矩形得，进而得，由此可依据“”判定和全等得，再根据正方形的判定可得四边形 是正方形． 【详解】解：当点落在线段 的延长线上时， 四边形 是正方形，证明如下： 过作于 点，于 点，如图所示： ， 四边形是正方形， ，， ， 四边形矩形， ， 是等腰直角三角形， ， 矩形为正方形， ，， 四边形 是矩形， ， ， 在和中， ， ， ， 矩形 是正方形． 22. 当发动机的输出功率一定时，输出的扭矩M（使物体发生转动的力矩，单位为）与发动机转数n（发动机曲轴的转动速度，单位为）存在一定的关系，某兴趣小组通过对固定输出功率的发动机进行实验，得到对应的扭矩M和转数n的数据如表： n（） 1.5 2 2.5 3 4 M（） 400 300 240 200 150 （1）以表中各组对应值为点的坐标，在如图直角坐标系中描出相应的点并用光滑曲线连结． （2）能否用学过的函数刻画变量M和n的关系？如果能，请求出M关于n的函数表达式；（不必写出n的取值范围）；如果不能，请说明理由． （3）某个使用场景需要此款发动机输出的扭矩不低于，但不超过，求此场景中该发动机转数n的取值范围． 【答案】（1）见详解 （2）能，M关于n的函数表达式为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意可直接进行画出函数图象； （2）由（1）可知M和n符合反比例函数关系，则设M关于n的函数表达式为，然后问题可求解； （3）根据题意及结合函数图象可直接进行求解． 【小问1详解】 解：由题意可得如下函数图象： 【小问2详解】 解：由（1）可设M关于n的函数表达式为，则把点代入得： ， ∴M关于n的函数表达式为； 【小问3详解】 解：由题意可得： 当时，则有，解得：； 当时，则有，解得：； ∴n的取值范围为． 【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 23. 某校组织学生进行研学活动，如图是该校领队与旅行社导游就收费标准的一段对话截图，该学校经商定后按旅行社的收费标准组团去该景点进行研学活动．请根据对话内容，解决下列问题． （1）若参加研学活动的学生共 人，求学生人均研学费用； （2）若学校研学活动结束后，共支付给旅行社元（其中随队的教师有人），求学校这次到该景点参加研学活动的学生有多少人？ 【答案】（1）学生人均研学费用为 元 （2）学校这次到该景点参加研学活动的学生有 人 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）由题意列式计算即可； （2）设学校这次到该景点参加研学活动的学生有 人，根据共支付给旅行社38940元其中随队的领队、教师共人 ，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，（元）， 答：学生人均研学费用为 元； 【小问2详解】 解：设学校这次到该景点参加研学活动的学生有 人，则学生人均研学活动费用为： 元， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去； 答：学校这次到该景点参加研学活动的学生有 人． 24. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数图象上有，两点，其中点在点右侧，连接， ，．如图，设点坐标为，若，，且 ． （1）求的值； （2）若 的面积为，求点的坐标． 【答案】（1） （2）点的坐标为 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握反比例函数值的几何意义是关键． （1）先求出 、 的值，再根据反比例函数图象上点的坐标特征解出值即可； （2）过点作轴于点 ，交 于一点 ，过点作轴于点 ，设点的坐标为，根据，列出关于的方程，求出 的值，即可得到点的坐标． 【小问1详解】 解：由条件可知，代入得：， ，， ，且 ， ， ， 点坐标为， ； 【小问2详解】 解：过点作轴于点 ，交 于一点 ，过点作轴于点 ，设点的坐标为， 反比例函数图象上有，两点， ， ， 的面积为， ，即， 整理可得， 解得负值已舍去 ， 点的坐标为． 25. 综合实践活动课上，老师给同学们讲了一个关于三角形角平分线的有趣结论：如图1，在中， 平分 ，则． 小颖发现通过作平行线分线段成比例可以得到结论，她的思路如下： 证明：如图2，过点作交的延长线于点， ， …… （1）请你根据小颖的思路写出剩余的证明过程． 知识应用 （2）若，，，利用上述结论可知的长为_____． 拓展提升 （3）如图3，在矩形中，，，是延长线上一点，点关于 的对称点恰好落在射线 上．若的平分线交射线 于点 ，且，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）4；（3）8 【解析】 【分析】（1）如图2，过点C作交的延长线于点E，得到，根据角平分线的定义得到 ，根据平行线的性质得到，，求得，得到，等量代换即可得到结论； （2）根据 平分 ，得到，，代入数据即可得到结论； （3）由折叠知，于是得到，即，求得．根据矩形的性质得到，设，则，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：（1）证明：如图2，过点C作交的延长线于点E， ， 平分 ， ， ， ，， ， ， ． （2） 平分 ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4； （3）由折叠知， 由（1）可知在 中，，即， ， ． ， ． 四边形为矩形， ， 设，则， 在中，． ． 解得或（舍去）， ， ． ． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，矩形的性质，角平分线定义，勾股定理等知识；正确理解题意、熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年山东省烟台市蓬莱市八年级（下）期末数学试卷（五四学制） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，下列变形错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 化简二次根式结果是（ ） A. B. C. D. 4. 当时，反比例函数的图象可能经过点（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知，．将沿图中的剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（ ） A. B. C. D. 6. 观察下列表格，可知一元二次方程的一个近似解是（ ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 A. B. C. D. 7. 如图，一张矩形报纸的长，宽 ，E、F分别是，的中点，将这张报纸沿着直线 对折后，矩形与矩形相似，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 在 世纪 年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作 将矩形窗框分为上下两部分，其中为边的黄金分割点，即．已知为米，则线段的长为（ ）． A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 9. 若，两点分别是双曲线和图象上的点．若，且，则和的大小为（ ） A. B. C. D. 10. 我国古代的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成．如图，正方形与正方形是由四个全等的直角三角形拼成的，连结．若，，则等于（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 实数a，b在数轴上对应的点如图所示，化简：_______． 12. 如图，在中，点在线段上，添加一个条件，使得，则添加的条件是________．（只填一个） 13. 等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于 的方程的两根，则_____． 14. 如图，在中，，两个顶点在 轴的上方，点的坐标是，以点为位似中心，在 轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍得到 ．设点的横坐标是，则点的对应点的横坐标是______． 15. 如图，点在双曲线上，连接并延长，交双曲线于点，点为 轴上一点，且，连接，若的面积是12，则的值为______． 16. 如图，矩形中， ，将 以 为折痕对折，使点的对应点落在线段 上， 与折痕 的交点为点 ，其中 ，，则线段的长度为______． 三、解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算或用适当的方法解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 如图，在中， ，是边上的中线，过点C作 的平行线 ，且 ，连接． （1）求证：四边形 是菱形． （2）连接交于F，若 ，求 的长． 19. 阳春三月，春意盎然！到处是芬芳宜人的花香，到处是千姿百态的花影，樱花、桃花、杏花争相绽放，宛如天然的锦绣画卷．刘玮和李悦某次春游期间，想运用所学知识测量一棵樱花树的高度，如图，他们先在地面上的点G处测得樱花树最高点的仰角，然后刘玮在地面上的点E处竖立一根标杆 ，李悦站在点C处，眼睛位于点D处时，恰好看到樱花树的最高点A和标杆顶端F在一条直线上，已知米，米，米，米，B、E、C、G在一条水平直线上，，，图中所有的点都在同一平面内．请你根据上述测量结果，计算这棵樱花树的高度． 20. 如果关于 的一元二次方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 21. 四边形为正方形，点为线段上一点，连接，过点作，交射线于点，以， 为邻边作矩形 当点落在线段时，如图所示；当点落在线段的延长线上时，请在备用图中按照题意画出图形，判断此时四边形 的形状，并证明． 22. 当发动机的输出功率一定时，输出的扭矩M（使物体发生转动的力矩，单位为）与发动机转数n（发动机曲轴的转动速度，单位为）存在一定的关系，某兴趣小组通过对固定输出功率的发动机进行实验，得到对应的扭矩M和转数n的数据如表： n（） 1.5 2 2.5 3 4 M（） 400 300 240 200 150 （1）以表中各组对应值为点的坐标，在如图直角坐标系中描出相应的点并用光滑曲线连结． （2）能否用学过的函数刻画变量M和n的关系？如果能，请求出M关于n的函数表达式；（不必写出n的取值范围）；如果不能，请说明理由． （3）某个使用场景需要此款发动机输出的扭矩不低于，但不超过，求此场景中该发动机转数n的取值范围． 23. 某校组织学生进行研学活动，如图是该校领队与旅行社导游就收费标准的一段对话截图，该学校经商定后按旅行社的收费标准组团去该景点进行研学活动．请根据对话内容，解决下列问题． （1）若参加研学活动的学生共 人，求学生人均研学费用； （2）若学校研学活动结束后，共支付给旅行社元（其中随队的教师有人），求学校这次到该景点参加研学活动的学生有多少人？ 24. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数图象上有，两点，其中点在点右侧，连接， ，．如图，设点坐标为，若，，且 ． （1）求的值； （2）若 的面积为，求点的坐标． 25. 综合实践活动课上，老师给同学们讲了一个关于三角形角平分线的有趣结论：如图1，在中， 平分 ，则． 小颖发现通过作平行线分线段成比例可以得到结论，她的思路如下： 证明：如图2，过点作交的延长线于点， ， …… （1）请你根据小颖的思路写出剩余的证明过程． 知识应用 （2）若，，，利用上述结论可知的长为_____． 拓展提升 （3）如图3，在矩形中，，，是延长线上一点，点关于的对称点恰好落在射线 上．若的平分线交射线 于点 ，且，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $